2025届陕西省高考模拟数学试题

大荔县2025 年高考模拟试题命制比赛作品 2025届陕西省高考模拟数学试题 命题人:李晓璇 单位:大荔县城郊中学 考试时间:120分钟 满分:150分 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1．设集合,则中元素的个数为( ) A． B． C． D． 2．已知,若,且,则( ) A．或 B．或 C．或 D．或 3．已知,为和的等差中项,则的最小值为( ) A． B． C． D． 4．若过点且与圆相切的两条直线的夹角为,则( ) A． B． C． D． 5．已知棱长为的正方体的中心为,若球的球面与该正方体的棱有公共点,则球的表面积的取值范围是( ) A． B． C． D． 6．在数字通信中,信号是由数字和组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号或有可能被错误地接收为或.已知发送信号时,接收为和的概率分别为和:发送信号时,接收为和0的概率分别为和.假设发送信号和是等可能的,已知接收的信号为,则发送的信号是的概率为( ) A． B． C． D． 7．已知分别为椭圆的左、右焦点,过点向圆引切线交椭圆于点(在轴上方),若的面积为,则椭圆的离心率( ) A． B． C． D． 8．若函数在上恰有两个零点,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9．的展开式中的有理项有( ) A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为,是抛物线上异于顶点的两点,则下列结论正确的是( ) A．若,则抛物线的准线方程为 B．若是正三角形,则 C．若点是的垂心,则直线的方程为 D．点可以是的外心 11．若数列满足,则称为“平方递推数列”.已知数列满足:,点在函数的图象上.设,则( ) A．为平方递推数列 B． C． D．使得成立的的最小值为 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12．若甲、乙等人随机排一排照相,则甲、乙相邻但不在两端的不同排法有_________种. 13．已知,则__________. 14．把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图,,分别是椭圆柱的上、下底面椭圆的长轴,,且底面椭圆的离心率为,分别为下底面椭圆的左、右焦点,为母线上的动点,为线段上的动点,为过点的下底面椭圆的一条动弦(不与长轴重合),则三棱锥体积的最大值为__________. 四、解答题（共5小题77分） 15．（13分）某初级中学为了响应国家提倡的素质教育,积极组织学生参加体育锻炼,并定期进行成绩测试.在某次测试中,该校随机抽取了初二年级名男生的立定跳远成绩和米短跑成绩,在立定跳远成绩大于等于的名男生中,米短跑成绩小于等于的有人,在立定跳远成绩小于的男生中,米短跑成绩大于的有人. 单位:人 (1)完成上面列联表,能否有95%的把握认为立定跳远成绩与米短跑成绩有关; (2)“立定跳远成绩小于”且“米短跑成绩小于等于”的人数为,已知这人中有人喜爱运动,若从中任取人进行调研,设表示取出的喜爱运动的人数,求的分布列和数学期望. 下面附临界值表及参考公式: ,其中. 16．（15分）已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若对任意两个不相等的正实数恒成立,求的取值范围. 17．（15分）在中,三个内角所对的边分别为是的三等分点,且. (1)当的面积时,求的长; (2)当时,求边上的高. 18．（17分）如图,四棱锥的底面为正方形,,且. (1)求证:平面平面. (2)若,且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半. (i)求点到平面的距离; (ii)求平面与平面夹角的余弦值. 19．（17分）求导是研究函数性质的一种方法,特别是利用导数的几何意义来研究切线的斜率,这种方法也适用于圆锥曲线,我们可以将圆锥曲线方程视为复合函数,仿照复合函数的求导法则来进行,例如:圆的方程,为了求对的导数,可将看作的复合函数,将上式两边逐项对求导,则有:,于是得.已知直线与双曲线相切于点的右焦点为,直线与直线交于点. (1)证明:直线的方程为; (2)证明:以为直径的圆过点; (3)若,直线与两条渐近线交于两点,求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届陕西省高考模拟数学试题 答案和解析 第1题： 【答案】A 【解析】由, 所以中有四个元素, 故选:A. 第2题： 【答案】B 【解析】由题设,则 故选:B 第3题： 【答案】C 【解析】由题意得,即, , 当且仅当,即时,等号成立, 故的最小值为. 故选:C 第4题： 【答案】B 【解析】由,则圆心,半径, 所以与圆心的距离, 所以,则. 故选:B 第5题： 【答案】C 【解析】由题意知,当球是正方体的棱切球时,球与棱有公共点, 如图: 此时球的半径, 当球是正方体的外接球时,球与棱有公共点, 如图: 此时球的半径, 所以球的半径, 故球的表面积. 故选:C. 第6题： 【答案】B 【解析】设“发送的信号为”,“接收到的信号为”,则“发送的信号为”,“接收到的信号为”.由题意得 ,,, ,, , . 故选:B. 第7题： 【答案】B 【解析】如图, 设圆与轴切于点,与切于点, 设椭圆与轴正半轴交于点,下面证明,重合, 设,, , 而, 与重合,即点是短轴的端点, ,,则,所以, 故选:B. 第8题： 【答案】B 【解析】, 令得:, 因为,所以又恰有两个零点，所以,即, 故得,即的取值范围是. 故选:B. 第9题： 【答案】A,B,D 【解析】的展开式通项为, 由可得, 所以,展开式中的有理项有:,, , 故选:ABD. 第10题： 【答案】A,B,C 【解析】对于,将点代入中得,,可知抛物线的准线方程为,故A不正确; 对于B,若是正三角形,设点在第一象限,直线的方程为,代入中得,,,故B正确; 对于C,由题意可知轴,设,则,又, ∵,∴,解得直线的方程为,故C正确; 对于D,当点是的外心时,以为圆心,以为半径的圆交于三点, 联立与,解得或,显然不成立,故D不正确, 故选:ABC. 第11题： 【答案】A,C 【解析】对于A,由题意得,所以,所以为平方递推数列,故A正确; 对于B,得,其中, 所以是以为首项为公比的等比数列,所以,所以,即,故B错误; 对于C,因为 所以,故C正确; 对于D,因为, 所以, 由得,故D错误, 故选:AC. 第12题： 【答案】144 【解析】甲,乙相邻但不在两端有=144种排法, 故答案为:144 第13题： 【答案】 【解析】, , 设,则, 由于在上单调递增,故, 故; 故答案为: 第14题： 【答案】 【解析】连接,,由, 要使三棱锥体积最大, 只需的面积和到平面距离之和都最大, ,令,且,则, , 当时,有最大值, 在下底面内以为原点,构建如图所示的直角坐标系, 由题设,长轴长, 因为底面椭圆的离心率为,所以焦距为,所以短轴长, 则椭圆方程为,,且,设, 联立椭圆得,, ,, 令,, 由对勾函数性质可知在上递增,, 综上,三棱锥体积的最大值为. 故答案为:. 第15题： 【答案】见解析 【解析】(1)列联表如图. 单位:人 计算得, 即能有95%的把握认为立定跳远成绩与米短跑成绩有关 .(2)由(1)可知的可能取值为, 则, , , 其分布列为: 所以数学期望为. 第16题： 【答案】见解析 【解析】(1) 的定义域为, 因为,且, 当时,时,时, 所以,在上单调递减,在上单调递增; 当时,时,时,时, 所以,在、上分别单调递增,在上单调递减; 当时,时恒成立,故在上单调递增; 当时,时,时,时, 所以,在、上 单调递增,在上单调递减. (2) 设,由得 即. 设,则在上单调递增, ∴在上恒成立, 则在上恒成立, 设,, 函数的对称轴为,则时,取得最大值,最大值. 所以,则 则实数的取值范围为. 第17题： 【答案】见解析 【解析】(1), 由余弦定理得, 由,得, 解得或, 由题知, 当时,由余弦定理得, 则,即; 同理当时,, 综上所述,或. (2), , 即, 联立,可得,即, 解得, 边上的高为. 第18题： 【答案】见解析 【解析】(1) 在中,,得, 则,即, 因为四边形为正方形,则, 又因,平面,平面,则平面, 又因平面,则平面平面. (2) (i)以点为坐标原点,分别为轴,过点且垂直于平面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则, 设,则, 则, 得,即, 因, ,且, 则, 因,则,即, 设平面的法向量, 则,即,取,则, 则点到平面的距离为. (ii), 设平面的法向量, 则,即,取,则, 所以 , 则平面与平面夹角的余弦值为. 第19题： 【答案】见解析 【解析】(1)因点在双曲线上,可得即. 对双曲线的方程两边求导得,解得 则在点处的切线斜率为,其切线方程为, 整理得,即直线的方程为. (2)如图,因直线与直线交于点. 故,, 则,, , , 以为直径的圆过点. (3)由(1)知直线的方程为,即, 直线, . 如图,设, 直线和渐近线联立消元得 , , 又原点到直线的距离, 的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$