5.2 第1课时 等腰三角形的对称性及性质 课时同步训练 2024～2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 第1课时 等腰三角形的对称性及性质 【知识点1】【教材重现】等腰三角形的性质（教材P127） 性质 内容 图示 性质1 等腰三角形是轴对称图形 性质2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴 性质3 等腰三角形的两个底角相等（也称“等边对等角”） 【★易错点】等腰三角形是轴对称图形，在叙述对称轴时，不要说成“顶角平分线是对称轴”。在三角形中，顶角平分线是线段而对称轴是直线，应说成“顶角平分线所在的直线是对称轴”。 【★易错点】“三线合一”中三线指的是顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，而腰上的高、中线及其对角的平分线不一定重合。 【★知识扩展】两个底角相等的三角形是等腰三角形（也称“等角对等边”）。 【例1】等腰三角形的对称轴 【典例】等腰三角形的对称轴是 ． 【答案】底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线． 【分析】本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线． 【详解】解：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线． 故答案为：底边上的高（顶角平分线或底边的中线）． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及轴对称图形的知识；对两个性质的熟练掌握是正确解答本题的关键． 【变式1】下列命题中，不正确的是（    ）. A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形 B．一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 C．等腰三角形的对称轴是底边上的中线 D．等边三角形有3条对称轴 【答案】C 【分析】根据等边三角形的判定定理、轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、一个三角形的外角是120°，则内角为60°， ∴这个等腰三角形是等边三角形，本选项说法正确，不符合题意； B、一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，本选项说法正确，不符合题意； C、等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，本选项说法错误，符合题意； D、等边三角形有3条对称轴，本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断以及等边三角形的判定，轴对称图形的概念等知识，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【变式2】有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 ． 【答案】 【分析】卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，再根据概率公式=满足条件的样本个数总体的样本个数，可求出最终结果． 【详解】解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形， 根据概率公式，（轴对称图形）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率问题，属于基础题，掌握轴对称图形的性质以及概率公式是解题关键． 【变式3】在下列说法中，正确的是（   ） A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称； B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形； C．等腰三角形的对称轴是它的高； D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质进行判定后即可得到正确的答案． 【详解】 解：A、全等的三角形不一定对称，故错误，不合题意； B、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，故正确，符合题意； C、等腰三角形是以底边的高线所在的直线为对称轴的轴对称图形，故错误，不合题意； D、若两个图形关于某条直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键． 【例2】等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”） 【典例】已知等腰三角形的一个底角为，则其顶角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和．根据等腰三角形“等边对等角”结合三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴顶角为：， 故选：C． 【变式1】已知一个等腰三角形的顶角为，则一个底角的度数用含的式子表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．设等腰三角形的底角为y，根据等腰三角形两底角相等，可列出方程，即可求得答案． 【详解】解：设等腰三角形的底角为y， 则， ． 故选：D． 【变式2】等腰三角形底边上的高为腰的一半，则它的顶角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用． 根据直角三角形的性质可求得等腰三角形的底角的度数，根据三角形内角和定理即可求得其顶角的度数． 【详解】解：∵在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】在中，，，点为的中点． (1)若，两边分别交于两点． ①如图1，当点分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______． (2)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长． 【答案】(1)①见解析；②18 (2)2 【分析】（1）①连接，证明即可；②连接，，得出，利用三角形面积公式进行计算即可； （2）连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：①如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，，点为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 【例3】等腰三角形的“三线合一” 【典例】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．勾股定理的逆定理 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：， 是等腰三角形， 是的中点， ， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一” 故选：D． 【变式1】下列说法不正确的是（    ） A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等； B．有两个角对应相等的两个直角三角形全等； C．等腰三角形的底边上的高线、底边上的中线互相重合； D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定可对A、B选项进行判断；根据等腰三角形的性质对C选项进行判断；利用点到直线的距离的定义对D选项进行判断． 【详解】解：A、可以利用判定两个直角三角形全等，此选项说法正确，不符合题意； B、只有角相等，没有边相等无法判定三角形全等，此选项说法错误，符合题意； C、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，即三线合一，此选项说法正确，不符合题意； D、D选项是点到直线距离的定义，此选项说法正确，不符合题意． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义与性质是解题关键． 【变式2】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连接，交于点，下列说法错误的是（   ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明得，可判断A选项正确；由等腰三角形的性质得垂直平分，可判断B选项正确；由，，推导出，可判断C选项正确；举“反例”，，则，所以，说明与不一定相等，可判断D选项错误． 【详解】解：在和中， ， ， ， 平分，故A选项正确； ，平分， 垂直平分，故B选项正确； ，， ，故C选项正确； 假设，，则， ， 与不一定相等，故D选项错误； 故选：D． 【变式3】如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关判定定理和性质成为解题的关键． 如图：过A作于E，过D作于E，即，先证明可得，再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得，最后根据的面积为16列方程求解即可． 【详解】解：如图：过A作于E，过D作于E，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵的面积为16， ∴，即， 解得：（已舍弃负值）． 故答案为：8． 【知识点2】【教材重现】等边三角形及其性质（教材P128） 1. 概念：等边三角形是三条边都相等的特殊的等腰三角形 2. 性质：（1）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴； （2）等边三角形的三个内角相等，并且每个内角都等于。 【例4】等边三角形的性质 【典例】下列各组所述几何图形中，一定全等的是（   ） A．一个角是的两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．腰长相等的两个等腰直角三角形 D．各有一个角是，腰长都是的两个等腰三角形 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，做题时要确定各角、边的对应关系．利用三角形全等的判定方法对选项这个进行判断．（如、、、等） 【详解】解：A、原说法不正确，因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等； B、原说法不正确，因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，所以该项不正确； C、原说法正确，因为符合； D、原说法不正确，因为没有说明该角是顶角还是底角． 故选：C． 【变式1】在等边中，将线段绕点A逆时针旋转（）得到线段，线段与线段交于点E，射线与射线交于点F． (1)①依题意补全图形； ②分别求和的大小（用含α的式子表示）； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①图见解析②， (2)，证明见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键： （1）①根据旋转的性质，补全图形即可；②根据旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）延长至点，使，连接，则：，证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换，即可得出结论． 【详解】（1）①补全图形，如图所示： ②∵等边， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴，， ∴； （2），证明如下： 延长至点，使，连接，则：， 由（1）知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】在等边中，线段为边上的中线，动点在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． (1)当动点在线段上时（如图），求证：； (2)当动点在线段的延长线上时（如图），设直线与直线的交点为．求证：； (3)在第（）问的条件下，试判断是否为定值？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)是定值，，理由见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】（）由和都是等边三角形，得，然后利用角度和差即可求证； （）由和都是等边三角形，得，，，则，证明即可求证； （）由是等边三角形，且是边上的中线，得，又，则，然后利用角度和差即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定及性质的运用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：是定值，理由如下： ∵是等边三角形，且是边上的中线， ∴， 由（）可知：， ∴， ∵， ∴． 【变式3】综合与实践： 【问题情境】已知在等边中，是边上的一个定点．是上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接． 【猜想证明】 （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，试猜想，，之间的数量关系．并说明理由． 问题解决： （2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．求的长． （3）如图3，当点在的延长线上时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键： （1）证明是等边三角形，得到，证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （2）过点作，交于，同（1）法证明，即可得出结果； （3）过点作，交于，同（1）法，即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下， 和是等边三角形， ，，， ， ，， ∴， 是等边三角形， ． ． ， ， ， ； （2）如图2，过点作，交于， 和是等边三角形． ，，． ， ，． 是等边三角形， ． ， ， ， ． ， ． ． （3）． 如图，过点作，交于， 和是等边三角形． ，，． ． ，． 是等边三角形． ． ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 第1课时 等腰三角形的对称性及性质 【知识点1】【教材重现】等腰三角形的性质（教材P127） 性质 内容 图示 性质1 等腰三角形是轴对称图形 性质2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴 性质3 等腰三角形的两个底角相等（也称“等边对等角”） 【★易错点】等腰三角形是轴对称图形，在叙述对称轴时，不要说成“顶角平分线是对称轴”。在三角形中，顶角平分线是线段而对称轴是直线，应说成“顶角平分线所在的直线是对称轴”。 【★易错点】“三线合一”中三线指的是顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，而腰上的高、中线及其对角的平分线不一定重合。 【★知识扩展】两个底角相等的三角形是等腰三角形（也称“等角对等边”）。 【例1】等腰三角形的对称轴 【典例】等腰三角形的对称轴是 ． 【变式1】下列命题中，不正确的是（    ）. A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形 B．一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 C．等腰三角形的对称轴是底边上的中线 D．等边三角形有3条对称轴 【变式2】有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 ． 【变式3】在下列说法中，正确的是（   ） A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称； B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形； C．等腰三角形的对称轴是它的高； D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 【例2】等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”） 【典例】已知等腰三角形的一个底角为，则其顶角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知一个等腰三角形的顶角为，则一个底角的度数用含的式子表示是（   ） A． B． C． D． 【变式2】等腰三角形底边上的高为腰的一半，则它的顶角为（   ） A． B． C． D． 【变式3】在中，，，点为的中点． (1)若，两边分别交于两点． ①如图1，当点分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______． (2)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长． 【例3】等腰三角形的“三线合一” 【典例】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．勾股定理的逆定理 D．等腰三角形的“三线合一” 【变式1】下列说法不正确的是（    ） A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等； B．有两个角对应相等的两个直角三角形全等； C．等腰三角形的底边上的高线、底边上的中线互相重合； D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度． 【变式2】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连接，交于点，下列说法错误的是（   ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 【变式3】如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为 ． 【知识点2】【教材重现】等边三角形及其性质（教材P128） 1. 概念：等边三角形是三条边都相等的特殊的等腰三角形 2. 性质：（1）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴； （2）等边三角形的三个内角相等，并且每个内角都等于。 【例4】等边三角形的性质 【典例】下列各组所述几何图形中，一定全等的是（   ） A．一个角是的两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．腰长相等的两个等腰直角三角形 D．各有一个角是，腰长都是的两个等腰三角形 【变式1】在等边中，将线段绕点A逆时针旋转（）得到线段，线段与线段交于点E，射线与射线交于点F． (1)①依题意补全图形； ②分别求和的大小（用含α的式子表示）； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【变式2】在等边中，线段为边上的中线，动点在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． (1)当动点在线段上时（如图），求证：； (2)当动点在线段的延长线上时（如图），设直线与直线的交点为．求证：； (3)在第（）问的条件下，试判断是否为定值？请说明理由． 【变式3】综合与实践： 【问题情境】已知在等边中，是边上的一个定点．是上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接． 【猜想证明】 （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，试猜想，，之间的数量关系．并说明理由． 问题解决： （2）如图2，当点在的延长线上时，已知，．求的长． （3）如图3，当点在的延长线上时，请直接写出，，之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$