2025年广东省中山市中山纪念中学教育集团九年级 二模数学试题

2024-2025学年第二学期学科素养调研 九年级数学试卷 一、单选题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30 分. 1．实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．《哪吒之魔童闹海》自上映以来，已创造多项纪录，2025年2月17日，该电影总票房（含预售）突破120亿元，进入全球影史票房榜前10名．数据120亿用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 6．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 8．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线?”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于B，C两点，分别，以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求．    下列说法正确的是（    ） A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误 10．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率约为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15 分） 11．分解因式：-8= ． 12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，其中红球有2个，这些球除颜色外其他都相同，随机摸出1个球，摸出的是红球的概率是 ． 13．如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为 . 14.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 . 15．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为．若反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ． (第13题图) (第14题图) 3、 解答题(一):本大题共 3小题，每小题 7 分，共 21 分. 16．先化简，再求值： ，其中x=+1． 17．如图，在△ABC中，，点D在的延长线上． (1)作的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证：． 18．口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年某市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年全市范围内以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 4、 解答题(二)：本大题共3小题，每小题 9分，共 27 分. 19．为落实“首课思政”育人工作，某校开展“读好书”育人工程，计划开展主题鲜明的读书周、读书月、读书节等多种形式的活动，鼓励学生争当“读书达人”．为了了解该校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该校九年级名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）： 根据以上信息回答下列问题： （1）求值，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数； （3）学校提倡每人每周课外阅读时间不低于4小时，该校有学生3200人，请你估算该校达到学校要求标准的学生有多少人？ 20．经过改造升级的岐江道首期工程对外开放以来深受市民喜爱，岐江道工程先行段全场15公里，一路风景宜人，从南区沿江路延伸至中山人才公园途经岐江桥、兴中广场青溪路、沿江路.思思想去绿道骑自行车游玩，打算购置了一辆自行车．自行车如图1所示，该车的车轮半径为（含轮胎），图2是该车的车架示意图，已知立管，且与上管垂直，下管比上管长，座管可以伸缩，点在同一条直线上，后下叉与地面平行，且与立管所成的夹角为，即． (1)求下管的长． (2)当座垫离地面的距离为时，思思骑行更舒服，问此时应将座管调为多长？（结果精确到，参考数据） 21．下面是先锋小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“相似扇形”的研究报告 先锋小组 研究对象：相似扇形 研究思路：类比研究相似三角形，按“概念—性质—判定—应用”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究内容： 【概念理解】圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形，其半径的比叫做相似比，如图1，分别以线段AB，为直径作半圆O与半圆，即可得到一对相似扇形，其相似比为． 【性质探索】可以类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为k，则弧长之比为①______； 关于面积：两个相似扇形的相似比为k，则面积之比为②______． …… 【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论： 半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形．为说明这一结论正确，分析如下： 如图2，已知扇形与扇形，，只要说明， 即可判断扇形与扇形是相似扇形． …… 任务： (1)补全材料中“性质探索”中空缺的部分：①______；②______； (2)根据材料中“判定探索”的分析思路，写出推理过程； (3)如图3，已知扇形，点P是上的一点，扇形与扇形相似，且点P在的垂直平分线上，若的长为l，请求出的长．（用含l的代数式表示） 5、 解答题三:本大题共 2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． (2)M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图1，正方形的对角线上有两点，，且，连接，，，． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由． 发现探索：（2）如图2，隐去对角线，将图1中的四边形绕点逆时针旋转，得到四边形，连接，．若，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 深入探索：（3）在（2）的条件下，请求出当点落在直线上时的度数． 《2024-2025学年第二学期学科素养调研》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B C D A A A C 11．2（x+2）(x-2) 12． 13．33° 14． 15． 三、解答题 16． 解： ----------------------------------------------------------------（3分） -----------------------------------------------------------------------------（5分） 当x＝+1时， 原式＝＝．------------------------------------------------------------------------（7分） 17．【解】（1）解：根据角的平分线的基本作图，画图如下：    则即为所求．----------------------------------------------------------------（3分） （2）证明：∵， ∴，----------------------------------------------------------------（4分） ∵的平分线， ∴-----------------------------------------------------------------（5分） ∵，， ∴，---------------------------------------------------------------（6分） ∴．----------------------------------------------------------------------（7分） 18．解：设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，则----------------------------------------------------------（1分） ，---------------------------------------------------------------------（4分） 解得：，---------------------------------------------------------------------（5分） 经检验：是原方程的根，且符合题意；-----------------------------------（6分） ∴， 答：建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷．----------------------------------------------------------------（7分） 19．（1）解：（1）课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为， 其所占的百分比为， 课外阅读时间为2小时的有15人， ；----------------------------------------------------------------------（2分） 补全条形统计图如图所示： ----------------------------------------------（4分） 课外阅读3小时的人数为：人， （2）扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数为；----（6分） （3）解：（人）----------------------------------------------（8分） 答：估算该校达到学校要求标准的学生有800人．-----------------------------（9分） 20．（1）解：如图所示： 设下管的长为，则，------------------------------（1分） ， 在中，由勾股定理可得，则，---（3分） ，----------------------------------------------------------------------（4分） 答：下管的长为；------------------------------------------------------（5分） （2）解：由题意得：，，----------------------（6分） 在中，， ，---------------------------------------------（7分） ，----------------------------（8分） 答：此时应将座管调为．---------------------------------------------（9分） 21．(1)，；--------------------------------------------------（2分） (2)解：∵， ∴，------------------------------------------------（4分） 解得：， ∴扇形与扇形是相似扇形．---------------------- ---（5分） （3）解：∵扇形与扇形相似， ∴， ∵，， ∴，---------------------- --------------------------（6分） ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴，------------------------------------------------------------（7分） ∴， 设，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去），------------------------------------（8分） ∴， ∵的长为l， ∴, ∴；-------------------------------------------------（9分） 22． 22． （1）解：当时，， 解得，．--------------------------------------------------（1分） 点A在点B的左侧， A，B两点的坐标分别为，． 当时，， 点C的坐标为．--------------------------------------------------（2分） 设直线的函数表达式为， 把，代入，得， 解得， 直线的函数表达式为．--------------------------------------------（4分） （2）解：如图，过点M作轴交于点E， 点B的坐标为，点C的坐标为， ，． 在中，根据勾股定理可得． 为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，轴交于点E， 点M的坐标为，点E的坐标为， ．-----------------------------------（5分） 轴， ， ．----------------------------------------------（6分） 在中，，， ，--------（7分） 当时，线段最长， 点M的坐标为-----------------------------------------------------------------（8分） （3）解：存在，点P的坐标为或 如图，作的垂直平分线交x轴于点F，连接，则，过点M作轴于点N， ， ∵， ∴， ∵， ∴，----------------------------------------------------------------（9分） 设， 点M的坐标为，A，B两点的坐标分别为，， ，，-----------------------------------------------------（10分） ，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得，----------------------------------------------------------------（11分） ，- ，------------------------------------------------------（12分） 当时，， ， ∴点P的坐标为或．-----------------------------------------------（13分） 23．解：四边形是菱形，理由为：-----------------------------------------------（1分） 如图1，连接交于O， ∵四边形是正方形， ∴，，，----------------------------------------------（2分） ∵， ∴， ∴，------------------------------------------------------------------------（3分） ∴四边形是平行四边形，--------------------------------------------------（4分） 又， ∴四边形是菱形；-----------------------------------------------------------（5分） （2）猜想：，理由：----------------------------------------------------（6分） 如图2，连接、，连接交于O， 由旋转性质得，，， ∴， ∴， ∴，--------------------------------------------------------------（7分） ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，-------------------------------------------------------（8分） ∴， ∴，则，------------------------------------（9分） ∴， ∴；---------------------------------------------------------（10分） （3）的度数为或 根据题意，可分两种情况： ①当点在延长线上时，如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是菱形； 由旋转性质得，，， ∴，-------------------（11分） ∴， ∴--------------------------------------------（12分） ②当点在延长线上时，如图，连接， 同理，由旋转性质得，，， ∴----------（13分） ∴， ∴； 综上，当点落在直线上时，的度数为或．----------------（14分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$