山西省晋城市2025届高三第三次模拟考试数学试题

试卷类型：A卷 2025年高三第三次模拟考试试题 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知集合A={x∈N|x2>10},则集合CNA的元素个数为 A.3 B.4 C.6 D.7 2.(x一7y)”的展开式中含xy的项的系数为 A49 B.-7 C.1 D.-49 3.直线lW3x一√2y十5=0截圆O:x2十y2=9所得的弦长为 A.2 B.4 C.25 D.5 4.若函数f(x)=一3一x十a在(0,1)上有零点，则a的取值范围为 A(1,4) B.(-4,0) C.(0,4) D.(-∞，4) 5,在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,若A-,D为BC边上的点，且∠CAD =受，AB=8,AC=4,则AD= A.4 B.45 C./3 D.23 6,已知某圆维的外接球的体积为沙，若球心到该四锥底面的距离为4，则该圆维体积的最大 值为 A.9x B.27x C.18π D.48π 7.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的a,b∈R,f(a+f(b)一b=f(f(a),f(0)=1, 则f(1)= A-2 B.0 C.2 D.1 【高三数学第1页（共4页）】 8.正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被 用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等.已 知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，C是这6个正 六边形内部（包括边界）的动点，则AC·AB的最大值为 A12 B.16 C.18 D.20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数x满足|z|=√6，则下列结论正确的是 A之可能为1一√6i B.x2=6 C.z的实部与虚部之积不大于3 D.x在复平面内对应的点可能是(2W2) 10.已知△ABC的顶点均在抛物线2：x2=2py(p>0)上，且△ABC的重心为抛物线0的焦点F 若1FA1+1FB1+1FC1=2,则 A.p=12 B.△ABC的周长小于72 C.△ABC的三个顶点到x轴的距离之和为36 D.n上一动点P到直线5x一12y一13=0的距离的最小值为2站 11.已知函数f(x)=mx3一2x十2a有两个极值点a,b(a<b),则下列结论正确的是 A.ab<o B.a+b>0 C.f(a)+f(b)<0 D.若3c∈R,|f(c十1)一f(c)<1,则m的取值范围为(0,12) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12箱圆C系+片=1的离心率为1 13.函数y=sin6x+3cos6z在[o,]上的值域为△ 14.在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，AB=2,AA1=4,C应=二CC,P是正四棱柱内（含表 面)的动点，且DE⊥BP,则点P在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 某学校为了了解高三年级的学生参加户外拓展意愿的情况，随机抽取了50位高三学生进行问 卷调查，其中参加户外拓展的意愿分3种情况，每种情况对应的人数如下表所示： 意愿情况 非常期待 无所调 不愿意 人数 30 15 5 (1)若从样本中随机抽取2位学生，求所抽取的2位学生意愿情况不同的概率， (2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级所有学生中随机抽取2位学生，记所抽 取的学生意愿情况为非常期待的人数为X,求X的分布列与数学期望 16.(15分) 如图，在三棱台ABC-A1B,C1中，AA1⊥平面ABC,AC=2A1C1=4,AB=3,H为CC1的 中点，CC1⊥平面ABH. (1)证明：AB⊥AC. (2)求AA1的长 (3)求平面ABH与平面AB1H夹角的余弦值. 17.(15分） 已知函数f(x)=axlnx一2x十a,a∈R (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1，一1)处的切线方程； (2)若a>0,f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 18.(17分) y2 已知双曲线C:二一=1(@>0，b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为26，虚轴长 22,左、右顶点分别为A,B.P为直线l:x=1上一点，直线PA与直线PB分别与C交于 另一点K,T(不与A,B重合)，设直线KT的方程为x=my十n. (1)求C的标准方程 (2)证明：2m2+n2-4>0且m2≠2. (3)试问直线KT是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由， 19.(17分) 已知数列(an}满足a+1一a+1am一an=6X7严(a+1十1)一a+1,且a1=7.若整数a,能被 正整数整除，则称为am的一个正约数.设am的正约数个数为m,将这m个正约数从小 到大排成一排，分别为b0,b1b2,·,bm-1 (1)证明：{an+1一an}是等比数列. (2)证明：m一n为定值， (3)在b,和b+1之间插人i(i=1,2,3,…,n-1,n≥2)个数tn,t2,…,ta,使b1,t1,t2,…, t,b+1成等差数列. ①当n≥2时，求Sa-1=t1十t21十t2+…十tm-b1十tn-2十…十tm-1xa-… ②在①的前提下，是否存在正整数j,n,使得(G2+13一4n)S.-1=840(n≥2)？若存在， 求出所有的正整数对(5，n),若不存在，请说明理由. 【高三数学第4页（共4页）】 2025年高三第三次模拟考试试题 A卷 数学参考答案 1.B根据题意可得xA={x∈N|x2≤10)={0,1,2,3}，所以集合CxA的元素个数为4. 2.D(x一7y)7的展开式中含xy的项的系数为C×(一7)'=一49. 3.B圆心0(0,0)，半径为3，圆心0到直线1的距离d=一5 =5，则所求弦长为2√9-5 √3+2 =4. 4.A因为f(x)在(0,1)上单调递减，所以f(0)f(1)<0,即(a一1)(a一4)<0，解得1<a<4. 5.D因为A=行∠CAD=受，所以∠BAD=吾由题意知Sa=Sam十Sam,即号X8 X4Xsm号-2×8 XADXsin-吾+7×4XAD×n受，解得AD=25. 2π1 6.B设外接球的半径为R,则-50沙，解得R=-5,则圆维的底面半轻为、2云=6=3，当 3 圆锥的高为5十4=9时，圆锥的体积最大，体积最大为号×x×3×9=27元 7.C令a=0,得f(f(b)-b=f(f(0),再令b=a,得f(f(a)-a=f(f(0).令b=0,得 f(a+f(0)=f(f(a),则f(a+f(0)-a=f(f(0).因为f(0)=1,所以f(a+1)-a= f(1),当a=-1时，f(0)+1=f(1),得f(1)=2. 8.C设AC与AB的夹角为0，所以AC·AB=|AC1IAB1cos0 =21AC1cos0.如图，过点P作PD⊥AB,交BA的延长线于点 D,过点M作ME⊥AB,交AB的延长线于点E.根据数量积的 几何意义可得21AC|cos0≤21AEL.连接FM.易得|AD1= D A·cos苓=1，E1=FMi1-A方1=2X5-1=9,所以 AC,A的最大值为18. 9.BCD当x=1一√6i时，|x|=√1+6=√7，A错误.易知=|x|2=6,B正确.设x=a十 bi(a,b∈R),则a2+b2=6,因为a2+b≥2ab,所以ab≤3，C正确.因为22+(2)2=6，所以 D正确， 10.ABD由题意得F(0,).设A(1),B(x2),C(y.因为焦点F为△ABC的 重心，所以1FA+1FB1+1FC=+++号-3X号+号=p,解得p=12,A 2 2 正确.因为在三角形中，两边之和大于第三边，所以|AB|+|BC+IAC<2(|FA|+|FB +1FC)=×122=72,B正确.因为抛物线0的准线方程为y=-6,所以△ABC的三个 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 顶点到x轴的距离之和为1FA+1FB1+1FC1-3×6=p2-18=18,C错误.设P(m, 2分)，则P到直线5x-12y-13=0的距离d= 5m-m-13 12m-5+ √52+(-12) 13 名，D正统 11.ACD∫'(x)=3m.x2-2,由题意易得∫(x)=0有两个变号零点.当m=0时，f'(x)=一2 0,不符合题意，舍去，所以m≠0，则a+b=0,b=一由u≠h,a=-b,得a<0<b) 得ab<0,A正确，B错误 f(a)+f(b)=ma3-2a+2a+mb3-2b+2a=m(a3+b3)-2(a+b)+4a=m(a+b)(a2 -ab+b2)-2(a+b)+4a.因为a+b=0,所以f(a)+f(b)=4a<0,C正确. f(c+1)-f(c)=m(c+1)3-2(c+1)+2a-mc3+2c-2a=m(c+1)3-mc3-2=mc3+ 3mc2+3mc十m-mc3-2=3mc2+3mc十m-2,即3c∈R,|3mc2+3mc+m-2|<1,所以 3mc3+3mc+m-3<0 3c∈R,-1<3mc2+3mc+m-2<1,即3c∈R, 2 3mc2+3mc+m-1>0 因为b= <0,所以m>0,所以3c∈R,3mc2+3mc+m-1>0.因为3c∈R,3nc2+3mc十m-3<0, 所以△=9m2-4×3m(m-3)>0,解得0<m<12,D正确. 12箱圆C的离心率为6可- 4 13.[3,2】易得y=2sin(6c+),由x∈[0，]，得6x+5∈[子]，所以2sin(6x+ )e[3,21. CE CD 14.45连接CD1,BA,设CD1与DE交于点F(图略).易得CE=1,因为品-DD,所以 △ECDn△CDD,得∠DFC=x-∠EDC-∠FCD=x-∠EDC-∠DEC=,则CD,L DE.又因为BC⊥平面CDD,C1,所以BC⊥DE,BC∩CD,=C,所以DE⊥平面BCD1A1, 则点P在正四棱柱内运动所形成的图形为截面BCD:A:,易得BC⊥CD1,所以四边形 BCDA,为矩形，因为CD,=√4+16=25，所以矩形BCDA,的面积为2X25=45. 15.解：(1)记事件公众号三晋高中指南A为“所抽取的2位学生意愿情况不同”， 则P(A)=1-P(A)=1- C。+Ci+C号_2 Co 9 27 故所抽取的2位学生意愿情况不同的概率为 …5分 (2)X的可能取值为0,1,2.…6分 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 设事件B为“所抽取的学生意愿情况为非常期待”，则P(B)= 303 505' …7分 则X~B(2,) …8分 P(X=0=(1-)》°-若P(x=1D=C×号×(1-)-是，P(X=2)=G×()月 11分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 4 12 5 25 12分 因为X~B(2号》，所以E(X)=2×号-号 13分 16.(1)证明：因为AA1⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以AA1⊥AB.…1分 因为CC1⊥平面ABH,ABC平面ABH,所以CC1⊥AB.…2分 因为AC=2A1C1,CC,C平面ACC1A1,AA,C平面ACC1A1,所以CC1与AA1相交，… …3分 所以AB⊥平面ACC1A1.… …4分 因为ACC平面ACC1A1,所以AB⊥AC.…5分 (2)解：连接AC1.因为CC1⊥平面ABH,所以CC1⊥AH,…6分 又H为CC1的中点，所以△AC1C是等腰三角形，所以AC1=AC=4.…7分 因为A1C1=2,AA1⊥A1C1,所以AA1=√16-4=25.…8分 (3)解：以A为坐标原点，AB,AC,AA1所在直线分别为x,y, 之轴建立空间直角坐标系，如图所示 B A(0,0,0,B(2,0,2),H(0,3,3),C(0,2,23),C0, 4,0),则AB=(号，0,2），Ai=(0,33).…9分 由(1)易得CC1=(0,一2,2√3)是平面ABH的一个法向量 10分 设平面AB,H的法向量为n=(x,y,x),则 A6n=+2,6=0 取n=(4,1, Ai.n=3y+5x=0, √5)，……12分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 1-2-61 |cos(C,n)=4+12×√16+1干3 √5 5 …14分 厅以平面ABH与平面AB,H夹角的余弦值为 15分 17.解：1)由题意得f(x)=lnx-2x+1,则f/()=1nx十x·1-2=1nx-1,…2分 得所求切线的斜率为f(1)=一1，…4分 所以曲线y=f(x)在点(1，一1)处的切线方程为y十1=一(x一1)，即x十y=0.…6分 (2)(方法一）f(x)的定义域为(0，十0∞)，…7分 f(x)=ahx十az.1-2=alnx+a-2。…8分 当alnx十a-2<0,即x∈(0，e)时，∫'(x)<0,f(x)单调递减：…9分 当alnx十a-2>0,即x∈(e-,十oo)时，f(x)>0,f(x)单调递增.…10分 所以了x)在x=e处取得最小值，最小值为了(e)=ae(名-1）-2e+a= a(1-e-). 11分 因为f(x)≥0恒成立，所以a(1-e-1)≥0，因为a>0,所以1-e-1≥0， …13分 即三-1≤0，解得a≥2，故a的取值范围为[2，十o∞).一 15分 (方法二)易证1十xlnx≥1->0.…8分 e 由f(x)≥0，得a≥1+xlnx 2x 10分 设ge)1中n则gu) 2-2x (1+xnx)2 11分 当0<x<1时，g'(x)>0,当x>1时，g'(x)<0,… 13分 所以g(x）x=g(1)=2,…14分 所以a≥2，故a的取值范围为[2，十∞). 15分 18.(1)解：根据题意可得c=√6，b=√2，…2分 所以a=√6-2=2，… …3分 故C的标准方程为号-苦=1。 …4分 (2)证明：由题可得直线KT的斜率不为零， z2 y2 联立 4-之=1得（m2-2y2+2mmy十n2-4=0,…5分 x=my十n, 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 0则7m2一2≠0，得m2≠2.…6分 由△=4m2n2-4(m2-2)(n2-4)>0,得2m2+n2-4>0. …7分 ③棉设KT南②01t0-产己 …8分 由题意易得直线PA与直线PB的斜率均存在，且A(一2,0)，B(2,0) 设P1yo≠0.因为PA,K三点共线，所以k饭=，即汁2=学① …9分 因为P,B,T三点共线，所以km=km,即名 x2-2=-y0,② …10分 8+8-子 y2(x1十2)3 …11分 -普-1，得-6-所以必》- 3a-40,-2 y2(x1+2)y1y2(x1+2)-y1y2(x1+2) (x1-2)(x-2_(my1十n-2)(my十1-2=- …13分 2y1y2 2y1y2 3, 即3(my1+n-2)(my2+n-2)=-2y1y2,即(3m2+2)y1y2+3m(n-2)(y1十y2）+3(n -2)2=0, am+2…二+3ma-2(-)+30a-2=0, m2-2 (3m2+2)(n2-4)+3m(n-2)(-2mn)+3(m2-2)(n-2)2=0.…14分 因为K,T不与A,B重合，所以n≠士2， 所以(3m2+2)(n+2)+3m(一2mn)十3(m2-2)(n-2)=0,…15分 即一4n十16=0，得n=4,… 16分 直线KT的方程为x=my十4，故直线KT过定点，且定点坐标为(4,0).…17分 19.(1)证明：由a+1一a7+1aw一am=6X7"(a+1十1)一aw+1, 得a+(am+1一an)+(am+1-an)-6X7(a+1十1)=0，…1分 即(a2+1十1)(a+1-a.-6X7")=0.因为a+1十1>0，所以a+1-an=6X7",…2分 所以2+2一a+=6X7+ an+1-an 6X7" =7,a2-a1=42,3分 故{am+1一an}是首项为42，公比为7的等比数列.…4分 (2)证明：由(1)得am-a-1十a-1-a-2十…十a2-a1=6(7-1+7-2+…十7)=6X 170）=7m7,…5分 1-7 所以an=7一7十7=7". …6分 整数an=7"(n∈N“)的所有正约数为7°，7,7，…，7，共n十1个，则m=n+1. 故m一n=1,为定值. 044444404444444440*44044…8分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 b+1-b_7+1-76×7 (3)解：①设公差为d,则d,=+2与=+1=+1' 6×7 则tw=b+d,=7+p7+7p=1,2,3,…,i)，…9分 Sn-1=t1十t21+t22+…+tm-1+tm-2+…+tm-m-w=4[7+2X72+…+(n-1)× 7-1], 7Sn-1=4[72十2X73+…十(n一1)X7n],…10分 则-68-=4[7++7+…+7-m-1x7]=4[21二7-6m-1)x7r]-(传 -4n)×7"- 3, 11分 所以5-1=（号n-日）×+子 12分 ②假设存在正整数j,n,使得(G2+13一4n)S.-1=840成立 由G2+13-4n)S-1=840,得j2=840+4n-13.…13分 S- 当m=2时，2=80+4X2-13=25,此时j=5∈N；…14分 Γ28 当=3时，j记=0+4X3-13=1,此时j方=1∈N;… 15分 当≥时.S>0写器9z.此时-2+a-13EN,不将合题意…16分 故所有的正整数对(，n)为(5,2)和(1,3).…17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】