湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题

沅澧共同体2025届高三第一次模拟考试（试题卷） 数 学 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德外国语学校 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数为实数，则实数a等于 A．-2 B． C．1 D．2 2．设集合，，则集合中元素的个数为 A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知幂函数在上单调递增，则m的值为 A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 4．已知直线与圆交于A，B两点，且为直角三角形，则m的值为 A． B． C． D． 5．已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于 A． B． C． D． 6．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为 A． B． C． D． 7．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则 A． B．0 C． D． 8．已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A．数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数 B．数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差 C．在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱 D．已知随机变量X服从正态分布且，则 10.中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是 A． B． C． D． 11.已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则 A．时，满足的点有2个 B．的周长等于 C．时，满足的点有4个 D．的最大值为a2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若非零向量满足，，则 ． 13.已知点在抛物线上，的焦点为，则 ． 14.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． （1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关； （2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16．（本小题满分15分） 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 17．（本小题满分15分） 如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点． （1）证明：平面平面； （2）如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2. （1）求双曲线的方程； （2）为坐标原点，过点且斜率不为0的直线交双曲线于两点（点在第一象限，点在第二象限），直线交双曲线于点，证明：. 19．（本小题满分17分） 已知函数,． （1）求函数在处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）求证：. 高三数学试题卷 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$数学参考答案第 1 页 (共 4页) 沅澧共同体 2025 年上学期高三第一次模拟考试（答案） 数 学 时量：120 分钟 满分：150 分 命题单位：常德外国语学校 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12． 1 13． 2 14． 3 5 1, 3e e       四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分 13分) 解：（1）因为从全班 50人中随机抽取 1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为 0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为50 0.6 30  ，其中女生 10人，则男生 20人. 不喜欢哪吒角色的人数为50 30 20  ，其中男生 5人，则女生 15人（含填表）………………3 分 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 零假设为 :0H 学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得  22 50 10 5 15 20 8.333 6.635 30 20 25 25            = 01.0x ，…………………………………………………5分 根据小概率值 =0.01的独立性检验，我们推断 0H 不成立，即认为学生喜欢哪吒角色与性别有关联， 此推断犯错误的概率不大于 0.01. …………………………………………………………………6 分 （2）由题意，按分层随机抽样抽取的 6人中，男生人数为 206 4 30   ，女生人数为 106 2 30   .……7 分 X 表示从这 6人中随机选出 3人中男生的人数，所以 X 的所有可能取值为1,2,3 . ……………8 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A C B B D A 题号 9 10 11 答案 ABD BD ACD 数学参考答案第 2 页 (共 4页) 则   1 2 4 2 3 6 C C 11 C 5 P X    ，   2 1 4 2 3 6 C C 32 C 5 P X    ，   3 4 3 6 C 13 C 5 P X    . …………………………11 分 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 数学期望   1 3 11 2 3 2 5 5 5 E X        . ……………………………………………………………13 分 16. (本小题满分 15分) 解：（1）由正弦定理及 sin sin sin sin b C a b c A B C      ，得 bc a b c a b c      ，……………………2 分  2 2 2 2 2( )( ) ( ) 2bc a b c a b c a b c bc b c a             ，……………………………………4 分 2 2 2 2 2 2 1, cos 2 2          b c ab c a bc A bc ，………………………………………………………6 分 3 ),,0(   AA …………………………………………………………………………………7分 （2）设 ABC 的外接圆半径为 R， 由 2 2 3sin 4 3sin  b c B C及正弦定理，得 2 sin 4 sin 2 3sin 4 3sin  R B R C B C …………8分 π3, 2 3sin 2 3 sin 3 3 R a A       ．………………………………………………………10 分 由余弦定理得， 2 2 2 2 2 2 23 1( ) 3 ( ) ( ) ( ) 4 4 a b c bc b c bc b c b c b c            ，…………………13 分 2( ) 36b c   ，当且仅当 3 b c 时取等号， 6b c   ， ABC 周长的最大值为 9．……15 分 17. (本小题满分 15分) 解：（1） PB PC ， AB AC ，D为BC的中点， PD BC  ， AD BC ， ………………2分 = ,PD AD D PD  平面 PAD， AD 平面 PAD， BC 平面 PAD． ………………………4分 又 BC  平面 PBC ，平面 PAD 平面 PBC ．………………………………………………… 6 分 （2） 如图，以点A为坐标原点，分别以 ,AB AC所在直线为 x轴､ y轴，过点A且与平面 ABC垂直的直线为 z轴， 建立空间直角坐标系．取 AD中点 E，连接 PE， PA PD ， PE AD∴ ． 数学参考答案第 3 页 (共 4页) 由（1）可知 BC 平面 PAD， PADPE 平面 ， BC PE  ………………………………7 分 又 ,AD BC D AD   平面 ABC， BC 平面 ABC，故 PE 平面 ABC………………………8分 AB AC ， 2AB AC  ，D为 BC的中点， 2AD  ． 又 3 2 2 PA PD  ， E为 AD的中点， 2PE  ． 则  0,0,0A ，  2,0,0B ，  0,2,0C ，  1,1,0D ， 1 1, ,0 2 2 E      ， 1 1, , 2 2 2 P      ， 所以    1 12,0,0 , , , 2 , 0, 2,0 2 2 AB AP AC          ， …………………………………………………9分 设平面 PAB的一个法向量为  1 1 1 1, ,n x y z  ， 则 1 1 1 1 1 1 2 0 2 0 2 2 n AB x x yn AP z                 ，令 1 1z   ，则 1 10, 4x y  ，所以  1 0,4, 1n    ．…………………11 分 设平面 PAC的一个法向量  2 2 2 2, ,n x y z  ， 则 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 2 n AC y x yn AP z                 ，令 2 1z   ，则 2 24, 0x y  ，所以  2 4,0, 1n    .…………………13 分 设平面 PAB与平面 PAC的夹角为，则 1 2 1 2 1 2 1cos cos , 17 n n n n n n            ，所以 12 2sin 17   . 所以，平面 PAB与平面 PAC的夹角的正弦值是12 2 17 ．…………………………………………15 分 18. (本小题满分 17分) 解：（1）由题意可得 2 2 2 1, 2, , a c a c a b       …………………………………………………………………3分 解得 22, 3c b  ，……………………………………………………………………………………5分 所以双曲线Γ的方程为 2 2 1 3 yx   .…………………………………………………………………6 分 （2）证明：设直线 3: 2 3 l x my m          ，点    1 1 2 2, , ,P x y Q x y ，则  2 2,R x y  . 联立 22 2 1 3 x my yx       ，得  2 23 1 12 9 0m y my    ，…………………………………………………9 分 1 2 1 22 2 12 9, 3 1 3 1 my y y y m m      .…………………………………………………………………………11 分    1 2 2 2 1 11, , 1,A R x y A P x y        ， 则   1 2 2 1 1 21 1AR A P x x y y        ，………………………………………………………………13 分 数学参考答案第 4 页 (共 4页)       22 1 1 2 1 2 1 22 1 2 1 1 3 9my my y y m y y m y y             ，  2 2 29 121 3 9 03 1 3 1 mm m m m           ，…………………………………………………………16 分 所以 1 2AR A P .………………………………………………………………………………………17 分 19. (本小题满分 17分) 解：（1）因为   e sinxf x x ，所以   00 e sin0=0f  ，   e sin e cosx xf x x x  ，………………2分 所以切线斜率为   0 00 e sin0 e cos0 1f     ， ……………………………………………………4分 所以函数  f x 的在 0x  处的切线方程为  0 1 0y x    ，即 0x y  ；……………………5分 （2）要证    exf x g x ，只需要证明 sin ln( 1)x x  ，其中 π0, 2 x      ， 设 ( ) sin ln( 1)m x x x   ，   1cos 1 m x x x     ，…………………………………………………6 分 设 ( ) ( )n x m x ，    2 1sin 1 n x x x      …………………………………………………………7 分 因为函数 siny x  、  2 2 1 y x   在 π0, 2       上均为减函数， 则    2 1sin 1 n x x x      在区间 π0, 2       内单调递减 ……………………………………………8分 因为 (0) 1 0n   ， 2 π 11 0 2 π 1 2 n                ，所以， 1 π0, 2 x       ，使得  1 0n x  ， 当 10 x x  时， ( ) 0n x  ；当 1 π 2 x x  时， ( ) 0n x  . 所以 ( )m x 在区间  10, x 内单调递增，在区间 1 π, 2 x     内单调递减 ……………………………9 分 又因为 (0) 0m  ，  1 0m x  ， π 1 0π2 1 2 m         ， 2 1 π, 2 x x      ，使得  2 0m x  ， 当 20 x x  时， ( ) 0m x  ；当 2 π 2 x x  时， ( ) 0m x  . 所以 ( )m x 在区间  20, x 内单调递增，在区间 2 π, 2 x     内单调递减．…………………………10 分 因为 (0) 0m  ， π π1 ln 1 0 2 2 m               ， 所以 sin ln( 1)x x  在区间 π0, 2       内恒成立．…………………………………………………11 分 (3)令 1 2 x n  ，所以 1 1 2 1sin ln 1 ln 2 2 2 n n n n        ， 数学参考答案第 5 页 (共 4页) 所以 1 3sin ln 2 2  ， 1 5sin ln 4 4  ， 1 7sin ln 6 6  ，…， 1 2 1sin ln 2 2 n n n   ， 所以 1 1 1 3 5 2 1sin sin sin ln ln ln 2 4 2 2 4 2 n n n          ．…………………………………13 分 对 *Nn  ，   2 1 2 2 1 0 2 2 1 2 2 1 n n n n n n        ，所以 2 1 2 2ln ln 2 2 1 n n n n     ， 所以 1 1 1 3 5 2 12 sin sin sin 2 ln ln ln 2 4 2 2 4 2 n n n                    3 4 5 6 2 1 2 2ln ln ln ln ln ln 2 3 4 5 2 2 1 n n n n            ln3 ln2 ln4 ln3 ln(2 2) ln(2 1) ln( 1)n n n           ， 所以  1 1 1 1sin sin sin ln 1 2 4 2 2 n n      得证．…………………………………………15 分 设   1sin 0 2 p x x x x        ，则 ( ) cos 1 0p x x    ，则 ( )p x 在区间 10, 2      上单调递减， 所以 ( ) sin (0) 0p x x x p    ． 令 1 2 x n  ， 1 1sin 2 2n n  ，所以 1 1sin 2 2  ， 1 1sin 4 4  ，所以 1 1sin 6 6  ，…， 1 1sin 2 2n n  ， 所以 1 1 1 1 1 1 1sin sin sin 1 2 4 2 2 2 3n n               ． 综上，    *1 1 1 1 1 1 1 1ln 1 sin sin sin 1 N2 2 4 2 2 2 3n nn n                   ……………17 分