2025届山东省泰安市高考二模数学试题

高三二轮检测 数学试题参考答案及评分标准 2025.04 一、选择题： 题号 1 23 5 6 8 答案BCDAD 二、选择题 题 号 9 10 11 答案 ABD ACD ABD 三、填空题： 12.-160 13.4V2 14.6 四、解答题： 15.(13分) 解：，m上n .'sin B cosC 2 cos C sinA=0 …2分 即cosC(sinB-2sinA)=0 ,在钝角三角形ABC中，cosC≠0 ∴.sinB=2sinA 由正弦定理，b=2…4分 (1)c=V2a, ÷cosC=+F-2a2+4n2-20 2ab 4a' 3 = 6分 4 (2).b=2a 8=1 >26sG=a子simG=22 sinc= 2 8分 Ce(0,π) ……9分 3 高三数学试题参考答案第1页（共8页） 当G=时. e=a +-2abcosC 1 7 =b2 4 e-7 ÷62 10分 当C=可时， c2=a2+b2 2ab cos C= +8-36 62 11分 4 此时，a2+c2=b B。2不合题意 12分 缘上后罗 13分 16.(15分) (1)证明：连接AC,交BD于点O ,四边形ABCD为菱形 .AC⊥BD 又平面A'BD⊥平面ABCD,平面A'BD∩平面ABCD=BD.ACC平面ABCD .AC⊥平面A'BD …2分 :在四棱柱ABCD-A'B'CD中，EF分别为AM'.CC中点 ∴.AE∥CF,AE=CF .四边形ACFE为平行四边形 EF∥AC…4分 EF⊥平面ABD…5分 ·EFC平面BEF ·.平面BEF⊥平面A'BD 6分 (2)由题意，O为AC,BD中点 ·,△ABD,△A'BD都是正三角形，且BD=2 .A'0⊥BD,A'O=AO=V3 ,平面A'BD⊥平面ABCD,平面A'BD∩平面 D' ABCD=BD,A'OC平面A'BD B ∴.A'O⊥平面ABCD ∴.以O为原点.OA,0B,OA'所在直线分别为 x轴，y轴轴，建立如图所示的空间直角坐标 系…8分 高三数学试题参考答案第2页（共8页） 则A(V3,0.0).B(0,1,0),A'(0.0.V3).C(-V3,0.0).C'(-2V3,0,V3) s9a学rya9 …9分 E=9-1学，即=(2v300) 设平面BEF的一个法向量为n=(xy,z) V3 ·BE=0-x二y+2 =0 n·EF=0 -2V3x=0 .x=0,令z=2,得y=V3 n=(0,V百，2)，…11分 又BC=(-2V3,-1,V3）…12分 cos(n.BC) BC·n_V3V2I …14分 BCn v7×4 28 ·直线BC与平面BEF所成角的正弦值为Y2I …15分 28 17.(15分) 解：fr)=in2ar+ 1 2 -cos2wx sin2wx 2sin2ox+V -cos2ox 2 T sin(2ox ）ω>0…2分 f(x)最小正周期T= 2m 一=7 20 W=1…3分 fx)=sin(2x+3） 4分 0:fe）=2m2x+号 .切线斜率k=∫'(0)=1 …5分 10)=兰切点为0兰) ·切线方程为=x+3 2 …6分 高三数学试题参考答案第3页（共8页） （2gx)在0.2 上单调递减 ge)0唯[0引上恒成立 即e0引g)=2r-1+2o2x+ T ）≤0…7分 g(号)=m-2<0 8分 T gu)+2a2c+写)-l 4 9分 设ae-+2a+号-[ e)=音-42+胃 xe0, L12 时y=s血(2x+子)单调通增 )在到02 上单调递减'x)≤h'(0)=4-2V3<0 ……10分 xe122 时，y=sin(2x+ π)单调递减 '(x)在 12'2 上单调递增 4 T 存在唯一∈(0,2)，使得'()=0 当re[0,时，h(e)<0,h()单调递减：当re[受时，h()>0h(e)单调递增 …12分 又：40)=0h(受)=2-1+1=0 六h(x）m…=0 14分 .Vxeto.g)<h()0 2 综上，4∈(-，-1 15分 高三数学试题参考答案第4页（共8页） 18.(17分) 解：(1)a,+a2=7即“前两次点数之和为7”，设为事件A 样本空间0={a,a)aa:e{1,2.3,4,5.6 .n(2）=6X6=36…1分 .7=1+6=2+5=3+4 .A={1,6),(25),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} n(A)=6…2分 P(A)=n(A.61 n(2)366 即a,+a2=7的概率为 …3分 6 (2)(i)方法1：（注：方法1中，m=2.3…7时P每对两个给1分，不计顺序） 当m=2时.由.R=君 当m=3时，7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3 3+6+3+3=15X…4分 6 6 当m=4时，7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2 P=4+12+4 4=20×(6 6 当m=5时，7=1+1+1+1+3=1+1+1+2+2 P=5+10 63 15x(石/ 5分 当m=6时，7=1+1+1+1+1+2 ∴P6= 6=6×(6 1 6 6 1 1 m=7时，P26=(6… 6分 方法2：由隔板法知P.=C公-'（石广m=2,3…7…6分 P.=(6+(6+c(6r+(6广+(+c(6 1 6×1+- 1 6 6 6 71 66 ……9分 .67互质.t,r互质 ∴.1=7，r=6 六b=0g7+l0g8=-6+7=1…10分 高三数学试题参考答案第5页（共8页） 2 (ii)证明：，c,= 3 .c:=ci=g S+1-Sn=c+c+…+c=c.1 .当n≥2时，c+c+…+c日-1=c .Cn+1-ca e2 12分 ∴.ca1=c2+cn=c.(c。+1) ,n≥2…15分 C.+1 Ca.1 caca+1 Caca.1 CaCa.1 …1=1 + 十▣十 台c+Ic2+1c+1 C。+1 11+11+…+1-1 C2 Cs cs ea C。C+i 11 +++4+,4++++。+,。44++。,+++4,+。。,4++,+++。。+ 16分 C2 C. c+1>0 111<19 4++0+004044++04440+， 17分 c,+1c3c,,c?4 19.(17分) 解：(1)设P(xy),则x≠±2 +2,s hu =Y …1分 x-2 =y。3 x+2x-2x2-44 ,4y2+3(x2-4）=0,x≠±2.…3分 即号+号=1，x*士2 43 六E的方程为 y2 +3=1(x≠±2）…4分 (2)(i)设C(x1y),D(x22) 由已知，l斜率不为0，设的方程为x=心+1 x=ny+I 得(3n2+4)y2+6y-9=0…5分 高三数学试题参考答案第6页（共8页） 6n 9 ,y1+y2= 3n2+4y=- 3n2+4 3nm2+46=(m,+1)(y,+1)=40-3n 8 .x1+x2=n(0y1+y2)+2 3n2+4 …6分 名，+26=w=、力 设k,=kc=当。 x2+2 由题意，k,>0,k2<0 ∴.kk2= yIy2 -9 x1x2+2(x1+x)+441-3n2)+16+4(3n2+4) -91 36-4 …7分 由题意，kc·kc=6c·k三3 4 ∴.kc·k,=3k1·kD,k,≠0 .kc=3ko,即kN=3N =3 x-23,+2*0 3(xw-2)=xN+2 ∴.x、=4.即N在直线x=4上 同理，M在定直线x=4上…8分 ·直线AC的方程为y=k(x+2),直线AD的方程为y=k(x+2) 由龙=4，得yw=6k,同理yy=6k2…9分 |MW=yw-=6(k,-k:) ≥12√k,·(-k2)=6 当且仅当，=6=时取= .MN最小值为6… 10分 (i)证明：：直线AC与直线x=2相交于点G,BG中点为H 2M2 G(2, 2y1 +2 …1分 设∠HQB=a,∠CQB=B 当B时。 2y=tand.ko kow=y+2 x1-1 =tanβ…12分 高三数学试题参考答案第7页（共8页） 4y .∴tan2a= 2tano x1+2 1-tan'a 1- 4yi (x,+2 、 4y1(x1+2) (x1+22-4y 4y1(x1+2)】 (x1+2)2+3(x-4) 4y x1+2+3(x1-2) x-1 tanB 由题意，Be0,aB+号ae0,号 2派=B… 14分 当B=受时.a=子也满足2a=B ………15分 故QH平分∠TQB ,·BT⊥QH ∴.QH为BT中垂线. TQ=BQ=1,即T在圆Q:(x-12+y2=1上…16分 又△THQ≌△BHQ ∴.TH⊥QT 二TH与定圆Q(x-1)2+y2=1相切…17分 高三数学试题参考答案第8页（共8页）高三数学试题 第 页 （共4页） 试卷类型:A 高 三 二 轮 检 测 数 学 试 题 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x ∈ N| - 1≤x<6}，∁AB={1，3，5}，则集合B为 A. {2,4} B. {0,2,4} C. {-1,0,2,4} D. {-2,-1,0,2,4} 2.已知复数z满足z (1 - i ) = i，则 z̄ || z 在复平面内对应的点所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量a = ( -2, 3 )，b = (1,λ )，若a与 b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 A. (-∞, 23 ] B. ( 3 2 , + ∞ ) C. ( -∞, 2 3 ) D. (-∞,- 3 2 )⋃(- 3 2 , 2 3 ) 4.在同一直角坐标系中，函数 f ( x ) = xa ( x ≥ 0 )和 g ( x ) = loga x的图象可能是 A． B． C． D． 2025.04 1 高三数学试题 第 页 （共4页） 5.已知等差数列{ }an 的前n项和为Sn，若a1 + a5 + 3a6 + 2a9 = 49，则S11 = A. 44 B. 33 C. 66 D. 77 6.某学校为提高学生学习英语的积极性，举办了英语知识 竞赛，把 2000名学生的竞赛成绩（满分 100分，成绩取整 数）按[ )60, 70 ，[ )70, 80 ，[ )80, 90 ，[ ]90, 100 分成四组，并整 理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为 A. a的值为0.015 B.估计成绩低于80分的有50人 C.估计这组数据的众数为80 D.估计这组数据的第60百分位数为87 7.过直线 y = -x + 1上任一点P向圆 x2 + ( y + 1 )2 = 1作两条切线，切点为 A,B.则 || AB 的 最小值为 A. 22 B. 3 2 C. 2 D. 3 8. 已知 f ( x )是定义域为R的单调递增函数,且存在函数g ( x ),使f (g ( x ) ) = 2x - 1,若 x1, x2分 别为方程 f ( x ) + 2x = 7和g ( x ) + x = 4的根,则x1 + x2 = A. 8 B. 4 C. -4 D. -8 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列选项中正确的是 A. “∃x ∈ Z, sin x ∈ Z”的否定是“∀x ∈ Z，sinx ∉ Z” B.若回归方程为 ŷ = 6 - 2.5x，则变量 y与 x负相关 C.若 tan α = 2，则 cos 2α = 35 D. A，B，C，D，E五个人并排站在一起，若A，B不相邻，则共有72种不同的排法 10.已知双曲线C: x2 a2 - y2 b2 = 1(a > 0, b > 0 )的左，右焦点分别为F1,F2，则下列选项正确的是 A.若a = 2, b = 3，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为 3 B.若点P在双曲线C上，则直线PF1与PF2的斜率之积为 b 2 a2 C.以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限交于点P，且 || PO = || PF2 ，则双曲线C 的离心率e = 3 + 1 D.若过F2的直线 l与x轴垂直且与渐近线交于A，B两点，∠AF1O = π3，则双曲线C的渐近 线方程为y = ±2 3 x 2 高三数学试题 第 页 （共4页） 11. 在平面直角坐标系中，定义 A( x1, y1 ),B ( x2, y2 )两点之间的折线距离为 d ( A,B ) = || x1 - x2 + || y1 - y2 .如图，某地有一矩形古文化街区，其内部道路间距均为 1，则下列 选项正确的是 A. d ( A,B ) = 5 B.若C为平面内任意一点，则d ( A,B ) ≤ d ( A,C ) + d (B,C ) C. 当地政府拟沿满足d (P, A ) + d (P,B ) = 9的点P的轨迹修建一条街区环线公路，则公 路形状为六边形 D.外卖员从A点送餐到B点，在保证路程与 d ( A,B )相等的前提下，左转次数X的期望 为1.2 三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共15分。 12. ( x2 - 2 x )6的展开式的第4项的系数是 . 13.函数y = 4 + x2 - 13 x的最小值为 . 14.如图，在母线长为 4 + 2 3，高为 3 + 2 3的倒置圆锥形容 器（不计厚度）内放置一个底面半径为 1的圆柱体 .现向圆柱 侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆 柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球 最多能放入 个 . 四、解答题：本题共5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 在 钝 角 三 角 形 ABC 中 ，内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c，m = (sinB, cosC )，n = (cosC, -2sinA )，m ⊥ n. （1）若 c = 2 a，求 cosC的值； （2）若△ABC的面积S = 32 a2，求 c b 的值 . A B 3 高三数学试题 第 页 （共4页） 16.（15分） 如图，斜四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面为菱形，平面A′BD⊥平面ABCD，E,F分别为AA′,CC′ 的中点. （1）证明：平面BEF⊥平面A′BD； （2）若△ABD，△A′BD都是边长为 2 的等边三角形，求直线BC′与平面BEF 所成角的正弦值 . 17.（15分） 已知函数 f ( x ) = sin (2ωx + 2π3 ) + 2 sinωx cosωx (ω > 0 )的最小正周期为π. （1）求 f ( x )在点 (0, f (0 ) )处的切线方程； （2）若a ∈ R,函数g ( x ) = ax2 - x + f ( x )在 é ë ê ù û ú0, π2 上单调递减，求实数a的取值范围 . 18.（17分） 抛掷一枚质地均匀的骰子n次，n ∈ N ,记ai为第i次抛掷得到的点数, i = 1,2,⋯,n. （1）求a1 + a2 = 7的概率； （2）若前m次点数之和为 7的概率为Pm，m = 2,3,⋯,7，且 ∑7 m = 2 Pm = t r - 16 , t, r ∈ N , t与r 互质，设 b = log 1 7 t + log6 r （i）求 b的值； （ii）已知正项数列{ }cn 的前n项和为Sn，c1 = 2b3，Sn + 1 - Sn = ∑ n i= 1 c 2 i，i∈N ，证明：∑ni= 2 1 ci + 1 < 9 4. 19.（17分） 设 A,B两点的坐标分别为 ( -2, 0 ), (2, 0 )，直线 AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积 为- 34，设点P的轨迹为曲线E. （1）求E的方程； （2）若直线 l过点Q (1, 0 )，与E交于C，D两点，C在 x轴上方，直线 AC，BD交于点M，直 线AD，BC交于点N. （i）求 ||MN 的最小值； （ii）设直线 AC与直线 x=2相交于点G，BG中点为H，BT ⊥ QH，BT交 l于点 T，证明：直 线TH与定圆相切 . ∗ ∗ ∗ 4