专题01 二次根式（8大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题01 二次根式 题型概览 题型01使二次根式有意义的条件 题型02利用二次根式的性质化简 题型03二次格式的乘除法 题型04二次格式的化简求值 题型05最简二次根式 题型06二次根式的加减法与混合运算 题型07二次根式分母有理化 题型08二次根式的应用 使二次根式有意义的条件题型01 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式的被开方数要大于等于零，二次根式才有意义是解答关键． 根据二次根式的被开方数在大于等于零列出不等式求解． 【详解】解：式子有意义， ， ． 故选：B． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如果，那么（　　） A．4 B．5 C．6 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可确定x的值，进而求得y的值，则所求代数式即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 解得，， 则， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）下列式子一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义；熟练掌握二次根式对被开方数的要求是解题的关键． 根据二次根式的定义．要求被开方数非负，逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，无意义，不是二次根式； B．一定是二次根式；     C．当时，无意义，不是二次根式；     D．当时，无意义．不是二次根式；     故选：B． 4．（22-23七年级下·河北张家口·期末）若二次根式有意义，则的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数，求出的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 故选：D． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）使得二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知，则的立方根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，立方根的意义，先根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，然后根据立方根的意义求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根为． 故答案为：2． 利用二次根式的性质化简题型02 7．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知，，且，则的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的性质，二次根式的性质，代数式求值，熟练掌握绝对值的性质和二次根式的性质是解题关键．根据绝对值的性质可得出，根据二次根式的性质可得出，再结合，可得出，，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴． 故选D． 8．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）对于式子，有下面结论： 甲：当时，原式； 乙：当时，原式． 其中说法正确的是（    ） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质及运算，根据二次根式的运算和求解即可． 【详解】解：当时，原式，甲说法正确； 当时，原式，乙说法错误； 故选：A． 9．（23-24七年级下·河北保定·期末）与计算结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 10．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A、，无意义，故本选项不正确，不符合题意； B、，故本选项不正确，不符合题意； C、，本选项正确，符合题意； D、，故本选项不正确，不符合题意； 故选：C． 11．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）若是整数，则正整数m 的最小值是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，可知正整数m 的最小值是3． 【详解】解：由题意知，是整数， ∴正整数m 的最小值是3， 故选：D． 12．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如果是一个正整数，则整数a的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴a的最小值为， 且时，符合题意，故D正确． 故选：D． 13．（21-22八年级上·河北邢台·期末）若是二次根式，则a的取值范围是 ；若是正整数，则正整数a的最小值是 ． 【答案】 3 【分析】根据二次根式被开方数有意义的条件求出a的取值范围，利用正整数的意义得到a的最小值． 【详解】解：∵是二次根式， ∴300a≥0， 解得a≥0； ∵是正整数，且300a=100×3a， ∴整数a的最小值是3， 故答案为，3． 【点睛】此题考查了二次根式被开方数有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 14．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）已知一个三角形的两边长分别为2和3，第三条边的长为a，则a的取值范围是 ，并化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简；根据三角形的三边关系可知：，然后根据取值范围计算即可；掌握三角形的三边关系是关键． 【详解】解：因为三角形的两边长分别为2和3，第三条边的长为a， 所以根据三角形的三边关系可知：； ． 故答案为：；． 15．（23-24七年级下·河北张家口·期末）化简并求值：，其中．小马同学的解题步骤如下： 解：原式………………………………第一步 ……………………………………………第二步 …………………………………………………第三步 把代入得，原式……………………第四步 小马的计算从第几步开始出错，错误的原因什么？请给出正确的解答过程． 【答案】第一步出错，错误原因是算术平方根必须是非负数，正确解答过程见解析 【分析】本题考查了二次根式的性质，代数式化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质可得出从第一步开始出现错误，再根据这个化简求值．即可． 【详解】解：第一步出错，错误原因是算术平方根必须是非负数 正解：原式 把代入得，原式． 16．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 下面是小艺和小美的解答过程： 小艺：解：原式 当时，原式 小美：解：原式． 当时， ∴原式． (1)______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小艺，； (2)，8 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握（）是解本题的关键． （1）根据二次根式的性质，判断出小艺的计算是错误的； （2）先根据完全平方公式把被开方数配成完全平方，然后根据化简，再代入计算即可． 【详解】（1）解：根据二次根式的性质， 当时， 判断出小艺的计算是错误的， 故答案为：小艺，； （2）解：原式 原式 ． 二次格式的乘除法题型03 17．（23-24八年级下·河北张家口·期末）计算的结果为（   ） A． B．7 C． D．49 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘方．根据二次根式的乘方法则计算，即可． 【详解】解：． 故选：B 18．（24-25八年级上·河北沧州·期末）甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（   ） A．3张 B．2张 C．1张 D．0张 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，有理数的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则求出每个算式的结果，再根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，是有理数； ，不是有理数；，是有理数； 综上所述，三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有张， 故选：B． 19．（24-25八年级上·河北保定·期末）下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数a，b的乘积一定是无理数”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了假命题的定义以及无理数的定义，错误的命题即为假命题，无限不循环小数即为无理数，再把每个选项的数值进行运算，即可作答． 【详解】解：A、不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； B、，说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是正确的； C、不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； D、，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； 故选：B 20．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）下列等式：①，②，③，④，⑤．正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的运算可进行排除选项． 【详解】解：①，原计算错误，②，原计算正确；③，原计算错误；④，原计算正确；⑤，原计算错误； ∴正确的有2个； 故选C． 【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、二次根式的运算是解题的关键． 21．（23-24八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵，， ∴，故甲正确， ，故乙正确； ，故丙正确； 故选：D． 22．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）计算 的结果为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案． 【详解】解： 故答案为： 23．（23-24八年级下·河北·期末） ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题的关键． 先将除法转化为乘法，然后进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 24．（22-23八年级上·河北秦皇岛·期末）计算：（1） ；（2） ． （3） ；（4） ． 【答案】 2 4 5 【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的运算法则求解即可； （2）根据完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可； （3）根据二次根式的性质和除法运算法则求解即可； （4）根据二次根式的性质和乘法运算法则求解即可． 【详解】解：（1） 故答案为：2； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：4； （4） 故答案为：5． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法和除法运算法则，平方差公式和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 25．（22-23八年级上·河北唐山·期末）下面是小明和大刚分别计算：，的做法． 小明的做法： 解： ． 大刚的做法： 解： ． 两人的做法是否都正确?并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目： (1)； (2)． 【答案】(1)两人的做法都正确； (2) 【分析】（1）（2）先判断正确性，再对照已知做法计算即可． 【详解】（1）解：两人的做法都正确， ； （2） 【点睛】本题考查了二次根式的乘法和除法，解题的关键是掌握运算法则，并判断已知做法的正确性． 二次格式的化简求值题型04 26．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知：，，关于下列两个说法，判断正确的是（   ） ①若Q有意义，则； ②设，当时，． A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查分式运算，分式有意义的条件，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． 根据分式在意义的条件即可判断①；先表示出y，再代入x的值，求出y的值，进而可以判断②． 【详解】解：由题意，有意义，则， 即，故①正确； 由于， 当时， ，故②错误； 综上分析可知，只有①正确． 故选：A． 27．（20-21八年级下·河北承德·期末）已知：，则 ． 【答案】9 【分析】化简，然后对比分析得，，代入计算即可． 【详解】解：∵ = = ∴， ∴ 故答案为：9 【点睛】本题考查二次根式的加减，根据知识点解题是重点． 28．（22-23八年级下·河北保定·期末）当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】将代数式化为，进而代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 29．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后将数据代入求值即可．熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 30．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式的混合运算，平方差公式，将代入代数式进行计算即可． 【详解】解：将，代入，得： 原式 ． 31．（23-24八年级下·河北承德·期末）若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值． （1）直接代入求解即可； （2）求得和的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴；， ∴． 32．（21-22八年级下·河北保定·期末）按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）先计算，根据因式分解得，代入求值即可求解． 【详解】（1）解：原式＝ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 最简二次根式题型05 33．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如果是最简二次根式，则x的值可能是（    ） A．11 B．13 C．21 D．27 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方式非负，列出不等式得到解集后，再由最简二次根式定义代值逐项验证即可得到答案． 【详解】解：是二次根式， ，解得， A、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，，确定是最简二次根式，该选项符合题意； C、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意； D、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件及最简二次根式定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键． 34．（22-23八年级上·河北保定·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； D、属于最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键． 35．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 答案不唯一，整数m满足是最简二次根式即可． 【详解】∵是最简二次根式， ∴． 故答案为：4（答案不唯一）． 36．（22-23八年级上·河北沧州·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 . 【答案】4 【分析】此题考查了同类二次根式的概念，解答本题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点．根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵是最简二次根式， ∴根据同类二次根式的性质有：， 解得：， 故答案为：4． 37．（21-22八年级下·河北沧州·期末）已知． （1）将化为最简二次根式是 ； （2）若，则“■”表示的数是 ． 【答案】 【分析】（1）根据•（a≥0，b≥0）化简即可； （2）根据除数＝被除数÷商计算即可． 【详解】解：（1） ＝3； 故答案为：3； （2）3 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的运算，熟练掌握计算法则是解题的关键． 二次根式的加减法与混合运算题型06 38．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算方法是解题的关键．根据二次根式加减法、乘除法的法则分别计算即可得到答案． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误； B、，故选项B正确； C、，故选项C错误； D、，故选项D错误； 故选：B． 39．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，符合题意； B. 与不是同类二次根式，不符合题意； C. ，计算错误，不符合题意； D. 与不是同类二次根式，不符合题意； 故选A． 40．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． 根据合并同类二次根式的计算方法进行判定即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意； 故选：A ． 41．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）下列各式中，计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减乘法运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 42．（23-24八年级下·河北承德·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算．直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 43．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）若，则运算符号“”表示（    ） A．+ B．- C．× D．÷ 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据算式特点和运算结果判断即可． 【详解】解：∵， ∴符号“”表示÷． 故选：D． 44．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）下列化简或计算结果与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算等知识点，掌握二次根式的相关运算法则成为解题的关键． 根据二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算逐项计算判断即可． 【详解】解: A. ，不符合题意；     B. ，不符合题意；     C. ，不符合题意；     D. ，符合题意．     故选D． 45．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）若，则表示实数的点会落在数轴的（　　） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a范围，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：，即， ， ， ，即， 故实数的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 46．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）若〇表示运算符号“”“”“”“”中的一种，且的结果是有理数，则〇可以表示的运算符号是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用二次根式的运算法则，逐个进行计算是解题关键． 【详解】解：，， ，， ∴〇可以表示的运算符号是或， 故选B． 47．（24-25八年级上·河北沧州·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】题考查了二次根式的运算，利用法则合并同类二次根式是解题关键． 合并同类二次根式即可． 【详解】解：由得， ． 故答案为：2． 48．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法、二次根式的性质，先根据二次根式的性质进行化简，再计算减法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 49．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘法运算及加减运算，正确计算是解题的关键： （1）先化简二次根式，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）利用平方差公式展开，化简绝对值，再计算二次根式的加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 50．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先化简各数，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘除运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 51．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类项即可． （2）先根据完全平方公式、平方差公式去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 52．（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加法即可； （1）先利用完全平方公式化简，再计算二次根式的除法，最后计算二次根式的加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 53．（23-24八年级下·河北沧州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）先化简各二次根式，再去括号合并同类二次根式即可； （2）先进行二次根式的乘法计算，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） 54．（22-23八年级下·河北承德·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （3）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法法则和乘法公式是解题的关键． 55．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的乘法和加法运算，二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、乘法公式是解题关键； （1）先将能够进行因式分解的分母进行因式分解，然后再约分计算； （2）先通分，然后按照同分母分式加法的运算法则进行计算； （3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （4）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，然后再算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 56．（23-24八年级下·河北保定·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)6 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简等知识． （1）先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的性质合并同类项即可； （2）先利用二次根式的性质化简，再按从左到右计算二次根式的乘除法． （3）先利用二次根式的性质化简，计算二次根式的乘除法．最后计算二次根式的加减法． （4）先利用完全平方公式以及平方差公式展开，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 57．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入四个小球，小球分别标有如图所示的数．现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数． (1)若淇淇摸取到如下两个小球，请计算出结果． (2)若淇淇摸出全部的四个球，计算结果为x，嘉嘉说x的值与属于同类二次根式，你认为嘉嘉的说法对吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)嘉嘉的说法对，理由见详解 【分析】本题考查了根据二次根式的性质，二次根式加减混合运算． （1）根据二次根式的性质运算即可； （2）二次根式加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：依题意，得； （2）解：嘉嘉的说法对，理由如下： 依题意，得， ，与是同类项， 故嘉嘉的说法对． 58．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）琪琪在解题“计算：”时，发现“▲”处的数字印刷不清楚． (1)若“▲”处的数字是，请计算结果； (2)若该题标准答案的结果是．通过计算说明原题中“▲”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及完全平方差公式、二次根式加减乘除运算、解方程等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． （1）当“▲”处的数字是时，代入式子，利用完全平方差公式及二次根式加减乘除混合运算法则求解即可得到答案； （2）设，则列出方程，利用完全平方差公式及二次根式加减乘除混合运算法则化简得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当“▲”处的数字是时， ； （2）解：设，则 ， ∴， ∴，解得． 59．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算．规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： (1)接力中，自己负责的一步出现错误的是 ；           (2)请给出正确的求解过程． 【答案】(1)甲、乙、丁； (2)． 【分析】（）根据去括号法则、二次根式的性质及二次根式的加减运算法则运算即可判断求解； （）根据去括号法则、二次根式的性质及二次根式的加减运算法则进行计算即可得到结果； 本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，故甲错误； ，故乙错误； ，故丙正确； ，故丁错误； ∴自己负责的一步出现错误的是甲、乙、丁， 故答案为：甲、乙、丁； （2）解： ， ． 二次根式分母有理化题型07 60．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知，，则a与b的关系是（   ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 61．（23-24八年级上·河北张家口·期末）二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算． 以上结论正确的是（    ） A．①③④ B．①④ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， ∴，故②错误； ③∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵ ，故④错误； 综上，①③正确． 故选：D． 62．（24-25八年级上·河北沧州·期末）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的性质与化简． （1）仿照题中给出的方法计算即可； （2）先仿照题中给出的方法计算求出a的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴原式 ． 63．（24-25八年级上·河北保定·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、二次根式的性质、运用平方差公式进行计算、熟练掌握二次根式的性质、分式的基本性质以及平方差公式是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，将的分子、分母同乘，将分母转化为平方的形式，然后再进行开方运算，即可将二次根式化简； （2）先将二次根式化简，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ， ； 64．（23-24九年级上·河北邢台·期末）大家知道，因式分解是代数中一种重要的恒等变形．应用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果，如化简： …… (1)从以上化简的结果中找出规律，直接写出用n（n是正整数）表示上面规律的式子． (2)根据以上规律，计算 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式中的规律探究： （1）根据已知等式，得到规律即可； （2）根据规律，裂项相加即可． 【详解】（1）解：由题意，得： （2）原式． 65．（22-23八年级上·河北石家庄·期末），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，其中与与都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化．请完成下列问题： (1)计算： ， ； (2)已知有理数a、b满足，则 ， ； (3)计算． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键； （1）把分子分母同时乘以即可把有理化；分子分母同时乘以，即可对进行有理化； （2）把式子的左边分母有理化得到，进而得到方程组，解方程组即可得到答案； （3）先证明，再对所求式子进行分母有理化，然后合并即可得到答案． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是有理数， ∴， ∴， 故答案为：；； （3）解： ， ∴ ． 二次根式的应用题型08 66．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长， 重叠部分也是正方形， 三个小正方形的面积分别为48，32，8， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：A． 67．（22-23八年级上·河北秦皇岛·阶段练习）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：82第一次，第二次，第三次，这样对82只需进行3次操作后即可变为1，类似地，对300只需进行多少次操作后即可变为1（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可． 【详解】解：第一次：， 第二次： ， 第三次：， 第四次：， 故对300只需进行4次操作后即可变为1， 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是明确表示不大于x的最大整数． 68．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，，，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法运算，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答． 【详解】解：，，， ，， ∵，， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 69．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)与________是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是不是关于1的“平衡数”． 【答案】(1) (2)不是 【分析】（1）根据平衡数的定义和题意，可以列出相应的方程，然后即可求得关于1的“平衡数”； （2）根据，可以先求出m的值，然后即可计算出与的和，再看是否等于2即可． 本题考查一元一次方程的应用、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键会用新定义解答问题． 【详解】（1）解：设与x是关于1的“平衡数”， 则， 解得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴ ， ∴与不是关于1的“平衡数”． 70．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知一块长为，宽为的长方形木板，如图．    (1)与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______； (2)采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板？试说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，二次根式的加减运算，无理数的大小比较，理解题意是关键； （1）设正方形的边长为，可得，再解方程即可； （2）由两个正方形的边长分别为：和，再用两个正方形的边长之和与7作比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， ∴，而， ∴， ∴正方形的边长为； （2）不能截出，理由： 若能截出，则两个正方形的边长分别为：和， ∵， ∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出． 71．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）（1）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b．已知，，求S的值； （2）已知长方体的体积，高，底面相邻两边，求a，b的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二次根式的应用； （1）根据长方形的面积公式列式计算即可； （2）由已知得出，然后根据长方体的体积公式列式求出a，进而可得b的值． 【详解】解：（1）依题意，； （2）， ， ，即 ∴， ， ， ． 72．（22-23八年级上·河北邢台·期末）嘉琪准备完成题目“计算：”时，发现“■”处的数字印刷不清楚． (1)他把“■”处的数字猜成，请你计算： 的结果； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是．”通过计算说明原题中“■”是几？ 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）设，则，求解即可 【详解】（1）解：原式 =13； （2）解：设 ． 【点睛】本题考查实数混合运算，解一元一次方程，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． 73．（20-21八年级下·河北廊坊·期末）抖音上最近有位老师录制了这样一道题怎样简算? 这位老师的做法如下： 你能仿照同学甲的做法解决这个问题吗? 若其中a>1你能解释这位老师的解法吗? 【答案】见解析 【分析】阅读题干，找到解题规律将所给式子代入即可求解． 【详解】解： ； ． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算的新解法，解题的关键在于通过分析题意，类比计算． 74．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)；；④ (2)是；理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与是关于3的“实验数”； （2）根据进行计算，计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“实验数”； ∵， ∴与是关于的“实验数”，即； ∵， ∴， ∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ， ∴与是关于的“实验数”． 75．（20-21八年级下·河北承德·期末）阅读材料：设a＞0，b＞0．∵（）2≥0，∴a﹣2+≥0，即a+（当＝，即a＝时，取“＝”）．由此可得结论：若a＞0，b＞0，则当a＝时，a+有最小值2． 理解概念：（1）若x＞0，则x＝ 时，函数x+有最小值为 ． 拓展应用：（2）若x＞1，则代数式x+的最小值为 ，此时x＝ ； 解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD靠墙（如图，墙足够长），面积为8m2，求至少需要多少米的篱笆？ 【答案】（1）1，2；（2）5，3；（3） 【分析】（1）根据材料可得，当，即x＝1时，函数有最小值为2； （2）同理得：，变形后可得结论：x＝3时，代数式的最小值为5； （3）设AB＝xm，根据长方形的周长列式，根据材料进行变形，列不等式可得结论． 【详解】解：（1）∵x＞0， ∴， ∴ 即，当，即x＝1时，函数有最小值为2； 故答案为：1，2； （2）∵x＞1， ∴ ∴ 即，当，即x＝3时，代数式的最小值为5； 故答案为：5，3； （3）设AB＝xm，则CD＝xm，BC＝m． 则篱笆长度为： 当且仅当x＝2时，2x+有最小值是8． 答：至少需要8m的篱笆． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和二次根式的应用，解题的关键在于能够读懂题意进行相应的求解. 76．（21-22八年级下·河北承德·期末）有个填写运算符号的游戏：在“□□□”中的每个□内，填入＋，－，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)计算：； (2)若□，请推算□内的符号； (3)在“□□”的□内填入符号后，使计算所得数最大，直接写出这个最大数． 【答案】(1) (2)- (3)第一个填“+”，第二个填“×”最大，最大数是 【分析】(1)先化成最简二次根式，后合并同类二次根式计算即可． (2)先按照运算顺序依次计算，后比较□前后两个数与结果，计算推想即可． (3)要想使得结果最大，只需前三个数的和或积最大即可，比较和与积的大小，计算判断即可． 【详解】（1） = =． （2）因为□， 所以□， 所以-， 所以□内的符号是“-”． （3）因为， 所以第一个填“+”，第二个填“×”最大，且最大数是． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，清楚运算顺序是解题的关键． 77．（23-24八年级上·河北保定·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 【答案】(1) (2)37或161 (3) 【分析】本题主要考查无理数的估算，以及二次根式有意义的条件： （1）根据“美好区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“美好区间”； （2）根据“美好区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相加得，得，，再根据“美好区间”的定义即可求解．． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ ∴无理数的“美好区间”是， 故答案为： （2）∵为“美好区间” ∴，为连续的整数 又∵是关于，的二元一次方程的一组正整数解 ∴是一个平方数 又∵ ∴满足题意的，的值为或 当时， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∴， 综上所述：的值为37或161． （3）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 两式相加得 ∴ ∴的算术平方根为 ∵ 的算术平方根的美好区间为． 78．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰直角和等腰直角，是边上的高，延长交于点，，．请直接写出的面积________． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）证明，可得，即可得证； （2）证明，可得，即可得证； （3）延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则，由（1）和（2）的结论可知，证明，再证明，根据面积关系可得，再求解即可． 【详解】（1） 证明：直线，直线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则， 由（1）和（2）的结论可知， ， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 试卷第20页，共50页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 题型概览 题型01使二次根式有意义的条件 题型02利用二次根式的性质化简 题型03二次格式的乘除法 题型04二次格式的化简求值 题型05最简二次根式 题型06二次根式的加减法与混合运算 题型07二次根式分母有理化 题型08二次根式的应用 使二次根式有意义的条件题型01 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如果，那么（　　） A．4 B．5 C．6 D．无法确定 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）下列式子一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·河北张家口·期末）若二次根式有意义，则的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）使得二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围是 ． 6．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知，则的立方根为 ． 利用二次根式的性质化简题型02 7．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知，，且，则的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 8．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）对于式子，有下面结论： 甲：当时，原式； 乙：当时，原式． 其中说法正确的是（    ） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 9．（23-24七年级下·河北保定·期末）与计算结果相同的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）若是整数，则正整数m 的最小值是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 12．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如果是一个正整数，则整数a的最小值是（    ） A． B． C． D． 13．（21-22八年级上·河北邢台·期末）若是二次根式，则a的取值范围是 ；若是正整数，则正整数a的最小值是 ． 14．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）已知一个三角形的两边长分别为2和3，第三条边的长为a，则a的取值范围是 ，并化简： ． 15．（23-24七年级下·河北张家口·期末）化简并求值：，其中．小马同学的解题步骤如下： 解：原式………………………………第一步 ……………………………………………第二步 …………………………………………………第三步 把代入得，原式……………………第四步 小马的计算从第几步开始出错，错误的原因什么？请给出正确的解答过程． 16．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 下面是小艺和小美的解答过程： 小艺：解：原式 当时，原式 小美：解：原式． 当时， ∴原式． (1)______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (2)先化简，再求值：，其中． 二次格式的乘除法题型03 17．（23-24八年级下·河北张家口·期末）计算的结果为（   ） A． B．7 C． D．49 18．（24-25八年级上·河北沧州·期末）甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（   ） A．3张 B．2张 C．1张 D．0张 19．（24-25八年级上·河北保定·期末）下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数a，b的乘积一定是无理数”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 20．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）下列等式：①，②，③，④，⑤．正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 21．（23-24八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 22．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）计算 的结果为 ． 23．（23-24八年级下·河北·期末） ． 24．（22-23八年级上·河北秦皇岛·期末）计算：（1） ；（2） ． （3） ；（4） ． 25．（22-23八年级上·河北唐山·期末）下面是小明和大刚分别计算：，的做法． 小明的做法： 解： ． 大刚的做法： 解： ． 两人的做法是否都正确?并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目： (1)； (2)． 二次格式的化简求值题型04 26．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知：，，关于下列两个说法，判断正确的是（   ） ①若Q有意义，则； ②设，当时，． A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 27．（20-21八年级下·河北承德·期末）已知：，则 ． 28．（22-23八年级下·河北保定·期末）当时，代数式的值是 ． 29．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）先化简，再求值：，其中，． 30．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知，求代数式的值． 31．（23-24八年级下·河北承德·期末）若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 32．（21-22八年级下·河北保定·期末）按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 最简二次根式题型05 33．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如果是最简二次根式，则x的值可能是（    ） A．11 B．13 C．21 D．27 34．（22-23八年级上·河北保定·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 35．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 36．（22-23八年级上·河北沧州·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 . 37．（21-22八年级下·河北沧州·期末）已知． （1）将化为最简二次根式是 ； （2）若，则“■”表示的数是 ． 二次根式的加减法与混合运算题型06 38．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）下列各式中，计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 42．（23-24八年级下·河北承德·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）若，则运算符号“”表示（    ） A．+ B．- C．× D．÷ 44．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）下列化简或计算结果与不相等的是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）若，则表示实数的点会落在数轴的（　　） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 46．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）若〇表示运算符号“”“”“”“”中的一种，且的结果是有理数，则〇可以表示的运算符号是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 47．（24-25八年级上·河北沧州·期末）若，则 ． 48．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： ． 49．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)． 50．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 51．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2) 52．（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 53．（23-24八年级下·河北沧州·期末）计算： (1)； (2)． 54．（22-23八年级下·河北承德·期末）计算： (1) (2) (3) 55．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 56．（23-24八年级下·河北保定·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 57．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入四个小球，小球分别标有如图所示的数．现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数． (1)若淇淇摸取到如下两个小球，请计算出结果． (2)若淇淇摸出全部的四个球，计算结果为x，嘉嘉说x的值与属于同类二次根式，你认为嘉嘉的说法对吗？并说明理由． 58．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）琪琪在解题“计算：”时，发现“▲”处的数字印刷不清楚． (1)若“▲”处的数字是，请计算结果； (2)若该题标准答案的结果是．通过计算说明原题中“▲”是几？ 59．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算．规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： (1)接力中，自己负责的一步出现错误的是 ；           (2)请给出正确的求解过程． 二次根式分母有理化题型07 60．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知，，则a与b的关系是（   ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 61．（23-24八年级上·河北张家口·期末）二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算． 以上结论正确的是（    ） A．①③④ B．①④ C．①②③ D．①③ 62．（24-25八年级上·河北沧州·期末）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； 63．（24-25八年级上·河北保定·期末）计算 (1)； (2)． 64．（23-24九年级上·河北邢台·期末）大家知道，因式分解是代数中一种重要的恒等变形．应用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果，如化简： …… (1)从以上化简的结果中找出规律，直接写出用n（n是正整数）表示上面规律的式子． (2)根据以上规律，计算 65．（22-23八年级上·河北石家庄·期末），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，其中与与都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化．请完成下列问题： (1)计算： ， ； (2)已知有理数a、b满足，则 ， ； (3)计算． 二次根式的应用题型08 66．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 67．（22-23八年级上·河北秦皇岛·阶段练习）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：82第一次，第二次，第三次，这样对82只需进行3次操作后即可变为1，类似地，对300只需进行多少次操作后即可变为1（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 68．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，，，，，则 ． 69．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)与________是关于1的“平衡数”； (2)若，判断与是不是关于1的“平衡数”． 70．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知一块长为，宽为的长方形木板，如图．    (1)与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______； (2)采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板？试说明理由． 71．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）（1）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b．已知，，求S的值； （2）已知长方体的体积，高，底面相邻两边，求a，b的值． 72．（22-23八年级上·河北邢台·期末）嘉琪准备完成题目“计算：”时，发现“■”处的数字印刷不清楚． (1)他把“■”处的数字猜成，请你计算： 的结果； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是．”通过计算说明原题中“■”是几？ 73．（20-21八年级下·河北廊坊·期末）抖音上最近有位老师录制了这样一道题怎样简算? 这位老师的做法如下： 你能仿照同学甲的做法解决这个问题吗? 若其中a>1你能解释这位老师的解法吗? 74．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 75．（20-21八年级下·河北承德·期末）阅读材料：设a＞0，b＞0．∵（）2≥0，∴a﹣2+≥0，即a+（当＝，即a＝时，取“＝”）．由此可得结论：若a＞0，b＞0，则当a＝时，a+有最小值2． 理解概念：（1）若x＞0，则x＝ 时，函数x+有最小值为 ． 拓展应用：（2）若x＞1，则代数式x+的最小值为 ，此时x＝ ； 解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD靠墙（如图，墙足够长），面积为8m2，求至少需要多少米的篱笆？ 76．（21-22八年级下·河北承德·期末）有个填写运算符号的游戏：在“□□□”中的每个□内，填入＋，－，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)计算：； (2)若□，请推算□内的符号； (3)在“□□”的□内填入符号后，使计算所得数最大，直接写出这个最大数． 77．（23-24八年级上·河北保定·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 78．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰直角和等腰直角，是边上的高，延长交于点，，．请直接写出的面积________． 试卷第20页，共50页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$