山东省枣庄市薛城区2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学试题第 1 页 共 4 页 试卷类型 :A 高二数学试题 2025.04 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 若函数 2( )f x x ，则 0 (1 ) (1)lim x f x f x       A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 用数字 1，2，3，4，5 组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为 A. 24 B. 30 C. 36 D. 60 3．下列求导运算正确的是 A. 2 1 1( ) 1x x x    B.   1lg ln10 x x   C.   22 2 log ex x  D.  2cos 2 sinx x x x   4. 在 5 个大小相同的球中有 2 个红球和 3 个白球，不放回地依次摸出 2 个球，在第 1 次摸 出红球的条件下，第 2 次也摸到红球的概率是 A. 1 10 B. 1 4 C. 2 5 D. 1 2 5. 如图是函数  y f x 的导数  f x 的图象，则下面判断正确的是 A.  f x 是区间 3,1 上的增函数 B.  f x 是区间  1,2 上的减函数 C. 1 是  f x 的极大值点 D. 4 是  f x 的极小值点 6．在    51 2x x  的展开式中， 3x 的系数为 A. 40 B. 10 C. 10 D. 40 高二数学试题第 2 页 共 4 页 7. 将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 1 2 ，且三次抛掷的结果互相独 立．记事件 A为“至少两次结果为正面”，事件 B 为“第三次结果为正面”，则  P B A  A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D. 7 8 8．函数结构是值得关注的对象，为了研究 ( 0)xy x x  的结构，两边取对数，可得 ln ln xy x ，即 ln lny x x ，两边取指数，得 ln lne ey x x ，即 lnex xy  ，这样我们就得到 了较为熟悉的函数类型. 结合上述材料， ( 0)xy x x  的最小值为 A．1 B．e C． 1 ee  D． ee 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．若小明坐公交上班的用时 X （单位：分钟）和骑自行车上班的用时Y（单位：分钟） 分别满足    2 230,6 , 34, 2X N Y N  ，且同一坐标系中 X 的密度曲线与Y的密度 曲线在 38t  分钟时相交，则下列说法正确的是 A.    38 38P X P Y   B.    24 36 32 36P X P Y     C. 若 X 的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为 1t ，则 1 30t  D. 若要在 34 分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 10．下列关于组合数的等式中，正确的是 A. 3 3C Cnn n  B. 3 4 3 1C C Cn n n  C. 0 2 4 6 89 9 9 9 9C C C C C 256     D. C C C C m k k m k n m n n k   11．从棱长为 1 个单位长度的正四面体的一顶点 A出发，每次均随机沿一条棱行走 1 个单 位长度，设行走 n次时恰好为第一次回到 A点的概率为  *nP nN ，恰好为第二次回 到 A点的概率为  *nQ nN ，则 A. 3 2 9 P  B. 4 1 27 Q  C. 2n  时， 1n n P P  为定值 D. 数列 nQ 的最大项为 4 27 高二数学试题第 3 页 共 4 页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．从 1，2，3，4，5，6 这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有 _________种？ 13．若事件 ,A B互斥，  2 1 9( ) , ( ) , | 3 15 10 P C P AC P A B C   ，则 ( | )P B C  ________． 14．已知函数   e ln 1( 0)xf x a a a    ，若任意实数 1t  ，不等式    ln 1f t t  恒 成立，则实数 a的取值范围为__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题共 13 分） 在二项式 3 1 1 n x       的展开式中，已知第 2 项与第 8 项的二项式系数相等． （1）求展开式中各项系数之和； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中的有理项． 16．（本小题共 15 分） 某次测验满分为100 分，A组和 B组各有 10 人参加，成绩如下表： A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99 B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99 对于该次测验，60 分数 70 时为及格，70 分数 90 分时为良好，成绩 90 分 时为优秀. （1）从两组中任取 1 名学生，求该名学生成绩为良好的概率； （2）从 A组中随机抽取 1 名学生，再从 B组中随机抽取 1 名学生. 用随机变量 X表示 这两人的成绩为优秀的人数，求 X的分布列和数学期望； 17．（本小题共 15 分） 已知函数    3 21 2 1 1 3 f x x ax a x     . （1）求函数  f x 的单调区间； （2）当 1a   时，求函数  f x 的极大值与极小值. 高二数学试题第 4 页 共 4 页 18．（本小题共 17 分） 为测试A 、 B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题 从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录 结果如下： 试题类别 A 软件 B 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 20 16 30 20 函数试题 30 24 20 18 （1）分别估计 A软件、 B软件能正确解答数学问题的概率； （2）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第 12 题（假设其难度和测试的 100 道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为 1 3 ，是 函数题的概率为 2 3 ．将频率视为概率，试通过计算来说明小明应该用哪款软件解决这道试题？ （3）现在 6 道类似试题，其中几何、函数试题各3道. 小明比较了这两款软件在解答 几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型，每道试题只用 其中一款软件解答一次．将频率视为概率，用 X表示这 6 试题被正确解答的个数，求随机 变量 X的数学期望和方差． 19．（本小题共 17 分） 已知函数 ( ) e , ( ) ln ( , )xf x a g x x b a b   R . （1）当 1b  时， ( ) ( )f x g x 恒成立，求实数 a的取值范围； （2）已知直线 1 2l l、 是曲线 ( )y g x 的两条切线，且直线 1 2 l l、 的斜率之积为 1. （i）记 0x 为直线 1 2 l l、 交点的横坐标，求证： 0 1x  ； （ii）若 1 2 l l、 也与曲线 ( )y f x 相切，求 ,a b的关系式并求出b的取值范围. 高二数学试题参考答案 2025.04 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1~8 BABB DDCC 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.BD 10.ACD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 7 12.1613. 或0.7 10 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：（1)依题意C=C,由组合数的性质得n=8…2分 令X=1,得展开式中各项系数之和为(1-1)=04分 2》因为项式 的展开式的通项为 n=c（=c(-旷宁，k=-08 .6分 因为=8，所以二项武衣 的展开式中二项式系数最大的项为 r-G-m .8分 (3)由(2)可得T=C(-1)x3,k=0,1,8, -8 3 ∈Z,得k=25,8,10分 当k=2时，T,=C(-1)x3=28x2: …11分 5-8 当k=5时，T6=C(-1）3x3=-56.x1：… 12分 高一数学试题第1页共6页 8-8 当k=8时，工，=C8(-1)x5=1 综上所述：二项式( 疗-广展开式中的有理项为28之，-56r,1.…13分 16.解：(1)记学生成绩为良好的概率为P A组中良好的学生有5人，再从B组中良好的学生有7人，…2分 123 从两组中任取】名学生，该名学生成绩为良好的概率为P= 205 .5分 (2)根据题意得，A组中优秀的学生有5人，再从B组中优秀的学生有2人， X的可能取值为0,1,2.7分 则P(X=0) ccs-ccc P(X=2)= 1 CC10 13分 所以X的分布列为： 0 2 2 1 1 5 2 10 2 n 因此，X的数学期望E(X)=0×二+1×5+2× 1010 …15分 17.解：(1)由f()=x-ar2+(2a-)x+1可得其定义域为xeR, f'(x）=x2-2ax+2a-1=(x-2a+1)(x-1）:.4分 当a=1时，f(x)=(x-1)≥0恒成立，f(x)的单调递增区间为(-o,+oo):6分 当a>1时，2a-1>1,若x∈(-o,1)或x∈(2a-1,+o),f'(x)>0: 若x∈(1,2a-1）,f'(x）<0:.8分 因此f(x)的单调递增区间为(-o,1)和(2a-1,+o), 单调递减区间为(1,2a-1): 高一数学试题第2页共6页 当a<1时，2a-1<1,若x∈(-o,2a-1)或x∈(L,+oo),f'(x)>0: 若x∈(2a-1,1),f'(x)<0: 因此f(x)的单调递增区间为(-oo,2a-1)和(L,+∞)，单调递减区间为(2a-1,1). 综上可得a=1时，f(x)的单调递增区间为(-o,+∞)： a>1时，f(x)的单调递增区间为(-o,1)和(2a-1,+o),单调递减区间为(1,2a-1): a<1时，f(x)的单调递增区间为(-o,2a-1)和(1，+o),单调递减区间为(2a-1,1) .10分 2》当a=-1时，f)=写+2-3x+1,此时了()=(x+3x-: 由(1)可知f(x)的单调递增区间为(-0，-3)和(1，+0) 单调递减区间为(-3,1)： 。404,3j 所以可得函数f(x)在x=-3时取得极大值，即f(-3)=10, 在x=1时取得极小值，即f0=-是 2 所以函数∫(x)的极大值为10，极小值为- 15分 3 18.解：(1)记A、B软件能正确解答数学问题的概率分别为P和P2, 由题中数据可得户= 16+244 20+1819 20+305’PB=30+20=25 2分 (2)记“A软件能正确解答这道题”为事件E,“B软件能正确解答这道题”为事件F, “该题为几何题”为事件G. 则P@)-P回号P(eo)-”-号P叫可- Pro-8子Pra-8品 6分 由全概率公式可得P(E)=P(G)P(EG)+P(G)P(EG)-×亏+号×亏亏 14.2.44 +X P=aP(ro+P@Pra)-号0-0 高一数学试题第3页共6页 因为P(F)>P(E),所以B软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小明应该使用B软件来解决这道试题… .10分 3)因为P(EG)-专P(Fo)-号PEG-；P(rG)-8 故选择几何试题用A软件解答，函数试题用B软件解答。11分 用X,、X2分别表示这3道几何试题与3道函数试题被正确解答的个数，X=X,+X2· X-到名-88》 …13分 x号x)=3x92】 所以E(X)=3x4-12 1010 0x)=村号0)=3品0 1010100 15分 因为X、X,湘互独立，则EX=E化+X)=E(X)+E(X)+2日- D(X)=D(X+X)=D(X)+D(x)=2+27=3 251004 17分 19.解：1)由于ae≥lnr+1,则a≥nr+1, ex, 1-ln-1 设F-,re 2分 er F'()=0,且y=1-lnx-1在(0，+o)上单减， 令F'(x)>0得0<x<1,令F'(x)<0得x>1, 所以F(x)在(0,1)单调递增，(L,+∞）单调递减， 3分 所以F)=F(四，则a≥F()=】 .4分 (2)()设两条切线在g(x)上的两个切点横坐标分别为x,x, 有gs)gs)=1=1,即55=1， X X2 5分 高一数学试题第4页共6页 此时，切线为：y-(（+)=r-y-仙，+b)=-), 相减得nr,-ny= 所以右5—1n-n+2=2心 x2-X1 1 x2- x2- 7分 X2 楼(6-2r-（-k)-子-s0. 所以k(x)在(0，+oo）上单调递减 .9分 故当x∈(0,1)时，k(x)>k()=0,所以0>2lnr 当xe+oj时，k(<0=0,所以0<2nr< 则古、 0分 x2- (i)由题意得：存在实数s,1,使f(x)在x=s处的切线和g(x)在x=1处的切线重 合， 所以rg=g间=8g0.即ee--b- 1 -Int-b s-t s-t s-t s-t=1-tlnt-bt,s =1-tlnt-(b-1)t, 又因为ae'=→lna+s=-lnl, 所以na=-lnt-s=-lnt-1+lnt+(b-l)t… 12分 转化为h(t)=-lnt-1+nt+(b-l)t=lna有两个不等实根，且互为倒数， 高一数学试题第5页共6页 1 不妨设两根为m, 名 则由(m)= 得-1nm-1+minm+b-)m=-nJ-1+上n上+b-)月 m mmm 化简得1nm= (- ---6- m+ -2 m2+1-2m 所以na=(m-1)lnwm-1+(b-1)m=(b-1)(-1-m)-1+(b-1)m=-b, f所以b=-ln.14分 代入h(t)中得：h(t)=-t-1+nt+(b-1)t=-b有两个不等实根， 即b-1=-nt, t+1 设c)=m, t+1 cw-是1-jc0-m人-a (t+1)2 (t+102 由于H)=}1-lm在(0，+o)上单调递减且H)=0, 所以G(t)在(0,1)单调递增，(L,+∞)单调递减， 而t无限趋近于0时，G(t)无限趋向于负无穷大， t无限趋近于正无穷大时，G(t)无限趋向于负无穷大，G()=0, 所以b-1<0,即b<1.…17分 高一数学试题第6页共6页