二次函数压轴之特殊三角形存在性问题—等腰三角形归纳练-2025年中考数学三轮复习备考

二次函数压轴之特殊三角形存在性问题—等腰三角形 一、单选题 1．如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（  ） A．1＋ B．1－ C．－1 D．1－或1＋ 2．已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 3．已知二次函数（a是常数，且）． （1）若该函数图象经过点，则a的值为 ； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为 ． 4．抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，点在在这条抛物线上． (1)则点的坐标为 ； (2)若点为轴的正半轴上的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，且C、D两点关于y轴对称，过点C作x轴的垂线交抛物线于点E，连接，当是等腰三角形时，线段CD的长为 ．    6．如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为 ． 三、解答题 7．如图，点为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、两点（点在轴上），与二次函数图象的对称轴交于点． (1)求的值及点坐标； (2)连接、，求的面积． (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为． 例如：抛物线的“伴随直线”为，即． (1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为__________，“伴随直线”为__________． (2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，．若为等腰三角形时，求的值． 9．新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求该二次函数的解析式； (2)若，请直接写出的解集； (3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 10．如图，已知抛物线 经过点，与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C，点 P 的坐标为，点 Q 在该抛物线上，横坐标为．其中． (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)点 M 是对称轴上的动点，当 是以为底的等腰三角形时， 求 M 点坐标； (3)当抛物线在点B和点Q之间的部分（包括 B 、Q 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值． 11．我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． (1)请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． (2)观察图象，当时，y的范围是________，当时x的范围是________ (3)设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过，的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)在两坐标轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在直线上找一点Q，使得为等腰三角形，写出Q点坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线对称轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，若点M为抛物线第一象限上的点，当时，直接写出点M的横坐标． 16．如图、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点，连接，点在线段上，设点的横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如果以为顶点的新抛物线经过原点，且与轴的另一个交点为，若是以为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式． 18．如图，二次函数 的图象与x轴交于，两点，与y轴正半轴交于点，点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．    (1)当时， 求的值； (2)在（1）的条件下，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)连接， 连接交于点， 记面积为 ，面积为，在点运动的过程中，对于任意，判断 是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 19．已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．A 根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可． 令x=0，则y=-3， 所以，点C的坐标为（0，-3）， ∵点D的坐标为（0，-1）， ∴线段CD中点的纵坐标为， ∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形， ∴点P的纵坐标为-2， ∴x2-2x-3=-2， 解得x1=，x2=， ∵点P在第四象限， ∴点P的横坐标为． 故选：A． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点P的纵坐标是解题的关键． 2．C 求出，的坐标，画出图形即可解决问题． 解：， 所以，抛物线经过点，， ， 点坐标为，，    观察图象可知，满足条件的点有4个， 所以，能使为等腰三角形的抛物线共有4条． 故选：C． 本题考查了抛物线与轴的交点问题、等腰三角形的定义，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论． 3． 或． 此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识． （1）二次函数的图象经过点，得到，即可得到； （2）求出点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，得到，，，分三种情况进行讨论即可进行解答． 解：（1）∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为： （2）当时，， ∵， ∴， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴，，， 则， 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 当时，，即，解得（不合题意，舍去），； 综上可知，a的值为或． 故答案为：或． 4． ， （1）将点代入函数解析式即可得出结论； （2）令，求得点的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用为等腰三角形和等腰三角形的解答即可得出结论． 解：（1）点在抛物线上， ， ， 故答案为：； （2）令，则， 解得：或． 抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧， ． 点为轴的正半轴上的一点，①当时，如图，    过点作于点， ，， ，，， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ， ； ②当时，如图，    过点作轴于点， ，， ，，， 设点， 点为轴的正半轴上的一点， ， ， ， ， ， 解得：， ． 综上，当为等腰三角形，则点的坐标为或． 故答案为：或． 本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 5．/ 由点在抛物线上，求出抛物线解析式是，设的横坐标是，则的横坐标是，的坐标是，由是等腰直角三角形，列出关于的方程，求出的值即可解决问题． 解：点在抛物线上， ， ， 抛物线解析式是， 设的横坐标是，则的横坐标是，的坐标是， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 或（舍， 线段长是． 故答案为：． 本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是二次函数的性质． 6．、、、． 本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质与分类讨论思想，正确运用等腰三角形两腰相等的性质列出方程是关键步骤； 令，即可得到点A的坐标，然后根据点的坐标，得，；若是等腰三角形，且点在轴上，故点的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可． 解：二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为， ∴， ∴，， 在中，， 因为是等腰三角形， 所以：①如图1，当时，，点的坐标为， ②如图2，当时，点的坐标为或， ③如图，3，当时，设点的坐标为，根据题意， , , ∴， 解得． 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为，或，． 7．(1)，顶点坐标为 (2) (3)或或或 （1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解. （1）∵直线过点， ∴， ∴， ∴， ∴， 二次函数解析式为 顶点坐标为； （2）由（1）知， 直线的解析式为，，二次函数对称轴为直线， ∵直线与二次函数图象的对称轴交于点， ∴设点， ∴， ∴， ∴的面积； （3）存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形. ∵顶点坐标为 ∴对称轴为直线 过点作于点， 在中，， ①当时，设，在中，， 即， 解之得 ， ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得， ， ； ③当时，， ， 综上所述：点的坐标为或或或 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键 8．(1)， (2) 本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，以及新定义，是解题的关键． （1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式； （2）联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点A、B的坐标，还可求得抛物线与x轴的交点C、D的坐标，从而可求得，根据图形可知为等腰三角形时，只能是，从而可求得a的值； （1）解：的顶点坐标为，“伴随直线”为； 故答案为：，； （2）解：的伴随直线为，即， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得， 解得或， ，， 在中，令可解得或， ，， ，， 当为等腰三角形时，只存在一种可能为，如图所示， ，即，解得（抛物线开口向下，正值舍去） 若为等腰三角形时，a的值为． 9．(1) (2)或 (3)或 本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点距离计算公式建立方程求解即可． （1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”为． 二次函数的图象经过，． 解得 二次函数的解析式为． （2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或． （3）解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为． 点在抛物线对称轴上， ∴可设． 点的横坐标小于点的横坐标， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为或． 10．(1)， (2)M点坐标为 (3)m的值为1或 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）根据 是以为底的等腰三角形，得到，进行求解即可； （3）分两种情况，列出方程进行求解即可． （1）解：把，代入，得：， 解得：， ∴， ∴，顶点坐标为：； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，解得：， ∴，， 当时，， ∴， ∴， 设，则：， 由题意，得：， 解得：（舍去）， ∴； （3）当时，， ∴， ∵， ∴， ∴点在对称轴的左侧， 当时，最高点为顶点，最低点为点，则：， 解得：； 当时，最高点为顶点，最低点为点，则：， 解得： ，（舍去）； 综上：m的值为1或． 11．(1)见解析 (2)， (3)存在，或或或 （1）取点描点连线即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． （1）解：由抛物线的表达式知，其顶点为：， 抛物线和轴的交点坐标为，， 当时，，当时，， 根据上述 5 个点描点连线绘制图形如下： （2）解：∵，则或 ， ∴当时，， 当时，， 故答案为：； （3）解：存在，理由： ， ， 由点的坐标得，， 当时， 则，则，则点； 当或时， 同理可得：或， 则或， 即点或或， 综上，或或或． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，函数作图，解不等式等，分类求解是解题的关键． 12．(1)二次函数的解析式为；点的坐标为 (2)存在，，，，，，，， 本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与等腰三角形的综合，掌握代数系数法，二次函数与特殊三角形的综合，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线解析式，运用待定系数法可得二次函数解析式，根据二次函数图象与坐标轴交点的计算方法即可求解； （2）根据等腰三角形的判定和性质，分类讨论：第一种情况：当使得是以为底边的等腰三角形，点在线段的垂直平分线上，①当点在轴上时，，设；②当点在轴上时，，设；由等腰三角形的性质列式计算；第二种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点；第三种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点；由此即可求解． （1）解：将代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点是二次函数与轴的交点    ∴点的横坐标为0， 将带入解析式中，求得， ∴点的坐标为； （2）解：存在，满足题意的点，使得是等腰三角形． ∵，， ∴，且， ∴， 第一种情况：当使得是以为底边的等腰三角形，点在线段的垂直平分线上，如图所示， ①当点在轴上时，，设， ，， ， 解得，此时； ②当点在轴上时，，设， ，， ， 解得， 此时； 第二种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点，即有3个点满足要求此时，，； 第三种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点，即有3个点满足要求此时，，； 综上所述：存在，，，，，，，使得是等腰三角形． 13．(1)； (2)Q点坐标为或或或． （1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，利用两点之间的距离公式可得，，的值，再分、和三种情况，分别建立方程，解方程即可得． （1）解：将点代入二次函数得：， 解得， 则这个二次函数的表达式为； （2）解：设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 当时，， 所以此时点的坐标为； ②当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或， 当时，，即， 当时，，即； ③当时，为等腰三角形， 则，即， 解得， 此时， 所以此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或或或． 本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的综合问题、等腰三角形的定义、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 14．(1)抛物线的表达式为 (2)面积的最大值为，此时D点坐标为 (3)存在，点P的坐标为 此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． （1）解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； （3）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 15．(1)； (2)点P坐标为； (3)存在， （1）把代入即可的得出抛物线解析式； （2）依题意可得出即P点在的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出P点的坐标； （3）利用铅垂线，即可表达出，再由即可列出方程求解． （1）根据题意，得 ， 解得， 抛物线解析式为：． （2）由（1）得， 点， ∵点， ． ∵当是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线的对称轴与轴交于H点，则， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴， ∴， ∴， 点P坐标为． （3）存在． 理由如下：过点M作轴，交于点E，交x轴于点F． 设，则， 设直线的解析式为：，依题意，得： ， 解得， 直线的解析式为：， 当时，， 点E的坐标为， ∵点M在第一象限内，且在的上方， ， ， ∵，， ， 解得． 此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键． 16．(1) (2)存在，点P坐标为：或或或 （1）根据二次函数对称轴，设其函数表达式为：，根据一次函数的表达式求出点A和点C的坐标，再根据二次函数的对称性，求出点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入求解即可； （2）分情况进行讨论，①当时，②当时，③当时，分别求解即可． （1）解：∵一次函数的表达式为：， ∴当时，，解得：，当时，， ∴，， ∵二次函数称轴为直线， ∴， 设二次函数表达式为：， 把代入得：，解得：， ∴二次函数表达式为：， 整理得：． （2）存在 ①当时，如图：此时； ②当时，如图：有两种情况， ∵，， ∴， 令对称轴与x轴交于点Q， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点C作垂直于对称轴，垂足为点M， ∵对称轴为直线， ∴点P横坐标为，， 设点P， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上存在“圣和点”，点P坐标为：或或或 本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式，灵活运用各个相关知识，根据题意进行分类讨论． 17．(1) (2)或 （1）先确定点C的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）利用等腰三角形定义分类求解即可． 本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的分类求解，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）解：设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令得， ∴， 设直线的解析式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：. （2）解：∵点的横坐标为，点在线段上， ∴，， ∴设新抛物线的解析式为， ∵点、点， ∴，，. 分情况讨论： （1）当时，则， 解得， 此时，， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴新抛物线的解析式为； （2）当时，， 解得，（此时与重合，舍去）， ∴， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴新抛物线的解析式为. 综上所述，新抛物线的解析式为或. 18．(1) (2) (3)存在， 本题考查了二次函数的综合应用，等腰三角形的性质，解直角三角，掌握以上知识是解题的关键； （1）当时，，进而代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，进而得出直线的解析式为，设，则，过点作于点根据题意得出的纵坐标为，进而得出，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，根据题意得出，进而解直角三角形，求得的表达式，进而根据二次函数的性质，即可求解． （1）解：当时，代入， ∴， 解得：， （2）由（1）可得 当时，， 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 设，则 过点作于点    ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，轴， ∴的纵坐标为 ∴ ∴ 解得：（舍去）或 ∴ （3）解：如图所示，过点作于点，过点作于点        记面积为 ，面积为， ∴ ∵二次函数 的图象与x轴交于，两点， 当时， 解得： ∴， ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵抛物线与y轴正半轴交于点， ∴ ∴ 设,则 ∴    ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 又 ∵， ∴存在最大值，最大值为 19．(1) (2)或 (3)存在，或 （1）先根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，再利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，求出直线的解析式为，再求出直线的解析式，令，求出点，根据，建立方程求解即可； （3）设点，由易证是等腰直角三角形，得到，分和两种情况讨论，利用正切的定义即可求解． （1）解：∵物线的对称轴为直线，且经过点和，则B点坐标为， 则抛物线 将代入上式中， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）设点M的坐标为，直线的解析式为 ∵代入上式得： 再将点代入上式得： ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 令 解得：， ∴ ∵是以为底的等腰三角形， ∴ 则 解得 ∴P的坐标为或； （3）设点， ∵ ∴ ∴ ∴使得中有一个角是的2倍 则为直角三角形 当时，如图，过点Q作轴于点D， ∵ ∴ ∴ ∵，，，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴； 当时，如图，过点Q作轴于点F， 同理： ∵，， ∴， ∴，则， ∴； 当时，该情况不存在 ∴Q点的坐标为：或． 本题考查了二次函数的综合问题，涉及等腰三角形的判定、二次函数的最值，解直角三角形等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强． 20．(1) (2)有最大值 (3)或 （1）根据抛物线的对称轴为，与轴交于点得，解出、的值，即可求解； （2）设点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可； （3）分两种情况讨论：当时；当时；即可求解． （1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点， ， 解得：， ； （2）解：设点， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的表达式为：， 即点， ， ， ， 时，开口向下，当时，有最大值， ； （3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况： 当时，过作于点，则点为的中点，即， ， ， ，（舍去）； 当时， ， ， ，（舍去）， 综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$