四川省资阳中学2024-2025学年高二下学期期中检测数学试题

( 资阳中学高2023级第四学期半期考试 数学 答题卡 姓 名： 班 级： 准考证号： ) ( 贴 条 形 码 区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） ) ( 1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] )一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。） 二、多项选择题（本题共3小题，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，共18分） ( 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) 三、填空题（共3个小题，每小题5分，共15分。） 12. 13. 14 ( 此区域禁止答题 ) 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ( 15.（13分） ) 16.（15分） 17.（15分） 18.（17分） 19.（17分）       ■第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效■ ■第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效■ ■第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效■ 学科网（北京）股份有限公司 $$资阳中学高2023级第四学期数学半期考试 &如阁。用四种不民有餐色始用中们A,B,C,DB,F,G七个点涂色，要求每个 题人：适文胜 审卷人：何环 点涂一种密色，且用中鲜条线段的两个墙点涂不同横色：脚不将诊色方法有() 一，意样题：本大增共8小翅，每小题5分：共的分。在每小题帅出的因个运项中。其有 一顶符合题日更求 1,已如离散随肌变量X的分有列如下表： 0 P 50 1 若璃胜型面机变量Y=2X+1,期P代YC)= A.0 B.28 .5m D.以上容案均不对 水品 c.音 n是 二、这样题：本大喝共3小围，每小题6许，共计18分。在每小愿给出的这项中，有多写 奇合避日要求，全都选对的得6数，第分途时的得都分分，有选帽控得0分 2.6个男生，2个女牛排成一样，若女生不院精在两牌，但又必频相能，不同的排法种 身.若CP代A)C1,0CC1,附下列等式中战立的是 数为 A.代A= A.0 B.720 C.0 D.14n P(B) 3.我国古代数学家沈括，杨钢.朱牡本等解究过二将等差数到们相关料愿.如果：：一压 A代AB)=PA回 PA) =人(mEN:且数列（化】为等差数列，雪么数：}为和等差数列.现有二称等差数利 C.PA=PAPB群A) 的有4项分财为1,3：，0，嘴该数判的箱8项和为() D.RB)-PIAIRBA)+PIARRA A,120 B.220 C.240 D.利 4,再位工人知工同一种零件共00个。甲加工了0个，兵中35个是合格出，乙工了0 0已知《为居数爪)的母函数：若居数y=一1的图象大效如南所示，则 个，其中有和个合格，令A事件为”从们个产品中任意取一个，取出的是合格品”，日 事件为”从100个产品中任童取一个，数到甲生产的产品”，则刊A利价等于 A音 县品 c. n. 正设函到是R上可号的具函数，且广2=3，当士>0，调是2到十矿{)>3，期 x()>12约解集为 A.（-22 R.【-%-3)U(3.+0 A.)有3个恨值座 C.{-02到U(2◆0 D,(-玉 :,=3是)的板大策点 :,套数填15指-，是中明代一位秀出的音乐家，数学家和天文历算家，帕的著作 C,一4是的晟大值面 (修学新晚》中制成了最单的“十二平均律”，十二平均律是目附肚界上通用的把一组音 ).在（山号上单遥增 (人度)外域十二个率音音程的律制，各图：两律之间的频率之比克全智等，秀样“十二等 1.已知数列4}中，=341*（属++疗-2.则关于数列{包1的说达正瑞的是 程信”，即一个八度3个音，图部两个音之闻的频率之比相等，且最后一个在是最相那个 A.4=7 B,数列a}为周期数列 查的期率的2植.忍用四个音的镇率总和为A,首八个青的统率总和为A则生 C.4=2m2-n+1 D数列{为通州数 A.1+2B.1+2C.1+2D.1+2 7,设函数儿x)=r一，直线y一+6一1是南线y一八)物切线。月压+b的最大值是 三.填空题：本题具3小愿，每小是5分，其5分 41-80G。-1D.2-2 比，在-是了的项展开式中，是的系数为一 1注，已知代时=r+bcwx+7红一2，(x)为fa)计函数，若f(22胡=-011.脚 18.(17分) (-23Q5)= 已知函数八)=n多一ma+1,x)=e-1 14,已知数列a】的管n项和为8，a-1,4-3.当n>2时，总有-28-4附 (1小若f几)的最大值是0，象m的植： 数例红}的通项公式丝= (2)若对任意x>0,f)≤列小恒域立，零m的取值范围 叫，解答圆：本大题其5小挺，其7分。解答应写出文字议明，证明过程式演算岁像 15,(1过分) 在①品4>L。4-,4+m=20,留品-25年：出一3只=n2”三个条中 任透个。补充别下而月圆中，并解答 已知等象敏到a}的模a项和为品，且。 EN (1)米数列{a}的通项公式： (2君点一。上·求数列的前a项和乳 19(17分) 勇达楼再属上校的桶步半层14个台阶，闻学们每天通柱知司的夏克流是从精上这个校样开 始。有的间学“脚实地”一步1个台阶，有的0学“争分李秒”一步2个台聊，还有的 间学“天赋异■“一步3个域4个行所。 (1)同学甲上楼时一少走1个就者2个白阶，则单走完这半是14个台阶有多少种不网的正 16.(15分) 法 已知函数f)=r-(2a+1H+ana,aE (2)通住人生的高峰有无数的行阶。满要我们假授架登。同学乙每一岁都是走1个政者 小若八x在=1处取得极算，求的侵丝： 个台种，绝第一步走1个台所的照率斗，船后风第二步开始，若士一步走的1个合除，则 (2)若f《x)在1.e]上的量小值为一2a:求a的鼠植范国 下一步走1个台阶的周率为子若上一市走的2个台所，赠下一步走1个台阶的概为 (1）配第步止1个台阶的概率为B求月关于的表适式 《目)记第n个台阶枝医中的照率为八，其中第n个阶蔽走1个阶有球中的顺率为 人，技走2个台0面深中的授率为风，米正n+》=专我+2)+号知+1)-十代， 并计算八6. 17,(13分) 已知数到{}为等整数列，数列6}为单调递塔的等比数列，a,=5,馬+@=2如.且与 +n=0+1,bh,=a+ (1小求数列{：}与)的通项公式 (2)设6显a,k,求数到6]的像程项和T数学试 一、 择 ： 大 共 8 ，每 5 ，共 40 。 每 给出的四个 中，只 一 目要 。 1．已知离散 变 X的 如下表： X 0 1 2 3 P a 1 3 5a 1 6 若离散 变 Y= 2X+ 1， P Y≥5 = (    )． A． 7 12 B． 5 12 C． 5 6 D． 3 4 【 案】A 【 】根 的性质 出 a，再根 变 之间的函数关系即可 解. 【详解】由 的性质可知： a+ 1 3 + 5a+ 1 6 = 1, 解得 a= 1 12 ， 由Y= 2X+ 1 ，Y≥ 5 价于X≥ 2 ，由表可知P X≥2 = 5 12 + 1 6 = 7 12 ； 故 ：A. 2． 5个男生， 2个女生 成一 ，若女生不能 两端， 又必 相 ， 不 的 法种 数为 A． 480 B． 720 C． 960 D． 1440 【 案】C 【详解】试 ：两个女生必 相 ， 绑A22= 2，女生不能 两端， 从 5个男生中任 两人 两端，A25= 20， 3个男生与 绑 一起的 2个女生 成 4个元 ， 其 ，A44= 24，所以不 的 法种数为：A22 ⋅A25 ⋅A44= 2× 20× 24= 960． 考点： 的 用． 3．我国古代数学家 括， 辉， 世 过二 差数 的相关问 .如 an+1- an = bn n∈N * ，且数 bn 为 差数 ， 么数 an 为二 差数 .现 二 差数 的 4 为 1， 3， 6， 10， 该数 的 8 为 (    ) A． 120 B． 220 C． 240 D． 256 【 案】A 【 】根 意可知数 an 的 4 ，再由 an+1- an= bn可 出 b1,b2，由数 bn 为 差数 ，可 出 bn 的 公式，代入 an+1- an= bn中再 用 法可 出 an 的 公式，从而可 出结 . 【详解】由 意可知数 an 的 4 为 1， 3， 6， 10，即 a1= 1,a2= 3,a3= 6,a4= 10， 因为 an+1- an= bn，所以 b1= a2- a1= 2,b2= a3- a2= 3， 所以 差数 bn 的公差为 b2- b1= 1， 所以 bn= 2+ (n- 1) =n+ 1， 所以 an+1- an=n+ 1， 所以 a2- a1= 2， a3- a2= 3，⋯⋯， an- an-1=n， 所以上 n- 1个式子相 得 an- a1= 2+ 3+⋅⋅⋅+n， 所以 an= 1+ 2+ 3+⋅⋅⋅+n= n(n+1) 2 ， 所以S8= 1×22 + 2×3 2 + 3×4 2 + 4×5 2 + 5×6 2 + 6×7 2 + 7×8 2 + 8×9 2 = 2+6+12+20+30+42+56+72 2 = 120， 故 ：A 4．两 工人 工 一种零件共 100个，甲 工了 40个，其中 35个 格 ，乙 工了 60 个，其中 50个 格，令A事件为”从 100个产 中任意取一个，取出的 格 ”，B 事件为”从 100个产 中任意取一个，取 甲生产的产 ”， P(A|B) 于 A． 2 5 B． 35 100 C． 7 8 D． 5 7 【 案】C 【 】 用 件概率的公式 解即可. 【详解】B事件为”从 100个产 中任意取一个，取 甲生产的产 ”， n(B) = 40， A事件为”从 100个产 中任意取一个，取出的 格 ”， AB为从 100个产 中任意取一个，取出的 甲生产的 格 ， n(AB) = 35, P(A|B) = P(AB) P(B) = n(AB) n(B) = 35 40 = 7 8 , 故 ：C. 5．设函数 f x  R上可导的偶函数，且 f 2 = 3，当 x> 0，满足 2f x + xf x > 2， x2 f x > 12的解 为 A． -2,2  B． -∞,-3 ∪ 3,+∞  C． -∞,-2 ∪ 2,+∞  D． -3,3  【 案】C 【 】先 函数 g x = x2 f x ，再 用函数单 性解不 式. 【详解】令 g x = x2 f x ，因为函数 f x  -∞,+∞ 上 可导的偶函数，所以 g x = x2 f x  -∞,+∞ 上也 偶函数 又当 x> 0时， 2f x + xf ' x > 2, ∴ 2xf x + x2 f ' x > 2x> 0 , ∴ g' x > 0, ∴ g x = x2 f x  0,+∞ 上 函数 ∵ f 2 = 3由 x2 f x > 12得 x2 f x > 12= 22 f 2  ∴ g x  > g 2 , ∴ x > 2 ∴ x∈ -∞,-2 ∪ 2,+∞ . C. 6． 载 (1536~1611)， 中国 代一 出的音乐家、数学家 天文历 家，他的著 《律学新说》中 成了 早的“十二 律”.十二 律 目 世界上 用的把一组音 (八 ) 成十二个半音音 的律 ， 相 两律之间的 率之比完全相 ，亦称“十二 律”，即一个八 13个音，相 两个音之间的 率之比相 ，且 一个音 个 音的 率的 2倍.设 四个音的 率总 为A1， 八个音的 率总 为A2， A2 A1 = (    ) A． 1+ 2 1 2 B． 1+ 2 1 3 C． 1+ 2 1 4 D． 1+ 2 1 6 【 案】B 【 】 每个音的 率 比数 an ， 用 比数 的知识即可 得结 . 【详解】由 意可知一个八 13个音，且相 两个音之间的 率之比相 ， 设 一个音的 率为 a1，相 的两个音之间的 率之比为 q q≠1 ， 可以 每个音的 率 比数 an ，共 13 ，且 an an-1 = q， 因为 一个音 个音的 率的 2倍， 所以 a13= a1q12= 2a1，即 q12= 2，所以 q4= 2 1 3， 所以A1= a1 1-q4  1-q ，A2= a1 1-q8  1-q ， 所以 A2 A1 = 1-q 8 1-q4 = 1-q4  1+q4  1-q4 = 1+ q4= 1+ 2 1 3， 故 ：B 7.设函数 f(x) = ex- x，直线 y= ax+ b- 1 曲线 y= f(x)的 线， a+ b的 大值 (    ) A． 1- 1 e B． e C． e- 1 D． e2- 2 【 案】B 【解 】先设 点写出曲线的 线方 ，得出 a、 b的值，再 用 函数 用导数 a+ b 的 大值即可. 【详解】解：由 得 f′ (x) = ex- 1，设 点 (t， f(t))， f(t) = et- t， f′ (t) = et- 1； 线方 为： y- (et- t) = (et- 1) (x- t)， 即 y= (et- 1)x+ et(1- t)，又因为 y= ax+ b- 1， 所以 a= et- 1， b- 1= et(1- t)， a+ b= 2et- tet， 令 g(t) = 2et- tet， g′ (t) = (1- t)et， t> 1， g′ (t)< 0； t< 1， g′ (t)> 0，即 g(t) -∞,1 上 ， 1,+∞ 上 减， 所以 t= 1时， g(t)取 大值 g(1) = 2e- e= e， 即 a+ b的 大值为 e. 故 ：B. 8．如图，用四种不 的 给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点 ，要 每个 点 一种 ，且图中每 线段的两个端点 不 ， 不 的 方法 (    ) A． 600 B． 288 C． 576 D．以上 案 不对 【 案】A 【 】根 意，结 计数原理，先 E，F，G，然 根 A，B，C，D的情况讨 论． 【详解】解：E，F，G 4， 3， 2种方法， ①当A与F相 时，A 1种方法，此时B 2种， 1 C若与F相 C 1种方法， 时D 3种方法， 2 若C与F不 ， 此时D 2种方法， 故此时共 ： 4× 3× 2× 1× 2× 1×3+1×2 = 240种方法； ②当A与G相 时，A 1种方法，此时讨论B的 3种方法， 共 ： 4× 3× 2× 1× 8= 192种方法； ③当A既不 于F又不 于G时，A 1种方法，； 共 ： 4× 3× 2× 1× 1×1×2+1×1×1+1× 1×2+1×2  = 168种方法； 综上共 240+ 192+ 168= 600种方法． 故 ：A． 法 2：树状图 二、 择 ： 大 共 3 ，每 6 ，共计 18 。 每 给出的 中， 多 目要 。全部 对的得 6 ，部 对的得部 ， 错的得 0 。 9．若 0<P A < 1， 0<P B < 1， 下 式中成 的 (    ) A．P A B = P AB  P B  B．P A B = P AB  P A  C．P AB =P A P B A  D．P B =P A P B A +P A   P B A    【 案】ACD 【 】根 件概率公式 断A，B，由 件概率公式变形 断C，结 全概率公式 断 D. 【详解】解：由 件概率公式可知B错误，A正 ； 由 件概率公式变形可知P A P B A =P AB ，故C正 ； 由全概率公式可知P B =P A P B A +P A   P B A   ，故D正 ． 故 ：ACD． 10．已知 f x 为函数 f x 的导函数，若函数 y= f x - 1的图 大致如图所示， (    )    A． f x  3个 值点 B． x= 3 f x 的 大值点 C． x=-4 f x 的 大值点 D． f x  0,4 上单 【 案】ACD 【 】根 图 断出 f x 的 号，由此 定正 案. 【详解】根 函数 y= f x - 1的图 可知， 区间 -∞,-4 , 0,4 ， f x > 0,f x 单 ； 区间 -4,0 , 4,+∞ ， f x < 0,f x 单 减. 所以 f x  3个 值点、 x=-4,x= 4 f x 的 大值点、 f x  0,4 上单 ， x= 0 f x 的 值点， 所以ACD 正 ，B 错误. 故 ：ACD 11．已知数 an 中， a1= 2， an+1= an+2+1 2- 2， 关于数 an 的说法正 的 (    ) A． a2= 7 B．数 an 为 数 C． an= 2n2-n+ 1 D．数 an 为 数 【 案】AD 【 】根 关系 得数 的 公式，从而对 一一 断即可. 【详解】由 an+1= an+2+1 2- 2， 得 an+1+ 2= an+2+1 2，即 an+1+2= an+2+ 1，又 a1= 2， 所以 an+2  以 2为首 ， 1为公差的 差数 ， 所以 an+2= 2+ (n- 1) × 1=n+ 1，即 an=n2+ 2n- 1， 所以 a2= 7，故A正 ，C错误； an= n+1 2- 2，所以 an 为 数 ，故D正 ； 数 an 不具 性，故B错误． 故 ：AD． 三、 ： 共 3 ，每 5 ，共 15 。 12． x- 2 x2  5 的二 开式中， 1 x 的系数为 . 【 案】 40 【 】 出 开式的 ，然 令 x的 数为-1， 出 r的值，再代入 中进行化 ， 即可 得结 . 【详解】 x- 2 x2  5 的 开式的 公式为：Tr+1=Cr5x5-r - 2 x2  r =Cr5 -2 rx5-3r， 令 5- 3r=-1，解得 r= 2， 所以 x-1的系数 C25 -2 2= 40. 故 案为： 40. 13．已知 f(x) = ax4+ bcosx+ 7x- 2， f x 为 f x 导函数，若 f 2025 =-2011， f -2025 = ． 【 案】 2025 【 】先 f(x)，根 奇函数的性质可得 f x + f -x = 14，结 意运 解. 【详解】因为 f(x) = ax4+ bcosx+ 7x- 2， f(x) = 4ax3- bsinx+ 7， 所以 f(-x) = 4a(-x)3- bsin(-x) + 7=-4ax3+ bsinx+ 7，得 f x + f -x = 14， 又 f 2025 =-2011，故 f -2025 = 14- f 2025 = 2025． 故 案为： 2025. 14．已知数 an 的 n 为Sn， a1= 1， a2= 3，当n≥ 2时，总 an+1= 2Sn- 4， 数 an 的 公式 an= ． 【 案】 an= 1，n=1; 3，n=2 4×3n-3，n≥3  四、解 ： 大 共 5 ，共 77 。解 写出文字说 、证 过 或 步骤。 15． “① an+1> an， a2a9= 51， a4+ a7= 20；②S5= 25a1， a2= 3；③Sn=n2”三个 件中任 一个，补充 下 问 中， 解 . 已知 差数 an 的 n 为Sn，且___________，n∈N *. (1) 数 an 的 公式； (2)若 bn= 1anan+1 ， 数 bn 的 n Tn. 【 案】 件 择见解 ； (1)an= 2n- 1； (2)Tn= n2n+1 . 【 】 (1)若 择①，根 差数 的性质可知 a2+ a9= 20，联 方 ， a2 a9，再根 差数 公式， 首 公差的方 组，即可 得 公式；若 择②，根 差 数 的 公式 n 公式， 式 首 公式，即可 得 公式；若 择③， 用数 an与Sn的关系， 数 的 公式； (2)根 (1)的结 ， 用裂 相 法 . 【详解】解： (1)若 择①， 由 a2a9= 51与 a4+ a7= a2+ a9= 20 解得： a2=3 a9=17  或 a2=17 a9=3  (由于 an+1> an， 去) 设公差为 d， a2=a1+d=3 a9=a1+8d=17  ，解得 a1=1 d=2  所以数 an 的 公式为 an= 2n- 1 若 择②， 设公差为 d，由S5= 25a1，得 5a3= 25a1； a2= a1+ d= 3 a1+2d=5a1 a1+d=3  ，解得 a1=1 d=2  所以数 an 的 公式为 an= 2n- 1 若 择③， 因为 an= S1, n=1 Sn-Sn-1, n≥2  解得 an= 1, n=1 2n-1, n≥2  所以数 an 的 公式为 an= 2n- 1 (2)由 意得： bn= 1 2n-1 2n+1  = 1 2 1 2n-1 - 1 2n+1  所以Tn= b1+ b2+ b3+⋅⋅⋅+bn= 12 1- 1 3 + 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 +⋅⋅⋅+ 1 2n-1 - 1 2n+1 = 1 2 1- 1 2n+1 = n 2n+1 16．已知函数 f x = x2- 2a+1 x+ alnx,a∈R. (1)若 f x  x= 1处取得 值， f x 的 值； (2)若 f x  1,e 上的 值为-2a， a的取值 围. 【 案】 (1) 大值为- 5 4 - ln2， 值为-2 (2) (-∞,1] 【 】 (1)根 值点可得 f 1 = 0，进而可得 a= 1， 用导数即可 解函数的单 区 间，进而可 解 值， (2)根 导数 定函数单 性，结 类讨论即可 解. 【详解】 (1)f(x) = x2- (2a+ 1)x+ alnx， f(x) = 2x- (2a+ 1) + a x ， x> 0. 因为 f(x) x= 1处取得 值，所以 f(1) = 2- (2a+ 1) + a= 0， a= 1. 所以 f(x) = x2- 3x+ lnx， f(x) = 2x- 3+ 1 x = 2x 2-3x+1 x = (2x-1)(x-1) x ， 令 f(x) = 0得 x= 1 2 或 1， 表得 x 0, 1 2  1 2 1 2 ,1  1 (1, +∞) f(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 大值 ↘ 值 ↗ 所以 f(x)的 大值为 f 1 2 = 1 4 - 3 2 + ln 1 2 =- 5 4 - ln2， 值为 f(1) = 1- 3+ ln1= -2. (2)f(x) = 2x- (2a+ 1) + a x = 2x 2-(2a+1)x+a x = (2x-1)(x-a) x . ①当 a≤ 1时， x∈ [1,e],f x > 0，所以 f(x) [1,e]上单 ， f(x)的 值为 f(1) = -2a，满足 意； ②当 1< a< e时，令 f x > 0， x> a或 0< x< 1 2 ，所以 f(x) [1,a]上单 减， [a,e]上单 ， 此时， f(x)的 值为 f(a)< f(1) =-2a，不满足 意； ③当 a≥ e时， f(x) [1,e]上单 减， f(x)的 值为 f e < f 1 =-2a，不满足 意. 综上可知，实数 a的取值 围时 (-∞,1]. 17．已知数 an 为 差数 ，数 bn 为单 的 比数 ， a1= 5， a2+ a5= 20． 且 b2+ b5= a7+ 1， b3b4= a5+ a8． (1) 数 an 与 bn 的 公式； (2)设 cn= anbn， 数 cn 的 n Tn． 【 案】 (1)an= 2n+ 3， bn= 2n-1 (2)Tn= 2n+1 × 2n- 1 【 】 (1)设 差数 an 的公差为 d， 由已知 件 方 可 出公差 d，从而可 出 an，设 比数 bn 的公比为 q q≠±1 ，由已知 件 方 组 出 q，从而可 出 bn， (2)由 (1)可得 cn= anbn= 2n+3 ⋅ 2n-1，然 用错 相减法可 出Tn 【详解】 (1)设 差数 an 的公差为 d，因为 a2= 7， a3+ a5= 22， 所以 a2=a1+d=7 a1+2d+a1+4d=22  ，解得 a1=5 d=2  ， 所以 an= 5+ 2 n-1 = 2n+ 3． 所以 b2+ b5= a7+ 1= 18， b3b4= a5+ a8= 13+ 19= 32． 设 比数 bn 的公比为 q q≠±1 ，因为 b3b4= b2b5， 所以 b2+b5=18 b2b5=32  ，所以由单 得 b2=2 b5=16  ， 所以 q3= 8，解得 q= 2，所以 b2= 1． 所以 bn= b5qn-5= 16× 2n-5= 2n-1． (2)由 (1)知 cn= anbn= 2n+3 ⋅ 2n-1， 所以Tn= 5× 20+ 7× 21+ 9× 22+⋅⋅⋅+ 2n+3 × 2n-1 所以 2Tn= 5× 21+ 7× 22+ 9× 23+⋯+ 2n+1 × 2n-1+ 2n+3 × 2n， 两式相减-Tn= 5+ 2 21+22+23+⋅⋅⋅+2n-1 - 2n+3 × 2n 所以Tn=-5- 2× 2 1-2n-1  1-2 + 2n+3 × 2 n= 2n+1 × 2n- 1． 所以Tn= 2n+1 × 2n- 1． 18．已知函数 f(x) = lnx-mx+ 1， g(x) = x(ex- 1)． (1)若 f(x)的 大值 0， m的值； (2)若对任意 x> 0， f x ≤ g x 恒成 ， m的取值 围． 【 案】 (1)1 (2) [0, +∞) 【 】 (1) 用导数 m≥ 0 m< 0讨论函数 大值，从而 解； (2) 离参数得-m+ 1≤ ex- lnx+1 x ，设 φ(x) = ex- lnx+1 x ， 用导数 函数 φ(x)的 值，可得m的取值 围． 【详解】 (1)f(x)的定义域为 0,+∞ ， f(x) = 1 x -m． 若m≤ 0， f(x)> 0， f(x) 定义域内单 ，无 大值； 若m> 0， 当 x∈ 0, 1 m 时， f (x)> 0，函数 f(x)单 ， 当 x∈ 1 m ,+∞ 时， f(x)< 0，函数 f(x)单 减， 所以当 x= 1 m 时， f(x)取得 大值，也 大值， 为 f 1 m = ln 1 m = 0，解得m= 1， 然m= 1> 0 意，所以m的值为 1. (2)对任意 x> 0,f x ≤ g x 恒成 ， 即-m+ 1≤ ex- lnx+1 x (0, +∞)上恒成 ． 设 φ(x) = ex- lnx+1 x ， φ(x) = x 2ex+lnx x2 ． 设 q(x) = x2ex+ lnx， q(x) = (x2+ 2x)ex+ 1 x > 0， 所以 q(x) (0, +∞)上单 ，且 q 1 2 < 0， q(1)> 0， 所以 q(x) 唯一零点 x0∈ 12 ,1 ，且 x20e x0+ lnx0= 0， 所以 x0e x0=- lnx0 x0 =-lnx0 ⋅ e-lnx0． 函数 h(x) = xex， h(x0) = h(-lnx0). 又函数 h(x) = xex (0, +∞)上 函数，所以 x0=-lnx0． 由 φ(x) (0,x0)上单 减， (x0, +∞)上单 ，得 φ(x)≥ φ x0 = ex0- lnx0+1 x0 = 1 x0 + x0-1 x0 = 1， 所以-m+ 1≤ 1,m≥ 0，所以m的取值 围 [0, +∞) 【点 】由不 式恒成 问 参数思路点 ： 离参数； 函数； 函数的 值 ( 用 导数或函数的单 性 ) 19. 达楼两 上楼的梯步半 14个台 ， 学们每天 往知识的殿 从 上这个楼 梯开始。 的 学“ 实 ”一步 1个台 ， 的 学“争 夺秒”一步 2个台 ，还 的 学“天赋异禀”一步 3个或 4个台 。 （1） 学甲上楼时一步走 1个或者 2个台 ， 甲走完这半 14个台 多 种不 的走 法； （2） 往人生的高峰 无数的台 ， 要我们慢慢攀登。 学乙每一步都 走 1个或者 2 个台 ，他 一步走 1个台 的概率 3 4 ，然 从 二步开始，若上一步走的 1个台 ， 下一步走 1个台 的概率为 1 2 ，若上一步走的 2个台 ， 下一步走 1个台 的概率为 1 4 。 （Ⅰ）记 i步走 1个台 的概率为Pi， Pi关于 i的表达式； （Ⅱ）记 n个台 被 中的概率为 f(n)，其中 n个台 被走 1步 中的概率为An，被 走 2步 中的概率为Bn， 证 f(n+ 3) = 12 f(n+ 2) + 3 4 f(n+ 1) - 1 4 f(n)， 计 f(5). 【 案】 (1)610 (2)（Ⅰ）Pi= 13 + 5 12 × ( 1 4 )i-1（Ⅱ） f(5) = 39 64 . 【详解】 (1)走完这半 14个台 可 为以下情况：14步走完时 0个 2 14个 1， C014= 1 种走法；13步走完时 1个 2 12个 1， C113= 13种走法；12步走完时 2个 2 10个 1， C212= 66种走法；11步走完时 3个 2 8个 1， C311= 165种走法；10步走完时 4个 2 6 个 1， C410= 210种走法；9步走完时 5个 2 4个 1， C59= 126种走法；18步走完时 6 个 2 2个 1， C68= 28种走法；7步走完时 7个 2 0个 1， C77= 1种走法；所以甲走 完这半 14个台 1+ 13+ 66+ 165+ 210+ 126+ 28+ 1= 610种不 的走法。 （2）（Ⅰ）P1= 34 ，Pi+1=Pi× 1 2 + (1-Pi) × 14 ， 所以Pi+1= 14 Pi+ 1 4 ， 可化为Pi+1- 13 = 1 4 (Pi- 13 )，所以｛Pi- 1 3 ｝ 比数 ，公比 1 4 ，首 3 4 - 1 3 = 5 12 ，所以Pi- 13 = 5 12 × ( 1 4 )i-1，所以Pi= 13 + 5 12 × ( 1 4 )i-1。 （Ⅱ）A1= 34 ，B1= 0， f(1) =A1+B1= 3 4 ， A2=A1× 12 +B1× 1 4 = 3 8 ，B2= 14 ， f(2) =A2+B2= 5 8 ， A3=A2× 12 +B2× 1 4 = 1 4 ，B3=A1× 12 +B1× 3 4 = 3 8 ， f(3) =A3+B3= 58 ， 一 的情况 An+1=An× 12 +Bn× 1 4 Bn+2=An× 12 +Bn× 3 4  ， 代入 元整理得： An+3= 12 An+2+ 3 4 An+1- 1 4 An Bn+3= 12 Bn+2+ 3 4 Bn+1- 1 4 Bn  ，又 f(n) =An+Bn， 所以相 得 f(n+ 3) = 1 2 f(n+ 2) + 3 4 f(n+ 1) - 1 4 f(n)，得证。 代入 f(1) = 3 4 ， f(2) = 5 8 ， f(3) = 5 8 ，得 f(4) = 19 32 ， f(5) = 39 64 . 宽阳中学高留级第四学用戬学半相考试 夏人：票交挂 风” 阿口得平军条5身的两P确N意开A,制干净4有() 满钟冷量日题未， :,灯有同树艺星x韦释传同程手表 这. C网 一，生本人海马5小量：料个信台：4计播女。市师青的出气有家可 从日 有公酒件想里乡在瑞零方年6常程女选的称形00，十工达海有 3.)牛有室，2个点生样通绿，香必注线作丙%又是，料+可中的四 车样4<片标心心炸销下得平式小4有题 位为 A.PA 国4 1类心拉化骑？事中认，店W集质专华研过一半岁者的相天利题如是一 B.4)- =k必N门，包反同从)方著关要利，厚公题利小方青梦必题型属打一同举从者列 C.PABI-PYAIPID A 户我0联为1收邦，制情题的位8复相为E手 A=nA-NA武 A 410. 心，2样 1两土人氧工司种车件木1的个，导工了日卡，黄中动个是公纳书，上工了国 个凡中有09，+A率件方”从10个广品任典自个，利由位W公信”，0 事样为”A国十产中作典联今，到甲广产上”，对代A当于 . 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