二次函数压轴之特殊三角形存在性问题—等腰直角三角形归纳练-2025年中考数学三轮复习备考

二次函数压轴之特殊三角形存在性问题—等腰直角三角形 一、解答题 1．如图，抛物线：的图象经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式并判断点是否在抛物线上． (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当时，求的面积； (3)当时，求点的坐标； (4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 4．【综合探究】 如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 5．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线L的表达式； (2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线，使其经过原点．若在第二象限的抛物线上存在点P，使为等腰直角三角形，请求出抛物线的表达式． 7．如图，已知二次函数的图象与轴正半轴交于点，为第一象限抛物线上的一点，为抛物线对称轴上的一点，是等腰直角三角形，且．求点的坐标． 8．如图，是等腰直角三角形，，，，抛物线交x轴于点C，D两点，且经过点B． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点F，使得的面积等于5，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由； (3)点在抛物线上，连接，求出在坐标轴的点P，使得是以为顶角以为腰的等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 9．如图，已知抛物线与直线相交于． (1)抛物线及直线的函数关系式； (2)如图1，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积最大值； (3)如图2，若是抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为______． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线相交于B、C两点，与x轴交于点．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)过点P作轴交直线于点D，求的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点D是抛物线上一点，当的面积为10时，求出点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)M是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点且位于x轴下方，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点Q的坐标． 13．已知二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)过A、C两点作直线，并将线段沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且是以为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标； (3)已知点满足，点M、N分别是x轴、直线上的动点，当的最小值为时，求n的值． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．点是轴上方抛物线上一动点（不落在轴上），过点作轴交轴于点，轴交轴于点．设点的横坐标为，矩形的周长为． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形的面积被抛物线的对称轴平分时，求的值． (3)求与之间的函数关系式． (4)设直线与矩形的边交于点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围． 15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在，点的坐标为：或 本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）先利用抛物线对称轴求出a的值，将点D的坐标代入抛物线表达式，求得c的值即可； （2）由题意得：，当时，，即可判断点是否在抛物线上； （3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标． （1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点在抛物线上． （3）解：存在，理由如下： ①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∴，， ∴点， 当时，，即点在抛物线上， ∴点即为点； ②当为直角时，如图2， 同理可得：， ∴，， ∴点， 当时，， ∴点在抛物线上， ∴点即为点； ③当为直角时，如图3， 设点， 同理可得：， ∴且，解得：且， ∴点， 当时，， 即点不在抛物线上； 综上，点的坐标为：或． 2．(1) (2) (3)或 （1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）过点作与轴交于点；可求得的解析式为 ，得，再由列方程求出m即可解答 （3）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． （1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）设的解析式为：，过点作与轴交于点， 把和代入得：， ， 的解析式为：， ∵， ∴，， ∴ ∵, ∴，即 解得：， 当，，即， 当，，即， 综上所述： （3）如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ， 抛物线对称轴是直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ， ， 解得：，， 综上，的值是或． 本题是二次函数的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，二次函数上点的坐标的特征，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，列方程可解决问题． 3．(1) (2)3 (3)或 (4)的值是或 （1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）先计算点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，最后利用面积和可得的面积； （3）分两种情况：当点P位于直线下方时，先计算，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得：，则，从而根据直线和抛物线的交点坐标可解答，当点P位于直线上方时，作轴于E，于F，求出即可； （4）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． （1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵点是抛物线上的动点，， ∴， ∴， 设的解析式为：，与轴交于点， 把和代入得：， ∴， ∴的解析式为：， 当时，，解得：， ∴， ∴的面积； （3）解：如图1，当点位于直线下方时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求得的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴； 当点位于直线上方时，作轴于，于， 则，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即． 综上，或． （4）解：如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ∵， ∴抛物线对称轴是直线， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ∴， ∴， 解得：，， 综上，的值是或． 本题是二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 4．(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或． （）把点， 点代入即可求解； （）由抛物线的解析式为，求出，再利用待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故有，，再通过列出方程，然后解方程即可； （）分当时和当时两种情况分析即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由（）得：抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：存在，理由： ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 5．(1)，，， (2)存在，m的值为3或2 本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质等知识： （1）令，求出x的值，得点A，B的坐标，令，得y的值，可得点C坐标，再设直线的解析式为，把代入并求出k的值即可； （2）分和两种情况利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可． （1）解：当时，， 解得或， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在m使得为等腰直角三角形，理由如下： ∵点P的横坐标为m，且， ∴点P的坐标为， ∴，， ∴， ， ； ∵，， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴，即， 解得或（舍）或（舍）； 当时，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）； 综上所述：m的值为3或2． 6．(1) (2)或或 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式，由点)在函数图象上，对称轴为直线，列方程组即可求得解析式； （2）根据平移后的图象过原点，所以设，使抛物线第二象限上的点P与组成的是等腰直角三角形，所以分三种情况来讨论，分别求出三种情况的解析式即可． （1）解：由题意，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：当时，， ∴，则， ∵， ∴， 由平移后抛物线过原点，可设表达式是，分三种情况： ①当为等腰直角三角形的斜边，如解图①所示，作轴于点Q， ， ，， ． 又， ， ， ， 点坐标是， 把代入得，， ． ∴平移后抛物线表达式为； ②当为等腰直角三角形的斜边，如解图②所示，过作轴于H， 同上可得， ， 点坐标是， 把代入得，， ． ∴平移后抛物线表达式为； ③当为等腰直角三角形的斜边，如解图③所示， 此时是的中点， ， ， 把代入得，． ∴平移后抛物线表达式为． 综上所述，平移后抛物线表达式为或或． 本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质等知识，要注意数形结合和分类讨论思想方法的运用． 7． 本题考查了二次函数的综合应用，令，根据解析式得，对称轴为直线，设直线与轴交于点，过点作于点，根据是等腰直角三角形，且，证明，可得，设点，则，得出代入抛物线解析式，求得的值，即可求解． 解：当时，， 解得： ∴， 抛物线的对称轴为直线， 设直线与轴交于点，过点作于点． 以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ， ， ， ， ． 设点，则， ． 点在抛物线上， ， 解得（舍去）或 ． 8．(1) (2)或或或 (3)的坐标为：，，，． （1）由等腰三角形的性质先求解，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设，利用，可得，再建立方程求解即可； （3）如图，过作轴于，求解，，可得，以为圆心，为半径画圆，与坐标轴交于，，，，则是以为顶角以为腰的等腰三角形，再进一步求解即可． （1）解：∵是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得：， 解得：，， ∴或， 当时， 整理得：， 解得：，， ∴或， 综上：的坐标为：或或或． （3）解：如图，过作轴于， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 以为圆心，为半径画圆，与坐标轴交于，，，， 则是以为顶角以为腰的等腰三角形， ∴，，，． 综上：的坐标为：，，，． 本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，圆的基本性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，作出合适的辅助线是解本题的关键． 9．(1)抛物线为，直线为 (2) (3)点的坐标为或 （1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）分当时，当时，两种情况，分别求解即可． （1）解：由抛物线过点及得， 解得， 故抛物线为； 又设直线为过点及， 则， 解得， 故直线为； （2）解：如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点， 设，则， ， 又， ∴面积的最大值为； （3）解：设，则， 当时， 如图，则， 解得：或（舍去）， 故点的坐标为； 当时， 如图，则， ， 则， 解得：（舍去）或， 故点的坐标为； 故若是等腰直角三角形，则点的坐标为或． 此题主要考查利用待定系数法求函数解析式和利用二次函数的顶点式求最值，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 10．(1) (2)的最大值为 (3)存在，点N的坐标为或或或 （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设，先求得抛物线的对称轴是直线，设直线交x轴于点G，则，轴，作于点F，可证明，再分四种情况讨论即可． （1）直线相交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为：、， 则抛物线的表达式为， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）如图1，设， ∵轴交直线BC于点D， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴的最大值为． （3）存在，设， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 设直线交x轴于点G，则，轴， 作于点F，则，， 如图2，点M在x轴上方，且点N在直线左侧， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图3，点M在x轴上方，且点N在直线右侧， 同理可得， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图4，点M在x轴下方，且点N在直线右侧， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图5，点M在x轴下方，且点N在直线左侧， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 综上所述，点N的坐标为或或或． 此题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解一元二次方程，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 11．(1) (2)或 (3)存在，或或 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）设点D的坐标为，根据三角形的面积公式得到，求出，再代入解析式，求出的值，即可得出结果； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． （1）解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴． （2）设点D的坐标为， ∵的面积为10， ∴，即， 解得． ①当时，， 解得：，， ∴D或． ②当时，， 此方程无实数根， 综上所述，点D的坐标为或． （3）存在， ①当时，， ∴M点与A点重合， ∴； ②当时，， 如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线，过点P作交于点H，过点M作交于点G， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴，解得或． ∴或． ∵M点在对称轴的左侧， ∴M点坐标为． 如图2，当P点在M点下方时， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴，解得（舍）或， ∴． 综上所述：M点的坐标为或或． 12．(1) (2) (3)或或 （1）利用待定系数法即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，设，求出，通过证明，得到，再利用二次函数的性质即可求解； （3）由是以为腰的等腰直角三角形，分2种情况讨论：①当，过点作轴交于点，通过证明得到，设，列出方程求出的值可得出点的坐标；②当，此时点在轴下方，过点作交于点，通过证明得到，设，列出方程求出的值可得出点的坐标，即可得出答案． （1）解： 将、、代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为． （2）解：如图，过点M作轴，交于点H， 设直线的解析式为， 将、代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 轴， ， ， 当时，有最大值， 此时， 点M的坐标为． （3）解：由题意得，抛物线对称轴为， 设抛物线对称轴与轴交于点，则， 是以为腰的等腰直角三角形， 或； ①当，过点作轴交轴于点，令对称轴交轴于E，如图： 轴， ， ， ， ，即， 又，， ， ， 设，则， 若点在轴上方，则， 解得：，（舍去）， ； 若点在轴下方， 则， 解得：，（舍去）， ； ②当，此时点在轴下方，过点作交于点，如图： ， ， ， ， ， ，即， 又，， ， ，， ， 设，则， ， 解得：，（舍去）， 此时， ； 综上所述，点Q的坐标为或或． 本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．本题属于函数与几何压轴题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决难题的学生． 13．(1) (2) (3) （1）由二次函数的顶点为，可设其解析式为，再把点代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）由二次函数的解析式求出或，再分两种情况讨论．过点C作轴于点H．解直角，得出，那么， ．解等腰直角得出，，由，得到轴．利用待定系数法求出直线的解析式为．设（其中），则点，那么，解方程求出m，进而得出点F的坐标； （3）作关于x轴的对称点 过作于 交x轴于 过作轴交直线于T， 与y轴交于点K，当时，最小，最小值为的长度，再求解，从而可得答案． （1）解：∵二次函数的顶点为， ∴可设该二次函数的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由，得或，   ∵二次函数的图象与x轴正半轴交于点A， ， 如图，过点C作轴于点H． ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 由平移可得：在等腰直角中， ，， ∴，， ∴， ∴轴． 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为． 由题意，设（其中），则点， ∴， ∴， ∴（负根不合题意舍去）， ∴点F的坐标为； （3）解：如图，作关于x轴的对称点 过作于 交x轴于 过作轴交直线于T， 与y轴交于点K， 关于x轴对称， ， ， 当时，最小，最小值为的长度， ， 由为，可得： ， ， ， ． 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与等腰直角三角形，线段和的最小值问题，熟练的利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 14．(1) (2) (3) (4)或 （1）将和代入建立方程组求出b和c的值即可； （2）当矩形的面积被抛物线的对称轴平分时，点P、D关于抛物线的对称轴对称，由抛物线的顶点坐标即可得出抛物线的对称轴为，结合点D的横坐标为0，即可得出m的值； （3）因为点P的横坐标为m，且点P在图象上，所以可以求出点P的纵坐标，由矩形的性质进而求出点D和点C的坐标，又因为点P的位置不确定，所以要分两种情况分别讨论L和m的函数关系①当点P在第一象限时②当点P在第二象限时； （4）画出函数图象，分两种情形考虑即可①Q在边上，②Q在边上．分别求解即可． （1）解：将和代入得： ， ∴， ∴； （2）解：∵点P的横坐标为m，且点P在图象上， ∴，， ∵矩形的面积被抛物线的对称轴平分， ∴P、D关于对称轴对称， ∴， ∴时，矩形的面积被抛物线的对称轴平分； （3）解：由题意，，， 分以下两种情况： ①当点P在第一象限时，， ∴，， ∴， ∴； ②当点P在第二象限时，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，； （4）解：由，解得或（舍弃）， ∴， 分以下两种情况： 如图，当Q在边上时， 由图象可知，当时，是等腰直角三角形； 如图，当Q在边上时， 此时，即时，是等腰直角三角形， 解得或， ∵点P在x轴上方， ∴满足条件的m的值为或． 综上所述，当或时，是等腰直角三角形． 本题考查了二次函数的确定方法、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一元二次方程的运用，题目的（3）和（4）两问中需要分类讨论的数学思想，防止遗漏问题的解． 15．(1)，， (2) (3)或 （1）令抛物线解析式中，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分、和三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点Q的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点Q坐标中即可得出结论． （1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； （3）解：假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： ①当时，设与x轴交于G，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ②当时， 为等腰直角三角形， ， 又， ∴在上， 过F作于F， 则， ， ， ∴， ， ∵点Q在抛物线， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ③当时，， ， ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为，， ∴． 综上可知：在抛物线上存在点Q，使得为等腰直角三角形，点Q的坐标为或． 本题主要考查了二次函数综合应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$