5.2 第3课时 角的对称性及角平分线的性质 课时同步训练 2024～2025学年度北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 第3课时 角的对称性及角平分线的性质 【知识点1】【教材重现】角是轴对称图形，角平分线所在的直线是其对称轴（教材P131） 【知识点2】【教材重现】角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（教材P131） 【数学素养】如图，射线是的角平分线，点P为射线上任意一点，过点P向两边分别作垂线，垂足为点. 求证：. 证：∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴（AAS） ∴，得证. 【例1】角平分线的性质定理 【典例】下面是定理：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明过程，需要补充符号处要填写的内容，则下列答案错误的是（   ） 已知：如图，是的平分线，点在上，，垂足分别为、． 求证：． 证明：∵是的平分线， ∴（①） ∵， ∴， ∵ ∴（③）， ∴（④） A．①处应填写“角平分线的定义” B．②处应填写“” C．③处应填写“ASA” D．④处应填写“全等三角形对应边相等” 【变式1】如图是小明作的边上的高的作图痕迹，则他用到的作图依据可能是（   ） A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【变式2】如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为 【知识点3】【教材重现】角平分线的作法（教材P132） 1. 如图，已知，在和上分别截取，使得（即以点O为圆心，以任意半径画弧，交的两边分别为点）； 2. 分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点C； 3. 作射线； 射线就是的平分线 【例2】尺规作图：作已知角的角平分线 【典例】如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．若，，则的面积是（   ） A．24 B．12 C．10 D．85 【变式1】如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则点到的距离等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到，两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置． 【变式3】小红学习完平行线的证明之后，对三角形的内角和定理及外角进行了如下探究： 【问题解决】（）如图①，平分，点是上任意一点，过点作交于点，请写出一个与相等的角； 【操作思考】（）如图②，为锐角，射线在内部，，点是边上任意一点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接．根据题意补全图形； 【联系拓广】（）在（）的条件下，猜想直线与的位置关系，并证明你的结论． 【例3】角平分线与平行线、三角形相关的综合问题 【典例】如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．若，则 ． 【变式1】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=3∠BOC,  将含30°角的直角三角板的直角顶点放在点O处． （1）将直角三角板按图①的位置放置，使ON在射线OA上，OM在直线AB的下方，则∠AOC＝________度，∠MOC＝________度． （2）将直角三角板按图②的位置放置，使OM在射线OA上，ON在直线AB的上方，试判断∠CON与∠BOC的大小关系，并说明理由． 【变式2】我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理  角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图①，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和．只要证明这两个三角形全等，使可证得．请根据教材中的分析．结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程． 定理应用： 如图②，在中，，的角平分线交于点D． （1）若，，则的面积为________． （2）若过点D作，垂足为F，点E在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式3】在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 第3课时 角的对称性及角平分线的性质 【知识点1】【教材重现】角是轴对称图形，角平分线所在的直线是其对称轴（教材P131） 【知识点2】【教材重现】角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（教材P131） 【数学素养】如图，射线是的角平分线，点P为射线上任意一点，过点P向两边分别作垂线，垂足为点. 求证：. 证：∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴（AAS） ∴，得证. 【例1】角平分线的性质定理 【典例】下面是定理：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明过程，需要补充符号处要填写的内容，则下列答案错误的是（   ） 已知：如图，是的平分线，点在上，，垂足分别为、． 求证：． 证明：∵是的平分线， ∴（①） ∵， ∴， ∵ ∴（③）， ∴（④） A．①处应填写“角平分线的定义” B．②处应填写“” C．③处应填写“ASA” D．④处应填写“全等三角形对应边相等” 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质；掌握（AAS）的判定条件是解题关键． 根据全等三角形的判定：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；即可解答； 【详解】证明：∵是的平分线， ∴（角平分线的定义） ∵， ∴， ∵ ∴， ∴（全等三角形对应边相等） 原证明过程中③处填写错误， 故选：C． 【变式1】如图是小明作的边上的高的作图痕迹，则他用到的作图依据可能是（   ） A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； 根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上作答即可； 【详解】解：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 故选：D 【变式2】如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、三角形中线和高的定义，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义以及平行线的性质得到，那么，即可判断①；证明，即可判断②；证明即可判断③；证明，则，同理可知，再根据线段和差即可判断④． 【详解】解：∵平分，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即是的高，故①正确； ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，即是的中线，故②正确； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 但不能证明，故③错误； 过点D作于点G，如图所示： ∵平分，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∵， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④， 故选：B． 【变式3】如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为 【答案】4 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键；延长交于，延长交于，先证明，，，结合即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于， ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵，， ∴，， 在与中， ∵， ∴ ∴， ， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 【知识点3】【教材重现】角平分线的作法（教材P132） 1. 如图，已知，在和上分别截取，使得（即以点O为圆心，以任意半径画弧，交的两边分别为点）； 2. 分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点C； 3. 作射线； 射线就是的平分线 【例2】尺规作图：作已知角的角平分线 【典例】如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．若，，则的面积是（   ） A．24 B．12 C．10 D．85 【答案】B 【分析】本题考查基本作图——作角平分线、角平分线的性质．过点G作于点H，由作图可得，为的平分线，由角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：如图，过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ， ， 的面积为：， 故选：B． 【变式1】如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则点到的距离等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的性质，如图，过点作于点，由作图过程可知平分，根据角平分线的性质得，再根据确定的长，即可得出结论．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作于点， 由作图过程可知：平分， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴点到的距离等于． 故选：C． 【变式2】某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到，两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置． 【答案】点的位置见详解 【分析】本题主要考查线段垂直平分线，角平分线的性质定理，掌握以上知识，正确作图是解题的关键． 连接作线段的垂直平分线，再作的角平分线，两线交于点，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接作线段的垂直平分线，再作的角平分线，两线交于点， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴点到，两个休息亭的距离相等， ∵点在角平分线上， ∴点到景观道，的距离相等， ∴点即为所求点的位置． 【变式3】小红学习完平行线的证明之后，对三角形的内角和定理及外角进行了如下探究： 【问题解决】（）如图①，平分，点是上任意一点，过点作交于点，请写出一个与相等的角； 【操作思考】（）如图②，为锐角，射线在内部，，点是边上任意一点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接．根据题意补全图形； 【联系拓广】（）在（）的条件下，猜想直线与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（）或；（）补图见解析；（）当在线段上时，；当在射线上时，，证明见解析 【分析】（）根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解； （）根据题意补全图形即可； （）分在线段上和在射线上两种情况，分别画出图形解答即可． 【详解】解：（）∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或； （）如图所示，点即为所求； （）当在线段上时，；当在射线上时，，理由如下： 第一种情况： 如图③，延长交于点， 设，则， ， ， 在中，， ， ， 在中， ， ， ； 第二种情况： 如图④，由题知， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【例3】角平分线与平行线、三角形相关的综合问题 【典例】如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．若，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和角平分线的尺规作图， 根据平行线的性质可知，再利用角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵根据作法可知：是的平分线， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=3∠BOC,  将含30°角的直角三角板的直角顶点放在点O处． （1）将直角三角板按图①的位置放置，使ON在射线OA上，OM在直线AB的下方，则∠AOC＝________度，∠MOC＝________度． （2）将直角三角板按图②的位置放置，使OM在射线OA上，ON在直线AB的上方，试判断∠CON与∠BOC的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）135，135；（2），理由见解析． 【分析】（1）根据且这两角互补，求出它们的度数，即可求出结果； （2）根据（1）已知和的度数，由可以求出的度数，即可证明． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案是：135，135； （2）， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角度的求解，解题的关键是掌握角度之间的运算方法． 【变式2】我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理  角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图①，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和．只要证明这两个三角形全等，使可证得．请根据教材中的分析．结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程． 定理应用： 如图②，在中，，的角平分线交于点D． （1）若，，则的面积为________． （2）若过点D作，垂足为F，点E在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】教材呈现：见解析；定理应用：（1）10（2），理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线性质，灵活运用角平分线性质定理是解答本题的关键． 教材呈现：证明即可； 定理应用： （1）证明，运用三角形面积公式可得结论； （2）证明得，证明得，即可得出绪论． 【详解】教材呈现：证明：∵是的平分线， ∴ ∵，， ∴ 又 ∴, ∴； 应用： （1）由前面证明可得， 又, ∴； （2），理由如下： ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【变式3】在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)1或2或3或6 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：当点在内部时，如图 ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图 设点到三边的距离为， 由题意得：，， ， ， 点到直线的距离是； 综上，点到直线的距离是2或6． 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是1或2或3或6． 故答案为：1或2或3或6． 学科网（北京）股份有限公司 $$