山东省滨州市2024-2025学年高二下学期期末模拟数学试题三

山东省滨州市2024-2025学年高二下学期期末模拟数学试题三 一、单选题 1．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得B，根据并集的定义求得，再根据补集的定义求解即可. 【详解】，， 又， ． 故选：C. 2．研究人员采取普查的方式调查某市国企普通职工的收入情况，记被调查的职工的收入为X，统计分析可知，则（   ） 参考数据：若，则，，. A．0.8186 B．0.9759 C．0.74 D．0.84 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质结合条件即得. 【详解】依题意，， 所以 . 故选：D. 3．已知为实数，“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解不等式，可得即可得解. 【详解】. 所以“”是“”的充要条件. 【点睛】本题主要考查了解不等式及充要条件的判断，属于基础题. 4．设函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域是，，则函数的定义域为，故选A. 5．函数与在同一坐标系下的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数图象变换可得出合适的选项. 【详解】函数的图象可看作是把函数的图象向上平移个单位得到， 函数的图象可看作是把函数的图象向右平移个单位得到， 故合乎条件的选项为C. 故选：C. 6．已知正实数满足，则的最小值为 A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用,可得，从而可求出的最小值. 【详解】,当且仅当时取等号， ， ， 故的最小值为2，故选C. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题. 7．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（    ） A．60种 B．68种 C．82种 D．108种 【答案】D 【分析】利用插空法结合组合数求解. 【详解】每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮， 所以需把3个亮的发光原件插入未点亮的元件中，有种方法， 且不同颜色数有种， 所以这排电子元件能表示的信息种数共有种. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查组合计数问题，关键是插空法的应用. 8．函数的单调递减区间和值域分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先由对数函数性质直接求出函数定义范围和值域，接着由对数函数单调性和余弦函数单调性结合定义将问题转化成求函数在上的减区间即可直接计算得解. 【详解】由题，则，即， 又为上的增函数，且， 所以所求函数值域为；函数的单调递减区间即为函数在上的减区间， 所以，解得所求单调递减区间为. 故选：D 二、多选题 9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，以下四个命题，其中真命题有（    ） A．是偶函数 B．的周期是任意非零有理数 C．是奇函数 D．，， 【答案】ABD 【分析】对于A，分是否是有理数进行讨论即可求解；对于B，直接由周期函数的定义验算即可；对于C，由A选项分析即可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，当为有理数时，为有理数，则． 当为无理数时，为无理数，则． 故当 时，，所以是偶函数，故A是真命题. 对于B，且， 当是有理数时，是有理数，. 当是无理数时，是无理数，. 所以，，故B是真命题. 对于C，是偶函数，不是奇函数，故C是假命题. 对于D，当，时，是无理数，则， ，满足，故D是真命题. 故选：ABD. 10．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和．则下列命题中正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，从第行起，前行每一行的第个数之和为 D．存在，使得为等差数列 【答案】BD 【分析】根据“杨辉三角”与组合数的关系可判断AC选项；利用二项式系数的性质可判断B选项；取，利用组合数的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是，A错； 对于B选项，由二项式系数的性质知，B对； 在“杨辉三角”中，当时，从第行起， 每一行的第个数之和为，C错； 对于D选项，取，则， 因为，所以数列为公差为的等差数列，D对． 故选：BD． 11．若定义在上的函数满足，且关于点对称，在区间上，恒有，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线成轴对称 C．函数的图象关于点成中心对称 D．函数在区间上为减函数 【答案】CD 【分析】根据条件先判断函数的对称轴和周期，然后结合函数的单调性进行转化比较即可. 【详解】因为，所以函数的图象关于对称， 可得， 且关于点对称，则， 即，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 可得，即， 可知函数的图象关于点成中心对称，C正确； 在区间上，恒有，所以在上单调递增， 结合函数的图象关于对称及关于点成中心对称， 所以在上单调递减，故选项D正确； 由奇函数性质知，所以，即， 所以，所以函数是周期函数，且， 又在上单调递增，所以，故选项A错误； 假设函数的图象关于直线成轴对称，则， 结合，可得， 则，即，这与在上单调递增相矛盾，假设不成立，故B错误； 故选：CD. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 三、填空题 12．已知，则 ． 【答案】100 【分析】利用指对数的关系即可求得x的值. 【详解】由，则 故答案为：100 13．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件三个人去的景点各不相同，事件甲独自去一个景点，则 ． 【答案】 【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，种数为2×2=4 ， 所以甲独自去一个景点的可能性为3×2×2=12 ，因为三个人去的景点不同的种数为3×2×1=6，所以P（A|B）=. 故答案为 14．已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出函数的表达式，构造函数，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】∵， ∴ ， ∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点， ∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解， 即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点， ， 作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下， ， 结合图象可知， <b<2， 故答案为:. 四、解答题 15．随着生活水平的提高，人们对水果的需求量越来越大，为了满足消费者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地开花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜软，低酸爽口深受市民的喜爱．某“闹闹”水果店对某品种的“湖南沃柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示： 试销单价x（元） 3 4 5 6 7 产品销量y件 20 16 15 12 6 (1)经计算相关系数，变量x，y线性相关程度很高，求y关于x的经验回归方程； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望． 参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用线性回归方程的计算公式计算对应数据即可； （2）先确定“次数据”个数，列出分布列再计算其期望. 【详解】（1）由已知，得，， ，， 则， 所以， 所以． （2）当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，． 因此该样本的残差绝对值依次为0.2，1，1.2，1.4，1.4， 所以“次数据”有2个．“次数据”个数X可取0，1，2． ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则数学期望． 16．已知函数. (Ⅰ)若函数在处取得极值，求的值； (Ⅱ)设，若函数在定义域上为单调增函数，求的最大整数值. 【答案】(1) ;(2) 的最大整数值为2. 【详解】分析：(1)先求导数，再根据根据极值定义得 0，解得的值,最后列表验证.(2)先转化为恒成立，再利用结论（需证明），得，可得当时，恒成立；最后举反例说明当时，，即不恒成立. 详解：(Ⅰ)， 若函数在处取得极值， 则， 解得. 经检验，当时，函数在处取得极值. 综上，. (Ⅱ)由题意知，， . 若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立. 先证明. 设，则. 则函数在上单调递减，在上单调递增. 所以，即. 同理，可证，所以，所以. 当时，恒成立； 当时，， 即不恒成立. 综上所述，的最大整数值为2. 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题. 17．“双十一”期间，某大型商场举行了“消费领奖”的促销活动，在规定的商品中，顾客消费满，200元（含200元）即可抽奖一次，抽奖方式有两种（顾客只能选择其中一种）. 方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个，黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出2球，每摸出1次红球，立减100元. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，不放回地摸出2个球，中奖规则为：若摸出2个红球，享受免费优惠；若摸出1个红球，1个黑球，则打5折；若摸出2个黑球，则抵扣现金50元. (1)某顾客恰好消费200元，选择抽奖方案一，求他实付现金的分布列和期望； (2)若顾客消费300元，试从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方式更合理? 【答案】(1)分布列见解析，160元 (2)选择方案二更合理 【分析】（1）设实付金额为元，则可能取值为0，100，200，分别求出对应独立重复试验的概率，即可按定义求得分布列和期望； （2）选择期望较小的方案，方案一可先求出摸到红球的个数的期望，再进一步求即可；方案二设实付金额为，则的可能取值为0，150，250，通过古典概型求得对应分布列和期望. 【详解】（1）设实付金额为元，则可能取值为0，100，200． 则，，， 则的分布列为 0 100 200 ∴（元） （2）若选方案一，设摸到红球的个数为，实付金额为，则， 由题意得，故． ∴（元） 若选方案二，设实付金额为，则的可能取值为0，150，250． 则，，． 则的分布列为 0 150 250 ∴（元） ∵， ∴选择方案二更合理． 18．已知函数. (I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程； (II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析． 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由,通过讨论确定的单调性,再由单调性确定极值. 试题解析：（Ⅰ）由题意， 所以，当时，，， 所以， 因此，曲线在点处的切线方程是， 即. （Ⅱ）因为， 所以， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 因为， 所以，当时，；当时，. （1）当时，， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 所以当时取到极大值，极大值是， 当时取到极小值，极小值是. （2）当时，， 当时，，单调递增； 所以在上单调递增，无极大值也无极小值. （3）当时，， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 所以当时取到极大值，极大值是； 当时取到极小值，极小值是. 综上所述： 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是； 当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是. 【考点】导数的几何意义及导数的应用 【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值． 19．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，得到，利用导数的几何意义，得到函数在处的切线的斜率，即可求解； （2）对求导，得到，构造函数，利用零点存在性原理，可得，使得，从而得到的单调区间，进而得到，再利用，即可证明结果； （3）根据条件，将问题转化成证明在上恒成立，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，求出单调区间，进而得到，即可证明结果. 【详解】（1）因为，则， 所以，又，所以函数在处的切线方程为. （2）因为，则， 令，则，所以在区间上单调递减， 又，，所以，使得，即， 当时，，当时，， 得到在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，又，得到， 又，当且仅当时取等号，又，则， 所以，得证. （3）因为，由，得到， 又，得到，即， 所以要证，即证，即证， 令，则在区间上恒成立，所以， 即证在上恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 得到，所以，即，命题得证. 【点睛】关键点点晴，对于第（2）问，利用导数与函数单调性间的关系，结合零点存在性原理，求出函数的“隐零点”，进而得到，再结合，利用基本不等式，即可求解；对于第（3）问，利用同构思想，将问题转化成求证，通过换元，转化成在上恒成立，构造函数，利用导数，求出函数最小值，即可求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$山东省滨州市2024-2025学年高二下学期期末模拟数学试题三 一、单选题 1.设全集,集合,,则( ) A. B. C. D. 2.研究人员采取普查的方式调查某市国企普通职工的收入情况,记被调查的职工的收入为X,统计分析可知,则( ) 参考数据:若,则,,. A.0.8186 B.0.9759 C.0.74 D.0.84 3.已知为实数,“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设函数的定义域是,则函数的定义域是( ) A. B. C. D. 5.函数与在同一坐标系下的图象大致是( ) A. B. C. D. 6.已知正实数满足,则的最小值为 A.1 B. C.2 D.4 7.一个信息设备装有一排六只发光电子元件,每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮,但相邻的两个电子元件不能同时被点亮,根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息,则这排电子元件能表示的信息种数共有( ) A.60种 B.68种 C.82种 D.108种 8.函数的单调递减区间和值域分别为( ) A., B., C., D., 二、多选题 9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,狄利克雷函数就以其名命名,其解析式为,以下四个命题,其中真命题有( ) A.是偶函数 B.的周期是任意非零有理数 C.是奇函数 D.,, 10.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现,比欧洲发现早年左右.如图所示,在“杨辉三角”中,除每行两边的数都是外,其余每个数都是其“肩上”的两个数之和,例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是( ) A.在“杨辉三角”第行中,从左到右第个数是 B.由“第行所有数之和为”猜想: C.在“杨辉三角”中,从第行起,前行每一行的第个数之和为 D.存在,使得为等差数列 11.若定义在上的函数满足,且关于点对称,在区间上,恒有,则下列说法正确的是( ) A. B.函数的图象关于直线成轴对称 C.函数的图象关于点成中心对称 D.函数在区间上为减函数 三、填空题 12.已知,则 . 13.甲、乙、丙三人到三个景点旅游,每人只去一个景点,设事件三个人去的景点各不相同,事件甲独自去一个景点,则 . 14.已知函数,函数,若函数恰有4个零点,则实数的取值范围为 . 四、解答题 15.随着生活水平的提高,人们对水果的需求量越来越大,为了满足消费者的需求,精品水果店也在大街小巷遍地开花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩,皮薄汁多,口感甜软,低酸爽口深受市民的喜爱.某“闹闹”水果店对某品种的“湖南沃柑”进行试销,得到一组销售数据,如下表所示: 试销单价x(元) 3 4 5 6 7 产品销量y件 20 16 15 12 6 (1)经计算相关系数,变量x,y线性相关程度很高,求y关于x的经验回归方程; (2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据,当样本数据的残差的绝对值大于1.2时,称该对数据为一个“次数据”,现从这5个成对数据中任取3个做残差分析,求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望. 参考公式:线性回归方程中,的最小二乘法估计分别为. 16.已知函数. ( )若函数在处取得极值,求的值; ( )设,若函数在定义域上为单调增函数,求的最大整数值. 17.“双十一”期间,某大型商场举行了“消费领奖”的促销活动,在规定的商品中,顾客消费满,200元(含200元)即可抽奖一次,抽奖方式有两种(顾客只能选择其中一种). 方案一:从装有5个形状、大小完全相同的小球(其中红球1个,黑球4个)的抽奖盒中,有放回地摸出2球,每摸出1次红球,立减100元. 方案二:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个,黑球8个)的抽奖盒中,不放回地摸出2个球,中奖规则为:若摸出2个红球,享受免费优惠;若摸出1个红球,1个黑球,则打5折;若摸出2个黑球,则抵扣现金50元. (1)某顾客恰好消费200元,选择抽奖方案一,求他实付现金的分布列和期望; (2)若顾客消费300元,试从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方式更合理? 18.已知函数. (I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程; (II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 19.已知函数. (1)求函数在处的切线方程; (2)证明:; (3)证明:. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A C C D D ABD BD 题号 11 答案 CD 1.C 【分析】由题意可得B,根据并集的定义求得,再根据补集的定义求解即可. 【详解】,, 又, . 故选:C. 2.D 【分析】根据正态分布的性质结合条件即得. 【详解】依题意,, 所以 . 故选:D. 3.C 【分析】解不等式,可得即可得解. 【详解】. 所以“”是“”的充要条件. 【点睛】本题主要考查了解不等式及充要条件的判断,属于基础题. 4.A 【详解】函数的定义域是,,则函数的定义域为,故选A. 5.C 【分析】利用函数图象变换可得出合适的选项. 【详解】函数的图象可看作是把函数的图象向上平移个单位得到, 函数的图象可看作是把函数的图象向右平移个单位得到, 故合乎条件的选项为C. 故选:C. 6.C 【分析】利用,可得,从而可求出的最小值. 【详解】,当且仅当时取等号, , , 故的最小值为2,故选C. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于基础题. 7.D 【分析】利用插空法结合组合数求解. 【详解】每次恰有三个电子元件被点亮,但相邻的两个电子元件不能同时被点亮, 所以需把3个亮的发光原件插入未点亮的元件中,有种方法, 且不同颜色数有种, 所以这排电子元件能表示的信息种数共有种. 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题考查组合计数问题,关键是插空法的应用. 8.D 【分析】先由对数函数性质直接求出函数定义范围和值域,接着由对数函数单调性和余弦函数单调性结合定义将问题转化成求函数在上的减区间即可直接计算得解. 【详解】由题,则,即, 又为上的增函数,且, 所以所求函数值域为;函数的单调递减区间即为函数在上的减区间, 所以,解得所求单调递减区间为. 故选:D 9.ABD 【分析】对于A,分是否是有理数进行讨论即可求解;对于B,直接由周期函数的定义验算即可;对于C,由A选项分析即可判断;对于D,举反例即可判断. 【详解】对于A,当为有理数时,为有理数,则. 当为无理数时,为无理数,则. 故当 时,,所以是偶函数,故A是真命题. 对于B,且, 当是有理数时,是有理数,. 当是无理数时,是无理数,. 所以,,故B是真命题. 对于C,是偶函数,不是奇函数,故C是假命题. 对于D,当,时,是无理数,则, ,满足,故D是真命题. 故选:ABD. 10.BD 【分析】根据“杨辉三角”与组合数的关系可判断AC选项;利用二项式系数的性质可判断B选项;取,利用组合数的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项,在“杨辉三角”第行中,从左到右第个数是,A错; 对于B选项,由二项式系数的性质知,B对; 在“杨辉三角”中,当时,从第行起, 每一行的第个数之和为,C错; 对于D选项,取,则, 因为,所以数列为公差为的等差数列,D对. 故选:BD. 11.CD 【分析】根据条件先判断函数的对称轴和周期,然后结合函数的单调性进行转化比较即可. 【详解】因为,所以函数的图象关于对称, 可得, 且关于点对称,则, 即,所以函数为奇函数,图象关于原点对称, 可得,即, 可知函数的图象关于点成中心对称,C正确; 在区间上,恒有,所以在上单调递增, 结合函数的图象关于对称及关于点成中心对称, 所以在上单调递减,故选项D正确; 由奇函数性质知,所以,即, 所以,所以函数是周期函数,且, 又在上单调递增,所以,故选项A错误; 假设函数的图象关于直线成轴对称,则, 结合,可得, 则,即,这与在上单调递增相矛盾,假设不成立,故B错误; 故选:CD. 【点睛】方法点睛:函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性,在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系,推证函数的性质,根据函数的性质解决问题. 12.100 【分析】利用指对数的关系即可求得x的值. 【详解】由,则 故答案为:100 13. 【详解】甲独自去一个景点,则有3个景点可选,乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择,种数为2 2=4 , 所以甲独自去一个景点的可能性为3 2 2=12 ,因为三个人去的景点不同的种数为3 2 1=6,所以P(A|B)=. 故答案为 14. 【分析】求出函数的表达式,构造函数,作函数的图象,利用数形结合进行求解即可. 【详解】∵, ∴ , ∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点, ∴方程f(x)−g(x)=0有四个解,即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解, 即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点, , 作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下, , 结合图象可知, <b<2, 故答案为:. 15.(1) (2)分布列见解析, 【分析】(1)利用线性回归方程的计算公式计算对应数据即可; (2)先确定“次数据”个数,列出分布列再计算其期望. 【详解】(1)由已知,得,, ,, 则, 所以, 所以. (2)当时,;当时,;当时,; 当时,;当时,. 因此该样本的残差绝对值依次为0.2,1,1.2,1.4,1.4, 所以“次数据”有2个.“次数据”个数X可取0,1,2. . 所以X的分布列为: X 0 1 2 P 则数学期望. 16.(1) ;(2) 的最大整数值为2. 【详解】分析:(1)先求导数,再根据根据极值定义得 0,解得的值,最后列表验证.(2)先转化为恒成立,再利用结论(需证明),得,可得当时,恒成立;最后举反例说明当时,,即不恒成立. 详解:( ), 若函数在处取得极值, 则, 解得. 经检验,当时,函数在处取得极值. 综上,. ( )由题意知,, . 若函数在定义域上为单调增函数,则恒成立. 先证明. 设,则. 则函数在上单调递减,在上单调递增. 所以,即. 同理,可证,所以,所以. 当时,恒成立; 当时,, 即不恒成立. 综上所述,的最大整数值为2. 点睛:函数单调性问题,往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题,即转化为方程或不等式解的问题(有解,恒成立,无解等),而不等式有解或恒成立问题,又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题. 17.(1)分布列见解析,160元 (2)选择方案二更合理 【分析】(1)设实付金额为元,则可能取值为0,100,200,分别求出对应独立重复试验的概率,即可按定义求得分布列和期望; (2)选择期望较小的方案,方案一可先求出摸到红球的个数的期望,再进一步求即可;方案二设实付金额为,则的可能取值为0,150,250,通过古典概型求得对应分布列和期望. 【详解】(1)设实付金额为元,则可能取值为0,100,200. 则,,, 则的分布列为 0 100 200 ∴(元) (2)若选方案一,设摸到红球的个数为,实付金额为,则, 由题意得,故. ∴(元) 若选方案二,设实付金额为,则的可能取值为0,150,250. 则,,. 则的分布列为 0 150 250 ∴(元) ∵, ∴选择方案二更合理. 18.( );( )见解析. 【详解】试题分析:( )根据导数的几何意义,求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程;( )由,通过讨论确定的单调性,再由单调性确定极值. 试题解析:( )由题意, 所以,当时,,, 所以, 因此,曲线在点处的切线方程是, 即. ( )因为, 所以, , 令, 则, 所以在上单调递增, 因为, 所以,当时,;当时,. (1)当时,, 当时,,,单调递增; 当时,,,单调递减; 当时,,,单调递增. 所以当时取到极大值,极大值是, 当时取到极小值,极小值是. (2)当时,, 当时,,单调递增; 所以在上单调递增,无极大值也无极小值. (3)当时,, 当时,,,单调递增; 当时,,,单调递减; 当时,,,单调递增. 所以当时取到极大值,极大值是; 当时取到极小值,极小值是. 综上所述: 当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是,极小值是; 当时,函数在上单调递增,无极值; 当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是,极小值是. 【考点】导数的几何意义及导数的应用 【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤:①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;④检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. 19.(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)对求导,得到,利用导数的几何意义,得到函数在处的切线的斜率,即可求解; (2)对求导,得到,构造函数,利用零点存在性原理,可得,使得,从而得到的单调区间,进而得到,再利用,即可证明结果; (3)根据条件,将问题转化成证明在上恒成立,构造函数,利用导数与函数的单调性间的关系,求出单调区间,进而得到,即可证明结果. 【详解】(1)因为,则, 所以,又,所以函数在处的切线方程为. (2)因为,则, 令,则,所以在区间上单调递减, 又,,所以,使得,即, 当时,,当时,, 得到在区间上单调递增,在区间上单调递减, 所以,又,得到, 又,当且仅当时取等号,又,则, 所以,得证. (3)因为,由,得到, 又,得到,即, 所以要证,即证,即证, 令,则在区间上恒成立,所以, 即证在上恒成立, 令,则, 当时,,当时,, 所以在区间上单调递减,在区间上单调递增, 得到,所以,即,命题得证. 【点睛】关键点点晴,对于第(2)问,利用导数与函数单调性间的关系,结合零点存在性原理,求出函数的“隐零点”,进而得到,再结合,利用基本不等式,即可求解;对于第(3)问,利用同构思想,将问题转化成求证,通过换元,转化成在上恒成立,构造函数,利用导数,求出函数最小值,即可求解. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$