湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高二下学期期中调研考试数学试卷

第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学 校 :_ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ _ 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 保密★启用前 望城一中高二年级期中调研数学考试卷 望城一中高二数学组 2025.5.6 本试题卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核 准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．设集合  1,0,1,2A   ，  B y y x  ，则 A B  （ ） A． 0 B． 0,1, 2 C． 0,1 D． 0, 2 2．已知复数 1 iz   ，则 1z z  （ ） A． 3 1 i 2 2  B． 3 1 i 2 2  C． 1 3 i 2 2  D． 1 3 i 2 2  3．在平面直角坐标系 xOy中，已知 A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面第一象限内一点，且∠AOC= 4  ，且 2OC  uuur ， 若OC  =λOA  +μOB  ，则λ+μ=（ ） A．2 2 B． 2 C．2 D．4 2 4．已知函数    πcos 2 0 3 f x x        的最小正周期为 π，则 （ ） A．2 B．3 C．1 D． 1 5．小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州 市的概率分别为 0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为 0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的 概率为 0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为 0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（ ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.21 6．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的右焦点为 F，关于原点对称的两点 A、B分别在双曲线的左、右两 支上， 0AF FB    ， 2    BF FC且点 C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． 2 C． 10 2 D． 17 3 7．在正三棱锥 P－ABC中，O为△ABC的中心，已知 AB=6，∠APB=2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表 面积为（ ） A．49π B．36π C．32π D．28π 8．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 3 23 n n nS   ，则下列说法正确的是（ ） A． 1n na a  B． 1n nS S  C． 2 1n na S  D． 40 9n a  二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分,有选错的得 0 分,部分选对的得部分分。 9．给出以下四个说法，其中正确的说法是（ ） A．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小； B．在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数 2R 的值越大，说明拟合的效果越好； C．在回归直线方程  0.2 12y x  中，当解释变量 x每增加一个单位时，预报变量 y平均增加 0.2个单位； D．对分类变量 X 与Y，若它们的随机变量 2K 的观测值 k越小，则判断“ X 与Y有关系”的把握程度越大． 10．已知抛物线 21 : 4C x y .现将抛物线 1C 绕原点顺时针旋转90，得到新抛物线 2C .记 2C 的焦点为 F .过点 F 的 直线交抛物线 2C 于M 、N两点，若直线MN的斜率为1，则下列关于 2C 的说法中正确的是（ ） A．焦点  1 0F , B． 6MN  C．准线方程为 1x   D． MON△ 的面积为 2 2 11．已知 0a  ， 2 2( ) x xm x e e   ， ( ) ( ) sinf x am x x  ，若 ( )f x 存在唯一零点，下列说法正确的有（ ） A． ( )m x 在 R上递增 B． ( )m x 图象关于点  2,0 中心对称 C．任取不相等的实数 1 2,x x R ，均有    1 2 1 2 2 2 m x m x x xm        D． 2 a  三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知离散型随机变量 110, 4 X B       ， 2 1Y X  ，则  E Y  . 第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※ ※ 请 ※ ※ 不 ※ ※ 要 ※ ※ 在 ※ ※ 装 ※ ※ 订 ※ ※ 线 ※ ※ 内 ※ ※ 答 ※ ※ 题 ※ ※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 13．某班元旦晚会准备了 8个节目，其中歌曲节目有 3个，舞蹈节目有 2个，小品、相声、廆术节目各 1个， 要求小品、相声、魔术这 3个节目不安排在第一个表演，这 3个节目中最多有 2个节目连续表演，且魔术在 小品后面表演，则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种 ．（用数字作答） 14．1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定 点距离之积为常数的点的轨迹．已知点    1 22 0 2 0, ， ,F F ，动点 P满足 1 2 6PF PF  ，则 1 2PFF 面积的最 大值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分） 深为入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡 发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从 各年级推荐的总共 6名老师中任选 3名去参加“送教下乡”的活动．这 6名老师中，英语老师､化学老师､数学老 师各 2名． (1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率； (2)设 X 表示选出的 3人中数学老师的人数，求 X 的均值与方差． 16．（15 分） 在 ABCV 中，角A， B，C的对边分别为 a，b， c，且满足 3cos sin 3 a b C b C  . (1)求 B的大小； (2)若 ABCV 的面积为3 3，且 3BC BD   ，当线段 AD的长最短时，求 AC的长. 17．（15 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，AC 平面 1 1AA B B， 1 π 3 ABB  ， 1AB  ， 1 2AC AA  ，D为棱 1BB 的中点． (1)求证： AD 平面 1 1AC D； (2)在棱 BC上是否存在异于点 B的一点 E，使得 DE与平面 1 1AC D所成的角 为 π 6 ？若存在，求出 BE BC 的值若存在，请说明理由． 18.（17 分） 已知点 A，B是椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yE a b a b     的左，右顶点，椭圆 E的短轴长为 2，离心率为 3 2 ． (1)求椭圆 E的方程； (2)点 O是坐标原点，直线 l经过点  2,2P  ，并且与椭圆 E交于点 M，N，直线 BM 与直线OP交于点 T，设 直线 AT ， AN的斜率分别为 1k ， 2k ，求证： 1 2k k 为定值． 19．（17 分） 已知函数    ln 1 cosf x a x x   . (1)若 1a  ，求  f x 的图象在点   0, 0f 处的切线方程； (2)    0, π , 2e 1xx f x    ，求 a的取值范围. 答案第 1页，共 7页 望城一中高二年级期中调研数学考试卷答案及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C A D A D BC ACD 题号 11 12 13 14 答案 ABD 4 10800 3 5．A【详解】由全概率得，小孟一家去游乐园的概率 0.5 0.6 0.3 0.4 0.2 0.3 0.48P        6．D【详解】如图所示： 设 BF t ，则 2FC t ， 2BF a t   ， 2 2F C a t   ， 因为 0AF FB    ，所以 AF FB   ， 则四边形 AFBF 是矩形， 在 Rt BF C 中， 2 2 2BF BC F C   ， 即      2 2 22 3 2 2a t t a t    ，解得 2 3 at  ， 在 Rt BF F 中， 2 2 2BF BF F F   ，即 2 2 22 22 4 3 3 a aa c             ，解得 17 3 e  ， 7．A【详解】设侧棱长为 x，且易知 2 3 6 2 3 3 2 OA     则 2 3cos OAPAO PA x    ， 2 2 2 2 2 36 18cos 2 x x xAPB x x       因为 2APB PAO   ，则 cos cos2APB PAO   ,所以 2 2 2 2 3 182 1 x x x          ，解得 21x  ， 所以 2 2 3OP PA OA   ， 设球心为 M，则 MP=MA=R， 3MO R  ， 因为 2 2 2MA MO OA  ，所    222 3 2 3R R   ，解得 72R  ，所以表面积 24 49S R   ， 8．D【详解】当 1n  时， 1 1 3 2 1 3 3 a S    ， 当 2n  时， 1 1 1 3 2 3 2 4 3 3 3 n n n n n n nna SS        ， 答案第 2页，共 7页 所以 1n  不满足 2n  的情况，所以 1 , 1 3 4 , 2 3 n n n a n       ， 对于 A：当 2n  时，由指数函数单调性可知： 1 4 4 3 3n n  ，所以 1n na a  ，故 A错误； 对于 B：因为 1 1 1 1 3 2 3 2 4 0 3 3 3 n n n n n n nS S            ，所以 1n nS S  ，故 B错误； 对于 C：当 1n  时， 1 1 12 3 1a S a   ，满足；当 2n  时， 1 82 3 2 3 6 33 3 n n nn n n na S      ， 不满足，故 2 1n na S  不恒成立，故 C错误； 对于 D：当 1n  时， 1 1 40, 3 9 a      ，满足； 当 2n  时，由指数函数的单调性可知 4 3n n a  为递减数列，此时 2 4 9n a a  ， 且 4 0 3n  恒成立，所以 40 9n a  ，也满足；所以 40 9n a  ，故 D正确； 10．ACD【详解】对于 A选项，抛物线 21 : 4C x y 的焦点为  1 0,1F ， 将抛物线 1C 绕原点顺时针旋转90，则抛物线 2C 的焦点为  10F , ，A对； 对于 B选项，易知抛物线 2C 的方程为 2 4y x ，直线MN的方程为 1y x  ， 设点  1 1,M x y 、  2 2,N x y ，联立 2 1 4 y x y x     可得 2 6 1 0x x   ，Δ 36 4 32 0    ， 所以， 1 2 2 8MN x x    ，B错； 对于 C选项，抛物线 2C 的准线方程为 1x   ，C对； 对于 D选项，原点O到直线MN的距离为 1 2 22 d   ， 因此， 1 1 28 2 2 2 2 2MON S MN d     △ ，D对. 11．ABD 【详解】由 2 2'( ) 0x xm x e e    知 ( )m x 在 R上递增，故 A项正确； 2 2 2 2( ) (4 ) 0x x x xm x m x e e e e          ，故 ( )m x 图象关于点  2,0 中心对称，故 B选项正 确； 由 2 2''( ) x xm x e e   ，当 2x  时， ''( ) 0m x  ， '( )m x 递增， ( )m x 图象下凸，此时 答案第 3页，共 7页    1 2 1 2 2 2 m x m x x xm        ，故 C选项错误﹔ 对于 D选项：  2 2( ) sinx xf ex a e x    ，注意到    2 2f x f x    ，故 ( )f x 的图象关于点  2,0 中心 对称，而  2 0f  ，则 ( )f x 在 R上有唯一零点等价于 ( )f x 在  2,  无零点，  2 2 co' ) s( x xf a e xx e      ， 当 2 a  时，因为 2 2 2x xe e   ，则 2 cos 2'( 0) a xf x a      ， 于是 ( )f x 在  2,  递增，于是当  2,x  时，  ( ) 2 0f x f  ，满足题意﹔ 当 2 a  时，  ' 2 2 0f a    ，由连续函数的性质可知，一定存在 0 2x  ，使得  02,x x 时 '( ) 0f x  ，则 ( )f x 在  02, x 单调递减，于是  02,x x 时  ( ) 2 0f x f  ， 而 2 a  时， 2 a   ， 2 4 a    ， 2 ln 2 a    ， ln ln 2 ln sin 2 lna aef a e a a                       sin lnaa a a                 2 1 1 0 4 a           ， 由零点存在定理，在区间 2, 2 ln a      上 ( )f x 一定还存在零点，与已知矛盾.故 2 a  . 13．10800【详解】先将歌曲和舞蹈节目排好，有 55A 120 种， 再将小品、相声、魔术这 3个节目排好，有 3 2 25 5 23C C 3A 90   种， 则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有120 90 10800  种. 14．3【详解】已知定点为 1( 2,0)F  ， 2 (2,0)F ，因为动点 ( , )P x y 满足 1 2 6PF PF  ， 所以点 P的轨迹方程为 2 2 2 2( 2) ( 2) 6x y x y      ， 两边同时平方可得 2 2 2 2( 4) 36 16x y x    ， 整理得 2 2 2 2 21 916 36 4 ( 16 36 8) 16 4 y x x x         ，所以 3 2 y  ， 此时 1 2 1 2 1 1 4 3 2 2F PF S F F y y    ，当且仅当 2 7 4 x  ， 2 9 4 y  时，取得最大值， 15．【详解】（1） 推荐的 6名老师中任选 3名去参加活动基本事件总数 36C 20n   ，······················（2分） 答案第 4页，共 7页 这 6名老师中，数学老师 2名，英语老师 2名，化学老师 2名， 设事件A表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数”， 1A表示“恰好选出 1名数学老师和 2名化学老师”， 2A 表示“恰好选出 2名数学老师”，（3分） 1 2,A A 互斥，且 1 2A A A U ，   1 2 2 2 1 3 6 C C 2 1 C 20 10 P A    ，   2 1 2 4 2 3 6 C C 1 C 5 P A   ，···········（5分） 选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为    1 2 1 1 3 10 5 10 P P A P A     ；·（6分） （2）由于从 6名老师中任选 3名的结果为 36C , 从 6名老师中任选 3名，其中恰有m名数学老师的结果为  32 4C C 0,1,2m m m  ，那么 6名中任 选 3人，恰有m名数学老师的概率为   3 2 4 3 6 C C C m m P X m    ，······························· （8分） 所以       0 3 1 2 2 1 2 4 2 4 2 4 3 3 3 6 6 6 C C C C C C1 3 10 , 1 , 2 C 5 C 5 C 5 P X P X P X         ，···············（11分）   1 3 10 1 2 1 5 5 5 E X        ，·································································（12分）   2 2 21 3 1 2(0 1) (1 1) (2 1) 5 5 5 5 D X           ．·············································（13分） 16．【详解】（1）因为 3cos sin 3 a b C b C  ， 由正弦定理可得 3sin sin cos sin sin 3 A B C B C  ，············································（1分） 又    sin sin π sin sin cos cos sinA B C B C B C B C         ， 所以 3sin cos cos sin sin cos sin sin 3 B C B C B C B C   ，···································· （3分） 所以 3cos sin sin sin 3 B C B C  ，又  0, πC ，所以 sin 0C  ，··························（5分） 所以 3cos sin 3 B B  ，即 tan 3B   ，又  0, πB ，·····································（6分） 所以 2π 3 B  ；···························································································（7分） （2）因为 ABCV 的面积为3 3，即 1 sin 3 3 2 ac B  ，·······································（8分） 即 1 2πsin 3 3 2 3 ac  ，则 1 3 3 3 2 2 ac   ， 12ac  ，·············································· （9分） 因为 3BC BD   ，所以 1 3 BD BC   ，······························································（10分） 答案第 5页，共 7页 在 ABD△ 中 2 2 2 2 cosAD BA BD BA BD B    ， 即 2 2 2 1 1 2 1 12 3 3 3 3 AD c a ac ca ac ac           ，当且仅当 1 3 c a ，即 6a  ， 2c  时取等号， ············································································································（12分） 所以 2 3AD  ，即 AD的最小值为 2 3，此时 6a  ， 2c  ，···························（13分） 则 2 2 2 2 2 12 cos 6 2 2 6 2 52 2 b a c ac B                ，··································（14分） 所以 2 13b  ，即 2 13AC  .·····································································（15分） 17．【详解】（1）∵ AC 平面 1 1AA B B， AD 平面 1 1AA B B，∴ AC AD ，···········（1分） ∵ 1 1AC AC∥ ，∴ 1 1AD AC ··········································································· （2分） 由已知得 1AB BD  ， π 3 ABD  ，∴ π 3 ADB  ，同理可得 1 1 π 6 ADB  ··········· （4分） ∴  1 1 1 ππ 2 ADA ADB ADB      ，即 1AD AD ·······································（5分） 又 1 1 1 1AD AC A  ， 1 1 1,AD AC 平面 1 1AC D，∴ AD 平面 1 1AC D ························（6分） （2）连接 1AB ，∵ 1 π 3 ABB  ， 1AB  ， 1 2BB  ，∴ 1AB AB ，······················ （8分） ∵ AC 平面 1 1AA B B，∴ AC AB ， 1AC AB ················································（9分） 以 A为原点，AB，AC， 1AB所在的直线分别为 x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，则 1 3(0,0,0), (1,0,0), (0, 2,0), ,0, 2 2 A B C D        ························································（10分） 设 BE BC   ，则 (1 , 2 ,0)E   ，∴ 1 3,2 , 2 2 DE             ································（11分） 由（1）知平面 1 1AC D的一个法向量为 1 3,0, 2 2 AD          ·····································（12分） ∴ 22 2 1 | 1| 12| cos , | 21 3(2 ) 2 2 DE AD                       ··········································（13分） 化简得 24 3 0   ，解得 3 4   或 0  （舍去）··········································· （14分） 答案第 6页，共 7页 故在棱 BC上存在异于点 B的一点 E，使得 DE与平面 1 1AC D所成的角为 π 6 ，且 3 4 BE BC  （15分） 18．【详解】（1）依题意， 2 2 2 2 2 3 2 b c a a b c        ，解得 2 1 3 a b c       ，···································（3分） 所以，椭圆 E的方程为 2 2 1 4 x y  ．······························································（4分） （2）显然直线 l的斜率存在，不妨设直线 l： y kx m  ，··································（5分） 因为过点  2,2P  ，所以： 2 2k m   ， 所以直线 l： 2 2y kx k   ··········································································（6分） 联立 2 2 1 4 y kx m x y       ，消去 y，得  2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m     ，···························（7分）  2 216 4 1 0k m     ， 设点  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 所以， 1 2 2 8 4 1 kmx x k       2 16 1 4 1 k k k     ， 2 1 2 2 4 4 4 1 mx x k       2 4 2 3 2 1 4 1 k k k     ，   2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 1 m ky y k x x k x x m k          2 4 2 1 4 1 k k    ，······································（10分） 直线  1 1 : 2 2 yBM y x x    ，直线 :OP y x  ，···············································（11分） 联立  1 1 2 2 yy x x y x        ，解得 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 yx x y yy x y            ，·············································（12分） 即 1 1 1 1 1 1 2 2, 2 2 y yT x y x y         ，又因为直线 l： 2 2y kx k   ， 所以 1 1 2 2y kx k   ··················································································（13分） 所以   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 y x y y yk y y x y x y x y                     1 1 1 1 12 2 2 2 2 1 2 y y x kx k k x           ， 2 2 2 2 yk x   ，·······························（15分） 所以，        2 2 1 1 2 1 2 1 1 22 1 2 2 1 2 22 y y yk k k y xx k x x            答案第 7页，共 7页              2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 2 1 4 1 2 1 2 4 4 2 3 2 1 16 1 2 1 2 4 4 1 4 1 k y y k k x x x x k k k k k k k                                  2 4 4 1 16 44 2 3 2 1 32 1 4 4 1k k k k k             ．································（17分） 19．【详解】（1）因为 1a  ， 所以       1ln 1 cos , sin 1 f x x x f x x x        ，···············································（2分） 则    0 1, 0 1f f   .···················································································（3分） 故  f x 的图象在点   0, 0f 处的切线方程为 1 0y x   ，即 1 0x y   .············· （4分） （2）   2e 1xf x   等价于  ln 1 cos 2e 1 0xa x x     .······································（6分） 令    ln 1 cos 2e 1xg x a x x     ，则   sin 2e 1 xag x x x     .····························（8分） 若 0a  ，则   0g x  在 0,π 上恒成立，························································（9分） 则  g x 在 0,π 上单调递减，则    0 0g x g  ，符合题意；····························（10分） 若 0a  ，令   sin 2e 1 xah x x x     ， 则    2 cos 2e <0+1 2= 1 0 1 xah x x x         在 0,π 上恒成立，······················ （11分） 则  h x 在 0,π 上单调递减，则    0 2h x h a   ，······································· （12分） 当 2 0a   ，即0 2a  时，   0h x  在 0,π 上恒成立，即   0g x  在 0,π 上恒成立， 则  g x 在 0,π 上单调递减，则    0 0g x g  ，符合题意；····························（14分） 当 2 0a   ，即 2a  时，    0 2 0, sin 2e 1 1 2 0 1 aah a h a a a            ， 则  0 0,x a  ，  0 0h x  ，所以当  00,x x 时，   0h x  ，即   0g x  ， 故  g x 在  00, x 上单调递增；当  00,x x 时，    0 0g x g  ，不符合题意.······ （16分） 综上所述， a的取值范围为  , 2 .······························································（17分）