专题04 等腰三角形（考题猜想，高频易错重难点12大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题04 等腰三角形（考题猜想，高频易错重难点12大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等边对等角（高频） · 题型二 根据等边对等角证明 · 题型三 三线合一（易错） · 题型四 等腰三角形的定义 · 题型五 根据等角对等边证明等腰三角形 · 题型六 根据等角对等边证明边相等（高频） · 题型七 根据等角对等边求边长（高频） · 题型八 等腰三角形的性质和判定（高频） · 题型九 等边三角形的性质 · 题型十 等边三角形的判定（重点） · 题型十一 等边三角形的判定和性质（易错） · 题型十二 线段垂直平分线的性质 题型一 等边对等角 1.（21-22七年级下·上海·期末）等腰三角形的顶角为α，那么这个等腰三角形一条腰上的高与底边的夹角为（　　） A．α B．2α C．α D．90°﹣α 2.（24-25七年级上·上海青浦·期末）如图，将绕点逆时针旋转30°得到，且恰好落在边上，已知，则 ． 3.（22-23七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 题型二 根据等边对等角证明 4.（21-22七年级下·上海·期末）如图，已知在三角形中，，过点C作的平行线，证明：平分    5．（21-22七年级下·上海·期末）填空完成下列说理： 如图，与交于点，联结、、，已知，． 说明：． 在与中， （已知） （已知） （______） ≌（______） （______） （______） （______） （______） 即． 6．（开放题）（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，在四边形中对角线交于点，给出下列三组等量关系：；，；请选择其中两组等量关系作为已知条件，另一组等量关系作为结论，并写出说理过程．    题型三 三线合一 7.（20-21七年级下·上海青浦·期末）性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（    ） A．等腰三角形底角的平分线 B．等腰三角形腰上的高 C．等腰三角形腰上的中线 D．等腰三角形顶角的平分线 8.（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是 ．    9.（20-21七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线干点E，求∠ADE的度数． 题型四 等腰三角形的定义 10.（23-24七年级下·上海青浦·期末）如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 11．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等． 其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12.（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 题型五 根据等角对等边证明等腰三角形 13.（20-21七年级下·上海闵行·期末）如图，中，，垂足为点D，，垂足为点E，，和交于点F，联结，试说明． 14．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在，点是上一点，，，，，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形 题型六 根据等角对等边证明边相等 15.（20-21七年级下·上海崇明·期末）阅读并填空（在答题纸相应编号后的空格内直接填写答案）： 如图，已知中，BD平分，说明的理由． 解：因为BD平分（①） 所以（②） 因为（③） 所以（④） 所以（⑤） 所以（⑥） 16.（22-23七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在中，，是的高，点E在边上，与交于点F，且，试说明．    解：∵是的高（已知） ∴（垂直的意义） ∵， ∴ ∴． 在和中 （请继续完成以下说理过程） 题型七 根据等角对等边求边长 17.（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，为的角平分线，交于E，若，则 ． 18．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，小明家位于学校P的南偏东方向的M处，小明从家向正北方向走500米后到达位于学校的北偏东的图书馆N处，则图书馆N处与学校P的距离为 米． 19.（20-21八年级上·上海·期中）如图，是的高，，求的长． 题型八 等腰三角形的性质和判定 20.（21-22七年级下·上海·期末）如图，在直角三角形中，，，点、在上，如果，，那么图中的等腰三角形共有个．（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 21.（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图， 在中，平分的周长为11，那么的长是 ．    22.（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在中，， 射线交于点O，， 点E、F在射线上， 且．试判断与的数量关系，并说明理由． 题型九 等边三角形的性质 23.（20-21七年级下·上海静安·期末）下列说法中，正确的有（    ） ①都含有70°的两个直角三角形一定全等； ②都含有100°的两个等腰三角形一定全等； ③底边相等的两个等腰三角形一定全等； ④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等； ⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 24.（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知是等边三角形，点、分别是、上的两个动点，和相交于点，当时，则 度 25.（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知是等边三角形，D为边上一点，以为边向形外作等边三角形、联结 (1)试说明的理由； (2)如果，试说明的理由． 题型十 等边三角形的判定 26.（20-21七年级下·上海普陀·期末）下列条件中，不能判断是等边三角形的是（    ）． A．， B．， C． D． 27．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（　　） A．三角形的外角等于两个内角的和 B．等腰三角形的角平分线和中线重合 C．含60°的两个直角三角形全等 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 28.（21-22七年级下·上海·期末）如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC． (1)试说明△ADC与△BEC全等的理由； (2)试判断△DCE的形状，并说明理由． 题型十一 等边三角形的判定和性质 29.（21-22七年级下·上海·期末）下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC 30.（22-23七年级下·上海长宁·期末）如图，，直线分别交、于点，平分交于点．如果，，即么的周长等于 ． 31.（23-24七年级下·上海·期末）如图，已知在中，点分别在上，，且．试说明的理由； 题型十二 线段垂直平分线的性质 32．（23-24八年级上·上海·期末）如图，三角形中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级上·上海松江·期末）下列说法中正确的是（    ） A．“对顶角相等”没有逆命题； B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； C．以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线； D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等． 34．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，的垂直平分线与边交于点D，E，已知与的周长分别是和，则的长为 ． $$专题04 等腰三角形（考题猜想，高频易错重难点12大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等边对等角（高频） · 题型二 根据等边对等角证明 · 题型三 三线合一（易错） · 题型四 等腰三角形的定义 · 题型五 根据等角对等边证明等腰三角形 · 题型六 根据等角对等边证明边相等（高频） · 题型七 根据等角对等边求边长（高频） · 题型八 等腰三角形的性质和判定（高频） · 题型九 等边三角形的性质 · 题型十 等边三角形的判定（重点） · 题型十一 等边三角形的判定和性质（易错） · 题型十二 线段垂直平分线的性质 题型一 等边对等角 1.（21-22七年级下·上海·期末）等腰三角形的顶角为α，那么这个等腰三角形一条腰上的高与底边的夹角为（　　） A．α B．2α C．α D．90°﹣α 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】解：如图： ∵∠BAC＝α， ∴． ∵BD⊥AC， ∴∠ABD＝90°﹣α， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是理解等腰三角形的性质和三角形内角和定理． 2.（24-25七年级上·上海青浦·期末）如图，将绕点逆时针旋转30°得到，且恰好落在边上，已知，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查三角形的旋转问题，涉及等腰三角形性质，三角形外角的性质等知识，由将绕点逆时针旋转得到，且恰好落在边上，可得，，，即得，而，故，从而． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，且恰好落在边上， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3.（22-23七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②或 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或 题型二 根据等边对等角证明 4.（21-22七年级下·上海·期末）如图，已知在三角形中，，过点C作的平行线，证明：平分    【答案】见详解 【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 5．（21-22七年级下·上海·期末）填空完成下列说理： 如图，与交于点，联结、、，已知，． 说明：． 在与中， （已知） （已知） （______） ≌（______） （______） （______） （______） （______） 即． 【答案】对顶角相等；ASA；全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边相等；等边对等角；等式性质． 【分析】根据对顶角相等得到，再证明≌，所以，根据等边对等角证明，最后根据等式性质即可解答． 【详解】解：在与中， 已知， 已知， 对顶角相等， ≌， 全等三角形的对应角相等， 全等三角形的对应边相等， 等边对等角， 等式性质， 即． 故答案为：对顶角相等；ASA；全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边相等；等边对等角；等式性质． 【点睛】本题主要考查对顶角相等，全等三角形的判定和性质，解题关键是对相应的知识的掌握与应用． 6．（开放题）（21-22七年级下·上海嘉定·期末）如图，在四边形中对角线交于点，给出下列三组等量关系：；，；请选择其中两组等量关系作为已知条件，另一组等量关系作为结论，并写出说理过程．    【答案】选择，证明，证明见解析 【分析】利用证明，得到，再利用证明，得到，即可证明结论． 【详解】解：选择，证明， 证明：在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型三 三线合一 7.（20-21七年级下·上海青浦·期末）性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（    ） A．等腰三角形底角的平分线 B．等腰三角形腰上的高 C．等腰三角形腰上的中线 D．等腰三角形顶角的平分线 【答案】D 【分析】根据在等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合对各选项进行判断即可． 【详解】解：等腰三角形中三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质．解题的关键在于熟练掌握三线合一中的三线分别指顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线． 8.（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是 ．    【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的周长即可得到结论． 【详解】解：，是的平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 9.（20-21七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线干点E，求∠ADE的度数． 【答案】110° 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，根据等腰三角形的性质可求∠BDA，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°， ∵AD＝AB， ∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°， ∴∠ADE＝180°﹣∠BDA＝180°﹣70°＝110°． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，掌握“等边对等角，等腰三角形的三线合一”是解本题的关键. 题型四 等腰三角形的定义 10.（23-24七年级下·上海青浦·期末）如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系定理，掌握等腰三角形的性质、三角形三边关系定理、以及运用分类讨论思想是解题的关键．由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分5为底边与10为底边两种情况进行讨论． 【详解】解：当腰长为5，底长为10时，，不能组成三角形， 当底边长为5时，腰长为10，，能组成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为：． 故选：B． 11．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等． 其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质逐个排查即可． 【详解】解：①由于SSA不能判定三角形全等，则有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故原命题是假命题； ②由于满足ASA,则有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，故原命题是真命题； ③有一条边与一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，故原命题是假命题； ④由于两等腰三角形顶角相等，则他们的底角对应相等，再结合底相等，满足ASA,故原命题是真命题． 其中真命题的个数是2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 12.（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为6厘米，不明确具体名称，故可分情况讨论腰长的值，还要依据三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为6厘米时，三边为，能构成三角形； 当底为6厘米时，腰为5，5，能构成三角形， 所以这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于或． 故答案为：或． 题型五 根据等角对等边证明等腰三角形 13.（20-21七年级下·上海闵行·期末）如图，中，，垂足为点D，，垂足为点E，，和交于点F，联结，试说明． 【答案】见解析． 【分析】根据三角形全等的判定（ASA）和性质和判定，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质即可求解． 【详解】∵，（已知）， ∴，，（垂直的意义）， ∴（等量代换）. ∵， ∴（等量代换）. ∵（对顶角相等）， ∴ 在与中， ∴（ASA）， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴. ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内外角的关系，掌握全等三角形的性质和判定和三角形内外角的关系是解题的关键． 14．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在，点是上一点，，，，，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据，得到，再根据即可得到； （2）由，得到，由，得到，从而得到，可得，即可证明是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 题型六 根据等角对等边证明边相等 15.（20-21七年级下·上海崇明·期末）阅读并填空（在答题纸相应编号后的空格内直接填写答案）： 如图，已知中，BD平分，说明的理由． 解：因为BD平分（①） 所以（②） 因为（③） 所以（④） 所以（⑤） 所以（⑥） 【答案】①已知；②角平分线的定义；③已知；④两直线平行，内错角相等；⑤等量代换；⑥等角对等边 【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据等角对等边即可得． 【详解】解：因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 所以（等量代换）， 所以（等角对等边）． 故答案为:已知；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；等角对等边. 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键． 16.（22-23七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在中，，是的高，点E在边上，与交于点F，且，试说明．    解：∵是的高（已知） ∴（垂直的意义） ∵， ∴ ∴． 在和中 （请继续完成以下说理过程） 【答案】；见解析 【分析】由是的高可得，进而可证，再利用可证明，进而可得，结合，可得，即可证明． 【详解】解：∵是的高（已知） ∴（垂直的意义） ∵， ∴ ∴． 在和中 ∴ ∴（全等三角形对应角相等） ∵（对顶角相等） ∴ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等角对等边，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 题型七 根据等角对等边求边长 17.（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，为的角平分线，交于E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由角平分线的定义和平行线的性质可证明，则． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，小明家位于学校P的南偏东方向的M处，小明从家向正北方向走500米后到达位于学校的北偏东的图书馆N处，则图书馆N处与学校P的距离为 米． 【答案】500 【分析】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理．根据方向角的定义即可求得，则在中利用内角和定理求得的度数，证明三角形是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：由题意得，米， ∴，， ∴， ∴， ∴米， ∴图书馆N处与学校P的距离为500米． 故答案为：500． 19.（20-21八年级上·上海·期中）如图，是的高，，求的长． 【答案】15 【分析】在DC上截取DE=DB=5，连接AE，利用SAS即可证出△ABD≌△AED，从而得出AB=AE，∠B=∠AED，结合已知条件和三角形外角的性质可得∠EAC=∠C，根据等角对等边可得AE=EC=15，从而求出结论． 【详解】解：在DC上截取DE=DB=5，连接AE，如图所示 ∵是的高， ∴∠ADB=∠ADE=90° ∴DE=DB，AD=AD ∴△ABD≌△AED ∴AB=AE，∠B=∠AED ∵∠AED=∠EAC＋∠C ∴∠AED= ∴∠EAC=∠C ∴AE=EC=BC－BD－DE=15 ∴AB=15 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和等腰三角形的判定，掌握构造全等三角形的方法是解题关键． 题型八 等腰三角形的性质和判定 20.（21-22七年级下·上海·期末）如图，在直角三角形中，，，点、在上，如果，，那么图中的等腰三角形共有个．（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先求出各个角的度数以及边的等量关系，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 即， ∴，， ∴，，，都是等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础题型． 21.（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图， 在中，平分的周长为11，那么的长是 ．    【答案】7 【分析】本题考查平行直线的性质和等腰三角形的性质，先根据角平分线和平行直线的性质证明，从而到，再根据的周长进行换算，即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长等于11， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 22.（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在中，， 射线交于点O，， 点E、F在射线上， 且．试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是添加正确的辅助线，在射线作点M， ，先根据等腰三角形的性质和已知条件证明和，从而证明，即可得到． 【详解】解：，理由如下， 如下图所示，在射线作点M， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九 等边三角形的性质 23.（20-21七年级下·上海静安·期末）下列说法中，正确的有（    ） ①都含有70°的两个直角三角形一定全等； ②都含有100°的两个等腰三角形一定全等； ③底边相等的两个等腰三角形一定全等； ④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等； ⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可得到结果． 【详解】解：①都含有70°的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以①错误； ②都含有100°的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以②错误； ③底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以③错误； ④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等； 因为根据SSS或AAS或SAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以④正确； ⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等． 因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据SAS或AAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以⑤正确； 所以正确的有④⑤这2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 24.（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知是等边三角形，点、分别是、上的两个动点，和相交于点，当时，则 度 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在与中， ， ≌， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 25.（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知是等边三角形，D为边上一点，以为边向形外作等边三角形、联结 (1)试说明的理由； (2)如果，试说明的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质证明即可； （2）由（1）的结论，再结合条件可证明平分，根据等边三角形的性质可证得． 【详解】（1）∵和为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）由（1）可知， ∴， ∴， ∴，即平分， ∵为等边三角形， ∴． 题型十 等边三角形的判定 26.（20-21七年级下·上海普陀·期末）下列条件中，不能判断是等边三角形的是（    ）． A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可． 【详解】解：A选项：∵AB=AC．∠B=60°． ∴△ABC是等边三角形，故A选项不符合题意； B选项：∵∠B=∠A，∴AC=BC， ∵AB=AC，∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形，故B选项不符合题意； C选项：∵∠A=∠B=60°，∠C=180°−∠A−∠B=60°， ∴∠A=∠B=∠C，∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形，故C选项不符合题意； D选项：∵∠A+∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=60°，不能判断△ABC是等边三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 27．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（　　） A．三角形的外角等于两个内角的和 B．等腰三角形的角平分线和中线重合 C．含60°的两个直角三角形全等 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的外角性质、等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形全等的判定方法以及等边三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故本选项说法不正确； B、等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线重合，故本选项说法不正确； C、含有60°的两个直角三角形的对应边不一定相等，则这两个直角三角形不一定全等，故本选项说法不正确； D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项说法正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质、等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形全等的判定、等边三角形的判定等知识点，灵活应用相关判定和性质是解答本题的关键． 28.（21-22七年级下·上海·期末）如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC． (1)试说明△ADC与△BEC全等的理由； (2)试判断△DCE的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝60°，由SAS证明△ADC≌△BEC即可； （2）由全等三角形的性质得出∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，即可得出结论． 【详解】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， 在△ADC和△BEC中， ， ∴△ADC≌△BEC（SAS）； （2）△DCE是等边三角形；理由如下： ∵△ADC≌△BEC， ∴∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC， 即△DCE是等腰三角形， ∴△DCE是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定定理、直角三角形的性质，熟记等边三角形的判定是解题的关键． 题型十一 等边三角形的判定和性质 29.（21-22七年级下·上海·期末）下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC 【答案】B 【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案． 【详解】A．∵∠A＝∠B＝60°， ∴∠C＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形． 故A选项不符合题意； B．∵∠B+∠C＝120°， ∴∠A＝60°， ∴△ABC不一定是等边三角形， 故B选项符合题意； C．∵∠B＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 故C选项不符合题意； D．∵∠A＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键． 30.（22-23七年级下·上海长宁·期末）如图，，直线分别交、于点，平分交于点．如果，，即么的周长等于 ． 【答案】18 【分析】由平行与平分的条件加上，可得是等边三角形，则可求得其周长． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为； 故答案为：18． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，角平分线的性质，得到等边三角形是解题的关键． 31.（23-24七年级下·上海·期末）如图，已知在中，点分别在上，，且．试说明的理由； 【答案】详见解析 【分析】本考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，先根据三角形内角和证明是等边三角形，得到，从而证明即可得到． 【详解】证明：， 又， ， 是等边三角形， ， 在和中 ， ， ． 题型十二 线段垂直平分线的性质 32．（23-24八年级上·上海·期末）如图，三角形中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的定义，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的定义是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，，，则，由三角形内角和定理可得，由此得到，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 33．（23-24八年级上·上海松江·期末）下列说法中正确的是（    ） A．“对顶角相等”没有逆命题； B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； C．以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线； D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，逆命题，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. “对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，原说法错误； B. 有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，说法正确； C. 以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线（线段的中点除外），原说法错误； D. 有两组边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原说法错误； 故选B． 34．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，的垂直平分线与边交于点D，E，已知与的周长分别是和，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和定义，根据垂直平分线上的点到两端距离相等，得出，进而得到为与的周长之差，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵的周长， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 故答案为：6． $$