精品解析：四川省眉山市仁寿县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

八年级下期期中定时练习 数学试题 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式中，不是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年9月，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知7纳米米，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个选项中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的9倍 B. 扩大到原来的3倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 6. 已知点A的坐标为，下列说法正确的是（ ） A. 若点A在y轴上，则 B. 若点A在二四象限角平分线上，则 C. 若点A到x轴的距离是3，则或 D. 若点A在第四象限，则a的值可以为2 7. 关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程25千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程21千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 10. 若函数，则当函数值时，自变量x的值是（ ） A. 或1.5 B. C. 1.5或 D. 1.5 11. 如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为 （ ） A. B. C. D. 12. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为．已知，并规定： ，，． 下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 函数的自变量x的取值范围是______． 14. 若分式的值为0．则x的值是_____． 15. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 16. 若，则代数式的值为______． 17. A，B为常数，如果，则_______，_______ 18. 若关于的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的方程的解为整数，则符合条件的整数的和为______________． 三、解答题 19. 计算． 20. 解方程：． 21. 先化简，然后再从，，，这个数字中选择一个使原式有意义的数作为的值代入求值． 22. 随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，且A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料； （2）从生产效率和生产安全考虑，A，B两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过4小时需完成对560千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为， （1）在图中画出关于轴对称的； （2）写出的坐标；_____，_______，_______； （3）求的面积． 24. “十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． （1）求该车平均每千米的耗油量； （2）直接写出剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）的关系式；当千米时，求剩余油量Q的值； （3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 25. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式， ， ，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 26. 如图1，长方形中，，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，同时，点Q从点B出发，沿B→C→D运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．已知点P每秒比点Q每秒多运动，当其中一点到达点D时，另一点停止运动． （1）求P、Q两点的运动速度； （2）当其中一点到达点D时，另一点距离D点__________（直接写答案）； （3）设点P、Q的运动时间为t秒，请用含t的代数式表示的面积S，并写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下期期中定时练习 数学试题 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是理解分式的概念，即分母中含有字母的式子是分式． 根据分式的定义，对每个选项进行分析判断． 【详解】A、的分母是常数3，不含有字母，所以它是整式，不是分式； B、的分母是字母，符合分式的定义，所以它是分式； C、的分母是常数3，不含有字母，它是整式，不是分式； D、是一个常数，分母是3，不含有字母，它是整式，不是分式． 故选：B． 2. 下列分式中，不是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、是最简分式，不符合题意； B、不是最简分式，符合题意； C、是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，不符合题意； 故选：B． 3. 2024年9月，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知7纳米米，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：用科学记数法可表示为， 故选：． 4. 下列四个选项中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【详解】解：．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，给定一个自变量x的值，有两个函数值与之对应，y不是x的函数，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的9倍 B. 扩大到原来的3倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的性质，可得答案． 【详解】解：把和都扩大到原来的3倍后，， 即分式的值缩小到原来的． 故选：D． 6. 已知点A的坐标为，下列说法正确的是（ ） A. 若点A在y轴上，则 B. 若点A在二四象限角平分线上，则 C. 若点A到x轴的距离是3，则或 D. 若点A在第四象限，则a的值可以为2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，涉及解一元一次方程和一元一次不等式组，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点坐标的特征． 根据题意列出方程或不等式组即可解得答案． 【详解】解：在y轴上，则，即，故A错误，不符合题意； 在二四象限角平分线上，则，即，故B错误，不符合题意； 到x轴的距离是3，则，即或，故C正确，符合题意； 在第四象限，则，即，不等式组无解，故D错误，不符合题意； 故选：C． 7. 关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数的范围，涉及解分式方程、解不等式组等知识，先求出方程的解，根据解的情况结合分式有意义，列出不等式组进行求解即可得到答案．熟记分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵关于的方程的解为正数， ∴，且， ∴， 解得，且； 故选：C． 8. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程25千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程21千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运用，理解数量关系，正确列式是关键，设走路线a的平均速度为x千米/时，则走路线b的平均速度为千米/时，由此列式求解即可． 【详解】解：设走路线a的平均速度为x千米/时，则走路线b的平均速度为千米/时， ∵走路线b比路线a时间节省20分钟， ∴， 故选：B． 9. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 10. 若函数，则当函数值时，自变量x的值是（ ） A. 或1.5 B. C. 1.5或 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查已知函数值求自变量的值，根据自变量对应的函数表达式分别求解即可． 【详解】解：当时，由得， 解得； 当时，由得，不合题意，舍去， 综上，当函数值时，自变量x的值是， 故选：B． 11. 如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题． 由题意过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过A和B分别作于D，于E， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴则B点的坐标是． 故选：D． 12. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为．已知，并规定： ，，． 下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题中规定发现并总结出一般规律是解题的关键． 根据题中规定，分别算出，，，，，，，，，发现并总结出一般规律，即可判断说法①；根据题中规定，分别算出，，，，，，，，，发现并总结出一般规律，即可判断说法②；根据题中规定，分别算出，，，利用所得规律，即可判断说法③；综上，即可得出所有正确的说法． 【详解】解：由题意可知：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 每个数为一个循环， ， ， ， 故说法①正确； 由题意可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 每个数为一个循环， ， ， ， 故说法②正确； 由题意可知：， ， ， ， ，，，，，，，，，，每个数为一个循环， ，，， ， ， 故说法③正确； 综上，正确的说法有：，共个， 故选：． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 函数的自变量x的取值范围是______． 【答案】x≤3 【解析】 【详解】由题意可得，3-x≥0， 解得x≤3． 故答案为：x≤3． 14. 若分式的值为0．则x的值是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据分子等于0，且分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意得 x2-25=0，且x+5≠0， 解得 x=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 15. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查坐标系中关于对称轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标相等．根据坐标系中关于对称轴对称的点的坐标特点解答． 【详解】解：根据坐标系中关于对称轴对称的点的坐标特点可知：点关于y轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 16. 若，则代数式的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将括号内通分，将除法改写为乘法，各个分子分母因式分解，再进行计算，最后根据得出，即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. A，B为常数，如果，则_______，_______ 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值． 【详解】解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． 故答案为：． 18. 若关于的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的方程的解为整数，则符合条件的整数的和为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了已知不等式组的解集、分式方程解的情况求参数，涉及分式方程的解法、不等式组的解法，先解出不等式组的解集，然后根据不等式组有解且至多有5个整数解，即可求得的取值范围，再根据的解为整数，即可写出符合条件的的值．熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解集的确定方法是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组至多有5个整数解， ， 解得， ∴整数的值为， 解方程，得， 为整数， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 符合条件的整数的和为， 故答案为：． 三、解答题 19. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】先计算算术平方根、零指数幂、乘方运算、负整数指数幂，再由有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及算术平方根运算、零指数幂、乘方运算、负整数指数幂运算和有理数加减运算等知识．熟记有理数相关运算法则是解决问题的关键． 20. 解方程：． 【答案】原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，涉及去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1，对于分式方程，一定要注意验根．熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 整理得， 去分母得， ， 经检验：当时，， 原分式方程无解． 21. 先化简，然后再从，，，这个数字中选择一个使原式有意义的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式＝． 【解析】 【分析】本题考查了运用分式的混合运算法则化简求值，确保分母和除式里的除数都不为0是解题关键．根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 由题意得：， ∴当时，原式． 22. 随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，且A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料； （2）从生产效率和生产安全考虑，A，B两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过4小时需完成对560千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？ 【答案】（1）A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料 （2）A型机器人至少要搬运400千克原料． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设B型机器人每小时搬运x千克原料，则A型机器人每小时搬运千克原料，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设A型机器人要搬运m千克原料，则B型机器人要搬运千克原料，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合工作时间不能超过4小时，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型机器人每小时搬运千克原料， 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料； 【小问2详解】 设A型机器人要搬运千克原料， 由题意得： 解得： 答：A型机器人至少要搬运400千克原料． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为， （1）在图中画出关于轴对称的； （2）写出的坐标；_____，_______，_______； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） （3）11 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标，涉及作图−轴对称变换、写出平面直角坐标系中点的坐标、网格中求三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别作出的对应点即可； （2）根据（1）中所作的图，由的位置写出坐标即可； （3）在网格中，间接表示出的面积，数形结合求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示： ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示： ． 24. “十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． （1）求该车平均每千米的耗油量； （2）直接写出剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）的关系式；当千米时，求剩余油量Q的值； （3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】（1）升/千米 （2）；升 （3）能，理由：往返总路程为 （千米）， 当时，剩余油量 升， ∵， ∴他们能在汽车报警前回到家． 【解析】 【分析】（1）因为已知行驶150千米的耗油量为初始储油量减去剩余油量，所以用总耗油量除以行驶路程即可得到平均每千米耗油量，用到除法运算。 （2）因为剩余油量等于初始储油量减去行驶路程乘以每千米耗油量，所以可直接写出Q与x的一次函数关系式；如果要计算时的Q值，那么将代入关系式计算即可，用到一次函数解析式的构造和代入求值方法。 （3）因为往返总路程是单程距离的2倍，所以先计算往返总路程，再将总路程代入第二问的关系式求出对应的剩余油量，和3升比较大小即可判断，用到代入求值和数值比较的方法。 【小问1详解】 解：（升/千米）． 【小问2详解】 解：∵油箱内储油45升，平均每千米的耗油量0.1升， ∴行驶x千米路程油箱内剩余油量为； 当千米时，（升）． 【小问3详解】 解：能，理由： 往返总路程为 （千米）， 当时， 剩余油量（升）， ∵， ∴他们能在汽车报警前回到家． 25. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式， ， ，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】（1）A与B是互为“和整分式”，“和整值” （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：A与B是互为“和整分式”，理由如下： ∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； 【小问3详解】 解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 26. 如图1，长方形中，，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，同时，点Q从点B出发，沿B→C→D运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．已知点P每秒比点Q每秒多运动，当其中一点到达点D时，另一点停止运动． （1）求P、Q两点的运动速度； （2）当其中一点到达点D时，另一点距离D点__________（直接写答案）； （3）设点P、Q的运动时间为t秒，请用含t的代数式表示的面积S，并写出t的取值范围． 【答案】（1）P、Q两点的运动速度分别为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，分式方程的应用，三角形的面积等知识，掌握三角形的面积公式、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． （1）设点Q每秒运动，则点P每秒运动，根据：点P到达点B时，点Q恰好到达点C，建立方程即可求解； （2）分别计算出两点到达终点所需的时间，即可完成； （3）分三种情况：①点P在上，点Q在上，此时；②点P在上，点Q在上，此时；③点P、点Q都在上，此时；分别计算出的面积即可． 【小问1详解】 解：设点Q每秒运动，则点P每秒运动， 由题意得：， 解得：， 当时，， 所以是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：P、Q两点的运动速度分别为； 【小问2详解】 解：点P到达终点所需的时间为：，点Q到达终点所需的时间为：， 所以点Q先到达终点D，此时点P离终点D的距离为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：①点P在上，点Q在上，此时，如图1； ∵， ∴； ②点P在上，点Q在上，此时，如图2； 则，， ∴； ∴ ； ③点P、点Q都在上，此时，如图3； 则， ∴， ∴ 综上， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $