2025年中考数学考前冲刺函数动点问题压轴练习题

2025年中考数学考前冲刺 函数动点问题压轴练习题 1．，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止． (1)写出的长和的长关于时间t的函数； (2)经过多少时间后，与相似？ (3)在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由． 2．如图，在中，，，．动点、以的速度分别从点、同时出发，点沿向终点运动，点沿折线运动，当点停止运动时，点随之停止运动．以为斜边作等腰直角三角形．点与点始终在同侧．设的面积为，点运动的时间为（秒）． (1)______； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 3．如图1直线交x轴于A，交y轴于B，若． (1)求A点的坐标； (2)如图2，若C为直线上一点，，以为腰作等腰，连接，求直线的解析式； (3)如图3，直线交x轴于E，点是直线上一点，若P是线段上的动点，过E作于H，且点F在的延长线上，，连接，当P在上运动时，求的度数． 4．在中，，，点为边上的动点（不与点重合）．过点作于点，连接． (1)如图1，当时． ①求的长； ②求内切圆的半径． (2)如图2，若点为的中点，连接，设．的面积为，求与的函数关系式． 5．如图，在中，，，动点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，设点的运动路程为，的面积为．请解答下列问题： (1)直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)根据函数图象，写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 6．如图，在中，，，．点是中点，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动．点从点出发．泊直线运动．到达点时停止运动，设点，点的运动时间为秒，点P，Q之间的距离为． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)若一次函数的图象与y的图象有两个交点，则k的取值范围为______． 7．如图，直线与x轴､y轴分别交于A､B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．    (1)求A､B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)当t为何值时，并求此时M点的坐标． 8．如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点从点出发，沿运动，运动速度为，点到点停止，连接，．设的面积为（这里规定：线段是面积0的几何图形），点的运动时间为． (1)填空：______cm，与之间的距离为______cm； (2)在点运动过程中，求与之间的函数解析式． 9．如图，在中，，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．设四边形与的重叠部分的面积为，点的运动时间为秒．    (1)线段的长为________（用含的代数式表示）． (2)当点恰好落在线段上时，求的值． (3)求与之间的函数关系式． (4)当为直角三角形时，直接写出的值． 10．如图， 在长方形中， ，点 是对角线 的中点．动点 从点出发，沿方向以的速度向点 匀速运动；同时动点从点出发，沿 方向以 的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 并延长交于点 ， 连接 并延长交 于点， 设运动时间为 ． 解答下列问题： (1) 的长为 ， 的长为 ； (2)当 为等腰直角三角形时，求的值； (3)设四边形 的面积为 求与之间的关系式． 11．如图，正方形边长为4，M，N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直． (1)求证：； (2)设，梯形的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (3)当M点运动到什么位置时，求x的值． 12．已知动点M以每秒的速度沿如图1所示的边框按从的路径移动，相应的的面积与点M的运动时间的图象如图2所示．    (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)观察图2，的面积S最大为多少？ (3)当t取何值时，的面积保持不变？ 13．如图1，在菱形中，对角线与交于点，点沿着的方向每秒1个单位运动，点沿着的方向每秒1个单位运动，连接，点，的距离为，两动点同时出发，设运动时间为秒，当两动点到达终点时即时，． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出有3个解时的取值范围． 14．如图，，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止． (1)写出的长和的长关于时间t的函数； (2)经过多少时间后，与相似？ (3)在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由． 15．如图1，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，，动点P从八边形顶点A出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，到A点处停止运动．的面积为，运动时间为t（秒），S与t的图象如图2所示，请回答以下问题： (1)______，______，______； (2)当点P第一次在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点P在返回过程中，当时间t为何值时，为等腰三角形？请直接写出t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学考前冲刺函数动点问题压轴练习题》参考答案 1．(1)，. (2)在中，；在中， (3)存在，在中，；在中， 【分析】（1）根据题意表示出和即可. （2）分情况讨论，当时，①若，则有，②若，则有，当时，点P与C重合．当时， 有．分别根据相似三角形的性质得出比例代入求出t的值即可. （3）当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E．再根据正弦的定义得出，,再根据三角形面积公式可得出，代入求解出t的值. 当时，点P与C重合．即代入求解出t的值. 【详解】（1）解：，， ∴，. （2）解：当时，①若，则有． ∴． ∵，，，， ∴， 解得：． ②∵，若，则有． ∴． ∴， 解得：．（不符合题意，舍去） 当时，点P与C重合． ∵，只有当时， 有． ∴． ∴， 解得：． 综上所述： 在中，当时，． 在中，当时，． （3）解：当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E． ∴，, 如果的面积恰好为面积一半， 那么， ∴， 得：， 解得：或者（舍去）． 当时，点P与C重合．即， 如果的面积恰好为面积一半， 那么， 解得：． 综上所述： 在中，当时，的面积恰好为面积一半． 在中，当时，的面积恰好为面积一半. 【点睛】本题主要考查了动点函数问题，列函数关系式，相似三角形的判定以及性质，正弦的定义等知识，掌握这些知识是解题的关键. 2．(1)3 (2)； (3)． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）由题意得，，，，设，推出，由相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，当点在上和点在上时，利用三角函数的定义，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：3； （2）解：由题意得，，， ∵等腰直角三角形， ∴，， 当点落在边上时，如图，， 设， ∴， ∴，即， 解得，； （3）解：当点在上时，，作于点， ∵，即， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 当点在上时，，作于点，则， ∵，即， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴； 综上，． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 3．(1) (2) (3) 【分析】本题考查已知函数值求自变量值，全等三角形判定及性质，勾股定理逆定理等． （1）令即可求出即为本题答案； （2）先得到，作轴于，作于，证明和，继而得到，后设设直线的解析式为，继而求出本题答案； （3）连接，作于，根据题意可得和，利用勾股定理逆定理证明，后证明，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于A， ∴令，即：，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴，即：， ∴， 作轴于，作于， ∵，以为腰作等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴设直线的解析式为：， 将和代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：； （3）解：连接，作于， ∵点是直线上一点， ∴， ∴， ∵直线交x轴于E， ∴令，即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．(1)①；② (2) 【分析】（1）①先求，再对运用勾股定理求解； ②先通过面积法求出，继而可求，再对运用面积法得到，即可求解半径； （2）可知点四点共圆，根据圆周角定理以及外角定理证明，过点作于点，则，设，则由勾股定理得：，那么，故，在中，由勾股定理得，，则，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ②如图： 在中，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴在中，由勾股定理得，， 设内切圆半径为，则， ∴ ∴； （2）解：如图： ∵，点为中点， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， 设， 则由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 则， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与圆有关的综合问题，涉及内切圆的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，函数关系式的建立等知识点，难度较大． 5．(1)，图象见解析 (2)当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或6.2 【分析】（1）分两种情况分别求出函数解析式，再画出函数图象即可； （2）根据图象进行解答即可； （3）根据函数解析式分别求出当时x的值． 【详解】（1）解：当时，点P在上，； 当时，点P在上，， 综上，． y与x的函数图象如图所示， （2）当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）． （3）令，； 令，． ∴当时x的值为或6.2． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 6．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题是一次函数的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，待定系数法求函数的解析式． （1）根据直角三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，当时，如题干图，由题意得，，，根据等边三角形的性质得到，当时，求得，于是得到结论； （2）根据题意作出函数的图象即可，然后根据函数的图象写出函数的性质； （3）过定点，再求出过两个端点和时的值，最后根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 点是中点， ， ∴是等边三角形， ，, 当时，如图， 由题意得，， ∴，， ∴是等边三角形， 则， 当时，此时，， 则， 则； （2）解：由函数表达式画出函数图象如下： 从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：把代入得，，解得； 把代入得，，解得； 把代入得，，解得； ∵， ∴过定点， ∵一次函数的图象与y的图象有两个交点， ∴结合图形可得． 7．(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，动点问题的函数关系，三角形全等的性质，分情况讨论是解答本题的关键． （1）由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； （2）由面积公式求出S与t之间的函数关系式； （3）由得，则t时间内移动了，可算出t值，并得到M点坐标． 【详解】（1）解：令得， ； 令得， ． （2）解：∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动， ， ， 即的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式为：．    （3）解：因为， ． 若，则， ， 解得或． 当； 当． 当或时， 此时M点的坐标． 8．(1)6， (2)． 【分析】（1）先根据菱形的性质求得、，再利用根据勾股定理即可求得；然后再根据菱形的性质和面积公式求得与之间的距离即可； （2）当时，在点运动过程中，分点在线段上和点在线段上两种情况分别解答即可． 【详解】（1）解：菱形中，，， ， ， 设与间的距离为， 的面积， 又的面积， ，即， 解得：． 故答案为：6，； （2）解：①如图：当点在线段上，即时， 四边形是菱形， ，， ， ； ②如图：当点在线段上，即时， 菱形， ， ， ， ， ， ； 综上，与之间的函数解析式． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、求函数关系式等知识点，灵活运用相关知识以及分类讨论思想成为解答本题的关键． 9．(1) (2) (3) (4)2或 【分析】（1）根据路程速度时间即可求解； （2）先求出的长，然后证明和都是等腰直角三角形，利用勾股定理和旋转的性质求解即可； （3）分点在内部（包括边上），在外部两种情况讨论求解即可； （4）分和两种情况讨论求解即可； 【详解】（1）解：根据路程速度时间可得：， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，    在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴ R， ∴， 同理可得， ∴， 解得或（舍去）； （3）当R在内部（包括边上），即时， ∴； 当R在外部，即时， 由（2）可知，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，    由（2）得，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，； （4）解：当，是直角三角形时，由（2）可知此时R在上，则； 当，是直角三角形时， 同理可证是等腰直角三角形，    ∴， ∴由（2）可知， 解得， 综上所述，当为直角三角形时，t的值为2或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，列函数关系式，熟知相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 10．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，全等三角形的判定和性质，求函数的解析式； （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据长方形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形到现在列方程即可得到结论； （3）根据长方形的性质得到，根据平行线的性质得到，证明，根据长方形的面积的面积的面积，即可得到结论． 【详解】（1）解： ，， 故答案为：，； （2）四边形是长方形， ， ， 点是对角线的中点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ； （3）四边形是长方形， ， ， ，， ， 由（2）知，， 又∵ ， 同理， 长方形的面积的面积的面积 ， 即与之间的关系式为． 11．(1)见解析 (2) (3)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，以及求函数解析式等知识． (1)由正方形的性质得出，根据得出，根据直角三角形两锐角互余得出进而得出，从而得出三角形相似； (2)根据三角形相似得出与x的关系，然后根据梯形的面积计算法则得出函数解析式； (3)根据要使三角形相似则需要满足，结合(1)中的条件得出，即M为的中点．即可求出x的值． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）∵， ∴，即 ∴ ∴ （3）∵， ∴要使，必须有 由（1）知 ∴ ∴当点M运动到的中点时，，此时 12．(1)点M的运动时间t；的面积S． (2)的面积S最大为； (3)第4秒至第6秒或第9秒至第11秒； 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，解答本题的关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． （1）根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和面积； （2）根据图象可知的面积S最大为； （3）根据图象可知，图象平行x轴的部分即为面积不变的部分，据此解答即可． 【详解】（1）解：根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和的面积； 故答案为：时间t；面积S； （2）解：根据图象可知的面积S最大为； （3）解：根据图象可知，第4秒至第6秒或第9秒至第11秒时，的面积保持不变． 13．(1)； (2)图见解析，时，随增大而增大，时，随增大而减小，时，随增大而增大； (3). 【分析】（1）先求出的长，然后分三段求解即可； （2）先画出函数图象，燃弧根据图象写出函数的一条性质即可； （3）结合图象，分别把和代入即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， 当时， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴， 综上可知，； （2）解：当时，；当时，；当时，， 如图所示，即为所求： 性质：时，随增大而增大，时，随增大而减小，时，随增大而增大； （3）解：由可知直线与x轴平行， 如图， ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴. 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求函数解析式，由函数图象获取信息，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式等知识，数形结合是解答本题的关键． 14．(1)，. (2)在中，；在中， (3)存在，在中，；在中， 【分析】（1）根据题意表示出和即可. （2）分情况讨论，当时，①若，则有，②若，则有，当时，点P与C重合．当时， 有．分别根据相似三角形的性质得出比例代入求出t的值即可. （3）当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E．再根据正弦的定义得出，,再根据三角形面积公式可得出，代入求解出t的值. 当时，点P与C重合．即代入求解出t的值. 【详解】（1）解：，， ∴，. （2）当时，①若，则有． ∴． ∵，，，， ∴， 解得：． ②∵，若，则有． ∴． ∴， 解得：．（不符合题意，舍去） 当时，点P与C重合． ∵，只有当时， 有． ∴． ∴， 解得：． 综上所述： 在中，当时，． 在中，当时，． （3）当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E． ∴，, 如果的面积恰好为面积一半， 那么， ∴， 得：， 解得：或者（舍去）． 当时，点P与C重合．即， 如果的面积恰好为面积一半， 那么， 解得：． 综上所述： 在中，当时，的面积恰好为面积一半． 在中，当时，的面积恰好为面积一半. 【点睛】本题主要考查了动点函数问题，列函数关系式，相似三角形的判定以及性质，正弦的定义等知识，掌握这些知识是解题的关键. 15．(1)10；5；2 (2) (3)或14或或时，为等腰三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键． （1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可； （2）先表示出，然后再根据求出结果即可； （3）分三种情况进行讨论：当，点P在上时，当，点P在上时，当时，点P在点B上，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图1可知，面积的最大值为： ， ∵， ∴， ∴，负值舍去； 延长交于点N，延长交于点M，如图所示： ∵八边形相邻的两边互相垂直， ∴四边形，，为长方形， ∴， 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回， ∴根据图2可知：点P从点运动时间为： ， ∴； （2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示： ， ∴ ； （3）解：当，点P在上时，过点P作， 则， 根据图2可知：点P从点A运动到点C所用时间为，则： ， ∴， 根据题意可知：四边形，为长方形， ∴，， ∴， ∴， 此时； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴此时， 当时，点P在点B上，如图所示： 此时． 当时，点P在点上，延长，交于点M，如图所示： 则，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∵点P运动点E时用时， ∴此时 综上分析可知：或14或或时，为等腰三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$