高二数学上学期期中模拟·能力进阶卷（北师大版，范围：选择性必修第一册第1～3章）

2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为: . 2．圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆. 圆即，表示以为圆心，半径为4的圆. 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 所以两圆的公切线条数为3. 3．已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先计算直线AB、AC的斜率，结合图形得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的正切关系，结合斜率不存在的特殊情况得到倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图形可知，过点的直线与线段有公共点时，斜率满足或，即斜率取值范围为, 设直线的倾斜角为，，由, 当时，，解得；当时，，解得； 当直线斜率不存在时，倾斜角，此时直线方程为，符合要求，故也满足条件; 综上，倾斜角的取值范围为. 4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 则. 5．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意作图，根据双曲线定义表示各线段的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 则①，②， 在中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 6．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，根据垂直的向量表示得到，再根据抛物线的定义结合基本不等式即可求解. 【详解】设，，则，， 因为，所以， 又，，则，整理得， 由抛物线的定义得 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 7．已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据渐近线夹角求出的两种可能，由离心率范围舍去一种，再验证各选项中 的比值得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 两条渐近线夹角为，则渐近线与轴的夹角为或， 因此或. 由离心率定义，结合，得. 已知，故，即. 若，则，，不符合的要求，故舍去，仅保留，即. 验证选项： 选项：，，不符合，排除； 选项：，，不符合，排除； 选项：，，不符合，排除； 选项：，，此时，满足所有条件. 8．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义和已知比例关系求得，借助余弦定理建立等量关系，求得的关系，从而求得离心率. 【详解】由双曲线的定义可知，又因为， 所以，所以 在和中 ， 即， 所以，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B．若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 【答案】ABC 【分析】对于A，利用两圆方程相减即得公共弦方程；对于B，结合直线与圆的位置关系分析需满足，计算即得；对于C，由条件判断两圆外切，可得，计算即得答案；对于D，由切线长定理推得，依题需使最小，即当与直线垂直时，由点到直线的距离公式计算即可. 【详解】对于A，圆的圆心的坐标为，半径 ， 圆的圆心的坐标为，半径 ， 因为，所以圆与圆相交， 将圆与圆的方程左右分别相减，可得， 即为圆与圆的公共弦所在直线的方程，故A正确； 对于B，依题意，需使圆心到直线的距离满足， 解得，故B正确； 对于C， 圆与圆有三条公切线，等价于两圆外切， 由可得，知圆心为，半径为1， 由可得， 知圆心为，半径为，且， 依题意，，解得 ，故C正确； 对于D，如图，由切线长定理，可得，要使最小，需使最小， 因P为直线上一动点，故当与直线垂直时，取得最小值， 此时即圆心到直线的距离为， 故，故D错误. 10．在直角坐标系中，点，，为动点，，记的轨迹为，为的上顶点，则（    ） A．的方程为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件求出点的轨迹方程，结合两点间距离公式、余弦函数性质、余弦定理及二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，设，易知，，则，. 易知，当点在轴上方时，即为直线的斜率，即为直线的倾斜角补角的正切， 此时，， 所以， 整理得，即的方程为. 同理可得，当点在轴下方时，的方程为. 当点在轴上时，不满足. 综上，的方程为，即，A正确. 对于B，由选项A可知，点，所以，B正确. 对于C，当点为短轴顶点时，最大，最小， 此时，则，. 在中，. 所以，当点运动时，，C错误. 对于D，由选项A可知，（且），则， 所以， 而且，所以，即，D正确. 11．在正方体中，棱长为2，点在线段上运动，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．当E为BD的中点时，点E到平面的距离为 D．存在某点E，使直线与平面所成角为 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，并把动点用参数表示：A由"底面积固定、动点到该平面的距离为定值"判断；B用数量积是否为判断线线垂直；C先求平面的方程，再把点的坐标代入求距离；D用线面角公式建立关于的方程，检查解是否落在内. 【详解】以为原点，、、的方向分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，，. 点在线段上，故可设（）. A中，，，二者长度都是且数量积为， 所以是直角边长均为的直角三角形，面积为，是定值； 又平面与平面平行，到平面的距离恒等于棱长， 所以为定值，A正确. B中，，，则， 故与不垂直，B错误. C中，当为中点时. 平面的一个法向量为，其方程为. 把代入得，即点就在平面上，距离为，C错误. D中，取平面的法向量，设直线与平面所成的角为， 则. 令，即，两边平方整理得， 解得，其中满足. 所以存在点，使直线与平面所成角为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【答案】 【详解】因为圆的圆心在轴上， 所以设圆C的圆心C坐标为，半径设为r, 因为圆过原点，所以有，即. 因为圆与圆外切，所以有， 所以有， 两边同时平方得：， 即， 当时，，即，不成立，舍去. 当时，，即， 则， 所以圆的标准方程为. 13．如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先设，再根据勾股定理，用表示出，再通过式子中的几何意义，根据“将军饮马”模型解决即可. 【详解】设， 在长方形中，,， ，又， ∴， ∴， 这个式子的几何意义是轴上的动点， 到点与点的距离之和，如图， 作关于轴对称点，则， 则，∵两点之间线段最短， ∴最小值就是线段的长， 即. 14．如果两个椭圆的长轴长之比等于短轴长之比，那么称这两个椭圆为相似椭圆，并将长轴长之比称为相似比.已知两个相似椭圆：和：（）的相似比为，为上一动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，，直线的斜率和直线的斜率均存在且均不为，则直线的斜率与直线的斜率之积为___________. 【答案】/ 【分析】通过相似椭圆的定义与椭圆方程求出：，再设出直线的方程，与椭圆联立，根据相切得到，同理得到，可知，是方程的两根，根据韦达定理即可求出. 【详解】由题意可知，，解得，，则， 设，则，化简得， 设直线的方程为，即， 代入整理得， 则， 整理得， 设直线的斜率为，同理得， 所以，是方程的两根， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】(1)和. (2)或 (3)是定值，定值为． 【分析】（1）通过点到直线的距离公式分类讨论. （2）通过弦长计算出圆心到直线的距离后，利用点到直线距离公式求解. （3）设出直线方程，通过联立直线与圆方程，利用韦达定理建立起交点坐标间的定量关系，最后表示出两直线斜率之和. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为2， 若过点垂直于轴的直线，恰与圆相切，符合题意； 设另一条直线的斜率为，其方程为，即， 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得， 则该切线方程为. 综上，过点与圆相切的直线方程为和. （2）因为截得的弦长为且半径，所以圆心到直线的距离为， 由，解得或， 即所求直线为或. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且，解得， 设直线QA，QB的斜率分别为， ， 所以是定值，定值为． 16．（15分）已知椭圆：的一个焦点为，椭圆的左右顶点分别为，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，．若四边形的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由和即可求解； （2）通过直线斜率存在和不存在，结合四边形的面积求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，，所以， 所以， 即椭圆方程为. （2） 当直线斜率不存在时，方程为，联立椭圆方程， 可得：，， 四边形的面积为，舍去； 当直线斜率存在时，易知斜率不能为0，设直线方程为， 联立椭圆方程，消去可得：， ，， 所以四边形的面积为：， 即，， 即： ， 即：， 即：， 即：， 即：， 解得，即， 所以直线的方程为：或. 17．（15分）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点． (1)证明：为直角三角形； (2)设，求平面与平面所成角的取值范围． 【答案】(1)证明：因为是圆的直径，所以， 又平面，平面，所以， 而，平面， 故平面. 因为，分别是，的中点，所以，因此平面. 又平面，所以， 即，故为直角三角形. (2) 【分析】（1）利用题意条件以及线面垂直的判定，证明出线线垂直即可求解； （2）根据题意建立适当的空间直角坐标系，先找出夹角的表达式，再利用自变量的范围进行求解。 【详解】（1）略. （2）由，得，. 如图所示，以为坐标原点，以，平面内过点垂直的直线，过点且垂直于平面的直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，不妨设， 则，，. 平面的法向量可取，设平面的法向量为 又，， 则，令，则， 则. 设两个平面夹角为，则 令，则，， 即， 从而，又平面夹角为，所以， 故夹角取值范围为. 18．（17分）在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)连接，过作于， 在等腰梯形中，，，，， 因为故， 又， 在直角三角形中，， 在中， 且，故 取的中点，连接，因为为等边三角形，故， 又平面平面，交线为，故平面，则， 因为，，且，又平面， 故平面. (2) 【分析】（1）作高，用勾股定理证；由面面垂直得底面，再用线面垂直判定定理证平面； （2）以中点建系，求平面与底面法向量，利用法向量夹角公式求二面角余弦值. 【详解】（1）略 （2）以中点为原点，为轴，取中点，由且，可知，以为轴，为轴建立空间直角坐标系， 又，则 又为等边三角形，边长为，故则 平面即为底面，其法向量为 平面中， 设平面的法向量为，则， 取，得 设二面角的大小为，则 故二面角的余弦值为. 19．（17分）已知椭圆的右焦点为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立得， 则，由韦达定理得 设过点的切线为， 联立，得， 令上式中， 即，即， 即，即，即， 解得，故切线的方程可化为， 同理可得过点的切线的方程为， 联立，化简得， 两式相减得，即，所以点在定直线上． （ⅱ）． 【分析】（1）利用椭圆结合已知点坐标代入椭圆方程，联立求解得到，写出椭圆标准方程； （2）（i）设过焦点的直线为与椭圆联立得到纵坐标关系，写出椭圆在处的两条切线方程并联立，两式作差消元求得交点横坐标恒为，证明在定直线上； （ii）把代入切线方程求出点坐标，结合韦达定理得到弦中点坐标，通过斜率相等证明三点共线，再写出表达式，利用求该乘积的取值范围. 【详解】（1）由题意知，， 将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）（i）略 （ii）将代入直线的方程，得，所以， 再由，及得，中点， 因为，所以三点共线． 所以， 因为，所以，所以． 19．（17分） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B A D B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）圆的圆心为，半径为2， 若过点垂直于轴的直线，恰与圆相切，符合题意； 设另一条直线的斜率为，其方程为，即， 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得， 则该切线方程为.（3分） 综上，过点与圆相切的直线方程为和. （2）因为截得的弦长为且半径，所以圆心到直线的距离为， 由，解得或， 即所求直线为或.（7分） （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且，解得， 设直线QA，QB的斜率分别为， ， 所以是定值，定值为．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题意可得：，，所以， 所以， 即椭圆方程为.（3分） （2） 当直线斜率不存在时，方程为，联立椭圆方程， 可得：，，（5分） 四边形的面积为，舍去； 当直线斜率存在时，易知斜率不能为0，设直线方程为， 联立椭圆方程，消去可得：， ，，（10分） 所以四边形的面积为：， 即，， 即： ， 即：，（13分） 即：， 即：， 即：， 解得，即， 所以直线的方程为：或.（15分） 17．（15分）(1)证明：因为是圆的直径，所以， 又平面，平面，所以， 而，平面， 故平面.（4分） 因为，分别是，的中点，所以，因此平面. 又平面，所以， 即，故为直角三角形.（6分） （2）由，得，. 如图所示，以为坐标原点，以，平面内过点垂直的直线，过点且垂直于平面的直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，不妨设， 则，，.（9分） 平面的法向量可取，设平面的法向量为 又，， 则，令，则， 则.（13分） 设两个平面夹角为，则 令，则，， 即， 从而，又平面夹角为，所以， 故夹角取值范围为.（15分） 18．（17分）(1)连接，过作于， 在等腰梯形中，，，，， 因为故， 又， 在直角三角形中，， 在中， 且，故（5分） 取的中点，连接，因为为等边三角形，故， 又平面平面，交线为，故平面，则， 因为，，且，又平面， 故平面.（8分） （2）以中点为原点，为轴，取中点，由且，可知，以为轴，为轴建立空间直角坐标系， 又，则 又为等边三角形，边长为，故则 平面即为底面，其法向量为（13分） 平面中， 设平面的法向量为，则， 取，得（15分） 设二面角的大小为，则 故二面角的余弦值为.（17分） 19．（17分）【详解】（1）由题意知，， 将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的方程为．（4分） （2）（ⅰ）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立得， 则，由韦达定理得（7分） 设过点的切线为， 联立，得， 令上式中， 即，即，（10分） 即，即，即， 解得，故切线的方程可化为， 同理可得过点的切线的方程为， 联立，化简得， 两式相减得，即，所以点在定直线上．（13分） （ii）将代入直线的方程，得，所以， 再由，及得，中点，（15分） 因为，所以三点共线． 所以， 因为，所以，所以．（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版选择性必修第一册第1~3章 5．难度系数：0.73 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． 8．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B．若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 10．在直角坐标系中，点，，为动点，，记的轨迹为，为的上顶点，则（    ） A．的方程为 B． C． D． 11．在正方体中，棱长为2，点在线段上运动，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．当E为BD的中点时，点E到平面的距离为 D．存在某点E，使直线与平面所成角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 13．如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 14．如果两个椭圆的长轴长之比等于短轴长之比，那么称这两个椭圆为相似椭圆，并将长轴长之比称为相似比.已知两个相似椭圆：和：（）的相似比为，为上一动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，，直线的斜率和直线的斜率均存在且均不为，则直线的斜率与直线的斜率之积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 16．（15分）已知椭圆：的一个焦点为，椭圆的左右顶点分别为，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，．若四边形的面积为，求直线的方程 17．（15分）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点． (1)证明：为直角三角形； (2)设，求平面与平面所成角的取值范围． 18．（17分）在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 19．（17分）已知椭圆的右焦点为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版选择性必修第一册第1~3章 5．难度系数：0.73 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． 8．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B．若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 10．在直角坐标系中，点，，为动点，，记的轨迹为，为的上顶点，则（    ） A．的方程为 B． C． D． 11．在正方体中，棱长为2，点在线段上运动，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．当E为BD的中点时，点E到平面的距离为 D．存在某点E，使直线与平面所成角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 13．如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 14．如果两个椭圆的长轴长之比等于短轴长之比，那么称这两个椭圆为相似椭圆，并将长轴长之比称为相似比.已知两个相似椭圆：和：（）的相似比为，为上一动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，，直线的斜率和直线的斜率均存在且均不为，则直线的斜率与直线的斜率之积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 16．已知椭圆：的一个焦点为，椭圆的左右顶点分别为，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，．若四边形的面积为，求直线的方程． 17．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点． (1)证明：为直角三角形； (2)设，求平面与平面所成角的取值范围． 18．在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 19．已知椭圆的右焦点为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $