精品解析：福建省厦门市湖滨中学2024-2025学年下学期八年级数学期中试题

厦门市湖滨中学2024-2025学年第二学期期中考试 初二数学 考试时间：2025年4月24日 考试时长120分钟 一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分） 1. 要使有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 由下列线段，，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：km）的增加而减少，耗油量为．在该变化过程中，常量是（ ） A. 行驶路程 B. 每千米的耗油量 C. 耗油总量 D. 油箱中的剩余油量 5. 函数的图象经过点P(－1，3)，则的值为( ) A. 3 B. －3 C. D. － 6. 如图，在矩形中，在数轴上，以原点O为圆心，以为半径作弧，弧与数轴交于点D，则点D表示的实数是（ ） A. B. C. D. 7. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A. B. C. D. 8. 今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小星家离黄果树景点的路程为 B. 小星从家出发第1小时的平均速度为 C. 小星从家出发2小时离景点的路程为 D. 小星从家到黄果树景点的时间共用了 9. 在四边形中，点，，，分别是边，，，中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为(　　) A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 10. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 化简：___________ 12. 如图，在菱形中，，则的长为___________． 13. 直线上有两点，则___________（填“”、“”、“”）． 14. 如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，若，则的长为___________ 15. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则___________． 16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需七道工序，加工要求如下：①工序须在工序A完成后进行，工序须在工序都完成后进行，工序须在工序都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是______分钟． 三、解答题（本题共9题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，四边形是平行四边形，点，分别在边上，且相交于点O，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 画出正比例函数的图象 21. 如图，在中，，是边上的中线，点在线段上，连接． （1）在线段的延长线上求作一点，使得； (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在(1)的条件下，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 22. 某数学兴趣小组开展《矩形的折叠》实验，甲、乙两同学各分到一张相同大小的矩形纸张，，，并对该纸张的折叠进行如下实验探究： 甲同学： 如图1，连接，把沿折叠，使点与点重合，与交于点． 乙同学： 步骤1：如图2，点、分别在、上，把矩形沿折叠，使得 与重合； 步骤2：点为边上的动点(与点、不重合)，沿折叠得到． 结合两个同学的实验，探究下列问题： （1）对于甲同学的实验，求证：； （2）对于乙同学的实验，若点在线段上，试探索：当为何值时，、、三点在同一直线上？请说明理由． 23. 2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）． 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，， 计算结果 交流展示 24. 某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下． 每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990 方案一：采用一次清洗的方式． 结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990． 方案二：采用两次清洗的方式． 记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 55 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 100 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990 对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容． （Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”； （Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象； 结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）； （2）当采用两次清洗方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）． 25. 问题探究 如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处． （1）求证：； （2）探究与的数量关系，并说明理由． 迁移探究 如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 厦门市湖滨中学2024-2025学年第二学期期中考试 初二数学 考试时间：2025年4月24日 考试时长120分钟 一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分） 1. 要使有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．解题的关键是掌握被开方数为非负数． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】解：A选项，原式，故该选项不符合题意； B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意； C选项，原式，故该选项不符合题意； D选项，原式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 3. 由下列线段，，能组成直角三角形是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可． 【详解】A、12＋22≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误； B、12＋12≠（）2，不能组成直角三角形，故此选项错误； C、22＋22≠22，不能组成直角三角形，故此选项错误； D、32＋42=52，能组成直角三角形，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 4. 汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：km）的增加而减少，耗油量为．在该变化过程中，常量是（ ） A. 行驶路程 B. 每千米的耗油量 C. 耗油总量 D. 油箱中的剩余油量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查变量与常量，理解变量和常量的定义是正确解答的关键．根据变量、常量的定义结合具体情境进行判断即可． 【详解】解：在这个变化过程中，行驶路程随着行驶时间的变化而变化，耗油总量随着行驶时间的变化而变化，油箱中的余油量随着行驶时间的变化而变化， 因此变量有：行驶路程，耗油总量油箱中的余油量， 而不变的量是每千米的耗油量，即是不变的， 故选：B． 5. 函数的图象经过点P(－1，3)，则的值为( ) A. 3 B. －3 C. D. － 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特征，把P点坐标代入求出k值即可． 【详解】∵函数的图象经过点P(－1，3)， ∴3=-k， 解得：k=-3， 故选B． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征：正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条过原点的直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx． 6. 如图，在矩形中，在数轴上，以原点O为圆心，以为半径作弧，弧与数轴交于点D，则点D表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了矩形的性质，勾股定理，实数与数轴．根据矩形的性质以及勾股定理可得的长，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵以原点O为圆心，以为半径作弧，弧与数轴交于点D， ∴， ∴点D表示的实数是． 故选：D 7. 下图是底部放有一个实心铁球长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可． 【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得， 水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变， 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 8. 今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小星家离黄果树景点的路程为 B. 小星从家出发第1小时的平均速度为 C. 小星从家出发2小时离景点的路程为 D. 小星从家到黄果树景点的时间共用了 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可． 【详解】解：时，，因此小星家离黄果树景点的路程为，故A选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发第1小时的平均速度为，故B选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发2小时离景点的路程为，故C选项错误，不合题意； 小明离家1小时后的行驶速度为，从家出发2小时离景点的路程为，还需要行驶1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象． 9. 在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为(　　) A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 连接，， 点和点分别是和的中点， 是的中位线， ． 同理可得， ， ，， 四边形是平行四边形． ， ，且， ， 平行四边形是菱形， 与互相垂直平分． 故选：A． 10. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误． 【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，①正确，故符合要求； ∵， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； 由勾股定理得，即， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 化简：___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 如图，在菱形中，，则的长为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键． 13. 直线上有两点，则___________（填“”、“”、“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了一次函数的性质．根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点在直线上，且， ∴． 故答案为： 14. 如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，若，则的长为___________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要查了三角形中位线定理，直角三角形的性质．根据三角形中位线定理，可得，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解∶∵是的中位线，， ∴， ∵在中，，是边上的中线， ∴． 故答案为：6 15. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵图中，， ∴ ∵与的面积相等， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算，根据题意列出关于的方程是解题的关键． 16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需七道工序，加工要求如下：①工序须在工序A完成后进行，工序须在工序都完成后进行，工序须在工序都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是______分钟． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，结合题意进行正确的推理是解题的关键． 【详解】解：假设这两名学生为甲，乙， 工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，且工序，都需要9分钟完成， 甲学生做工序，乙学生做工序，需要9分钟， 然后甲学生做工序，同时乙学生做工序， 乙学生工序完成后接着做工序， 此时需要9分钟， 最后甲学生做工序，乙学生同时做工序， 此时需要10分钟， 则（分钟）， 即若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要28分钟． 故答案为：28． 三、解答题（本题共9题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并即可； （2）先计算乘除，再合并即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图，四边形是平行四边形，点，分别在边上，且相交于点O，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证明，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 20. 画出正比例函数的图象 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了画正比例函数的图像，熟练掌握正比例函数图像的画法是解题关键． 过点，，画出函数图象，即可． 【详解】解：当时，， ∴正比例函数的图象过点， 过点，，画出函数图象，如图， 21. 如图，在中，，是边上的中线，点在线段上，连接． （1）在线段的延长线上求作一点，使得； (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在(1)的条件下，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析； （2）四边形为菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、中线的性质、尺规作图、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及菱形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质，可得，即，因此要使结论成立，就是要作，利用尺规作图在外作，即可作出点； （2）连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，可得、，由作图可知，推出、，得出，进而证明四边形为平行四边形，根据，即可判断四边形的形状． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求作的点； 【小问2详解】 连接、，如图所示，四边形为菱形，理由如下： 在中，，是边上的中线， ，， 由作图可知， ， 又，，， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 平行四边形为菱形． 22. 某数学兴趣小组开展《矩形的折叠》实验，甲、乙两同学各分到一张相同大小的矩形纸张，，，并对该纸张的折叠进行如下实验探究： 甲同学： 如图1，连接，把沿折叠，使点与点重合，与交于点． 乙同学： 步骤1：如图2，点、分别在、上，把矩形沿折叠，使得 与重合； 步骤2：点为边上的动点(与点、不重合)，沿折叠得到． 结合两个同学的实验，探究下列问题： （1）对于甲同学的实验，求证：； （2）对于乙同学的实验，若点在线段上，试探索：当为何值时，、、三点在同一直线上？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当时，、、三点在同一直线上，见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质得出，从而得到，结合折叠的性质得出，即可得证； （2）由图形折叠的特征可得，四边形是矩形，从而得出，由题意得出，，由勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由图形折叠的特征可得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，当经过点时， 由图形折叠的特征可得：， ∵点、分别在、上，把矩形沿折叠，使得与重合， ∴四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， 由（1）可得：， ∴， 当时，、、三点在同一直线上． 23. 2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）． 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，， 计算结果 交流展示 【答案】的长约为的长约为． 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，首先根据的三角函数值求出，，然后得到四边形是矩形，进而得到，然后在中利用的三角函数值求出，进而求解即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∴． 由题意得，在中，． ∴． ∴． 由题意得，，四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵． ∴． ∴， ∴． 答：的长约为的长约为． 【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． 24. 某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下． 每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990 方案一：采用一次清洗的方式． 结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990． 方案二：采用两次清洗的方式． 记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 20 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990 对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容． （Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”； （Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象； 结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）； （2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）< 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可； （Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小； （1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可； （2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990． 【详解】（Ⅰ）表格如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 √ 0.989 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.988 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ （Ⅱ）函数图象如下： 由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小； （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量， 19-7.7=11.3， 即可节水约11.3个单位质量； （2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990， 第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度， 故答案为：<． 【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键． 25. 问题探究 如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在延长线上的点Q处． （1）求证：； （2）探究与的数量关系，并说明理由． 迁移探究 如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；迁移探究：，见解析 【解析】 【分析】（1）证明，则； （2）如图1，过作交于，则，，过作于，由旋转可得，，由，可得，则，如图，过作于，则四边形是矩形，，由，可得，则； 迁移探究 由四边形是菱形，，证明是等边三角形，则，，如图2，过作，则，证明是等边三角形，， 如图2，过作于，同理（2）可得，由，可得，进而可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下； 如图1，过作交于， ∴， ∴， 过作于， 由旋转可得，， 又∵， ∴， ∴，即， 如图，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 迁移探究 解：，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 如图2，过作，则， ∴是等边三角形，， 如图2，过作于， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$