2025届广西壮族自治区北海市高三第四次模拟预测数学试题

北海市2025届高三第四次模拟考试·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 5 7 8 答案 C D C A B B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BCD ABD ACD 1.C因为A={xx>-1},B={xx2+2x-3>0}=(x|x<-3或r>1},所以CRB={x|-3≤x≤1，A∩ (0RB)={x-1<x≤1}，故选C. 2.D兰产2古=之所以的虚部为-之故选D 212i 11 3.C因为必须包含景点象鼻山，所以从剩下的3个景点中选择2个景点与象鼻山组合，有C写=3种选法，游览 顺序可以不同，所以共有3×A=3×6=18种不同的游览路线，故选C 车A由题可得70=a,h3+D+50.a=品2·则S1=60,故选A 5.B由题可得抛物线C的标准方程为y2一一12x,抛物线的焦点坐标为(-3,0)，准线方程为x一3.设点P的 坐标为(，%).由于点P到焦点的距离为5，则x=一2，代入y2=一12x,得到%=士26，故选B .B因为osA=7,所以A=子.又△ABC的面积为23，所以2，=之csin吾，所以x=&由余弦定理 a2=形+2-2 bccos A得16=+2-x=(b+c)2-3x=(b+c)2-24,所以(b+e)2=40,所以b+c= 2√10，故选B 7.C因为内切球的体积为誓，所以内切球的半径为1，如图，设球与正四棱锥底面切 于点E,侧面切于点F,设SO=x,延长SF交底面于点G,因为正四棱锥的底面边 长为22，所以EG=√2，SE=1+x,SG=√EG+SE=√2+(1+x),又△SOF △E觉瓷以面方解得品从面站以正四 棱锥的体积为×(22)×4=号，故选C 8D设F,(c,0),P(m,),渐近线方程为y=土名x,因为P在以FR为直径的 圆上，所以PF2⊥PF,因为PF的中点在双曲线的渐近线上，设PF,的中点为 从则OM/PR,所以。=-台，且十。=号解得m=。=2 ,三 史将P(公，学)代人双简线的方程可得学一”-1，化简可 得后-4=1，即有=5，解得e=5,故选D 9.BCD由题意P(A)=0.60,P(B)=0.40,在报名参加数学竞赛的学生中，同时报名参加物理竞赛的概率 P(B引A)=0.30.所以C正确： 对于A,因为P(AB)=P(A)×P(BA)=0.60×0.30=0.18,P(A)P(B)=0.60×0.40=0.24,由于0.18≠ 0.24,事件A和事件B不是独立事件，选项A错误： 对于B,PAB)=PAB=18=0.45,选项B正确： P(B)0.4 对于D,P(AUB)=P(A)十P(B)-P(AB)=0.60+0.40-0.18=0.82,选项D正确. 10.ABD圆x2十y=1的圆心O的坐标为(0,0)，半径为1，圆心O到直线1的距离d= 2 V+2 数学参考答案第1页（共5页） 对于A,因为直线1与圆0相切，所以d一2 中在=1，解得=士原，A正确： 对于B,当k=V万时，圆心0到直线1的距离d=之1一d=号 故圆O上到直线1的距离为2的点恰有3个，B正确： 对于C,圆O与圆C:(x-3)2十(y一4)=m恰有三条公切线， 则两圆外切，即√(3一0)2+(4一0)下=1十√m,解得m=16,C错误： 对于D:如图. 点P在P,位置时，PC=4,此时∠APC>年 点P在P位置时P,C=6,此时∠A:P,C<平， 所以中间必然有位置使得∠APB=乏，故D正确， 11.ACDf(x十1)为奇函数，故f(-x+1)=一f(.x+1),即f(-x+2)=-f(x), 又f(x十2)为偶函数.故f(一x+2)=f(x+2), 即一f(x)=f(x+2),f(x+4)=一f(x+2)=f(.x),fx)的一个周期为4， 所以f(2024)=f(4×506)=f(0)=-1,f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=0,故A正确： 又f(一x)=f(一x十4)=f(x),即函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(0,2]时，f(x)=xr-1, 当x∈(-2,0)时，一x∈(0,2)，所以f(-x)=-x-1.即f(x)=-x-1. 当x∈(6,8)时，x-8∈(-2,0)，所以f(x-8)=-(x-8)-1=-x+7, 所以f(x)=一x十7，所以f(x)在(6,8)上单调递减，故B错误： 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(一x)=f(x)=f(.x+8).所以f(4一x)=f(4十x),所以 (x)的图象关于直线x=4对称，故C正确： 函数y=f(x)一logx的零点个数可以转化为y=f(x)与y=logx图象的交点个数， 由题意得y=f(x)与y=logx的图象如下： 101八12 当x=名时g)-1g日=名-1+1=名>0，当x=2时时2)-1g号=2-1+号=-日<0. 又函数y=f(x)一logx在(0.1)上是连续的，所以函数y在(0,1)上存在1个零点，由此可得y=f(x)与y =logx的图象有5个交点，所以y=f(x)一ogsx有5个零点，故D正确.故选ACD. 三，填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 2.5因为a=1,b=4,a·b=-号，所以2a-b1=2a-bF=Va-4ab+8- √4-4×(-号)+4=5. 1850因为/0=-osx一原mmsr十号-12立-号n2x=-号n2xs2r=-sm(2z 2 +否)，把函数y=一sin(2x+吾)的图象向左平移p(p>0)个单位.得到的函数解析式为y= 一sim[2x+p)+吾]=一sim(2x+2g+晋)，又所得图象关于y轴对称.则2g+吾=受+kx,k∈7即p 经+吾，k∈乙又>0，则k=0时9有最小值为吾因为一个圆周分为6000等份，每一份称为1密位，所 以的密位数为500. 14.(-之.0）f(x)的定义域为0，+o),)=号-(1+a)z+an,因为f)有两个极值点，所以函 数学参考答案第2页（共5页） 数了(x)在(0，十o)上有两个零点，令了(x)=号-(1十ax+alnx=0,则号 2x-x2 -x-ax+alnx=0,即2-2x-2ax+2alhx=0,所以2a=nx- ,令g（x)= 2x-2 In x-r ,x∈(0，十∞)，所以将函数f(x)的零点问题转化为g(x)的图象和直线O 2-2x(nx-x)-(2x-2)() y=2a的交点问题，求导得g'(x)= (Inx-x) 1-)2血2，令h(x)=2hx-x-2,x∈(0.+∞)，则N'(x)=2_2,易知h(x)在(0,2)上单 (Inx-x) 调递增，在(2，+∞)上单调递减，h(x)≤h(2)=2n2一4<0，则h(x)<0恒成立，所以当0<x<1时， g(r)<0,g(x)在(0,1)上单调递减：当x>1时，g(x)>0,g(x)在(1，十o)上单调递增，所以g(x)m =g(1)=一1，又因为0，g(x)0:x·十∞：g(x)·十oo,则g(x)的图象如图所示，要使g(x)的图 象和直线y=2a有两个交点，由图象知-1<2a<0,即-一之<a<0,所以a的取值范围为(-之，0）， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1)证明：因为a1=1,am(1-2aa+1)=aw+1(1+2a。), 所以a,一a+1=4a,ar+1,则9二a出=4. adwl 即=小，…3分 d+l an /是以1为首项，4为公差的等差数列.……- (2)解：由(1)知2=1+4(1-1)=4n一3，所以a,一4n—3 …7分 a 1 (3)证明：因为6=a,a+1=(4n-3)(4n十D=〈n—34r十 小…9分 所以T,=aa十aea十+a-1X十5Xg十…+(4n-3)(4n+1d 11 1 …………12分 =1 因为4n+<h=,所以T<4… …13分 16.(1)证明：当=之时，E,F分别为AD,PC的中点，取PB的中点H,连接FH,AH, 从而HF为△PBC的中位线，所以HF∥BC,HF=号BC,…2分 又底面ABCD为菱形，所以BC=AD,BC∥AD,则HF∥AE,HF=AE,… 3分 所以四边形AHFE是平行四边形，所以EF∥AH,……4分 又EF丈平面PAB,AHC平面PAB, 所以EF∥平面PAB. 5分 (2)解：存在。 6分 以A为原点，AP为x轴，AD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB=4,∠ABC=120°，PA=3. 则A(0.0,0),P(0,0,3),B(23,2,0)C(2√3,6,0)，D0,4,0) 所以AD=(0,4,0),PC-(23,6.-3),DC=(23,2,0),AP=(0.0,3), 因为AEλAD,PF=1PC,所以AE=(0,4,0),PF=(251,6,-3). AF=AP十PF=(25λ.6以，3-3A),:8分 设平面PCD的法向量为m=(,y,),则m:P产-0. m·DC=0 即/23.x+6y-3x=0 12W3x+2y=0 令r=1得y=一3=-4，所以m=1,-3,-4 3 3 ),…9分 设平面AEF的法向量为n=(),则：变-0 n·AF=01 即{280+十3一双)名=0令=可得=0，一3， 所以月=(1,0,2含…10分 数学参考答案第3页（共5页） 1-45.23a cosm,n)1=m·m 33-3 7 m n …11分 √1+(-3)2+(- 3 2 1+0+(2③ 31-3 37 化简得812-1381十37=0，即(3队-1)(27X-37)=0,所以1=3或1=27（舍），…14分 所以存在入=号使得平面AEF与平面PCD夹角的余弦值为 …15分 17.解：(1)由题意知(0.010+m十0.020+0.030+0.025)×10=1，解得m=0.015. ……2分 (2)估计这200名观众评分的平均数x=55×0.1十65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5. …5分 (3)[60,70)中的人数为0.15×200=30人，[70,80)中的人数为0.20×200=40人， 所以按照分层抽样的方法随机抽取的7人中， 评分在[0.70)的抽取7×器-30人.评分在[70,80)的抽取70× =4(人).…9分 被抽取到的3人中评分在[60,70)的人数X的可能取值为0,1,2,3. PX-0)8-,PX=1)-g-器PX=2)-e-号PX=3)-8-3 C 35 C351 …13分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 p 4 18 12 35 35 35 35 *…1分 期鲤E(X)=0×毫+1×袋+2×号+3x需-号. 35 35 …15分 18解：g)=h)-f)=e-hr-受. 所以g'(x)=e-(1十ln.x)-m.r=e-m.r-lnx-1, 令k(r)=e'一m.xlnx-1, k'(x)=e-m- 因为g'(x)在(1,4)上单调递减 所以及(x）=。一m-≤0对于∈（1,4)恒成立，…2分 可得m≥e一上对于x∈1,4)恒成立， 令G(x)=e-1,则x∈(1,4)时，m>G(x), 易知G(x)在(1,4)上单调递增. 所以G)m<Gc4)=e-子，所以m≥e- 4 小…分 即实数m的取值范個为[e-子.十oo.…5分 (2)当m=-1时，)=xhx-r,f)=lnx+1-x 设切点为(，)(x>1),则切线方程为y-%=f(x)(x一)，y=f(x)(x一)十为，…6分 令F(x)=hx一号2-[广(o)(一)十]，依题意，只需证明F(x)<0即可. F'(r)=Inx+l-x-f(xo), 令g(x)=lnx十1-x-f(),g(x)=1-1, 当>1时，9(x)=1-1<0, 7 (x)在(1，十∞)上单调递减，即F(x)在(1，十o)上单调递减，…9分 又F(xo)=lnx十1-x-(lnxo十1-x%)=0, 故当x∈(1，.xo)时，F(x)>0,F(x)单调递增， 当x∈(，x0,十00)时，F(x)<0,F(x)单调递减，…11分 ∴F（x)=F()=xln-一号后-为=0，则F(x)<0恒成立即得证 …12分 (3)不等式h(2x)+(m+2)h(x)+x+1<0恒成立，即ne2+(n+2)c十x+1<0恒成立， 设H(,x)=e+(n+2e十x+1,x∈R, 则H(x)=1+2e+(n+2)e=(nc+1)(2c+1), 当n≥0时，H(x)>0恒成立，故H(x)在（一∞，十∞）上单调递增。 因为H(0)=2十3>0，所以不符合题意：…13分 数学参考答案第4页（共5页） 当<0时，由H(x)>0,得xr<ln(-)由H(x)<0,得x>ln(-月)： 所以H(x)在(-o,ln(-)上单调递增，在(1n(-),十)上单调递减， 则Hx)<H(n(-1)=a(-)+·(-)广+(+2)(-)+1=a(-）- .…15分 设px)=ln(-)-士K0,则Px)=一+2=子>0恒成立，所以pCx在(-∞，0)上单调 递增， 又p(-1D=0叶1=1>0，p(-2)=h号+号<0， 故n可取的最大整数值为一2. +…17分 2a=4 19.(1)解：由题意可得 2 解得仅2∴能圆C方程为号+芳- a=+2 …2分 y (2)(i)证明：设P(3,t),1≠0， 则直线AP的方程为y=号(x+2,联立y-专（红十2) x2+2y-4=0 可得(2t+25)x2+82x+8r-100=0,4>0. 50-42 圆xxw2g“x=-225W吉十2)月 20L 2r+25 4分 直维P的方程为y一2》.联立字等0 可得(2+1)x2-82x+8r-4=0,4>0, 则-异=2 IN 4r-2 41 2r+斤六W=10xv-2)=2… …6分 20t -41 :“若直线MN不垂直于x轴，则直线MN的方程为y2F十2550-4正_42T一2F+25广 201 2+252+1/ 50-4 22+2522+1 201 6 50-421 -201 化简得)y2+252(一+5)令=0得x一2千 .5-2E50-4r4 +2+25=3 直线MN恒过定点Q(停，0.… …8分 若直线MN垂直于x轴，则=号，此时MN也过定点Q(学，0.…9分 综上MN恒过定点（号，0)以.…10分 (解：由（知直线MN恒过定点Q(号，0），且直线MN的斜率不为0， 故设直线MN的方程为=y十号MaN() 20 x一生·消去x并整理得(2十2)十三可 =0,4>0, 20 9 十3为= n+2M3及= 244…12 又B(2,0),所以△BMN的面积S=号BQ1·M-= 3Vy十为)”-=4×9m+0 91 令k= 从而S在(0，号]上单调递增，当k=号，即m=0时，△BMN的面积取得最大值， …16分 故△BMN面积的最大值为2画 9 …17分 数学参考答案第5页（共5页）北海市2025届高三第四次模拟考试 数 学 2025.5 (考试用时120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={x|x>-1},B={xx2+2x-3>0),则A∩(C.B)= A.(-1,3) B.[-3,-1] C.(-1,1] D.(-3,1) 2.若复数x=2一i,则的虚部为 A司 B C.-zi D-克 3.桂林的象鼻山景区有4个主要景点：象鼻山、水月洞、普贤塔、爱情岛.若游客可以选择游览其 中的3个景点，且必须包含景点象鼻山，则不同的游览顺序有 A.12种 B.14种 C.18种 D.20种 4.DeepSeek是一款人工智能助手，其用户满意度评分S(t)随时间t(单位：月)的变化满足对数型 函数模型：S(t)=aln(t+1)+50,其中a是常数若DeepSeek在经过3个月后评分增长到70， 则满意度评分S(1)为 A.60 B.61 C.62 D.63 5.已知抛物线C的顶点在原点，开口向左，且其焦点到准线的距离为6，抛物线上有一点P, P到焦点的距离为5，则点P的纵坐标为 A.±√6 B.士2√6 C.√6 D.-26 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知cosA=号，a=4,△ABC的面积为23， 则b十c= A.2√/11 B.2√1o C.27 D.32 7.已知一个正四棱锥的底面边长为22，内切球的体积为弩，则这个正四棱锥的体积为 A B号 c号 D.16 数学试卷第1页（共4页） 家甲全 44 8已知双曲线C苔一苦=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为，R,过R,的直线与C在第一 象限交于点P,若P在以FF2为直径的圆上，且PF1的中点在C的渐近线上，则C的离心 率为 A.√2 B.√3 C.2 D./5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某班级有60%的学生报名参加了数学竞赛，40%的学生报名参加了物理竞赛.报名参加数学 竞赛的学生中，有30%同时也报名参加了物理竞赛.从该班级中随机抽取一名学生，记事件 A为“该学生报名参加数学竞赛”，事件B为“该学生报名参加物理竞赛”.则以下说法正确 的是 A.事件A和事件B是独立事件 B.P(A|B)=0.45 C.P(B|A)=0.30 D.P(AUB)=0.82 10.已知圆O:x2+y=1,圆C:(x一3)2+(y一4)2=m(m>0),直线1：y=x十2(k∈R),下列结论正 确的是 A.若直线l与圆O相切，则k=士√3 B,若k=√5，则圆0上到直线L的距离等于2的点恰有3个 C.若圆O与圆C恰有三条公切线，则m=4 D.若P为圆O上的点，当m=9时，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A,B,则∠APB 可能为受 11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十1)为奇函数，f(x十2)为偶函数，当x∈(0,2]时， f(x)=x一1.则下列结论正确的是 A.f(2024)+f(2025)=-1 B.f(x)在区间(6,8)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x=4对称 D.函数y=f(x)一log8x有5个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a为单位向量，bl=4,a·b=-号，则|2a-b1= 13.密位制是一种用于测量角度的单位系统，尤其在军事领域中被广泛使用.例如：狙击手在调整射 击角度时，可以使用密位制来精确计算目标的距离和角度.密位制的基本原理是将一个圆周分为 60等份，每一份称为1密位将函数f()=一c0sx一3s血x0sx十号的图象向左平移 p(p>0)个单位，所得图象关于y轴对称，则0最小值的密位数为 14若函数fa)-看-1士+alnx一ax有两个极值点，则a的取值范围是 L业业站0西（什A雨y 家甲全 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)》 已知数列(an}满足a1=1,且an(1一2am+1)=a+1(1十2an). (1)证明：数列}是等差数列： (2)求{an)的通项公式； (3)设6，=a,a1,数列(6.}的前n项和为T.,证明：T<子 16.(本小题满分15分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD,AB=4,∠ABC=120°，PA=3. 动点E在线段AD上满足AE=λAD,动点F在线段PC上满足PF=λPC,其中λ∈[0,1]. (1)当入=2时，证明：EF∥平面PAB; (2②)是否存在X,使得平面AEF与平面PCD夹角的余弦值为？若存在，求入的值；若不存 在，说明理由， 17.(本小题满分15分) 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想，票 房一路攀升，成为全球动画电影票房冠军截至2025年3月9日全球票房达到148.86亿元， 下图为某平台向200名观众征集该电影的评分结果的频率分布直方图， (1)求m的值； (2)估计这200名观众评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (3)从评分在[60,70)和[70,80)的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调 查，再从这7人中随机抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在[60,70)的人数X 的分布列及期望。 0.030辆率/组距 0.025 0.020 m 0.010 0V060708090100评分 数学试长第3页（共4而） 家国生王 18.(本小题满分17分) 已知函数f()=xnx十受x,h(x)=c心. (1)设g(x)=h(x)一f(x),若g(x)的导函数g(x)在(1,4)上单调递减，求实数m的取 值范围； (2)若m=一1，证明：当x>1时，函数y=f(x)图象上任意一点处的切线总在y=f(x)的 图象的上方； (3)若不等式nh(2x)+(n十2)h(x)+x十1<0对任意x∈R恒成立，求n可取的最大整 数值. 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C后+苦-1a>b>0)的左，右焦点分别为R,R,离心率为号.C上-点G到 F1,F2的距离之和为4. (1)求C的方程； (2)设C的左、右顶点分别为A,B,若M为C上异于A,B的点，直线AM与直线x=3相交于点P, 直线BP与C交于另一点N, ()证明直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标； (i)求△BMN面积的最大值 数学试卷第4页（共4页） 家国全