2025届浙江省强基联盟高三三模数学试题

浙江强基联盟2025年5月高三联考 数学卷参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 2 3 4 5 6 8 A C D D C B B 1.A由A∩B=1},故选A. 2.C a+d=3, a=1, 3.D由题意得 解得 因此a4十2a#=3a1十12d=27,故选D. 5a1+10d=25, d=2, 4.Da=C×(-2)1=-160,故选D. 5.C曲三角两数对称性可得受-0=号=吾，因此。=2，放选℃ 6.B由题可知PQ即为AC,因此|PQ=√瓦，故选B. x1xg=81, x1=3, 7.C由题可知A(9,0),设B(x1,y1),C(x,)(x1<x),则 解得 因此A第.AC x1-x=24, x4=27, (x-9)(x-9)+y1=-108十1=-107，故选C. 8.B设第i次向右运动赋值为x,=1,第i次向左运动赋值为x,=一1.则10次运动路径可以表示为有序数组 (x,x,…,xo),其中x∈{一1,1}，i=1,2,…,10.记10次运动后首次到达x=6处的路径为(y,当，…， ,则1≤i≤9，名≤5且含=6，可得w=1且名=5，而含<5枚为=1，含=4由 y≤5 ”中有且仅有两个一1， 得y少不可能全为-1，而V1≤i≤5，∑y≤5恒成立，因此{为=yo=1, 共有C一 2y≤5， ,y不同时为一1， 1=27种不同路径.记10次运动后首次到达x=6处且过程中没有重返原点的路径为(，，，*)，同理 x中有且仅有两个一1， 1一g=y=10=1, 13 可得 ,之不同时为一1， 共有C一2=13种不同路径.所以题中所求概率为元，故选B 1,%不同时为一1， 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ACD BCD ABD 9.ACD由题意得 2tan a 3sin a 1 1-tan'a cos a+sin a 3anc解得m三了故A正确：sin(π十a)=一，故B错 1十tana 【数学卷参考答案第1页（共4页）】 误：V什os石-反cosa-35.故C正确：amg=1a(停-a)-品8专，故D正确故选ACD 10.BCD对于A选项：若an=n,则f(an)=a.+1=n十1，即f(x)=x十1，但f(x)=1<2,与题给条件矛盾，故 A错误：求导可证得B正确：当f(x)=4x,a.=4时，满足所有条件，故C正确：由B可知y=f(x)一2x为 增函数，且{a.}为递增数列，故f(an+1)一2a.+1>f(an)-2a,即a+一2a+1>a+1一2a,得a+2一au+1> 2(a+-an),因此an-a-1>22(a:一a1)=22,得a0>a十1十2+22+…十2=2"=(2l)>103,D 正确.故选BCD 11.ABD因为点A在线段PQ上，所以存在这样的实数入，故A正确；对于B,分别过点P,Q作直线I的垂线， 1- 垂足分别为C,D,则|CA=1,tan∠BQD= 是，DB=号，因此AB=8-1-是=合，故B正 1十 确：设1BC=x,显然只需考虑0<x<3,闯关时间tx)=中工+什3=立，f()= x b a√+ 3-x 6√+3-示而)= (0<x<3)为单调递增函数，因此y= 3-x 为单调递 V+1 /1 4十(3-x)月 减函数，故t'(x)单调递增，由于t'(0)<0,t(3)>0故t(x)在(0,3)上存在唯一零点x即为t(x)的极小值 点，即当x=x。时闯关用时最短，此时t'(x)=0,可得bcos∠PBA=acos∠QBD,即bcos∠PBA十 acos∠QBA=0,故D正确：当点B在点A右侧时可得∠PBA<∠QBD,因此a>b,故C错误，故选ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.ln213.（分，0）14.(，+∞） 12.ln2由于f0)有意义，故f0)=0+a=0,因此a=0,故f(3)=ln2. 13.(号，0）设A(,B(),由AF-BF=手得y一=合，将直线方程与抛物线方程联立消 3 元得一背一=0，可得√+=有解=1，故点F的坐标为0小 l4.(号，+∞） 设圆台的底角为2a,上底面半径为r,下底面半径为R,高为h,球的半径为p,则可得p=Rtan a, tan2a=R二，h=2p,得r=R1ana.故 k=an'a十tam'a十l= 2 tan'a （ama+1+da由于anee0, 故∈（受+） 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.解：(1)acos B十acos C=bcos A十ccos A,acos B-bcos A=ccos A-acos C, 由正弦定理得sin(A一B)=sin(C-A),由于A,B,C∈(0，r), 因此A-B+C-A=π十2kr(k∈Z)(舍去)或A一B=C-A, 即B十C=2A,……… ………分 又A+B+C=元，故A=号 …………6分 【数学卷参考答案第2页（共4页）】 (2)因为O是△ABC的外心，所以|OB|=|OC=R(R为外接圆半径)， R=2sin A 23 8分 3 3 sin∠BOC=sin2A=sin 32 10分 所以Sam=Rn∠B0C- 3 13分 16.解：(1)由题意得BD⊥CD,又CC1⊥平面ABCD,故CC1⊥BD,而CC∩CD=C, 因此BD平面DCCD,所以BD⊥CD.……5分 (②)设CC=6,由题可知棱台的体积为号h(275+35+9) -133h=135, 因此CC=4.………8分 作DO⊥AC,垂足为O,作OF⊥CE垂足为F,连结DF 由DO⊥CC得DO⊥平面ACC,即DO⊥C,E, 故∠DFO即为平面AC1E与平面DCE的夹角，………11分 在底面ABCD中，可计算得OE-=号，D0=号，在面ACC中可计算得OF= 所以an∠DF0-架=21，故cos∠DF0=方. 2 15分 1.解：1)由题意得a=E,（a十e)6=12,。=6+,解得c=2.=c=l, 2 椭圆C的方程为号十y=l,…………………………………… 当点M坐标为(2，一2)时，kE=一1，… 3分 设E(x,一x),则D(2xo十瓦，一2xa).… ……5分 代人椭圆方程得w2+1)+4红·=1解得=-号或00舍去)，即D(停，22)： 故|AD1=2@ 6分 3 (2)设直线AD:x=ty一√2，与椭圆C方程联立得yD 22t 44 2+2 8分 E(气号)则M2.-… 11分 故直线M,的斜率kw,=0二P=一， 1-2 13分 所以k,·kD=(-D·=-1,故MR⊥AD. 15分 18.解：(1)设事件第一次摸球“成功”且第二次摸球未“成功”为A,事件第一次摸球未“成功”且第二次摸球“成 功”为B 由题意得PA)=号×子-品P(B)=号×号=务 【数学卷参考答案第3页（共4页）】 因此P(AUB)=P(A)+PB)= 50 5分 (2)X∈{1,2,3，…}，由题意得P(X=k)=(1一)-p. 7分 E(X0=8kI-pp=8(-1-p)++1-p-)< (注：结论小于，等于、小于等于均得分)… 10分 (3)设第X,次摸球时试验首次“成功”，且从第k一1次成功后又进行了X次摸球恰好达到第k次“成功”， (k=2,3,4)可知=X十X2十X十X,………12分 记4个阶段内每次摸到红球的概率分别为p1,p,p,p,则 A=号：=p=十A= 2 13分 由62)可知EX)≤分多，E(X)≤。 =3,E(X)≤=4，EX) 17 ……15分 因此E)=EX,)+EX)+BX,)+BX,)<婴 ……17分 19.解：(1)(1)f(x)十f(x)=1≠0，故不是“T函数”： (I)"(x)十f(x)=2e不恒为0，故不是“T函数”； (丽)(x)十f八x)=一sinx十sinx=0恒成立，故是“T函数”.…3分 (2)由f(x)为非常值函数，得了(x)不恒为0. y=(f(x)+(f(x)'是常值函数台y'=2f(x)(f(x)+"(x)=0恒成立台"(x)+f(x)=0恒成立台 f(江)为“T函数”。……7分 (3)由(2)设(f(x)+(f(x))2=r2(r为正常数)， 令f(x)=rsin0,f(x)=心os0,其中0为关于x的函数，记为(x), 10分 因此(x)=rcos(x)·日(x),故日(x)=1恒成立即(x)=x十c(c为常数)，…11分 因此f(x)=rsin(x+c),f(x)=rcos(x+c), 又f(0)=f(0)=1,得r2=2, 进而解得c=于+2x(k∈D,故f)=巨sim(x+平)】 13分 1,0<≤受， 因此[f(x)]= 0,<< 15分 -13< 所以数y-/=0,<<， 1,3<x< 可得函数y-f在(0，受)上单调递减：在(3买，)上单调递增.。…17分 【数学卷参考答案第4页（共4页）】浙江强基联盟2025年5月高三联考 数学 试题 浙江强基联盟研究院命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知集合A={x2<4},B={1,2,3,4},则A∩B= A.1} B.{1,2} C.3,4} D.{1,2,3,4》 2.若复数z满足x(1十i)=1一3i,则x= 的 A.√2 B./3 C.5 D.√o 3.设等差数列{a.}的前n项和为S.,已知a=3,S=25,则a十2as= A.17 B.21 C.23 D.27 4.设(1-2x)=ao十a1x十a2x2十…十aax,则aa的值为 A.20 B.-20 C.160 D.-160 5.如图是函数f(x)=Asin(ar十p)(Aw>0,g<交)的图象，则m的值为 A.2 B.1 C.2 D.3 6.在棱长为1的正方体ABCD一A1B1C1D1中，点P,Q分别为棱AA1,C1D1上的动点（可与端 点重合)，若PQ∥面ABC,则线段PQ的长度为 A号 B.√2 D.5 7.已知A,B,C是函数f(x)=|2-logx|图象上的三点，A在x轴上，且BC∥x轴，若BC= 24,则A市·AC的值为 A.0 B.-1 C.-107 D.82 【数学第1页（共4页）】 8.若数轴上有一个质点位于x=0处，每次运动它都等可能地向左或向右移动一个单位，已知它 在第10次运动后首次到达x=6处，则它在运动过程中没有重返过原点的概率为 A号 R号 c器 n后 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知a为锐角，若tan2a= 3sina一，则下列说法正确的有 cos a+sin a A.a的终边经过点(3,1) B.sin(π+a)= 10 10 C.V+cos2a-3y⑤ 5 D若a十B=至，则an日=号 10.已知定义在R上的可导函数f(x)满足：(x)>2,若单调递增数列{a.}满足： a1=1, 则 aw+1=f(an）,n∈N', A.{a.}的通项公式是a.=n B.函数y=f(x)一2x是增函数 C.{a.}可能是等比数列 D.若4：=2，则a1>10 11.如图所示，某游戏闯关者需从区域「内的定点P快速移动至区域 区域 Ⅱ内的定点Q.两区域以直线（为分界线，已知P,Q两点到直线 的距离分别为1,2，且向量PQ在直线1的方向向量上的投影向量 的模长为3，考虑到两区域通行环境差异，设定闯关者在区域I的 区域Ⅱ 移动速率为a,在区域Ⅱ中的移动速率为b,线段PQ与直线l相 交于点A,若图示折线路径PBQ是耗时最短的闯关路线，则下列说法正确的有 A.存在实数入，使得B才=λBP+(1-A)BQ B.若an∠BQP=7则AB=司 C.a<b D.bcos∠PBA+acos∠QBA=0 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f)=ln+aa∈R)为奇函数则f付）△ 13.设直线2/5x-2y一√3=0与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于点A,B,点F为抛物线C的 焦点.若AF-BF=号，则点F的坐标为△ 14.圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范围为 【数学第2页（共4页）】 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(13分) 已知在△ABC中，角A,B,C所对的边记为a,b,c,设其外心为O.若a cos A a+b+c cos A+cos B+cos C' (1)求角A的大小： (2)若a=2,求△OBC的面积. 16.(15分) 如图，已知四棱台ABCD-A1BC1D1的体积为13W3,底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC,BC =2AD=2CD=6,AD1=1,CC⊥平面ABCD,且BD与AC相交于点E. (1)证明：BD⊥CD: (2)求平面AC1E与平面DC1E的夹角的余弦值. 17.(15分) 知图，椭圆C:后+芳=1@>>0)的离心率为=号，左右焦点分别为FR,左右顶点分 别为A,B,椭圆上有一动点D(异于A,B),点E为线段AD的中点，点O为坐标原点.直线 x=2与直线OE相交于点M.已知△DAR面积有最大值为E+1 2 (1)当点M坐标为(2，一2)时，求|AD: (2)证明：MF:⊥AD. 【数学第3页（共4页）】 18.(17分) 在一个不透明的袋子中放有n个除颜色外完全相同的小球，其中有m个红色球与(n一m)个 白色球（满足m<n且，m∈N·).现设计如下试验流程：每次从袋中随机摸取一球，若为红 色球则定义为“成功”事件，每次“成功”后将对应红球永久移除：若抽取为白色球则将其放回 袋中并重新摇匀，试验持续至袋中无红色球时终止， (1)当=5，m=2时，求前两次摸取过程中恰发生一次“成功”事件的概率： (2)设户=，若第X次摸取时试验首次出现“成功”事件，记随机变量X的数学期望为 E(X),试比较E(X)与方的大小： (3)基于随机变量可加性原理E(Y+Y,)=E(Y,)十E(Y,),当n=10,m=4时，设试验终止 时的累计抽取次数为，证明：E()<受 19.(17分) 若连续函数f(x)满足"(x)+f(x)=0在定义域内恒成立，则称f(x)为“T函数”， (1)判断以下函数是否为“T函数”，请说明理由， (i)y=1: (i)y=e'; )y=sin x. (2)若非常值函数∫(x)存在二阶导数，证明：f(x)为“T函数”的充要条件是y=(f(x))2十 (f(x))2为常值函数 (3)已知非常值函数f(x)为“T函数”，且f(0)=f(0)=1.记[x]为不超过x的最大整数， 讨论函数y=[f)]在区间(0，x)上的单调性. 【数学第4页（共4页）】