2025年中考数学三轮复习热点《网格中的锐角三角函数》题型专项冲刺练习

2025年中考数学三轮复习热点《网格中的锐角三角函数》题型专项冲刺练习 一、选择题 1．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（  ） A． B． C． D．1 2．如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，O三点均在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则（   ） A． B．2 C． D． 7．如图，点均在正方形网格的格点上，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，点都在正方形网格的格点上，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 9．如图，A，B，C，D均为正方形网格中的格点，相交于点E，则（   ） A．2 B．3 C． D． 10．如图，放在正方形网格纸上，点，，均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为 ． 12．如图，点A，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为 ． 13．如图，在的正方形网格中，点A，，是正方形网格中网格线的交点，则的正弦值为 ． 14．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段与相交于点P，则的正弦值为 ． 15．如图，在的网格图中，点、、、都在小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是 ． 16．如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接交于点P，则的正切值是 ．    17．如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且时，则 18．如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则的值为 ． 19．如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ． 20．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是  ． 三、解答题 21．如图是由小正方形组成的网格，点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，在上找格点D，使，在的延长线上画点E，使；（此问的画线不超过3条） (2)如图2，在上画点F，使，画的高．（此问的画线不超过5条） 22．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，先画将线段绕点A逆时针旋转后的线段，再在上画点E，使； (2)在图2中，先画将线段绕点C顺时针旋转后的线段，再画交于点H． 23．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上． (1)请在如图所示的网格中，找一点（点在格点上），画出四边形，使四边形是凸四边形且； (2)请在（1）的基础上，画出以为直角边的等腰直角三角形，且．若在直线上存在动点，请直接写出的最小值． 24．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，找一格点C，连接，使； (2)在图②中，在线段上找一点C，连接AC，使； (3)在图③中，找一点C，连接，使． 25．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点（网格线的交点）． (1)在网格图中画一四边形，使得四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，与都为格点． (2)在网格图中确定一点，使得． 26．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，所画三角形的面积均为，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中画一个，使； (2)在图②中画一个，使； (3)在图③中画一个，使． 27．如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上． (1)如图①，连结交于点E，直接写出：的值为______； (2)如图②，在上找一点F，使；（只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法） (3)如图③，交于点P，直接写出的值______． 28．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.    (1)在图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段；在上画点N，使； (2)在图2中，D是上任意一点，先画的中点E，再在上找到一点F，使得 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A D A C B B D 1．C 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理．连接格点，由网格的特点可知：，，则，则是直角三角形，．根据三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接格点， 由网格的特点可知：，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故选：C． 2．A 【分析】根据勾股定理得出，，的长，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后结合解直角三角函数的性质进而解答即可．此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出的长解答． 【详解】解：由勾股定理得： , ∴是直角三角形，， ∴，，， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查在网格中求三角函数值，由题意找角度相等的直角三角形进行转化，使直角三角形边长容易读出来是解决问题的关键．在网格中求角的三角函数值，需要找角度相等的直角三角形进行转化，由于在中，由对边及邻边确定，而网格中这两个边都不容易确定，因此需要转化，由图可知，，在中，，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，， ， ， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，正弦的定义，解题的关键是掌握网格的特点构造直角三角形． 在边长为1的小正方形组成的网格中，的边长可以利用勾股定理求出，然后过点A作，交于点C，构造直角三角形，利用三角形面积公式求出，利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：由图可知 ， ， ， 过点A作，交于点C， ，， ， ∴在中，， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．在中，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：如图，在的正方形网格图中， 在中，， ． 故选：D． 6．A 【分析】本题考查网格中的三角函数，作于点，利用网格特点以及正切值的定义，进行求解即可． 【详解】解：作于点，设小正方形的边长为1，则：， 在中，； 故选A． 7．C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角函数，连接，由勾股定理及其逆定理可得为直角三角形，，进而根据正切的定义计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格得，，，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， 故选：． 8．B 【分析】此题考查了求角的正切值，熟悉正切的概念是解答本题的关键． 设小正方形的边长为1，由图可知：，，根据正切的概念求解即可． 【详解】解：如图： 设小正方形的边长为1，由图可知：，， ∴， 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例、求角的正切值等知识点，正确连接辅助线得到平行线段及直角三角形是解题的关键． 如图：连接，连接格点D、F交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，再利用对顶角可得答案． 【详解】解：如图：连接，连接格点D、F交于F， 由网格图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10．D 【分析】本题考查了正切的定义，勾股定理，由网格可求出，则，然后利用正切的定义即可求解，熟练掌握锐角三角函数的定义及构造直角三角形求锐角三角函数是解题的关键． 【详解】解：取格点，连接，如图， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 11．1 【分析】过点A作于H，根据正切的定义解答即可． 本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：过点A作于H， 在中，， 故答案为： 12． 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；连接，由勾股定理可分别得出的长，然后可得，进而根据正弦的定义可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 13． 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、两点间距离公式、正弦的定义等知识点，说明成为解题的关键． 根据勾股定理可得，则，再根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：如图：连接， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．/ 【分析】本题主要考查了求正弦，勾股定理，平行线的性质， 作，交格点于点E，F，连接，再根据勾股定理得，可知，然后根据平行线的性质得，最后根据正弦的定义得出答案. 【详解】解：如图所示，过点C作，交格点于点E，F，连接， 根据勾股定理，得， ∴， ∴. ∵， ∴， 即. 故答案为：. 15．/ 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，过点作，垂足为，先利用勾股定理求出和的长，再利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后根据题意可得：，从而可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为， 由题意得：， ， 的面积 ， ， ， ， 在中，， 由题意得：， ， ， 故答案为：． 16．2 【分析】本题考查网格中求角的正切值，将直线向下平移，得到，连接，易得为直角三角形，，求出的正切值即可． 【详解】解：将向下平移1格，得到，连接，设小正方形的边长为1，则：，    ∴， 由图和勾股定理可知：，，， ∴； 故答案为：2． 17． 【分析】如图，连接．只要证明即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判断和性质、直角三角形的判定和性质等、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 18． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据等边三角形的性质可得，然后设正三角形构成的网格线段长为，分别求出直角边，，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数定理即可求出． 【详解】解：由正三角形的性质可知， 设正三角形构成的网格线段长为， 在中，，， 根据勾股定理，可得， ， 故答案为：． 19． 【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题． 如图，连接，，证明，、C、B共线，再根据解题即可． 【详解】解：如图，连接，， 设菱形的边长为，由题意得，，，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴、、共线， 在中， ． 故答案为：． 20．/0.5 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正切定义求解． 连接，，由，得到，由，得到，推出A、C、D共线，由勾股定理的逆定理推出，由勾股定理求出，即可由求解． 【详解】解：连接，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴A、C、D共线， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 21．(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）在格点找到点F，和点D，连接，，，在中；在点B下1个单位为点G，连接，并延长交延长线于点E，由网格知，，，所以为等腰三角形，所以，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以为等腰三角形，所以； （2）连接，交于点D，连接交于点F．由网格知，，，，所以，所以，所以，，由网格图知，，所以；作直线交于点G，连接，由网格图知，，同理，，，所以，所以，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示：点D，点E即为所求； （2）连接，交于点D，连接交于点F．即为， 作直线交于点G，连接，即为所求； 【点睛】本题考查利用网格特性结合勾股定理、几何图形性质（平行四边形、等腰三角形等 ）、相似三角形判定及性质、三角函数定义进行作图，解题关键是合理借助网格格点确定线段长度和角度关系以满足题目要求的条件． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图所示，取格点D，连接，取与格线的交点P，连接交于E，则线段和点E即为所求； （2）如图所示，取格点T、L、S，连接，连接并延长交于F，连接，取格点M、N连接交于H，连接，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，取格点D，连接，取与格线的交点P，连接交于E，则线段和点E即为所求； 可证明，则线段即为所求； 可证明，则，则点E即为所求； （2）解：如图所示，取格点T、L、S，连接，连接并延长交于F，连接，取格点M、N连接交于H，连接，则线段即为所求； 可证明，则， 可证明，则，则线段即为所求； 可证明且直线到直线的距离等于直线到直线的矩形， 则平分，又有平分，则四边形是平行四边形，则． 【点睛】本题主要考查了画旋转图形，解直角三角形，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，熟练掌握格点作图的技巧和方法是解题的关键． 23．(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的判定，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）选取格点D，构造即可得； （2）如图，在右侧取格点E，使，；作点关于的对称点，连接交于点，此时的最小值为的长，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所作； （2）解：如图，点E即为所作； 作点关于的对称点，连接交于点， ∴， 由“两点之间，线段最短”可知的最小值为的长， 由勾股定理得， 所以，的最小值为． 24．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，即可求解； （2）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，则与交于点，即可求解； （3）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，根据三角形全等找到另一个腰的中点，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）解：如图所示即为所求： （3）解：如图所示即为所求： 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和作法，全等三角形的判定和性质等知识点，根据题意作出符合的等腰直角三角形是解题的关键． 25．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的性质以及三角函数正切值的应用，解题的关键是理解中心对称图形和轴对称图形的区别，掌握正切函数的定义来确定点的位置． （1）根据中心对称图形和轴对称图形的特点，构造出满足条件的四边形； （2）利用正切函数的性质，在网格中找到合适的点E． 【详解】（1）画图如下所示： 四边形即所求；（画法不唯一） （2）画图如下所示： 在中 ，，， ， 是直角三角形，， 在中，，， ， 如图，即所求．（画法不唯一） 26．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）取格点C，构造等腰直角，使，即为所求； （2）取格点D，构造直角，使，，则，即为所求； （3）取格点H，J，连接交格线于点，则即为所求．由网格的性质得，则，即，所以，所以，所以即为所求． 【详解】（1）解：如图②中，即为所求； ； （2）解：如图①中，即为所求； （3）解：如图③中，即为所求． 27．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正弦的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明得到； （2）取点格点，连接交于点，点即为所求； （4）取格点连接交于点，得到，，证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，取点格点，连接交于点，点即为所求； ， ， ， ； （3）解：如图，取格点连接交于点， 由图可知，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 28．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得线段，借助网格中平行线可得比例线段，从而求解． （2）利用矩形性质，可得，四边形是平行四边形，，即可求解． 本题考查作图——旋转变换，轴对称变换、平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图1，根据旋转的性质可得线段，取格点P，Q，连结交于点O， 此时，则 即， 连结交于点N， ， 则点N即为所求．    （2）解：如图2，连结，交于点O， 四边形是矩形， ， 与交于点， 四边形是平行四边形， ， 连结交于点E，点E即为所求． 连结、 交于点Q，连结  、交于点， 连结交于点，连结交于点F， 点F即为所求．    学科网（北京）股份有限公司 $$