精品解析：海南省西南大学临高实验中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

高三数学 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到，然后求补集. 【详解】，所以或. 故选：C. 2. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则，化简可得，根据共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以其共轭复数为. 故选：B 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据A、B、C的范围及题中条件，可求得，的值，代入两角和的余弦公式，化简整理，即可得答案. 【详解】因为在中，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以 . 故选：A 4. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵，∴增加两个样本点后的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 5. 若，则（ ） A. 56 B. 28 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，根据二项展开式的通项可知，进而求出的值. 【详解】因为，所以， 所以，即. 故选：D. 6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法・商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，...，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得，再利用累加法求得，再利用裂项相消法求解. 【详解】解：由题意可得，，，，， 于是有， 所以，，，，…，， 将以上个式子相加得， 所以， 所以， . 故选：D 7. 已知函数，则（ ） A. 2024 B. C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】通过求导得到的对称中心，然后利用对称性求函数值即可. 【详解】由，可得． 令，得， 又，所以图象的对称中心为， ，，， ． 故选：B. 8. 已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表达出，将其代入双曲线上，整理得到，计算出. 【详解】由对称性，知轴，，， 四边形是正方形，则，， 则，， 则在双曲线上， ，即， 即，化简整理得， 即，所以， 即，又，故， 解得或（舍去）. 故选：C． 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 二、多选题 9. 口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（ ） A. B. C. A与B为互斥事件 D. A与B相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率、条件概率公式，结合互斥事件、相互独立事件的意义计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，事件可以同时发生，则A与B不互斥，C错误； 对于D，，由选项AB知，，则A与B相互不独立，D错误. 故选：AB 10. 已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象与的图象在内有4个交点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数图象的变换可得，即可代入验证求解ABC，作出两个函数的图象即可求解D. 【详解】的图象向右平移个单位后，可得， 进而可得，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故不是的对称轴，故C错误， 对于D，分别作出与在内的图象，可知有4个交点，故D正确， 故选：BD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 平面平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 周长最小值为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量知识依次判断选项即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系 对于A，，，，， 则，，， 设平面法向量，则，令，则， 设平面法向量，则，令，则， 所以，即，则平面平面，故A正确； 对于B，，，，则， 所以与不垂直，则与平面不平行，所以当在运动时，到平面的距离不是定值， 底面的面积为定值，则三棱锥的体积不是定值，所以B不正确； 对于C，由图可知 ，，所以周长最小值必定大于，故C错误； 对于D，可知正方体的球心，球的半径 ，，当时，， 所以，设平面法向量为， 所以，令，则 所以球心到平面的距离，， 所以平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径， 则平面截该正方体的外接球所得截面的面积为，故D正确. 故选：AD 三、填空题 12. 已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可. 【详解】向量与的夹角为钝角，则， 解得或； 又向量与不共线，所以，解得且； 故所求的取值范围是. 故答案为： 13. 某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率______；任取一出厂产品，求未经调试的概率______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】答题空一：根据题意设出事件，利用全概率公式即可求解；答题空二：利用空一结果，根据贝叶斯公式即可求解. 【详解】设事件表示产品能出厂上市，事件表示产品不需要调试，表示产品需要调试， 则有，，，， 由全概率公式可得： ； 由贝叶斯公式可得： . 故答案为：； 14. 若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先将不等式转化为，再构造函数，利用导数求函数的单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可求得结果. 【详解】因为，所以， 即，令，所以， 又，所以在上单调递增，所以， 即，令，所以， 令，解得，令，解得，所以在上单调递增， 在上单调递减，所以，所以，即的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要将不等式转化为，再构造函数，利用导数判断单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，通过两次构造函数即可求得结果. 四、解答题 15. 在中，角所对的边分别为.若，且边上的中线长为. （1）求的大小； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦的二倍角公式和诱导公式化简可得，再利用正弦定理边化角即可求解； （2）设，，，先利用平面向量的加法法则和数量积的运算律可得，再根据基本不等式和三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由可得， 因为在中，所以， 由正弦定理可得， 因为，，所以， 所以，即， 又，所以，. 【小问2详解】 设，，，根据题意，， 又，所以，化简得， 则， 所以，当且仅当时等号成立. 面积的最大值为. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调性； （2）分离参数得，构造，利用导数求最大值即得. 【小问1详解】 当时，函数的定义域是，， 令，得，解得，故的单调递减区间是， 令，得，解得，故的单调递增区间是， 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 由任意，知恒成立. 因，故，在上恒成立. 设，则， 令，得，（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得极大值，也是最大值，且， 所以若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是. 17. 如图1，在直角梯形中，，，.将沿折起，使，连接，得如图2的几何体. （1）求证：平面平面； （2）若是线段上靠近的三等分点，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明： 在直角梯形中，设，，则 ，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理得出线面垂直进而得出面面垂直； （2）建立空间坐标系，先求出法向量，再应用空间向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，所以平面平面. 又因为平面平面， 过作，则为的中点，且平面. 以为原点，所在的直线为轴，过且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为，可得 ，，， 设平面的法向量为， 则，即，令可得平面的一个法向量为 设平面的法向量为， 则，即，令，可得平面的一个法向量为， ， 又二面角为锐二面角，所以余弦值为. 18. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. （1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； （2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1）适宜作为与之间的回归方程模型， （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）确定随机变量取值，结合全概率公式计算概率，进而可求解； 【小问1详解】 根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型. 令，则， ， ， 所以， 所以关于的回归方程为. 【小问2详解】 由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，， 设“所取两个鱼卵来自第批”， 所以， 设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”， 由全概率公式得 ， ， ， 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 所以， 所以取出“死卵”个数的数学期望为. 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 【答案】（1） 因为，所以， 令，则， 所以，即为等差数列， 所以为二阶等差数列. （2）①； ②由（1）得， 所以. 因为，所以为递增数列， 所以； 又， 所以 . 因为，所以， 又因为数列为递减数列，所以为递增数列，即 所以. 【解析】 【分析】（1）根据二阶等差数列的概念计算，从而判断； （2）①根据二阶等差数列的概念结合累加法求解通项公式；②根据裂项相消法求的前项和为，再根据数列的单调性证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为为二阶等差数列，且，，，所以，，所以的公差为， 所以，即， 所以， ， ， …… ， 将以上个式子左、右分别相加，得， 所以， 又，满足上式， 所以. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 56 B. 28 C. D. 6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法・商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，...，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 2024 B. C. 2025 D. 2026 8. 已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（ ） A. B. C. A与B为互斥事件 D. A与B相互独立 10. 已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象与的图象在内有4个交点 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 平面平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 周长最小值为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题 12. 已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是_____. 13. 某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率______；任取一出厂产品，求未经调试的概率______． 14. 若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______. 四、解答题 15. 在中，角所对的边分别为.若，且边上的中线长为. （1）求的大小； （2）求面积的最大值. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图1，在直角梯形中，，，.将沿折起，使，连接，得如图2的几何体. （1）求证：平面平面； （2）若是线段上靠近的三等分点，求二面角的余弦值. 18. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. （1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； （2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $