2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题

2025届芜湖市高中毕业班教学质量统测 数学试题卷 本试题卷共4页，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将 条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息，点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上 要求作答无效。 4.考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.已知集合A={1,2,3,4},B={x0≤x≤3}，则A∩B= A.{1,2,3} B.{0,1,23} C.[0,3] D.(1,3J 2.命题“Hx>0,10>1gx”的否定是 A.x>0,10≤lgxB.x≤0,10≤lgr C.3x≤0,10≤lgr D.3x>010≤lgx 3.若：=告中为虚数单位则：+ A.3i B.-3i C.1+3i D.1 4.一组数11,13,15,26,29,30,32,33,36，若去掉11和36，则该组数以下哪个数字特征不变 A.平均数 B.中位数 C.方差 D.极差 5.已知角α和角B的顶点在坐标原点，始边均与x轴非负半轴重合，终边关于直线y=x对称，则 cos(a+β)= A竖 R-9 C.0 D.1 6.四个不同的正整数a,b,c,d,满足(2025-a)(2025-b)(2025-c)(2025-d)=6,则a+b+ c+d的最大值是 A.8099 B.8100 C.8101 D.8102 数学试题卷第1页（共4页） C③扫描全能王 3亿人整在用的日mAp的 7.已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为T(除圆锥底面圆心外)，厂所在 的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为 A.1:6 B.1:7 C.1:8 D.1:9 8已知F为双曲线C:号- =1(a>0,b>0)的一个焦点，l为C的一条渐近线，若F关于l的 对称点在C上，则双曲线的离心率为 A.V2 B.5 c.2y5 D.2 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在△ABC中，已知CA+CB=10,AB=8,则此三角形的面积可能为 A.e2 B.10V3 C.12 D.15 10.已知函数f(x只1-2x)n-x,则 A.f(x)的定义域为(0,1) Bf(x+)为偶函数 Cf(x)为单调递增函数 D.f(x)≥0 11.如图，在正方体ABCD-A:BC,D,中，S=L为过正方体的任意两个顶点的直线}，则 A.S有56个元素 R.若1∈s,则满足平面C0,的概率为是 C.S中有4个元素与正方体所有棱的夹角相等 D,若，k∈S,则，k为异面直线的概率为器 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 第11题图 12.已知向量a,b满足a=(1,1),且b=2,ab=V3,则a与b所成角的大小为 13.已知有限集合A={a1,a2,a,a},定义集合B={a:+a1≤i<j≤n,可eN}中的元素的 个数为集合A的“容量”，记为A若集合A={xeW1≤x≤n},且A|=4047,则正整数n的 值是 14.已知函数y=V3sin(wx+中)+1(w>0)的部分图象如图所示，若A,B,C,D四点在同一个圆 上，则w= 第14题图 数学试题卷第2页（共4页） C③扫描全能王 3亿人都在用的行量Ap的 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤】 15.已知数列{an}的前n项和为S.,且a1=2,a+1=S.+2(n∈N). (1)求{a的通项公式： (2)保持{a的各项顺序不变，在a4和a1之间插入k个1，使它们与数列{a的项组成一个 新的数列b,记b的前n项和为T,求Ts 16,已知函数f(x)=号-lx-1 (1)讨论f(x)的单调性： (2)设g(x)=xe-号x2-x(aeR),证明f(x)+g(x)≥0. 2 17.已知圆心在x轴上移动的圆经过点A(-4,0,且与x轴y轴分别交于B(x,0,C(0,y)两个动点 (1)求点M(x,y)的轨迹E的方程； (2)若圆N与曲线E恰有一个公共点，且圆N与x轴相切于点F(1,0).求圆N的半径， 18.在四棱台ABCD-A,B1C1D1中，ABCD,∠DAB=45,CD=2AB=2BD=4M:B1=4, AB⊥BB1,AD⊥DD1. (1)证明：BC⊥DD1. (2)若四棱台ABCD-AB1C,D1的体积为7， (i)求直线BD,与平面ACD,所成角的正弦值； (i)若P为棱CC,上一动点，求平面ABP与平面 CDD,C,所成角余弦值的最大值。 第18题图 数学试题卷第3页（共4页） C③扫描全能王 3亿人整在用的扫mAp的 19.某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试D通过率为p(0<p<1),未通 过测试I的芯片进入第二次测试（测试D,通过率为g(0<g<1),通过任意一次测试即为合 格芯片，否则报废 (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当p=0.8,g=0.6时，求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率0： (3)为估计(2)中的0，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试L记=止若要使 得P(6-0≥0.05)总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量m(meN) 参考内容：设随机变量X的期望为E(X),方差为D(X),则对任意ε>0，均有 P(X-E(x)≥E)sDX2 数学试题卷第4页（共4页） C③扫描全能王 3亿人都在用的行量Ap中数学试题参考答案第 页（共4页） 2025届芜湖市高中毕业班教学质量统测 数学试题参考答案 1 A 2 D 3 D 4 B 5 C 6 C 7 B 8 B 9 AC 10 ABD 11 BCD 12. π6 13. 2025 若集合A = { }x ∈ N+ | 1≤ x ≤ n ，则集合B = { }3,4,⋯, ( )n - 1 + n = { }3,4,⋯,2n - 1 ， 故 || A = 2n - 1- 2 = 2n - 3 = 4047，解得n = 2025. 14. π2 15.（1）由an + 1 = Sn + 2（n ∈ N ∗），得an = Sn - 1 + 2（n ≥ 2）， 则an + 1 - an = an（n ≥ 2），即an + 1 = 2an（n ≥ 2）， 又a2 = S1 + 2 = a1 + 2=4，满足an + 1 = 2an，所以an + 1 = 2an（n ∈ N ∗）， 所以{an}是首项是2，公比为2的等比数列， 故an = 2n； （2）由题，知bn ( n + 1) 2 = an=2n，数列{bn}的其余项为1，则 T55=( b1 + b3 + b6 + b10 + b15 + b21 + b28 + b36 + b45 + b55 ) + 45 × 1 =( a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 ) + 45=S10 + 45=2 × (1- 210)1 - 2 + 45=2091. 16.（1）定义域x ∈ ( 0, +∞ )， f ′ ( x ) = ax - 1 x = ax2 - 1 x . ①当a ≤ 0时 , f ′ ( x ) < 0, f ( x )在 ( 0, +∞ )上单调递减， ②当a > 0时 , f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 a ,f ′ ( x ) > 0 ⇔ x > 1 a ,f ′ ( x ) < 0 ⇔ 0 < x < 1 a , f ( x )在 ( 0, 1 a )单调递减 ,在 ( 1 a , +∞ )单调递增。 综上：当a ≤ 0时 , f ( x )在 ( 0, +∞ )上单调递减； 当a > 0时 , f ( x )在 ( 0, 1 a )单调递减 ,在 ( 1 a , +∞ )单调递增。 1 数学试题参考答案第 页（共4页） （2）法一：f ( x ) + g ( x ) ≥ 0⇔ xex - 1- lnx - x ≥ 0 ⇔ xex - 1≥ lnxex 设xex = t > 0,⇔ lnt ≤ t - 1， 设h ( )t = lnt - t + 1 ，而h′( )t = 1- t t ， 易得h ( )t 在( )0,1 上为增函数，在( )1, +∞ 上为减函数， 所以h ( )t max = h ( )1 = 0，∴lnt ≤ t - 1 法二：设ϕ ( x ) = xex - lnx - x - 1,则ϕ′ ( x ) = ( x + 1) ( ex - 1 x )， ∵ x > 0,∴ x + 1> 0 ， 令h ( x ) = ex - 1 x ,则h ( x )单调递增 ,∵ h ( 12 ) = e - 2 < 0,h (1 ) = e - 1> 0，∴ h ( x )在 ( 0, +∞ )上存在唯一零点x0 ∈ ( 12 , 1 ) 当0 < x < x0,h ( x ) < 0,故ϕ′ ( x ) < 0,当x > x0,h ( x ) > 0,故ϕ′ ( x ) > 0 ∴ ϕ ( x )在 ( 0,x0 )单调递减 ,在 ( x0, +∞ )单调递增。 则ϕ ( x ) ≥ ϕ ( x0 ) = x0ex0 - lnx0 - x0 - 1,其中ex0 = 1 x0 ⇔ x0 = -lnx0 ∴ ϕ ( x0 ) = x0ex0 - lnx0 - x0 - 1= x0 1 x0 + x0 - x0 - 1= 0,∴ ϕ ( x ) ≥ 0,得证. 17. ( )1 由已知得圆心坐标为( x - 42 ,0 ),又该圆经过点A ( )-4,0 和C ( )0,y , ∴ ( )x - 42 2 + y2=x + 42 化简得y2 = 4x . ( )2 设圆N的半径为 r ,且不妨设圆心N在 x轴的上方,则圆N的方程为( )x - 1 2 + ( )y - r 2 = r2. 与 y2 = 4x 联立并消去 x 得 ( )y24 - 1 2 + y2 - 2ry = 0, 于是 r = 12y ( )( )y24 - 1 2 + y2 = ( )y2 + 4 2 32y . ( )* 由题意,恰有一个正数 y满足 ( )* . 记 f ( )y = ( )y2 + 4 2 32y ( )y > 0 , f' ( )y = ( y2 + 4 ) ( 3y2 - 4 ) 32y2 ，∀y ∈ ( 0, 2 3 3 ), f' ( )y < 0 ， ∀y ∈ ( 2 33 , +∞ ), f' ( )y > 0,则f ( )y 在 ( 0, 2 3 3 )上单调减,在 ( 2 3 3 , +∞ )上单调增, 所 以当 y = 2 33 时, f ( )y 取到最小值 4 3 9 . 因此当 r < 4 39 时,(*) 没有正数解；当 r = 4 3 9 时, ( )* 恰有一个正数解 2 3 3 ； 2 数学试题参考答案第 页（共4页） 当 r > 4 39 时,因为当 y → 0+ 和 y → +∞ 时 f ( )y 均可任意大 ( )* 总有两个正数解 . 综上, r = 4 39 . 18（1）由题意得，ΔABD为等腰直角三角形，AB ⊥ BD， 因为AB ⊥ BB1,BB1 ⋂ BD = B,BB1,BD ⊂ 平面BDD1B1, 所以AB ⊥ 平面BDD1B1, 所以AB ⊥ DD1. 因为AD ⊥ DD1,AD ⋂ AB = A,AD,AB ⊂ 平面ABCD, 所以DD1 ⊥ 平面ABCD 所以BC ⊥ DD1. （2）因为SABCD = 12 ( )AB + CD × BD = 1 2 ( )2 + 4 × 2 = 6,SA1B1C1D1 = 1 4 SABCD = 3 2, 所以VABCD - A1B1C1D1 = 13 ( 6 + 3 2 + 6 × 3 2 ) × DD1 = 7,所以DD1 = 2. （i）以D为坐标原点，分别以DB,DC,DD1 所在直线为 x,y, z轴建立空间直角坐标系，则 A ( 2, -2, 0 ),C ( 0, 4, 0 ),D1 ( 0, 0, 2 ),B ( 2, 0, 0 ) , 则  AC = ( -2,6, 0 ),  AD1 = ( -2,2, 2 ) . 设 平 面 ACD1的法向量为n = ( x,y, z )，则 {n ⋅   AC = 0 n ⋅  AD1 = 0 ,即{-2x + 6y = 0-2x + 2y + 2z = 0 , 令y = 1,得x = 3, z = 2，所以n = ( 3, 1, 2 ). 因为   D1B = ( 2, 0, -2 )，则cos < n,  D1B >= n ⋅   D1B |n| ||  D1B = 6 + 0 - 414 × 8 = 1 28 , 所以直线BD1与平面ACD1所成角的正弦值为 714 . （ii）设平面ABP与棱DD1的交点为M，连接PM,AM. 因为AB//CD,CD ⊂ 平面CDD1C1,AB ⊄ 平面CDD1C1，所以AB//平面CDD1C1. 因为AB ⊂ 平面ABPM，平面ABPM ⋂ 平面CDD1C1 = PM，所以AB//PM. 因为AB ⊥ 平面BDD1B1,所以AB ⊥ BM,则PM ⊥ BM, 又因为DM ⊥ PM,平面ABP ⋂ 平面CDD1C1 = PM, 所以平面ABP与平面CDD1C1所成角为∠BMD，且 tan∠BMD = BD DM = 2 DM ,当DM = 2时， 即M与D1重合时，∠BMD取到最小值 π4，其余弦值取得最大值 22 . 3 数学试题参考答案第 页（共4页） 故平面ABP与平面CDD1C1所成角余弦值的最大值为 22 . 19.（1）每个芯片通过测试的合格率为 0.8 + ( )1- 0.8 × 0.6 = 0.92，X ∼ B ( )n, 0.92 E ( )X = 0.92n,D ( )X = 0.0736n. （2）解法一：记事件A：通过测试Ⅰ,事件B：通过测试Ⅱ.事件C：芯片合格 . P ( )C = 1- ( )1- P ( )A ( )1- P ( )B = p + ( )1- p q， θ = P ( )A∣C = P ( )AC P ( )C = p p + ( )1- p q . 解法二：记事件A1:经过测试Ⅰ,事件A2：经过测试Ⅱ,事件B：芯片合格 . P ( )B∣A1 = p,P ( )B∣A2 = q,  P ( )A1 = 1,P ( )A2 = 1- p. P ( )B = P ( )A1 P ( )B∣A1 + P ( )A2 P ( )B∣A2 = p + ( )1- p q， θ = P ( )A1∣B = P ( )A1B P ( )B = p p + ( )1- p q (3)因为 k ∼ B ( )m,θ  ,所以E ( )k = mθ,D ( )k = mθ ( )1- θ . 解法一：E ( )θ̂ = E ( )km = 1m E ( )k = θ,D ( )θ̂ = 1m2 D ( )k = θ ( )1- θm ∴ ∀ε > 0,P ( )|| θ̂ - θ ≥ ε ≤ θ ( )1- θ mε2 又 ∵ θ ( )1- θ ≤ 14 ∴ ∀ε > 0 均有 P ( )|| θ̂ - θ ≥ ε ≤ 1 4mε2， 取ε = 0.05则 P ( )|| θ̂ - θ ≥ 0.05 ≤ 14m ⋅ ( )0.05 2 .根据题意要使得P ( || θ̂ - θ ≥ 0.05 )总能 不超过0.1,当 14m × ( )0.05 2 ≤ 0.1 即 m ≥ 1000时满足条件 .∴ 最小样本量大约为1000. 解法二：由已知得对 ∀δ > 0 ， P ( )|| k - mθ ≥ δ ≤ mθ ( )1- θ δ2 ∴ P ( )|||||| km - θ ≥ δm ≤ θ ( )1- θ( δ m )2m 记ε = δ m ∴ ∀ε > 0,P ( )|| θ̂ - θ ≥ ε ≤ θ ( )1- θ mε2 ，又 ∵ θ ( )1- θ ≤ 14 ∴ ∀ε > 0 均 有 P ( )|| θ̂ - θ ≥ ε ≤ 14mε2，取ε = 0.05则 P ( )|| θ̂ - θ ≥ 0.05 ≤ 1 4m ⋅ ( )0.05 2 .根据题意要使 得 P ( || θ̂ - θ ≥ 0.05 )总能不超过 0.1,当 14m × ( )0.05 2 ≤ 0.1 即 m ≥ 1000时满足条件∴ 最小样本量大约为1000. 4