浙江省诸暨市2024届高三5月适应性考试（三模）数学试题

诸暨市2024年5月高三适应性考试试题 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线，则其焦点到准线的距离为 A. B. C. D. 2．若关于的不等式的解集为，则 A. B. C. D. 3．有一组样本数据:.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为 A. 第75百分位数 B. 平均数 C. 极差 D. 众数 4．在的展开式中，含项的系数是，则 A. B. C. D. 5．若非零向量满足，则在方向上的投影向量为 A. B. C. D. 6．已知为曲线的焦点，则下列说法错误的是 A. 若，则曲线的离心率 B. 若，则曲线的离心率 C. 若曲线上恰有两个不同的点，使得，则 D. 若，则曲线上存在四个不同的点，使得 7．已知函数满足：对任意实数，都有成立，且则 A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. 为偶函数 D. 为偶函数 8．设，已知，若恒成立，则的取值范围为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若，则 A. B. C. D. 10．已知为圆上的两个动点，点，且，则 A. B. C. 外接圆圆心的轨迹方程为 D. 重心的轨迹方程为 11．已知函数有两个零点，则下列说法正确的是 A. 的值可以取 B. 的值可以取 C. 的值关于单调递减 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数满足：，则复数的虚部为 . 13． 记为正项数列的前项积，已知，则 ； . 14．若正四面体的棱长为，以三个侧面为底面向外作三个正四面体 ，则外接圆的半径是 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15． （13分）已知函数的所有正零点构成递增数列． （1）求函数的周期和最大值； （2）求数列的通项公式及前项和． 16． （15分）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点是的中点，． （1）求证：为三棱锥外接球的球心； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若，，求平面与平面 所成锐二面角的余弦值最大时的值. 17．（15分）己知双曲线与直线交于两点（在左侧），过点的两条关于l对称的直线、分别交双曲线于两点（在右支，在左支）. （1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； （2）若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积. 18．（17分）如图是一个各棱长均为米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行. （1）求电子蛐蛐爬行米后恰好回到顶点的概率； （2）在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过米的条件下，记爬行长度为，求的分布列及其数学期望； （3）设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为，求（用表示）. 19．（17分）若函数在区间I上有定义，且，，则称I是的一个“封闭区间”． （1）已知函数，区间是的一个“封闭区间”，求r的取值集合； （2）已知函数，设集合． （i）求集合P中元素的个数； （ii）用表示区间的长度，设m为集合P中的最大元素． 证明：存在唯一长度为m的闭区间D，使得D是的一个“封闭区间”． 数学试题 第 6 页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$