5.2 第2课时 线段的对称性及垂直平分线 课时同步训练 2024～2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 第2课时 线段的对称性及垂直平分线 【知识点1】【教材重现】线段垂直平分线的定义及对称性（教材P128-129） 1. 线段是轴对称图形，垂直且平分线段的直线是它的一条对称轴 2. 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称“中垂线”） 【知识点2】【教材重现】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等（教材P129）. 【★数学技巧】到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【例1】线段的对称轴 【典例】下列说法中，不正确的是（　　） A．线段是轴对称图形 B．线段的对称轴一定经过这条线段的中点 C．线段有无数条对称轴 D．线段的垂直平分线是它的一条对称轴 【答案】C 【分析】本题考查了线段的轴对称性质，根据线段的轴对称性质求解即可． 【详解】解：A、线段是轴对称图形，正确，不符合题意； B、线段的对称轴一定经过这条线段的中点，正确，不符合题意； C、线段只有一条对称轴即它的垂直平分线，原说法错误，符合题意． D、线段的垂直平分线是它的一条对称轴，正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】如图，直线l是线段的垂直平分线，交于点O，P为直线l上一点，则下列说法：①点O是线段的中点；②直线l是线段的对称轴；③线段是的垂线，其中正确的有 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质进行判断即可． 【详解】解：直线是的垂直平分线， 点为的中点，故①正确， 直线是的垂直平分线， 直线l是线段的对称轴，故②正确， 直线是的垂直平分线， 直线是的垂线，故③不正确 故答案为：①②． 【变式2】（1）以直线l为对称轴，画出图形的另一半； （2）如图，是线段的垂直平分线，交于点C，连接，．若，求的度数． 【答案】（1）图见解析；（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，画轴对称图形，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）各模块轴对称的性质画出图形的另一半即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】解：（1）如图所示． （2）因为是的垂直平分线， 所以， 所以． 【变式3】如图，，，三点均为方格中的格点（方格的边长是），按要求画图并填空． (1)过点画出线段的垂线交于点； (2)画出线段的垂直平分线交于点； (3)点到直线的距离是线段_____的长度 (4)点到直线的距离是线段_____的长度，点到直线的距离是_____ ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) (4)，4 【知识点】点到直线的距离、画垂线、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了点到直线的距离，线段垂直平分线的性质，画垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征，过点作线段的垂线，即可作答． （2）结合网格特征，过线段的中点，作线段的垂线，即可作答． （3）结合网格特征，因为，且点在线段上，据此即可作答． （4）结合网格特征以及垂线段的长度即为该点到线段的距离，据此即可作答． 【详解】（1）解：线段的垂线，如图所示： （2）解：线段的垂直平分线，如图所示； （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：点到直线的距离是线段的长度，点到直线的距离是, 故答案为：，4． 【知识点3】【教材重现】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等（教材P129）. 【例2】线段的垂直平分线的性质 【典例】如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，，进而可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F， ∴，， ∴的周长为：， 故选：C． 【变式1】如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点，连接、，若，，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，由直线是线段的垂直平分线，则，又周长为，则当点三点共线时，周长最小，为，然后代入即可求解． 【详解】解：连接， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴周长为， 则当点三点共线时，周长最小， ∴周长的最小值为， 故选：． 【变式2】如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 如图所示，过点C作于H，连接，先证明是的垂直平分线得到，进而推出当、在上时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于H，连接， ∵，是边上的高， ∴，即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当、在上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选D． 【变式3】如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵为的平分线，， ∴直线为底边上的中线和高线所在的直线， 即垂直平分， ∴， ， 将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 【例3】线段的垂直平分线的判定 【典例】下列说法中，正确的有（   ） ①P是线段上的一点，直线l经过点P且，则l是线段的垂直平分线； ②直线l经过线段的中点，则l是线段的垂直平分线； ③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线； ④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的定义和判定定理，根据线段的垂直平分线的定义和判定定理：到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可判断． 【详解】解：①不是的中点，则不平分线段，故错误； ②直线经过线段的中点，且垂直于则是线段的垂直平分线，故错误； ③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线，故正确； ④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线，故正确． 故选：B． 【变式1】如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据，是边上的中线得，所以得到垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：，是边上的中线， ， 垂直平分， 点在上， ， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题． 根据，可知直线是线段的垂直平分线，由与交于点，从而可以得到的长，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵与交于点， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出； （2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 【知识点4】线段垂直平分线或垂线的作法： 1. 如图，已知线段，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相较于点C和D. 2. 作直线. 直线（即直线l）就是线段的垂直平分线，若点E为直线l上任意一点，则且. 【★数学技巧】三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形的三个顶点的距离相等，这个点是三角形的外心（点O）。 例如，如下图所示，点O是的三条边的垂直平分线的交点，则. 【例4】尺规作图：作线段的垂直平分线或垂线 【典例】已知线段，利用直尺和圆规作的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，熟知相关作图方法是解题的关键．根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可判断． 【详解】解：在图①中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故①符合题意； 在图②中，由作图可知，，平分， 由等腰三角形“三线合一”可知，是的垂直平分线，故②符合题意； 在图③中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故③符合题意； 在图④中，由作图可知，，， ∴不是的垂直平分线，故④不符合题意； 综上，4个作图中正确的有①②③，共3个， 故选：C． 【变式1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线对称的；（要求：与，与，与相对应）； (2)用无刻度直尺画出线段的垂直平分线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】此题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据轴对称的性质，找出点、、关于直线l的对称点、、，顺次连接即可； （2）寻找线段的垂直平分线上相应的格点、，连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，直线即为所求作的垂直平分线． 【变式2】如图，已知中． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交边，于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）； (2)连接，若，的周长是18，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由题意得，由线段垂直平分线的性质可得，则可得的周长为． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：连接， ∵的周长是18， ∴， ∴， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 【变式3】数学课上，老师布置如下任务：如图，在中，平分交于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵ ， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ， ∴ （ ） ∴在和中， ∴． ∴ ∴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）证明得出，进而即可得到结论 【详解】（1）解：作图如图所示： （2）证明：∵平分， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴（平角的定义） ∴在和中， ∴． ∴ ∴． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 第2课时 线段的对称性及垂直平分线 【知识点1】【教材重现】线段垂直平分线的定义及对称性（教材P128-129） 1. 线段是轴对称图形，垂直且平分线段的直线是它的一条对称轴 2. 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称“中垂线”） 【知识点2】【教材重现】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等（教材P129）. 【★数学技巧】到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【例1】线段的对称轴 【典例】下列说法中，不正确的是（　　） A．线段是轴对称图形 B．线段的对称轴一定经过这条线段的中点 C．线段有无数条对称轴 D．线段的垂直平分线是它的一条对称轴 【答案】C 【分析】本题考查了线段的轴对称性质，根据线段的轴对称性质求解即可． 【详解】解：A、线段是轴对称图形，正确，不符合题意； B、线段的对称轴一定经过这条线段的中点，正确，不符合题意； C、线段只有一条对称轴即它的垂直平分线，原说法错误，符合题意． D、线段的垂直平分线是它的一条对称轴，正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】如图，直线l是线段的垂直平分线，交于点O，P为直线l上一点，则下列说法：①点O是线段的中点；②直线l是线段的对称轴；③线段是的垂线，其中正确的有 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质进行判断即可． 【详解】解：直线是的垂直平分线， 点为的中点，故①正确， 直线是的垂直平分线， 直线l是线段的对称轴，故②正确， 直线是的垂直平分线， 直线是的垂线，故③不正确 故答案为：①②． 【变式2】（1）以直线l为对称轴，画出图形的另一半； （2）如图，是线段的垂直平分线，交于点C，连接，．若，求的度数． 【答案】（1）图见解析；（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，画轴对称图形，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）各模块轴对称的性质画出图形的另一半即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】解：（1）如图所示． （2）因为是的垂直平分线， 所以， 所以． 【变式3】如图，，，三点均为方格中的格点（方格的边长是），按要求画图并填空． (1)过点画出线段的垂线交于点； (2)画出线段的垂直平分线交于点； (3)点到直线的距离是线段_____的长度 (4)点到直线的距离是线段_____的长度，点到直线的距离是_____ ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) (4)，4 【知识点】点到直线的距离、画垂线、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了点到直线的距离，线段垂直平分线的性质，画垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征，过点作线段的垂线，即可作答． （2）结合网格特征，过线段的中点，作线段的垂线，即可作答． （3）结合网格特征，因为，且点在线段上，据此即可作答． （4）结合网格特征以及垂线段的长度即为该点到线段的距离，据此即可作答． 【详解】（1）解：线段的垂线，如图所示： （2）解：线段的垂直平分线，如图所示； （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：点到直线的距离是线段的长度，点到直线的距离是, 故答案为：，4． 【知识点3】【教材重现】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等（教材P129）. 【例2】线段的垂直平分线的性质 【典例】如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，，进而可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F， ∴，， ∴的周长为：， 故选：C． 【变式1】如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点，连接、，若，，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，由直线是线段的垂直平分线，则，又周长为，则当点三点共线时，周长最小，为，然后代入即可求解． 【详解】解：连接， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴周长为， 则当点三点共线时，周长最小， ∴周长的最小值为， 故选：． 【变式2】如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 如图所示，过点C作于H，连接，先证明是的垂直平分线得到，进而推出当、在上时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于H，连接， ∵，是边上的高， ∴，即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当、在上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选D． 【变式3】如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵为的平分线，， ∴直线为底边上的中线和高线所在的直线， 即垂直平分， ∴， ， 将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 【例3】线段的垂直平分线的判定 【典例】下列说法中，正确的有（   ） ①P是线段上的一点，直线l经过点P且，则l是线段的垂直平分线； ②直线l经过线段的中点，则l是线段的垂直平分线； ③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线； ④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的定义和判定定理，根据线段的垂直平分线的定义和判定定理：到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可判断． 【详解】解：①不是的中点，则不平分线段，故错误； ②直线经过线段的中点，且垂直于则是线段的垂直平分线，故错误； ③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线，故正确； ④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线，故正确． 故选：B． 【变式1】如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据，是边上的中线得，所以得到垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：，是边上的中线， ， 垂直平分， 点在上， ， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题． 根据，可知直线是线段的垂直平分线，由与交于点，从而可以得到的长，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵与交于点， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出； （2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 【知识点4】线段垂直平分线或垂线的作法： 1. 如图，已知线段，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相较于点C和D. 2. 作直线. 直线（即直线l）就是线段的垂直平分线，若点E为直线l上任意一点，则且. 【★数学技巧】三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形的三个顶点的距离相等，这个点是三角形的外心（点O）。 例如，如下图所示，点O是的三条边的垂直平分线的交点，则. 【例4】尺规作图：作线段的垂直平分线或垂线 【典例】已知线段，利用直尺和圆规作的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，熟知相关作图方法是解题的关键．根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可判断． 【详解】解：在图①中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故①符合题意； 在图②中，由作图可知，，平分， 由等腰三角形“三线合一”可知，是的垂直平分线，故②符合题意； 在图③中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故③符合题意； 在图④中，由作图可知，，， ∴不是的垂直平分线，故④不符合题意； 综上，4个作图中正确的有①②③，共3个， 故选：C． 【变式1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线对称的；（要求：与，与，与相对应）； (2)用无刻度直尺画出线段的垂直平分线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】此题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据轴对称的性质，找出点、、关于直线l的对称点、、，顺次连接即可； （2）寻找线段的垂直平分线上相应的格点、，连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，直线即为所求作的垂直平分线． 【变式2】如图，已知中． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交边，于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）； (2)连接，若，的周长是18，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由题意得，由线段垂直平分线的性质可得，则可得的周长为． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：连接， ∵的周长是18， ∴， ∴， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 【变式3】数学课上，老师布置如下任务：如图，在中，平分交于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵ ， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ， ∴ （ ） ∴在和中， ∴． ∴ ∴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）证明得出，进而即可得到结论 【详解】（1）解：作图如图所示： （2）证明：∵平分， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴（平角的定义） ∴在和中， ∴． ∴ ∴． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$