第05讲 垂直关系（3知识5题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

第05讲 垂直关系 课程标准 学习目标 ①直线与直线垂直的定义 ②直线与平面垂直的判定定理和性质定理 ③平面与平面垂直的判定定理和性质定理 1. 理解直线与直线的垂直关系。 2. 掌握直线、平面垂直判定定理和性质定理。 3. 能够直线、平面、平面垂直的判定定理和性质定理进行证明。 知识点01 异面直线夹角 1.异面直线所成角的概念 已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的 角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 2.异面直线所成角的范围 由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即. 注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是. 知识点02 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直 （1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. （2）符号语言：对于任意，都有. （3）图形语言： 2.直线与平面垂直的判定定理 （1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 （2）符号语言：，，，， （3）图形语言：如图 知识点03 平面与平面垂直 1.平面与平面垂直 （1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. （2）符号语言: （3）图形语言 2.平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， （3）应用：线面垂直面面垂直. 3.平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . (3)应用：①面面垂直线面垂直 ②作平面的垂线. 题型01 异面直线的夹角 【典例1】如图，在正方体中，E为的中点.    (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面 (3)求异面直线AE与所成角的余弦值. 【变式1】如图，在四棱锥中，为上的动点，恒为定值，且是正三角形，则直线与直线所成角的大小是 ． 【变式2】如图，已知正方体的棱长为1.若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小.    【变式3】如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为是底面的两条直径，且，圆柱与圆锥的公共点恰好为其所在母线的中点，点是底面的圆心. (1)求圆柱的侧面积； (2)求异面直线和所成的角的余弦值. 【变式4】如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 题型02 直线与平面垂直 【典例1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【变式1】空间中三条不同的直线，，和平面满足，，，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若且，则 【变式2】在空间中，设为三条不同的直线，为三个不同的平面，下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在平面内，且，则 D．若，则 【变式3】（多选）如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 【变式4】如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：； 【变式5】如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【变式5】如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 题型03 直线与平面所成的角 【典例1】如图，在直三棱柱中，D，E为，中点，连接，． (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式1】三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在圆锥中，是底面圆的直径，在底面圆周上，是的中点，与圆锥底面所成角的大小为，则圆锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图，平面，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【变式5】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面. 题型04 平面与平面垂直 【典例1】如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【变式1】设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】已知表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知平面平面，平面，于点． (1)判断与的关系； (2)求证：． 【变式4】如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【变式5】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 题型05 二面角 【典例1】如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【变式1】如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线上取线段，，，，，，则二面角的大小为 . 【变式2】如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 【变式3】已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 【变式4】如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 1.棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 2.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出的是（    ） A．，，且， B．，，且 C． ，，且 D．，，且 4.（多选）如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．所成的角为 C．直线与平面所成的角的正弦值为 D．二面角的余弦值为 5.三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求证与平面平行． 6.如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，. (1)求证：; (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 7.如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的正切值. 8.如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 3 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 垂直关系 课程标准 学习目标 ①直线与直线垂直的定义 ②直线与平面垂直的判定定理和性质定理 ③平面与平面垂直的判定定理和性质定理 1. 理解直线与直线的垂直关系。 2. 掌握直线、平面垂直判定定理和性质定理。 3. 能够直线、平面、平面垂直的判定定理和性质定理进行证明。 知识点01 异面直线夹角 1.异面直线所成角的概念 已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的 角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 2.异面直线所成角的范围 由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即. 注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是. 知识点02 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直 （1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. （2）符号语言：对于任意，都有. （3）图形语言： 2.直线与平面垂直的判定定理 （1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 （2）符号语言：，，，， （3）图形语言：如图 知识点03 平面与平面垂直 1.平面与平面垂直 （1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. （2）符号语言: （3）图形语言 2.平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， （3）应用：线面垂直面面垂直. 3.平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . (3)应用：①面面垂直线面垂直 ②作平面的垂线. 题型01 异面直线的夹角 【典例1】如图，在正方体中，E为的中点.    (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面 (3)求异面直线AE与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而，平面， 所以平面平面．    （3）由（1）知，，则是异面直线AE与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线AE与所成角的余弦值为. 【变式1】如图，在四棱锥中，为上的动点，恒为定值，且是正三角形，则直线与直线所成角的大小是 ． 【答案】 【详解】因为为定值，点到底面的距离为定值， 所以为定值，即到的距离为定值． 因为为上的动点，所以，所以即为异面直线与所成的角． 因为为正三角形，所以． 所以直线与直线所成的角为． 故答案为： 【变式2】如图，已知正方体的棱长为1.若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【详解】因为分别是的中点， 所以，又因为， 所以异面直线与所成角为（或其补角）. 由于，于是， 所以异面直线与所成角的大小为. 【变式3】如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为是底面的两条直径，且，圆柱与圆锥的公共点恰好为其所在母线的中点，点是底面的圆心. (1)求圆柱的侧面积； (2)求异面直线和所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆柱上底面的圆心为，在中，是的中点， 则，， . （2）分别是的中点，， 异面直线和所成的角等于和的夹角， 在中，， ， 所以异面直线和所成的角的余弦值为. 【变式4】如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以， 从而与所成的角为与所成的角， 由，可知. 故与所成的角为. （2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以， 因为为的中位线， 所以. 又， 所以， 所以. 题型02 直线与平面垂直 【典例1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接交于点，连接， 由底面是正方形，故为中点， 又点为线段的中点，故， 又平面，平面， 故平面；    （2）由点为线段的中点，，故， 由平面，平面，故， 又底面是正方形，故， 又、平面，， 故平面，又平面， 故，又、平面，， 故平面； （3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等， 故. 【变式1】空间中三条不同的直线，，和平面满足，，，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则或是异面直线，故A错误； 对于B，若且，，，根据线面垂直的判定定理，当相交时，才有，故B错误；对于C，根据线面垂直的性质定理，，则，故C正确； 对于D，若且，，，则或相交，故D错误； 故选：C. 【变式2】在空间中，设为三条不同的直线，为三个不同的平面，下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在平面内，且，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，由，得在平面内存在直线使得，而，则，又，因此，A正确； 对于B，令，在内取点作，而， 则，又，于是，而，因此，B正确； 对于C，在平面内，且，当时，不能推出，C错误； 对于D，由，得在平面内存在直线使得，而，则， 又，于是，因此，D正确. 故选：C 【变式3】（多选）如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．与是异面直线 D．平面 【答案】ACD 【详解】对于选项A，因为为正方体，所以平面，所以A正确； 对于选项B，因为平面， 所以与平面也有交点，所以B错误； 对于选项C，因为与相交，所以与异面，所以C正确； 对于选项D，因为平面，平面， 所以且， 所以平面，平面，所以， 同理，所以平面，所以D正确. 故选：ACD． 【变式4】如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1） 连接CM，，，是AB中点， 且， 四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 平面平面，又平面， 平面. （2），平面， 平面， 平面， ， 又，四边形是平行四边形， 平行四边形为正方形，． 又，平面，平面， 所以平面，平面，. 【变式5】如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，理由见解析 【详解】（1）分别为中点，. 又平面，平面，直线平面. （2）直线平面，理由如下： 选①，，在中，，，则， 又，，则， 又，，平面， 平面，， 又，，平面， 平面，又分别为的中点， ，则平面. 选②，为四面体外接球的直径， 则，，又，， 平面，平面， 分别为AC，AD的中点， ，则平面. 选③，平面，平面，， 又，，平面，平面， 分别为的中点，，则平面. 【变式5】如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1），F分别是和的中点，且． 四边形是平行四边形，． 又平面，平面，平面． 是的中位线，． 又平面，平面，平面． 又，平面平面． （2）连接BD，，底面是正方形，． ，，平面． 平面，． 题型03 直线与平面所成的角 【典例1】如图，在直三棱柱中，D，E为，中点，连接，． (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）连接，如图： 因为三棱柱为直三棱柱，所以四边形为矩形， 又为中点，所以也是中点，且为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为，，所以； 又平面，平面，所以， 因为平面，， 所以平面平面，所以. 平面平面，平面平面，平面, 所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中：，，, 所以. 【变式1】三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B. 【变式2】如图，在圆锥中，是底面圆的直径，在底面圆周上，是的中点，与圆锥底面所成角的大小为，则圆锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为有平面，所以为与圆锥底面所成角，即 又因为是底面圆的直径，所以， 又是的中点，所以， 由已知， 可得，所以. 又平面平面，所以. 由，解得， 所以圆锥的体积， 故选：D. 【变式3】在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    在长方体中， 利用长方体的性质可知，平面， 则与平面所成的角为，从而， 因为平面，平面，所以， 在直角中，根据，，可得， 再由勾股定理，可以确定， 利用长方体的性质可知， 平面， 所以该四棱锥的体积为， 故选：B． 【变式4】如图，平面，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）∵分别为的中点， ∴ ． 又∵， ∴． 又不在平面内，在平面内， ∴平面． （2）连接. 为的中点，且. 平面平面， ∴， ∵， ∴， ∵，平面， 平面， ∵平面， 由（1）有， 又四边形为平行四边形， ∴， ∵，平面. 平面. 为和平面所成的角. 由得， 在Rt中，， 和平面所成角的正弦值为. 【变式5】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1） 取中点，连接， 因为是的中点，是的中点，， 所以，所以四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线与所成角即为与所成的角，即为， 因为面，面，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2） 设， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 因为面，面，所以， 又因为平面，，所以平面. 题型04 平面与平面垂直 【典例1】如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 【变式1】设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A，若，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若，且，根据线面垂直的性质可知，故B正确； 对于C，若，则，可能会平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误. 故选：B 【变式2】已知表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，若，，则； 反之，当时，则相交，记交线为， 又，所以或相交或重合， 若，又，则，所以不一定能得到． 所以是的必要不充分条件． 故选：B． 【变式3】已知平面平面，平面，于点． (1)判断与的关系； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），理由如下： 平面平面，于点， 平面平面，平面， 平面．又平面，． （2）证明：平面，平面， ．，，平面, 平面．又平面，． 【变式4】如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为四边形是菱形且， 所以是正三角形，因为G为的中点，所以， 又平面⊥平面，且平面∩平面，平面， 所以平面， （2）因为侧面为正三角形，为边的中点， 所以，又由（1）可知， 又，BG，平面， 所以平面，又平面，所以， 【变式5】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，有平面平面 【详解】（1）依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. （2）存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． 题型05 二面角 【典例1】如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，取中点，连接 则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角， 由，得，而， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）在中，过作于，连接， 由≌，得，而， 则≌，，即， 因此是二面角的平面角，， ，， ，在中，，， 即二面角的余弦值为. 【变式1】如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线上取线段，，，，，，则二面角的大小为 . 【答案】 【详解】如下图，在平面内过作且， 由，易知为矩形，连接， 由，则，又，且都在面内， 所以面，面，则， 由，，则， 由，，易知为二面角的平面角， 又，， 所以. 故答案为： 【变式2】如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 【答案】(1)90° (2)45°． 【详解】（1）平面，面， ，， 为二面角的平面角． 四边形是正方形，， 二面角平面角的度数为90°． （2）平面，面， ，． 为二面角的平面角． 四边形为正方形，． 即二面角平面角的度数为45°． 【变式3】已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，， 因为，故． 所以在折叠后的几何体中，有，， 而，平面， 故平面ABE． （2）如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G． 在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH． 因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD， 故平面EBCF， 因为平面EBCF，故，而，故平面DGH， 又平面DGH，故，所以为二面角的平面角， 在平面AEFD中，因为，，故， 又在直角梯形ABCD中，且， 故，故四边形AEGD为平行四边形，故，， 在直角中，， 因为为三角形内角，所以为锐角， ，，解得， 故，故， 因为三角形内角，故为锐角， ，，解得， 所以二面角的平面角的余弦值为． 【变式4】如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． （2）解： 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 1.棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    如图，过作平面于点，连接， 则即为与平面所成角， 因为正四面体棱长为1， 则为的外心，则， ，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 2.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，两直线平行于同一平面，两直线可能相交，平行，异面，故A错误； 对于B，此时，m有可能在平面内，故B错误； 对于C，此时，m有可能在平面内，故C错误； 对于D，因，，则，故D正确. 故选：D 3．已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出的是（    ） A．，，且， B．，，且 C． ，，且 D．，，且 【答案】C 【详解】对于A，若，，且，，此时，可能相交，如下图所示： 当，都与平行时，相交，A错误； 对于B，若，，且，此时，可能相交，如下图所示： 当，都与平行时，相交，B错误； 对于C，由，，得，而，所以，C正确； 若，，且，此时可能相交，如下图所示： 当，，，都与平行时，相交，D错误. 故选：C. 4.（多选）如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．所成的角为 C．直线与平面所成的角的正弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】ACD 【详解】对A：在△中，因为分别为的中点，故//， 又面面，故//面，故A正确； 对B：因为△为等腰直角三角形，又为中点，故可得； 又//，故； 又面面，故； 又面，故面； 又面，故，故直线所成的角为，故B错误； 对C：记，连接，如下所示： 由B可知，面，故即为所求直线与平面的夹角； 在△中，； 因为面面，故， 则，； 在△中，因为面，面，故， 则△为直角三角形， 故，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确； 对D：连接，如下所示： 由图可知，二面角的平面角和的平面角互补，故先求二面角； 由B可知，面，又面，故， 则即为二面角的平面角； 在直角三角形中，， 故，故二面角的余弦值为， 则二面角的余弦值为，故D正确. 故选：ACD. 5.三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求证与平面平行． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）解：连接.由分别是的中点， 根据中位线性质，得，且， 在三棱台中，可得，所以， 由，可得四边形是平行四边形，则， 所以为与所成角， 在中，由， 可得.    （2）因为平面，在平面， 所以， 又又分别在平面与平面内， 平面与平面的交线为， 所以即为平面与平面所成角的平面角， 又，，分别是中点， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； （3）由，， 由棱台的结构特征可知，又为的中点， 易知与平行且相等， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又在平面外，在平面内， 所以平面. 6.如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，. (1)求证：; (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由多面体的定义知，四点共面，四点共面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面=，所以. （2）取的中点，连接，则， 由（1）知，所以，又因为，所以四边形是平行四边形， 得到，且，在中，， 又，得，所以， 在中，，，，所以， 所以，即， 又因为四边形是正方形，所以， 又，平面，平面， 所以平面. （3）连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接，，则，， 由（1）知，且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 由（1）知平面，又平面， 所以，又因为，平面，平面， 所以平面，故平面， 又平面，所以，                                          又因为，平面，平面， 所以平面，故是直线与平面所成的角， 在中，，所以直线与平面所成角的正切值为. 7.如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)2 【详解】（1）∵且为棱的中点， ∴， 又∵，∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴平面. （2）∵且， ∴四边形为正方形， ∴，又由（1）可知, ∴, ∵平面，, ∴且, ∴且, ∴平面平面. （3）由（2）可知直线与平面所成角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平面， ∴且， ∴, ∴， ∴二面角的平面角是, ∴. 8.如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图所示，连接，   为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 3 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$