第02讲 复数（3知识4题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

第02讲 复数 课程标准 学习目标 ①复数系的概念 ②复数的几何意义 ③复数的四则运算 1. 理解复数的概念和数系的推广。 2. 理解复数的几何意义并能够熟练应用。 3. 能够应用复数的四则运算，对复数进行运算。 知识点01 复数的概念 （1）复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. （2）复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. （3） 复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 知识点02 复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 （3）复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （4）共轭复数 复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点03 复数的四则运算 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数加法满足的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： （3）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （4）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （5）复数乘法满足的运算律 复数乘法的交换律、结合律、分配律 (交换律) (结合律) (分配律) （6）复数的除法法则 （ 题型01 复数的概念 【典例1】（多选）关于复数z，下面是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【变式1】1．若，则（   ） A．6 B．5 C．-6 D．-5 【变式2】已知复数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 【变式5】（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【变式6】给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 题型02 复数的几何意义 【典例2】已知复数满足，则复数在复平面里位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】1.设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2】在复平面内，复数对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【变式5】已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型03 复数的四则运算 【典例3】复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 【变式1】1．已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3】若复数，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D．2 【变式4】（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 题型04 复数范围方程的根 【典例4】已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. (1)求实数b的值； (2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 【变式1】（多选）已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 【变式2】（多选）下列说法正确的是（   ） A．实数，满足：，则且 B．复平面内的对应点位于直线上，则 C．在复数范围内，方程的解是 D．在复平面内指出与复数，，，对应的点，，，，则这4个点在同一个圆上 【变式3】（多选）已知复数，，是方程的三个互不相等的复数根，则（   ） A．可能是纯虚数 B．，，的实部之和为2 C．，，的虚部之积为2 D． 1.复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C．i D．1 3.已知为虚数单位，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 5.（多选）若复数z满足，则（   ） A． B．z的虚部为 C． D． 6．（多选）复数 满足 ，则（     ） A． B．为纯虚数 C． D． 7．（多选）设，则下列结论错误的是（   ） A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 8．（多选）已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 复数 课程标准 学习目标 ①复数系的概念 ②复数的几何意义 ③复数的四则运算 1. 理解复数的概念和数系的推广。 2. 理解复数的几何意义并能够熟练应用。 3. 能够应用复数的四则运算，对复数进行运算。 知识点01 复数的概念 （1）复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. （2）复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. （3） 复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 知识点02 复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 （3）复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （4）共轭复数 复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点03 复数的四则运算 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数加法满足的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： （3）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （4）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （5）复数乘法满足的运算律 复数乘法的交换律、结合律、分配律 (交换律) (结合律) (分配律) （6）复数的除法法则 （ 题型01 复数的概念 【典例1】（多选）关于复数z，下面是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A， 当 时，，故A错误； 对于B，设，由题可得，则.故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，设，则 ，故D正确. 故选：BD 【变式1】1．若，则（   ） A．6 B．5 C．-6 D．-5 【答案】A 【详解】因为，所以，，. 故选:A. 【变式2】已知复数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 所以，． 令， 所以，. 根据二次函数的性质可知，当时，有最小值； 当时，有最小值. 所以，． 故选：D. 【变式3】已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以的虚部为， 故选：D. 【变式4】（多选）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 【答案】ABC 【详解】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误； 对于B，当，时，，为虚数，故B错误； 对于C，当时，为实数，故C错误； 对于D，当时，，为纯虚数，故D正确. 故选：ABC. 【变式5】（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】AC 【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 【变式6】给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 【答案】（4） 【详解】对于（1）和（2），在，的限制条件，结论才是正确的，故（1）和（2）都错误； 对于（3），当是纯虚数时，有所以，故（3）错误； 对于（4），由，可得即有，故（4）正确. 故答案为：（4）. 题型02 复数的几何意义 【典例2】已知复数满足，则复数在复平面里位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】设， 因为， 所以，即， 所以复数在复平面内对应的点是以为圆心，为半径的圆， 所以复数在复平面里位于第一象限. 故选：A. 【变式1】1.设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【详解】由题意得， 所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 【变式2】在复平面内，复数对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为. 所以复数对应点的坐标为：. 故选：A 【变式3】已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，则. 故选：D. 【变式4】已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 【变式5】已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为所以复数对应的点表示的是以为半径的圆， 所以面积为. 故选：B. 题型03 复数的四则运算 【典例3】复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以，所以的虚部为. 故选：A 【变式1】1．已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 【变式2】已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为， 所以，解得. 故选：B. 【变式3】若复数，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为， 所以，所以. 故选：B. 【变式4】（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ACD 【详解】由于， 则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误； 由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确， 故选：ACD. 复数，，已知，所以，正确. 选项B： 纯虚数是指实部为，虚部不为的复数，而的实部，所以不是纯虚数，错误. 选项C： 当时，，则； 当时，，则，正确. 选项D： 当时，，则； 当时，，则. 所以，正确. 故选：ACD 题型04 复数范围方程的根 【典例4】已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. (1)求实数b的值； (2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题点 在第四象限，则，由，得，即，所以, （2）由(1)知，，由复数z是关于x的方程的根， 得，              整理得，而，                 因此, 解得所以 【变式1】（多选）已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ACD 【详解】A选项，，A正确； B选项，，故复数的虚部为，B错误； C选项，由题意，又，则向量， 故向量对应的复数为，C正确； D选项，若复数是关于的方程的一个根， 则，故和均为方程的根， 故， 所以， 故，，，D正确. 故选：ACD 【变式2】（多选）下列说法正确的是（   ） A．实数，满足：，则且 B．复平面内的对应点位于直线上，则 C．在复数范围内，方程的解是 D．在复平面内指出与复数，，，对应的点，，，，则这4个点在同一个圆上 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为， 则，解得，故A正确； 对于选项B：因为复数的对应点为， 要使点在直线上， 则，解得，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即 所以方程的解为，故C错误； 对于选项D：在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为，，，， 可得， 所以，，，，这4个点在原点为圆心，为半径的圆上，故D正确； 故选：ABD. 【变式3】（多选）已知复数，，是方程的三个互不相等的复数根，则（   ） A．可能是纯虚数 B．，，的实部之和为2 C．，，的虚部之积为2 D． 【答案】ABD 【详解】因为，其三个不同的复数根为：，，， 当时，此时为纯虚数，故A正确； 因为三个根的实部分别是0，1，1，三个实部之和为2，故B正确； 因为三个根的虚部分别是1，，，三个虚部之积为，故C错误； 根据模长定义，，故D正确. 故选：ABD 1.复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故， 所以虚部为. 故选：B. 2.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C．i D．1 【答案】D 【详解】依题意，复数， 所以的虚部为1. 故选：D 3.已知为虚数单位，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，化简得 所以. 故选：C 4．设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】C 【详解】复数是纯虚数， 则，解得. 故选：C. 5.（多选）若复数z满足，则（   ） A． B．z的虚部为 C． D． 【答案】AD 【详解】得， 则z的虚部为，，， 故AD正确，BC错误. 故选：AD. 6．（多选）复数 满足 ，则（     ） A． B．为纯虚数 C． D． 【答案】ACD 【详解】设，其中. 根据列出方程： 根据复数的模的计算公式，对于复数， 其模，已知，则，两边同时平方可得 ①. 根据列出方程： 先计算， 再根据复数模的计算公式可得， 已知，则，两边同时平方可得， 即 ②. 将①代入②可得：，化简可得，解得. 把代入①可得：，即，， 解得.所以. 选项A： 根据共轭复数的模的性质，对于 7．（多选）设，则下列结论错误的是（   ） A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 【答案】ABD 【详解】对于C，，， 则z在复平面内对应的点一定在实轴上方，故C正确； 对于A，取，，则z在复平面内的点在第二象限，故A错误； 对于B，令，解得，此时，则z为纯虚数，故B错误； 对于D，因为，所以z的虚部不可能为0， 则z一定不是实数，故D错误； 故选：ABD. 8．（多选）已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D． 【答案】BCD 【详解】设， 选项A，若，则，不一定是实数，A错； 选项B，是虚数，则，，但，是虚数，B正确； 选项C，是实数，C正确； 选项D，设，则 ，D正确； 故选：BCD． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$