1～23题题组训练124分(8)-【一战成名新中考】2025福建中考数学·三轮复习·抢分必刷17套

一战成名·福建数学 抢 分 必 刷 套 在△ABF 和△CDE 中, AB=CD, ∠B= ∠D, BF=DE, { ∴ △ABF≌△CDE(SAS), ∴ ∠AFB= ∠CED,∴ AF∥CE. 21. 解:(1)3;【解法提示】∵ 多次重复试验,经统计发现摸 到红球的频率大约为 0. 6,∴ 摸到红球的概率为 0. 6,∴ 估计袋子中红球的个数为 5×0. 6 = 3; (2)用 A,B,C 表示 3 个红球,用 D,E 表示两个白球,列 表如下: 　 　 　 第一个球 第二个球　 　 　 A B C D E A — (B,A) (C,A) (D,A) (E,A) B (A,B) — (C,B) (D,B) (E,B) C (A,C) (B,C) — (D,C) (E,C) D (A,D) (B,D) (C,D) — (E,D) E (A,E) (B,E) (C,E) (D,E) — 由表格可知,一共有 20 种等可能的结果,其中两次摸出 的球恰好都是红球的结果有 6 种, ∴ 两次摸出的球恰好都是红球的概率为 6 20 = 3 10 . 22. (1)证明:如解图,连接 OC. 第 22 题解图 ∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°, ∴ ∠CBA+∠CAB= 90°, ∵ OC=OB,∴ ∠CBA= ∠OCB, 又∵ ∠CAB= ∠BCE, ∴ ∠OCB+∠BCE= 90°, 即∠OCE= 90°,∴ OC⊥CE, ∵ OC 为☉O 的半径, ∴ 直线 EC 是☉O 的切线; (2)解:设☉O 的半径为 r, 则 OC= r,OE= r+1, 在 Rt△OEC 中,∵ OC2 +EC2 =OE2 , ∴ r2 +22 = ( r+1) 2 ,解得 r= 3 2 , ∴ OE= 5 2 ,AE= 4,OC= 3 2 . ∵ OC⊥CE,AD⊥EC, ∴ OC∥AD,∴ △OCE∽△ADE, ∴ OC AD =OE AE ,即 3 2 AD = 5 2 4 , 解得 AD= 12 5 . 23. (1)证明:∵ 点 P,D,B 在同一条直线上, ∴ ∠PDE= ∠BDF, ∵ ∠PED= ∠BFD= 90°, ∴ △PDE∽△BDF; (2)解:∵ DH⊥AB,四边形 ABFE 为矩形, ∴ ∠DHB= ∠HBF= ∠BFD= 90°, ∴ 四边形 DHBF 为矩形,∵ BF=DF, ∴ 矩形 DHBF 为正方形, ∴ ∠BDH= 45°, ∴ ∠PDG= ∠BDH= 45°, 故入射角∠PDG 的度数为 45°; (3)解:∵ n= sinα sinβ = 5 2 6 , 且 α= ∠PDG= 45°,即 sinα= sin45° = 2 2 , ∴ sinβ= 2 2 5 2 6 = 3 5 , 即 sin∠CDH= 3 5 , ∵ 四边形 DHBF 为正方形, ∴ DH=HB=BF=DF= 16 cm, 在 Rt△DCH 中,sin∠CDH= HC DC = 3 5 , 设 HC= 3k,DC= 5k, ∴ DH= 4k= 16,解得 k= 4, ∴ CH= 3k= 12, ∴ BC=HB-CH= 16-12 = 4(cm), 故 BC 的长为 4 cm. 1~ 23 题题组训练 124 分(八) 1. B　 2. D　 3. B 4. C　 【解析】A. ∵ 1+2 = 3,∴ 1 cm,2 cm,3 cm 不能组成三 角形,故 A 错误;B. ∵ 3+2<6,∴ 6 cm,2 cm,3 cm 不能组 成三角形,故 B 错误;C. ∵ 4+6>8,∴ 4 cm,6 cm,8 cm 能 组成三角形,故 C 正确;D. ∵ 5+ 6 < 12,∴ 5 cm,12 cm, 6 cm 不能组成三角形,故 D 错误. 5. B　 【解析】3x2 -x2 = 2x2 ,故 A 错误,不符合题意;x·x3 = x4 ,故 B 正确,符合题意;( -x2 ) 4 = x8 ,故 C 错误,不符合 题意;3xy2 ÷6xy= 1 2 y,故 D 错误,不符合题意. 6. D　 7. A　 【解析】依题意,捐款最少的员工又多捐了 30 元,则 此时 5 名员工的捐款额分别为(单位:元):60,40,50, 60,60. 众数还是为 60,中位数,平均数,极差都发生了变 化,故不受影响的统计量是众数. 8. B　 【解析】正方形的面积是 5,则边长为 5 ,∵ 4 < 5 < 9 ,∴ 2< 5 <3. 9. D　 10. A　 【解析】如解图,∵ 抛物线 y = -x2 +px+q 的对称轴为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42 一战成名·福建数学 抢 分 必 刷 套 直线 x = - 3, 点 N ( - 1, 1 ) 是 抛 物 线 上 一 点, ∴ - p -2 = -3, 1 = -1-p+q, { 解得 p= -6,q= -4,{ ∴ 该抛物线的解析式为 y = -x2 -6x-4 = -(x+3) 2 +5,∴ M( -3,5) . ∵ △PMN 的周长 =MN+PM+PN,且 MN 是定值,∴ 只需 PM+PN 最小. 如 解图①,过点 M 作关于 y 轴对称的点 M′,连接 M′N, M′N 与 y 轴的交点即为所求的点 P,则 M′(3,5) . 设直 线 M′N 的解析式为 y = ax+ t(a≠0),则 5 = 3a+t, 1 = -a+t,{ 解得 a= 1, t= 2,{ 故直线 M′N 的解析式为 y = x+2. 当 x = 0 时,y = 2,即 P(0,2);同理,如解图②,过点 M 作关于 x 轴对称 的点M′,连接M′N,则M′N 与 x 轴的交点即为所求的点 P( - 4 3 ,0) . 如果点 P 在 y 轴上,则△PMN 的周长= 4 2 +MN;如果点 P 在 x 轴上,则△PMN 的周长 = 2 10 + MN;∴ 点 P 为( 0,2) 时,△PMN 的周长最小. 综上所 述,符合条件的点 P 的坐标是(0,2) . 图① 　 　 图② 第 10 题解图 11. -6% 12. 六　 【解析】360°÷60° = 6,故这个多边形是正六边形. 13. 52°　 【解析】如解图,∵ ∠1 = 22°,∴ ∠ACD= 22°+30° = 52°,∵ AB∥CD,∴ ∠2 = ∠ACD= 52°. 第 13 题解图 14. x>1　 【解析】 x-1 3 <2x-2,去分母,得 x-1<3(2x-2),去 括号,得 x-1<6x-6,移项、合并同类项,得-5x<-5,系数 化为 1,得 x>1. 15. 85　 【解析】设桌子的高度为 x cm,长方体木块一个面 (图中 展 示 的 面 ) 的 长 比 宽 大 y cm, 由 题 意 得: x+y= 100, x-y= 70,{ 解得 x= 85, y= 15,{ ∴ 桌子的高度为 85 cm. 16. 15　 【解析】如解图,连接 PB,在 BC 上截取 BE= 3, 第 16 题解图 则 CE=BC-BE = 12- 3 = 9,∴ BE PB = PB BC = 1 2 ,∵ ∠PBE = ∠CBP,∴ △BPE ∽ △BCP, ∴ PE PC = BE PB = 1 2 , ∴ PE = 1 2 PC,∴ PD+ 1 2 PC=PD+PE,∴ 当 D、P、E 三点共线时, PD+PE 最小, ∵ ∠DCE = 90°, ∴ DE = CD2 +CE2 = 122 +92 = 15,∴ PD+ 1 2 PC 的最小值为 15. 17. 解:原式= 2 2 -2× 2 2 +2 = 2 2 - 2 +2 = 2- 2 2 . 18. 证明:∵ AC∥DF,∴ ∠ACB= ∠F. ∵ AB∥DE,∴ ∠B= ∠DEF, 在△ABC 和△DEF 中, ∠B= ∠DEF, ∠ACB= ∠F, AC=DF, { ∴ △ABC≌△DEF(AAS),∴ BC=EF, ∴ BC-EC=EF-EC,∴ BE=CF. 19. 解:∵ x+y= 6,xy= 9, ∴ x2 +3xy+2y2 x2y+2xy2 = (x +y)(x+2y) xy(x+2y) = x +y xy = 6 9 = 2 3 . 20. 证明:如解图,连接 OD,AD, ∵ AC 是☉O 的直径,∴ ∠ADC= 90°,∴ AD⊥BC, ∵ AB=AC,∴ ∠CAD= ∠BAD= 1 2 ∠BAC, ∵ ∠CDE= 1 2 ∠BAC,∴ ∠CDE= ∠CAD, ∵ OA=OD,∴ ∠CAD= ∠ADO,∴ ∠CDE= ∠ADO, ∵ ∠ADO+∠ODC= 90°, ∴ ∠ODC+∠CDE= 90°, ∴ ∠ODE= 90°,∴ OD⊥DE, 又∵ OD 是☉O 的半径, ∴ DE 是☉O 的切线. 第 20 题解图 21. 解:(1)20,36°;【解法提示】调查的居民人数为 7÷14% 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 一战成名·福建数学 抢 分 必 刷 套 = 50,∴ a= 50×40% = 20. 在扇形统计图中,C 种支付方 式所对应的圆心角的度数为 360°× 5 50 = 36°. (2)由题意得,有 3 名男性,2 名女性. 列表如下: 男 男 男 女 女 男 — (男,男) (男,男) (男,女) (男,女) 男 (男,男) — (男,男) (男,女) (男,女) 男 (男,男) (男,男) — (男,女) (男,女) 女 (女,男) (女,男) (女,男) — (女,女) 女 (女,男) (女,男) (女,男) (女,女) — ∴ 共有 20 种等可能的结果,其中恰好抽到一男一女的 结果有 12 种, ∴ 恰好抽到一男一女的概率为 12 20 = 3 5 . 22. (1)解:如解图,直线 EF 为所作; 第 22 题解图 (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠A= ∠C= 30°, ∵ EF 垂直平分线段 AB,∴ FA=FB, ∴ ∠A= ∠FBA= 30°, ∵ ∠DBF= 45°, ∴ ∠ABD= ∠ABF+∠DBF= 75°, ∴ ∠ADB= 180°-∠A-∠ABD= 180°-30°-75° = 75°, ∴ ∠ABD= ∠ADB,∴ AD=AB, ∴ ▱ABCD 是菱形. 23. 解:(1)四边形 DEFG 是平行四边形. 理由如下: 如解图,延长 FG 交 AB 于点 Q, ∵ AB∥CD,∴ ∠FGC= ∠FQB, ∵ ∠FGC= ∠A,∴ ∠FQB= ∠A,∴ FQ∥EA, ∵ CD∥EF,∴ 四边形 DEFG 是平行四边形; 第 23 题解图 (2)如解图,过点 D,C 分别作 AB 的垂线段 DM,CN, ∵ AD=BC,DC∥AB, ∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形,∴ AM=BN, ∵ 斜坡 AD 的坡度为 3 ∶1,∴ tanA= DM AM = 3 1 , ∴ 可设 AM= k 米,则 DM= 3k 米, 在 Rt△ADM 中,∵ AM2 +DM2 =AD2 ,∴ k2 +(3k) 2 = 1. 62 , 解得 k= 1. 6 10 ≈ 1. 6 3. 2 = 0. 5(负值已舍去), ∴ AM=BN= 0. 5 米,DM= 1. 5 米, ∴ CD=AB-AM-BN= 8. 6-0. 5-0. 5 = 7. 6(米), 答:底座四边形 ABCD 中 CD 的长约为 7. 6 米; (3)∵ tan∠DAM= 3 1 ,tan72°≈3,∴ ∠DAM≈72°, ∵ DC∥AB,∴ ∠PDH= ∠DAM≈72°, 如解图,过点 E 作 EI⊥AB 交 CD 于点 J,交 AB 于点 I, ∵ AB∥CD,∴ EJ⊥CD, 由题意知,EI= 7. 5 米,IJ=DM= 1. 5 米, ∴ EJ=EI-IJ= 7. 5-1. 5 = 6(米), 在 Rt△EDJ 中,∵ sin∠EDJ= EJ DE , ∴ DE= EJ sin∠EDJ = 6 sin72° ≈ 6 0. 95 ≈6. 32(米), ∵ 点 P 为边 DE 的三等分点且靠近点 E, ∴ DP= 2 3 DE= 2 3 ×6. 32 = 4. 21(米), ∴ 弧 PH 的长为 72π×4. 21 180 ≈5. 3(米), 答:弧 PH 的长约为 5. 3 米. 1~ 23 题题组训练 124 分(九) 1. B　 2. A　 3. D　 4. B　 5. C　 6. B 7. C　 【解析】 ∵ AB = AC, ∠ACD = 50°, ∴ ∠B = ∠ACD = 50°,∴ ∠BAC= 180°-50°×2 = 80°,∵ 点 D 是 BC 的中点, ∴ ∠CAD = ∠BAD = 1 2 ∠BAC = 40°, 又 ∵ AD = AE, ∴ ∠AED= ∠ADE= 1 2 ×(180°-40°)= 70°. 8. C　 【解析】根据题意得:计划明年生产零件为 50( 1 + x)(万个),后年生产零件为 50(1+x) 2(万个),则 x 满足 的方程是 50(1+x) +50(1+x) 2 = 132. 9. D　 【解析】∵ 关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数,纵 坐标不变,∴ 点 P(2,- 3) 关于 y 轴对称的点的坐标是 ( -2,-3) . 10. A　 【解析】如解图,连接 OE,OD,∵ AC 为☉O 的直径, ∴ ∠AEC= 90°,∵ AB = AC,∴ BE = CE,即点 E 是 BC 的 中点,∵ 点 O 是 AC 的中点,∴ OE 是△ABC 的中位线, ∴ OE∥AB,OE = 1 2 AB = 1, ∴ S△AOD = S△AED, ∴ S阴影 = S扇形AOD,∵ ∠AEC= 90°,∴ ∠AEB = 90°,∵ ∠BED = 45°, ∴ ∠AED = 45°, ∴ ∠AOD = 90°, ∴ S扇形AOD = 90π×12 360 = π 4 ,∴ S阴影 = π 4 . 第 10 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 抢分必刷 17 套·福建数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 得分:　 　 　 　 　 　 15　 　 1~ 23 题题组训练 124 分(八) ———2024 年福州二检变式卷 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 如图,数轴上与原点距离最近的是 (　 　 ) 第 1 题图 A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D 2. 正常儿童每升血液中白细胞数量的正常范围为(5 ~ 12) ×109 个,则正常儿童每升血液中的白细胞最多数量 用科学记数法表示为 (　 　 ) A. 5×109 个 B. 12×109 个 C. 5×1010 个 D. 1. 2×1010 个 3. 下列几何体中,主视图为三角形的是 (　 　 ) 4. 下列长度的三条线段能组成三角形的是 (　 　 ) A. 1 cm,2 cm,3 cm B. 6 cm,2 cm,3 cm C. 4 cm,6 cm,8 cm D. 5 cm,12 cm,6 cm 5. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. 3x2 -x2 = 3 B. x·x3 = x4 C. ( -x2) 4 = -x8 D. 3xy2 ÷6xy= 2y 6. 下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”,其中是中心对称图形的是 (　 　 ) 7. 某公司 5 名员工在一次义务募捐中的捐款额分别为(单位:元):30,40,50,60,60. 若捐款最少的员工又多捐 了 30 元,则分析这 5 名员工捐款额的数据时,不受影响的统计量是 (　 　 ) A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 极差 8. 已知正方形的面积是 5,估计其边长在 (　 　 ) A. 1 和 2 之间 B. 2 和 3 之间 C. 3 和 4 之间 D. 4 和 5 之间 9. 一辆快车和一辆慢车同时从 A 地出发沿同一公路同方向行驶,快车的行驶速度是 120 km / h,慢车的行驶速 度是 80 km / h,快车比慢车早 2 h 经过 B 地. 设 A,B 两地间的路程是 x km,由题意可得方程 (　 　 ) A. 120x-80x= 2 B. x 120 - x 80 = 2 C. 80x-120x= 2 D. x 80 - x 120 = 2 10. 如图,已知抛物线 y= -x2 +px+q 的对称轴为直线 x= -3,过其顶点 M 的一条直线 y= kx+b 与该抛物线的另一 个交点为 N( -1,1) . 要在坐标轴上找一点 P,使得△PMN 的周长最小,则点 P 的坐标为 (　 　 ) 第 10 题图 A. (0,2) B. ( - 4 3 ,0) C. (0,2)或( - 4 3 ,0) D. 以上都不正确 二、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数,如果“盈利 10%”记为+ 10%,那么“亏损 6%”记为　 -6%　 . 12. 若一个正多边形的每个外角都是 60°,则这个多边形是正　 六　 边形. 13. 把含有 30°角的直角三角板和直尺如图放置,若∠1 = 22°,则∠2 的度数是　 52°　 . 第 13 题图 　 　 图① 　 　 　 图② 　 　 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 14. 不等式 x-1 3 <2x-2 的解集是　 x>1　 . 15. 利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度,首先按图①所示的方式放置,再交换两木块的位 置,按图②所示的方式放置. 测量的数据如图,则桌子的高度为　 85　 cm. 16. 如图,正方形 ABCD 的边长为 12,☉B 的半径为 6,点 P 是☉B 上一个动点,则 PD+ 1 2 PC 的最小值为　 15　 . 三、解答题:本题共 7 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (8 分)计算: 1 2 -2cos45°+ 3 8 . 18. (8 分)如图,点 B,E,C,F 在同一条直线上,AC=DF,AC∥DF,AB∥DE,求证:BE=CF. 第 18 题图 证明:∵AC∥DF,∴∠ACB=∠F. ∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF, 在△ABC 和△DEF 中, ∠B=∠DEF, ∠ACB=∠F, AC=DF, ì î í ï ï ï ï ∴BC-EC=EF-EC,∴BE=CF. 19. (8 分)已知 x+y= 6,xy= 9,求 x 2 +3xy+2y2 x2y+2xy2 的值. 解:∵ x+y=6,xy=9, ∴ x 2+3xy+2y2 x2y+2xy2 =(x+y)(x+2y) xy(x+2y) = x+y xy = 6 9 = 2 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 抢分必刷 17 套·福建数学 16　 20. (8 分)如图,△ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径的☉O 交 BC 于点 D,点 E 为 AC 延长线上一点,且∠CDE = 1 2 ∠BAC. 求证:DE 是☉O 的切线. 第 20 题图 证明:如解图,连接 OD,AD, ∵AC 是☉O 的直径,∴∠ADC=90°,∴AD⊥BC, ∵AB=AC,∴∠CAD=∠BAD= 1 2 ∠BAC, ∵∠CDE= 1 2 ∠BAC,∴∠CDE=∠CAD, ∵OA=OD,∴∠CAD=∠ADO,∴∠CDE=∠ADO, ∵∠ADO+∠ODC=90°,∴∠CDE+∠ODC=90°,∴∠ODE=90°,∴OD⊥DE, 又∵OD 是☉O 的半径,∴DE 是☉O 的切线. 21. (8 分)随着科技的进步,购物支付方式日益增多. 为了解某社区居民常用的支付方式(A. 微信,B. 支付宝, C. 现金,D. 其他),某学习小组对该社区部分居民进行问卷调查,根据调查结果,绘制成如下统计图. 　 　 　 第 21 题图 根据统计图中的信息,解答下列问题: (1)a= 　 20　 ,在扇形统计图中,C 种支付方式所对应的圆心角的度数为　 　 　 ; (2)本次调查中用现金支付方式的居民里有 3 名男性,其余都是女性. 现从该种支付方式中随机抽取 2 名 居民参加线上支付方式培训,请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一男一女的概率. 解:(1)20,36°; (2)由题意得,有 3 名男性,2 名女性.列表如下: 男 男 男 女 女 男 — (男,男) (男,男) (男,女) (男,女) 男 (男,男) — (男,男) (男,女) (男,女) 男 (男,男) (男,男) — (男,女) (男,女) 女 (女,男) (女,男) (女,男) — (女,女) 女 (女,男) (女,男) (女,男) (女,女) — ∴共有 20 种等可能的结果,其中恰好抽到一男一女的结果有 12 种, 22. (10 分)如图所示,BD 是▱ABCD 的对角线,∠C= 30°. (1)作 AB 的垂直平分线,垂足为点 E,交 AD 于点 F(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)的条件下,连接 BF,当∠DBF= 45°时,求证:▱ABCD 是菱形. 第 22 题图 (1)解:如解图,直线 EF 为所作; (2)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C=30°, ∵EF 垂直平分线段 AB, ∴FA=FB,∴∠A=∠FBA=30°, ∵∠DBF=45°, ∴∠ABD=∠ABF+∠DBF=75°, ∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-30°-75° =75°, ∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB,∴▱ABCD 是菱形. 23. (10 分)为了传承红色教育,某学校组织学生网上游览中央红军长征出发地纪念园,门口的主题雕塑平面 示意图如图所示,底座上方四边形 GDEF 的边 DE 与底座四边形 ABCD 的边 AD 在同一条直线上,已知 AB∥ CD∥EF,AD=BC= 1. 6 米,∠FGC= ∠A,雕塑的高为 7. 5 米,底座梯形下底边 AB 长为 8. 6 米,斜坡 AD 的坡 度为 3 ∶1. (1)判断四边形 DEFG 的形状,并说明理由; (2)求底座四边形 ABCD 中 CD 的长; (3)若雕塑中弧 PH 所在圆的圆心为点 D,且点 P 为边 DE 的三等分点(靠近点 E),求弧 PH 的长. (精确到 0. 1 米,sin72°≈0. 95,cos72°≈0. 31,tan72°≈3, 10 ≈3. 2) 　 　 　 第 23 题图　 　 　 　 　 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋