专题04 等腰三角形（考点清单，5考点梳理+13题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题04 等腰三角形（考点清单，5考点梳理+13题型解读） 清单01 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2： 文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 清单02 等腰三角形的判定 （1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形； （2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边) 清单03 等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 清单04 等边三角形的判定 （1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形. 清单05 线段的垂直平分线 知识点1 线段的垂直平分线及其性质 1.线段的垂直平分线 过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 2.线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等. 知识点2 线段的垂直平分线的判定 与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 知识点3 尺规作图 1.作已知线段的垂直平分线. 如图已知线段AB,求作线段AB的垂直平分线. 作法 (1)以点A为圆心、以AB的长为半径作弧； (2)以点B为圆心、以AB的长为半径作弧； (3)两弧分别相交于点E、F,过点E、F作直线EF 直线EF就是线段AB的垂直平分线(图18-4-6). 图18-4-6中，由于直线EF与线段AB的交点C就是线段AB的中点，因此我们也可以用这种方法作线段的中点 2过直线外一点作已知直线的垂线. 如图,已知直线l和l外一点P,过点P求作直线L的垂线. 作法 (1)任意取一点K,使点K和点P分别在直线l的两侧； (2)以点P为圆心、以PK的长为半径作弧，与直线L相交于点A、B; (3)作线段AB的垂直平分线CD. 直线CD就是所求的垂线(图18-4-8). 请自行完成证明. 例3已知底边和底边上的高作等腰三角形. 如图,已知线段a、h.求作△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h. 作法 (1)作线段BC=a; (2)作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D; (3)以点D为圆心、以h的长为半径作弧，交MN于点A; (4)分别连接AB、AC. △ABC就是所求的三角形(图18-4-10). 知识点4 三角形的外心 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等. 【考点题型一】等边对等角（） 【例1】（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，点D在边上，如果，那么的大小是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级下·上海·期末）如图，已知四边形中，，，，那么 ． 【变式1-2】（22-23七年级下·上海·期末）如图，在中，已知，，将绕点顺时针旋转到，使点落在上，那么的度数是 ． 【考点题型二】三线合一（） 【例2】（22-23七年级下·上海闵行·期末）下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形两腰上的中线相等 C．等腰三角形两底角的平分线相等 D．等腰三角形高、中线和角平分线重合 【变式2-1】（20-21七年级下·上海奉贤·期末）下列说法正确的是（　　） A．等腰三角形高、中线、角平分线互相重合 B．顶角相等的两个等腰三角形全等 C．底角相等的两个等腰三角形全等 D．等腰三角形的两个底角相等 【变式2-2】（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， E、B、C三点在一条直线上，，， 点F是的中点， 如果，那么 度． 【考点题型三】根据三线合一证明（） 【例3】（20-21七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知平分，，是的中点，试说明的理由， 【变式3-1】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由． 【变式3-2】（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【考点题型四】等腰三角形的定义（） 【例4】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是（    ） A．2 B．2或10 C．4 D．2或4 【变式4-1】（23-24七年级下·上海徐汇·期末）已知等腰三角形的两条边长为和，那么等腰三角形的周长等于 【变式4-2】（23-24七年级下·上海浦东新·期末）已知等腰三角形的周长为12，其中一条边为3，那么它的腰长为 ． 【考点题型五】根据等角对等边证明等腰三角形（） 【例5】（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 【变式5-1】（20-21七年级下·上海普陀·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，AE＝AC，过点E作EF∥BC交AC于F，EC平分∠DEF．说明∠BAD＝∠CAD． 【考点题型六】根据等角对等边证明边相等（） 【例6】（20-21七年级下·上海普陀·期中）如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于 ． 【变式6-1】（20-21七年级下·上海普陀·期末）如图，已知，，，试说明的理由． 解：因为（已知）， 所以（      ）． 又因为（已知）． 所以________________________（等式性质） 所以 在和中， ， 所以（____________）（完成以下说理过程） 【变式6-2】（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知平分，，点是的中点．请说明．    解：因为平分（已知）， 所以______（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（______）． 所以______（______）． 所以（______）． 因为点是的中点（已知）， 所以（______）． 【考点题型七】根据等角对等边求边长（） 【例7】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，已知，的平分线交于点D，，且，如果点E是边的中点，那么的长为 ． 【变式7-1】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，的平分线CD交AB于D，，且，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 cm． 【变式7-2】（21-22七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，上午10时，一艘船从A出发以20海里/时的速度向正北方向航行，11时45分到达B处．从A处测得灯塔C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，求B处到灯塔C的距离． 【考点题型八】等腰三角形的性质和判定（） 【例8】（24-25七年级上·上海·期末）已知为等腰三角形纸片的底边，．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形．若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么 度． 【变式8-2】（23-24七年级下·上海·期末）如图，，点D在边上，和相交于点O． (1)试说明的理由； (2)若，试判断和的大小关系，并说明理由． 【考点题型九】等边三角形的性质（） 【例9】（20-21七年级下·上海闵行·期末）如图，已知点B、C、E在一直线上，、都是等边三角形，联结和，与相交于点F，与相交于点G，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则 ． 【变式9-2】（22-23七年级下·上海·期末）已知与为等边三角形，绕着点顺时针旋转； (1)如图1，若旋转至点在同一直线上，说明的理由； (2)如图2，在旋转的过程中，与的夹角是否改变，若不改变，求出夹角的度数；若改变，请说明理由． 【考点题型十】等边三角形的判定（） 【例10】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）下列说法正确的个数是（    ）． ①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形； ②等腰三角形的对称轴是底边上的高； ③有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-1】（20-21七年级下·上海闵行·期末）在中，如果，，那么的形状为 ． 【变式10-2】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上． (1)求证： ； (2)求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形． 【考点题型十一】等边三角形的判定和性质（） 【例11】（20-21七年级下·上海·期末）如图，是绕点逆时针方向旋转60°后所得的图形，点恰好在上，，则∠D的度数是（    ）． A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式11-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么 ． 【变式11-2】（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，，点、、分别在、、上，且是等边三角形，说明的理由．    解：因为，已知， 所以是等边三角形______ ， 所以______ ______ ， 因为是等边三角形（已知）， 所以，（等边三角形的性质）． 所以（等量代换）． 因为______ ______ ， 即， 所以（完成证明过程） 【考点题型十二】线段垂直平分线的性质（） 【例12】（20-21七年级上·上海宝山·期末）如图，中，直线是边的对称轴，交于D，交于E，如果的周长为17，那么边的长是 ．    【变式12-1】（21-22七年级下·上海普陀·期末）如图，等腰三角形中，， ，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则 度． 【变式12-2】（23-24七年级下·上海·期末）已知直角，． (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F． (2)连接，判断的形状并说明理由． 【考点题型十三】线段垂直平分线的判定（） 【例13】（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，直线AE交BC于点D，说明AD⊥BC的理由． 【变式13-1】（21-22七年级下·上海普陀·期末）如图，中，，且、、分别是、、边上的点，，，点是的中点，猜想和的位置关系，并说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等腰三角形（考点清单，5考点梳理+13题型解读） 清单01 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2： 文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 清单02 等腰三角形的判定 （1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形； （2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边) 清单03 等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 清单04 等边三角形的判定 （1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形. 清单05 线段的垂直平分线 知识点1 线段的垂直平分线及其性质 1.线段的垂直平分线 过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 2.线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等. 知识点2 线段的垂直平分线的判定 与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 知识点3 尺规作图 1.作已知线段的垂直平分线. 如图已知线段AB,求作线段AB的垂直平分线. 作法 (1)以点A为圆心、以AB的长为半径作弧； (2)以点B为圆心、以AB的长为半径作弧； (3)两弧分别相交于点E、F,过点E、F作直线EF 直线EF就是线段AB的垂直平分线(图18-4-6). 图18-4-6中，由于直线EF与线段AB的交点C就是线段AB的中点，因此我们也可以用这种方法作线段的中点 2过直线外一点作已知直线的垂线. 如图,已知直线l和l外一点P,过点P求作直线L的垂线. 作法 (1)任意取一点K,使点K和点P分别在直线l的两侧； (2)以点P为圆心、以PK的长为半径作弧，与直线L相交于点A、B; (3)作线段AB的垂直平分线CD. 直线CD就是所求的垂线(图18-4-8). 请自行完成证明. 例3已知底边和底边上的高作等腰三角形. 如图,已知线段a、h.求作△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h. 作法 (1)作线段BC=a; (2)作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D; (3)以点D为圆心、以h的长为半径作弧，交MN于点A; (4)分别连接AB、AC. △ABC就是所求的三角形(图18-4-10). 知识点4 三角形的外心 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等. 【考点题型一】等边对等角（） 【例1】（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，点D在边上，如果，那么的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】设，根据等边对等角得到，根据外角的性质得到，再根据等边对等角得出，最后利用三角形内角和定理得出方程，解之可得结果． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：，即， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解． 【变式1-1】（23-24七年级下·上海·期末）如图，已知四边形中，，，，那么 ． 【答案】120 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角 【分析】本题考查了平行线的性质、等边对等角，由等边对等角得出，再由平行线的性质得出，，结合计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（22-23七年级下·上海·期末）如图，在中，已知，，将绕点顺时针旋转到，使点落在上，那么的度数是 ． 【答案】18 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，旋转的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质是解题的关键． 先由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出，再根据旋转的性质得，，，从而可由等腰三角形的性质求出，，即可由求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转得：，，， ∴， ∴， 故答案为：18． 【考点题型二】三线合一（） 【例2】（22-23七年级下·上海闵行·期末）下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形两腰上的中线相等 C．等腰三角形两底角的平分线相等 D．等腰三角形高、中线和角平分线重合 【答案】D 【知识点】根据等边对等角证明、三线合一 【分析】根据等腰三角形的性质依次判断． 【详解】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，故正确； B、等腰三角形两腰上的中线相等，故正确； C、等腰三角形两底角的平分线相等，故正确； D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合，故错误； 故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键 【变式2-1】（20-21七年级下·上海奉贤·期末）下列说法正确的是（　　） A．等腰三角形高、中线、角平分线互相重合 B．顶角相等的两个等腰三角形全等 C．底角相等的两个等腰三角形全等 D．等腰三角形的两个底角相等 【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边对等角、三线合一 【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法对选项一一分析判定即可． 【详解】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，该选项说法错误，不符合题意； B、顶角相等的两个等腰三角形不一定全等，因为边不相等，该选项说法错误，不符合题意； C、底角相等的两个等腰三角形不一定全等，因为没有边对应相等，该选项说法错误，不符合题意； D、等腰三角形的两个底角相等，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质与全等判定，掌握等腰三角形的性质与等腰三角形全等判定是解题关键． 【变式2-2】（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， E、B、C三点在一条直线上，，， 点F是的中点， 如果，那么 度． 【答案】90 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及等腰三角形三线合一． 延长相交于点G，通过证明得出，进而得出，最后根据等腰三角形三线合一，即可解答． 【详解】解：延长相交于点G， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90． 【考点题型三】根据三线合一证明（） 【例3】（20-21七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知平分，，是的中点，试说明的理由， 【答案】见解析 【知识点】根据三线合一证明 【分析】先由角平分线定义得出∠BAD=∠CAD，再根据平行线的性质得出∠EBA=∠BAD，∠E=∠CAD，那么∠EBA=∠E，由等角对等边得出AE=AB，又F是BE的中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明AF⊥BE． 【详解】解：证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵BE∥AD， ∴∠EBA=∠BAD，∠E=∠CAD， ∴∠EBA=∠E， ∴AE=AB， 又∵F是BE的中点， ∴AF⊥BE． 【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，难度适中．得出AE=AB是解题的关键． 【变式3-1】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由． 【答案】理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】利用一线三直角模型证明AE=ED，从而利用等腰三角形三线合一的性质即可． 【详解】解：∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， 又∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠AED， ∵∠AEC＝∠B+∠BAE， 即∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE， ∴∠BAE＝∠DEC， 在△ABE与△ECD中， ， ∴△ABE≌△ECD（ASA）， ∴AE＝ED， ∵EF⊥AD， ∴点F是AD的中点． 【点睛】本题考查了一线三直角全等模型，等腰三角形的三线合一，熟练掌握三角形全等证明是解题的关键． 【变式3-2】（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明、根据三线合一证明 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据等边对等角可知，，再由三角形的内角和定理即可得到，由此即可证明结论； （2）证明，可得，再根据等腰三角形三线合一即可证明结论； （3）设，则，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得，，再分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴ 又∵，， ∴； ∴， ∴. （2）证明：如图， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当是等腰三角形时，有三种情况讨论： 当时，，，解得：； 当时，，，解得：； 当时，，，此方程无解； 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 【考点题型四】等腰三角形的定义（） 【例4】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是（    ） A．2 B．2或10 C．4 D．2或4 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，正确理解三角形的三边关系及等腰三角形的定义是解题的关键．分分两种情况：①若腰长为2，②若底边长为2，利用三角形的三边关系依次验证即可． 【详解】解：分两种情况： ①若腰长为2，则底边长为， ，不能构成三角形，故舍去； ②若底边长为2，则腰长为，，能构成三角形， 故腰长为4， 故选C． 【变式4-1】（23-24七年级下·上海徐汇·期末）已知等腰三角形的两条边长为和，那么等腰三角形的周长等于 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；分两种情况讨论：当是腰时或当是腰时．根据三角形的三边关系，知，，不能组成三角形，应舍去． 【详解】解：当是腰时，则，不能组成三角形，应舍去； 当是腰时，则三角形的周长是． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24七年级下·上海浦东新·期末）已知等腰三角形的周长为12，其中一条边为3，那么它的腰长为 ． 【答案】4.5 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形，构成三角形的条件，分3为腰长或底边长两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当3为腰长时，则底边长为：， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意， ∴3为底边长， ∴腰长为； 故答案为：4.5． 【考点题型五】根据等角对等边证明等腰三角形（） 【例5】（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 【答案】4 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边，延长交于点F，证明可得，然后根据平行线的性质和等角对等边得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵点E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：4． 【变式5-1】（20-21七年级下·上海普陀·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，AE＝AC，过点E作EF∥BC交AC于F，EC平分∠DEF．说明∠BAD＝∠CAD． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和SSS综合（SSS）、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】由平行线的性质得出∠FEC＝∠DCE，由角平分线的性质得出∠FEC＝∠DEC，推出∠DCE＝∠DEC，则ED＝CD，由SSS证得△AED≌△ACD，进而可得结论． 【详解】证明：∵EF//BC， ∴∠FEC＝∠DCE， ∵EC平分∠DEF， ∴∠FEC＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠DEC， ∴ED＝CD， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD． 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质、全等三角形的判定方法是解题的关键． 【考点题型六】根据等角对等边证明边相等（） 【例6】（20-21七年级下·上海普陀·期中）如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于 ． 【答案】10 【知识点】根据等角对等边证明边相等 【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案． 【详解】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠CBF＝∠DFB， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴BD＝DF， 同理FE＝EC， ∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．正确地进行线段的等量代换是解决问题的关键 【变式6-1】（20-21七年级下·上海普陀·期末）如图，已知，，，试说明的理由． 解：因为（已知）， 所以（      ）． 又因为（已知）． 所以________________________（等式性质） 所以 在和中， ， 所以（____________）（完成以下说理过程） 【答案】等角对等边； 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】根据等角对等边可证明AB=AC，根据SAS可证明． 【详解】解：因为（已知）， 所以（等角对等边） 又因为（已知） 所以（等式性质） 所以 在和中， ， 所以 故答案为：等角对等边： 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定，熟练掌握和运用全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 【变式6-2】（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知平分，，点是的中点．请说明．    解：因为平分（已知）， 所以______（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（______）． 所以______（______）． 所以（______）． 因为点是的中点（已知）， 所以（______）． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、根据三线合一证明、根据等角对等边证明边相等、三角形角平分线的定义 【分析】根据角平分线和平行线的性质可得，再由等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一，即可得出结论． 【详解】解：因为平分（已知）， 所以（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 所以（同一个三角形中，等角对等边）． 因为点是的中点（已知）， 所以（等腰三角形三线合一）． 【点睛】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键 【考点题型七】根据等角对等边求边长（） 【例7】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，已知，的平分线交于点D，，且，如果点E是边的中点，那么的长为 ． 【答案】16 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边等知识．由角平分线可知，由平行可知，则，由等角对等边可知，然后根据计算求解即可． 【详解】解：∵的平分线交于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是边中点， ∴， 故答案为：16． 【变式7-1】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，的平分线CD交AB于D，，且，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 cm． 【答案】12 【知识点】线段中点的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长、三角形角平分线的定义 【分析】由角平分线可知，由平行可知，则，由等角对等边可知，然后根据计算求解即可． 【详解】解：∵的平分线CD交AB于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是AC中点， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，中点等知识．解题的关键在于求出． 【变式7-2】（21-22七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，上午10时，一艘船从A出发以20海里/时的速度向正北方向航行，11时45分到达B处．从A处测得灯塔C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，求B处到灯塔C的距离． 【答案】35海里 【知识点】与方向角有关的计算题、三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边求边长 【分析】求得AB长为35海里，利用三角形的外角知识可得△ABC为等腰三角形，那么BC=AB，即可求解． 【详解】解：1时45分=（小时） 由题意得：AB=×20=35（海里）， ∵∠C=52°-∠A=26°=∠A， ∴BC=AB=35（海里）． 答：从B到灯塔C的距离为35海里． 【点睛】本题考查方向角，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，利用外角知识判断出△ABC的形状是解决本题的关键． 【考点题型八】等腰三角形的性质和判定（） 【例8】（24-25七年级上·上海·期末）已知为等腰三角形纸片的底边，．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形．若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义及等腰三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握中心对称图形的定义及平行四边形的性质是解题的关键．先证剪得的两个小三角形全等，再进行拼接，得到相应的中心对称图形即可得解． 【详解】∵是等腰三角形的底边，， ∴， ∴剪得的两个小三角形全等． ∵这两个三角形可以组成的中心对称图形是平行四边形， ∴分别让它们的一组对应边重合，另外两组对应边分别平行，能拼出3个平行四边形， 如图所示：即满足题意的中心对称图形有3个． 故选：C 【变式8-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么 度． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据题意可得，由，，可得，结合，可推出，，再根据三角形的外角性质求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ，，，点在直线上， ， 又， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式8-2】（23-24七年级下·上海·期末）如图，，点D在边上，和相交于点O． (1)试说明的理由； (2)若，试判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，等腰三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，则，利用即可证明； （2）过点E作，垂足为H ，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质求出，结合三角形内角和定理求出，等量代换求解即可． 【详解】（1）解：，， 又，， ， ， ， ， 即 ， 在与中， ， ； （2）如图，过点E作，垂足为H ， ， ， ， ， ， ， ， ，，   ， ， ， 【考点题型九】等边三角形的性质（） 【例9】（20-21七年级下·上海闵行·期末）如图，已知点B、C、E在一直线上，、都是等边三角形，联结和，与相交于点F，与相交于点G，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边三角形的性质 【分析】利用等边三角形的性质和“SAS”证明可得A选项；可利用“ASA”证明可得C、D选项，利用排除法求解即可． 【详解】解：∵、都是等边三角形， ∴，=60°，， ∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠ACE=∠BCD， ∴（SAS）， ∴BD=AE，（故A正确）； ∴∠AEC=∠BDC，又，， ∴（ASA）， ∴EG=FD，（故C正确）， FC=GC，（故D正确） 由于B项不能由已知条件得到，故B错误， 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 【变式9-1】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则 ． 【答案】/120度 【知识点】等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质．利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：是的三等分点，且是等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 【变式9-2】（22-23七年级下·上海·期末）已知与为等边三角形，绕着点顺时针旋转； (1)如图1，若旋转至点在同一直线上，说明的理由； (2)如图2，在旋转的过程中，与的夹角是否改变，若不改变，求出夹角的度数；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不变， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，旋转的性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质即可得到； （2）设，交于，与交于，根据全等三角形的性质得到，得到，根据对顶角的性质得到． 【详解】（1）与为等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ； （2）与的夹角不改变， 理由：设，交于，与交于， 由（1）知， ， ， ， ， 故与的夹角不改变． 【考点题型十】等边三角形的判定（） 【例10】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）下列说法正确的个数是（    ）． ①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形； ②等腰三角形的对称轴是底边上的高； ③有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边三角形的判定、画对称轴 【分析】根据等边三角形的判定即可判断①；根据对称轴的定义即可判断②；根据全等三角形的判定即可判断③④． 【详解】①若有一个外角为120°，则与之相邻的等腰三角形的内角为60°，因此这个等腰三角形一定是等边三角形，故结论①正确； ②等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，故结论②错误； ③有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等（即SSA不能判定两三角形全等），故结论③错误； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形不一定全等，故结论④错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，对称轴的定义，全等三角形的判定，熟知相关知识是解题的关键． 【变式10-1】（20-21七年级下·上海闵行·期末）在中，如果，，那么的形状为 ． 【答案】等边三角形 【知识点】根据等边对等角证明、等边三角形的判定 【分析】根据三个角相等的三角形是等边三角形证明即可． 【详解】在中，由得， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，以及等边三角形的判定，熟练掌握三个角相等的三角形是等边三角形是解答本题的关键． 【变式10-2】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图1，和都是顶角为的等腰三角形，其中，点D在上． (1)求证： ； (2)求证：如图2，当点E在的延长线上，为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定； （1）证明即可得到； （2）由得到，当点E在的延长线上时，即可证明，得到，，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形判定即可． 【详解】（1）证明：∵和都是顶角为的等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：当点E在的延长线上时， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【考点题型十一】等边三角形的判定和性质（） 【例11】（20-21七年级下·上海·期末）如图，是绕点逆时针方向旋转60°后所得的图形，点恰好在上，，则∠D的度数是（    ）． A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据角的和差可得，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 【变式11-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么 ． 【答案】6 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称，得到，，结合，得到，得到是等边三角形，结合的周长是18，解答即可． 本题考查了对称，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵的周长是18， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式11-2】（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，，点、、分别在、、上，且是等边三角形，说明的理由．    解：因为，已知， 所以是等边三角形______ ， 所以______ ______ ， 因为是等边三角形（已知）， 所以，（等边三角形的性质）． 所以（等量代换）． 因为______ ______ ， 即， 所以（完成证明过程） 【答案】有一个角为度的等腰三角形是等边三角形；；等边三角形的性质；；三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】证明，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】解：因为，已知， 所以是等边三角形有一个角为度的等腰三角形是等边三角形， 所以等边三角形的性质， 因为是等边三角形已知， 所以，等边三角形的性质． 所以等量代换． 因为三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和， 即， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 故答案为：有一个角为度的等腰三角形是等边三角形，，等边三角形的性质，，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明． 【考点题型十二】线段垂直平分线的性质（） 【例12】（20-21七年级上·上海宝山·期末）如图，中，直线是边的对称轴，交于D，交于E，如果的周长为17，那么边的长是 ．    【答案】11 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为17， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：11． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 【变式12-1】（21-22七年级下·上海普陀·期末）如图，等腰三角形中，， ，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则 度． 【答案】54 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】由DE是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得AE=BE，然后由等边对等角，可求得∠ABE的度数，又由等腰三角形ABC中AB=AC，∠A=24°，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， 等腰三角形中，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质；此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式12-2】（23-24七年级下·上海·期末）已知直角，． (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F． (2)连接，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质，直角三角形性质，等腰三角形的判断和性质，是解决问题的关键． （1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段、与点E、F，点E、F即为所求作； （2）根据线段垂直平分线性质得到，得到，根据直角三角形性质得到，，得到，得到，即得是等腰三角形． 【详解】（1）分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点， 作直线，分别交线段、与点E、F， E、F 即为所求作； （2）是等腰三角形，理由： 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【考点题型十三】线段垂直平分线的判定（） 【例13】（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，直线AE交BC于点D，说明AD⊥BC的理由． 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】由AB=AC得∠ABC=∠ACB，再由BE平分∠ABC，CE平分∠ACB可求得∠EBC=∠ECB，进而得到EB=EC，从而得AE垂直平分BC，即AD⊥BC． 【详解】证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC=∠ECB， ∴EB=EC， ∵AB=AC， ∴AE垂直平分BC， ∴AD⊥BC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定等知识，熟记线段垂直平分线的判定是解题的关键 【变式13-1】（21-22七年级下·上海普陀·期末）如图，中，，且、、分别是、、边上的点，，，点是的中点，猜想和的位置关系，并说明理由． 【答案】垂直平分，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、根据三线合一证明 【分析】根据题意，证明≌可得，根据等腰三角形三线合一，结合是的中点，即可得证． 【详解】垂直平分，理由如下： ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 又点是的中点， 垂直平分． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明≌是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$