精品解析：福建省厦门外国语学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2024−2025学年第二学期七年级阶段考试卷 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共8页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意．） 1. 下列哪个图形可以通过平移得到（ ） A B. C. D. 2. 16的算术平方根是（ ） A. B. C. 4 D. 2 3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（ ） A. B. C. D. 4. 二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件中，能判断直线的是（ ） A. B. C D. 6. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（   ） A. B. C. 0 D. 7. 一个正方体的体积为，则它的棱长a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，，则 ( ) A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 5 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 的平方根是______． 12. 如图，已知，平分，，则__________． 13. 已知点在轴上，且点到轴距离为，则点的坐标为______． 14. 如图，线段，，的长度分别是，，，且，则点可表示为．若点表示为，平分，则点可表示为______． 15. 如图，在长为14m，宽为10m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形区域摆放鲜花，则每个小长方形的周长是____________． 16. 已知关于的方程组，以下结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②存在实数，使得； ③不论取什么实数，的值始终不变； 其中正确的序号是______． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17 计算． （1）． （2）． （3）． 18. 解二元一次方程组： （1） （2） 19. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．三角形ABC的三个顶点都在格点上，点A坐标为． （1）请写出、两点的坐标． （2）若三角形内部有一点平移后的对应点坐标为，点、、的对应点分别为、、．请画出平移后的三角形． （3）求出三角形的面积． 20. 完成推理填空 如图，已知，．将证明的过程填写完整． 证明：∵， ∴__________________（ ） ∴________（ ） 又∵， ∴_________（等量代换） ∴（ ） ∴（ ） 21. 对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： （1）根据定义，______． （2）求的平方根． 22. 如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，．若，求的度数． 23. 某体育用品商场销售，两款足球，售价和进价如表：已知该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元． 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） 款 120 款 90 （1）求和的值． （2）为了提高销量，商场实施“买足球送跳绳”的促销活动：买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳．每根跳绳的成本为10元，某日商场售卖这两款足球总计盈利600元，则该日商场销售，两款足球各多少个？（每款都有销售） 24. 已知在平面直角坐标系中，点满足，轴于点B． （1）点A的坐标为______，点B的坐标为______； （2）如图1，若点M在x轴上，连接MA，使，求出点M的坐标； （3）如图2，P是线段AB所在直线上一动点，连接OP，OE平分∠PON，交直线AB于点E，作，当点P在直线AB上运动过程中，请探究∠OPE与∠FOP的数量关系，并证明． 25. 将两块直角三角板如图1放置，，，，，． （1）若三角板如图1摆放时，则________，________． （2）现固定位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于G，作和的角平分线交于点H，求的度数； （3）现固定，将绕点A顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024−2025学年第二学期七年级阶段考试卷 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共8页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意．） 1. 下列哪个图形可以通过平移得到（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移，根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，结合图形，对选项进行一一分析，即可求解． 【详解】解：由平移知，B选项可以通过平移得到，其余选项都不可以通过平移得到， 故选：B． 2. 16的算术平方根是（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：16的算术平方根是， 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点的坐标特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，熟记各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 根据各象限点的坐标的特点解答即可． 【详解】解：A．在第一象限，故此选项不符合题意； B．在第二象限，故此选项不符合题意； C．在第三象限，故此选项不符合题意； D．在第四象限，故此选项符合题意 故选：D． 4. 二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据加减消元法，可得方程组的解． 【详解】， ①+②，得 2x=4， 解得x=2， 把x=2代入①，得2-y=1， y=1， 所以原方程组的解为. 故选A． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．本题还可以根据二元一次方程组的解的定义，将四个选项中每一组未知数的值代入原方程组进行检验． 5. 如图，下列条件中，能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理依次分析并判断． 【详解】解：∵，∴，故A选项不符合题意； ∵，∴，故B选项符合题意； 由，不能证明哪两条直线平行，故C选项不符合题意； 由不能证明哪两条直线平行，故D选项不符合题意； 故选：B． 6. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（   ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】反例中的满足，使，从而对各选项进行判断． 【详解】解：当时，满足，但， 所以判断命题“如果，那么”假命题，举出． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 7. 一个正方体的体积为，则它的棱长a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，正确的估算的大小是解题的关键．根据题意可得，进而估算的值即可求解． 【详解】解：∵一个正方体的体积为，它的棱长a ∴， ， ， ， ， 即， 故选：B． 8. 如图，直线，，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握“三角形的一个外角定于与它不相邻的两个内角之和”，“两直线平行，同旁内角互补”．根据三角形的外角定理可得，，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意可得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9. 《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50”和“甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50”两个等量关系，即可列出方程组. 【详解】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y； 由甲得乙半而钱五十，可得： 由甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50；可得： 故答案为:A 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，解题的关键在于，找到正确的等量关系. 10. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用枚举法，确定循环节，清楚坐标的变化规律，确定计算即可，本题考查了点的坐标的特征，解题关键是准确理解题意，发现变换规律，求出字母的值． 【详解】根据题意，列表如下： 点 横坐标 纵坐标 由此可见，坐标变化规律是以每四次一个循环， ， ∴， ∵的坐标为， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，根据平方根的概念直接计算即可求解． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 12. 如图，已知，平分，，则__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据算出，然后根据算出，再由平分，可得，然后用外角计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查平行线的性质应用，借助平行线性质，角平分线定义和三角形外角计算角度是解题的关键． 13. 已知点在轴上，且点到轴的距离为，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查求点的坐标，根据轴上的点的纵坐标为0，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵点在轴上，且点到轴的距离等于， ∴， ∴或； 故答案为：或． 14. 如图，线段，，的长度分别是，，，且，则点可表示为．若点表示为，平分，则点可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有序数对表示位置，角平分线的定义，根据题意，先求得，然后根据角平分线的定义，可得的度数，根据角的和差，可得，根据已知点的坐标的表示方法，可得答案． 【详解】解：∵，的长度，点可表示为，点表示为， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴点可表示为， 故答案为：． 15. 如图，在长为14m，宽为10m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形区域摆放鲜花，则每个小长方形的周长是____________． 【答案】16m 【解析】 【分析】设小长方形的长为xm，宽为ym，由图可知，长方形展厅的长是（2x+y）m，宽为（x+2y）m，由此列出方程组求得长、宽，进一步解决问题． 【详解】解：设小长方形的长为x m，宽为y m，由图可得： ， 解得x+y=8， 则每个小长方形的周长为8×2=16m． 故答案为：16m． 【点睛】此题考查二元一次方程组的运用，看清图意，正确利用图意列出方程组解决问题． 16. 已知关于的方程组，以下结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②存在实数，使得； ③不论取什么实数，的值始终不变； 其中正确的序号是______． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的定义是解题的关键． 当时，得，可判断结论①；由得，求出，可判断结论②，解方程组得到，继而得到，可判断结论③，即可得到答案． 【详解】解： 当时，得， 方程组的解不是方程的解， 故结论①错误； 得， ， ， ， 存在实数，使得， 故结论②正确； 解方程组得， ， 不论取什么实数，的值始终不变； 故结论③正确； 综上所述，结论正确的序号是②③， 故答案为：②③． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算． （1）． （2）． （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键； （1）根据算术平方根与立方根的定义进行计算即可求解； （2）先化简绝对值，再从左到右进行计算即可求解； （3）先计算立方根，去括号，化简绝对值，再根据实数的运算法则进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 18. 解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键； （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【小问1详解】 解： ②代入①得， 解得： 将代入①得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解： ①②得： 解得：， 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为 19. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．三角形ABC的三个顶点都在格点上，点A坐标为． （1）请写出、两点的坐标． （2）若三角形内部有一点平移后的对应点坐标为，点、、的对应点分别为、、．请画出平移后的三角形． （3）求出三角形的面积． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平移作图，写出点的坐标，三角形的面积公式，数形结合是解题的关键； （1）根据坐标系写出点的坐标即可求解； （2）根据题意得出平移方式，进而得出，，，描点连续，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，即可求解． 小问1详解】 解：根据坐标系可得：， 【小问2详解】 解：∵三角形内部有一点平移后的对应点坐标为， ∴平移方向是向右平移4个单位，向上平移2个单位， ∴，，平移后的对应点，， 如图，三角形即为所求： 【小问3详解】 解：三角形的面积 20. 完成推理填空 如图，已知，．将证明的过程填写完整． 证明：∵， ∴__________________（ ） ∴________（ ） 又∵， ∴_________（等量代换） ∴（ ） ∴（ ） 【答案】AB，DE，内错角相等，两直线平行，∠BCE，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【分析】先根据平行线判定定理证明，再根据平行线性质得到，根据题中条件通过等量转换得到，证得，根据两直线平行同旁内角互补进而证明． 详解】证明：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：AB，DE，内错角相等，两直线平行，∠BCE，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线判定与性质是解题关键． 21. 对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： （1）根据定义，______． （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，算术平方根与平方根，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解； （2）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 故答案为：． 【小问2详解】 解： ∴的平方根为 22. 如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，邻补角．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质，邻补角是解题的关键．由平分，可得，由，可得，进而可得，由，，可得，由，可得，由平分，可得，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的度数为． 23. 某体育用品商场销售，两款足球，售价和进价如表：已知该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元． 类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） 款 120 款 90 （1）求和的值． （2）为了提高销量，商场实施“买足球送跳绳”的促销活动：买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳．每根跳绳的成本为10元，某日商场售卖这两款足球总计盈利600元，则该日商场销售，两款足球各多少个？（每款都有销售） 【答案】（1）的值为80，的值为60 （2）该日商场销售13个款足球、9个款足球或6个款足球、18个款足球 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程． （1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∴m的值为80，n的值为60； 【小问2详解】 解：设该日商场销售a个A款足球，个B款足球， 根据题意得：， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球． 24. 已知在平面直角坐标系中，点满足，轴于点B． （1）点A的坐标为______，点B的坐标为______； （2）如图1，若点M在x轴上，连接MA，使，求出点M的坐标； （3）如图2，P是线段AB所在直线上一动点，连接OP，OE平分∠PON，交直线AB于点E，作，当点P在直线AB上运动过程中，请探究∠OPE与∠FOP数量关系，并证明． 【答案】（1）（3，2），（3，0） （2）（5，0）或（1，0） （3），详见解析 【解析】 【分析】（1）根据非负性的性质得a＝3，b＝2，则点A的坐标为（3，2），根据轴得OB＝3，即可得点B的坐标为（3，0）； （2）设点M的坐标为（m，0），由题意得，，进行就是即可得m＝4或m＝2，即可得； （3）根据角平分线的性质得，根据平行线的性质得，即可得，根据得，则，即． 【小问1详解】 ：∵， ∴a＝3，b＝2， ∴点A的坐标为（3，2）， ∵轴， ∴OB＝3， ∴点B的坐标为（3，0）． 【小问2详解】 解：设点M的坐标为（m，0） ∵ ∴，或1 ∴点M的坐标为（5，0）或（1，0）． 【小问3详解】 理由如下：设 ∵轴，y轴轴 ∴ ∴轴 ∴ ∴ ∵OE平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积的计算，角的和差，角平分线的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 25. 将两块直角三角板如图1放置，，，，，． （1）若三角板如图1摆放时，则________，________． （2）现固定的位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于G，作和的角平分线交于点H，求的度数； （3）现固定，将绕点A顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的度数． 【答案】（1）； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； （3）分当时，当时，当时，三种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∵E、C、A三点共线，， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，如图1， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当时，如图2， 此时， ∴； ③当时，如图3， 由①同理得，， ∴． 综上所述，的度数为或或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$