精品解析：福建省厦门市大同中学2024—2025学年下学期八年级数学期中考试卷

厦门市大同中学2024-2025学年（下）期中考试初二数学试卷 注意事项：1、全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2、答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽的因数或因式，被开方数中不含分母．根据最简二次根式的定义即可选出正确选项． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 将一次函数的图象沿y轴向下平移4个单位，得到的图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．直接根据“上加下减”的原则进行解答． 【详解】解：由上加下减”的原则可知，将直线沿y轴向下平移4个单位后的直线所对应的函数解析式是：． 故选：B． 3. 如图，在中，对角线交于点O，且，则的周长（ ） A. 28 B. 24 C. 18 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得对角线互相平分且对边相等，即，，再结合周长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故选：C． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，二次根式的性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：∵，故项不符合题意； ∵，故B项不符合题意； ∵，故C项不符合题意； ∵，故D项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，二次根式的性质，掌握对应法则是解题的关键． 5. 如图，小岛A在港口B北偏东方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（ ） A. B. C. 30 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．连接，此题易得，得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 由已知得：，，， ∴， 在中，， ∴（）， 故选：B 6. 在中，对角线相交于点，若要使为矩形，可以添加下列哪个条件？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，菱形的判定定理，平行四边形的性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，据此求解即可． 【详解】解：A、：对角线垂直的平行四边形是菱形，而不一定是矩形，故此选项不符合题意． B、：无法直接推导出直角或对角线相等，无法判定为矩形，故此选项不符合题意． C、：邻边相等的平行四边形是菱形，而不一定是矩形，故此选项不符合题意． D、：在平行四边形中，，．若，则，满足“对角线相等的平行四边形是矩形”，故此选项符合题意． 故选D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别相交于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为，以，为邻边构造平行四边形，则直线和直线的距离是（ ） A. 10 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，一次函数与几何综合，求出，，可得，求解平行四边形的面积为，过作于，再利用等面积法列方程求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点， ∴，， ∴， ∴， ∵点C坐标为， ∴， ∴平行四边形的面积， 如图所示，过作于， 由平行四边形的性质可得， ∴， 解得：， ∴直线和直线的距离是为； 故选：D． 8. 已知直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键． 根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】A、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线中，，，中，，，、的取值一致，故本选项符合题意； C、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 9. 甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为千克，若在甲园采摘需总费用元，在乙园采摘需总费用元．、与之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克 B. 甲园的门票费用是60元 C. 乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠 D. 顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 草莓优惠前的销售价格是（元/千克），故选项A正确； 甲园的门票费用是60元，故选项B正确； 乙园超过5千克后，超过的部分价格是（元/千克），，故选项C正确； 若顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更少，故选项D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误． 【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，①正确，故符合要求； ∵， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； 由勾股定理得，即， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 12. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点．若△ADE的周长为5，则△ABC的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据中位线定理以及相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴，， ∴， ∴ , ∵， ∴； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了中位线定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 13. 计算：①_______，②_______，③_______，④_______． 【答案】 ①. 2 ②. ③. ④. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，化简二次根式，根据二次根式的四则运算法则和化简方法求解即可． 【详解】解：①；②；③；④； 故答案为：2；；；． 14. 如图，一次函数的图象为直线l，则关于x的方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确理解一次函数与一元一次方程的关系是解决本题的关键．令一次函数的y值为0，此时一次函数可转化为所求的方程；因此函数与x轴的交点横坐标，即为所求方程的解． 【详解】解：由图可知：当时，函数值为0； 因此当时，， 即方程的解为：． 故答案为：． 15. 如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为，的两个正方形所拼成的．若直角三角形的斜边长为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理与正方形的面积计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据题意得，，，四边形都是正方形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形与面积的计算方法，掌握勾股定理，正方形的面积计算方法是解题的关键． 16. 如图，两个全等的矩形叠放在一起，已知，点G为与的交点，三角形的面积等于1，则矩形面积等于_______． 【答案】12 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，再证明，，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：两个全等的矩形，叠放在一起，点为与的交点， ，，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 设， ，， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，三角形的面积，掌握“矩形的性质”是解本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF. （其他证法也可） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF． 【详解】略 19. 如图，有一四边形空地，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； 连接，先根据勾股定理求出，进而判断出是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形的面积． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， 根据勾股定理得，， 在中，，，， ， 为直角三角形， ； 20. 已知一次函数． （1）为何值时，函数图象经过点？ （2）若一次函数 的函数值随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案； （2）根据该函数的增减性，可得，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数， 可得， 解得， ∴当时，函数图象经过点； 【小问2详解】 若一次函数 的函数值随的增大而减小， 则有， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 21. 已知图1和图2都是的方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． （1）在图1的方格纸中画出一个三边均为无理数的，使它的顶点在格点上； （2）在图2的方格纸中画出一个面积为10的正方形，使它的顶点在格点上． 【答案】（1） 如图所示：即为所求 （2） 如图示，正方形即为所求， 【解析】 【分析】本题主要考查的是作图应用与设计、图形的简拼、勾股定理的应用，求得正方形的边长是解题的关键． （1）由勾股定理结合图形画出图形即可； （2）先根据正方形的面积求得正方形的边长，然后画出图形即可． 【小问1详解】 解：，，， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形为菱形， 而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形，面积为 ． 22. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF. (1)求证:四边形ABEF是矩形； (2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度. 【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB∥CD. ∵DF=CE， ∴DF+DE=CE+ED， 即:FE=CD. ∵点F、E在直线CD上 ∴AB=FE，AB∥FE. ∴四边形ABEF是平行四边形 又∵BE⊥CD，垂足是E， ∴∠BEF=90°. ∴四边形ABEF是矩形. (2) OF =. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论． 【详解】(1)略 (2)解:∵四边形ABEF是矩形O， ∴∠AFC=90°，AB=FE. ∵AB=6，DE=2， ∴FD=4. ∵FD=CE， ∴CE=4. ∴FC=10. 在Rt△AFD中，∠AFD=90°. ∵∠ADF=45°， ∴AF=FD=4. 在Rt△AFC中，∠AFC=90°. ∴. ∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点， ∴O为AC中点 在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点. ∴OF=AC=. 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 23. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 （1）【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． （2）【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出） 【答案】（1）， （2）分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【小问1详解】 解：①设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入，得， 解得， 关于的函数表达式为； ②设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入得， 解得， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 行驶千米后，电动汽车仪表盘显示电量为，充电分钟后，增加的电量为， 充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， 行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， 解得， 答：电动汽车在服务区充电分钟． 24. 如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求的面积． （2）如图1，点P为线段上一个动点，经过点P的直线交x轴于点C，交直线于点D．当P为线段的中点时，求k的值． （3）如图2，以为边在的下方作等边三角形，连接．当取最小值时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，，进而得到的长，再根据三角形面积计算公式求解即可； （2）如图， 求解，，利用P为线段的中点，设，可得，，，再进一步求解即可； （3）如图，作等边三角形，作直线，取，连接，证明，可得，，则在直线上运动，当时，最小，当落在轴上时，由等边三角形的对称性可得：此时重合，可得在直线上，过作于，连接，再进一步求解的坐标可得答案． 【小问1详解】 解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B． ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，∵， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵P为线段的中点，设， ∴，， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得：（经检验，符合题意）或（舍去）； 【小问3详解】 解：如图，作等边三角形，作直线，取，连接， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴在直线上运动， ∴当时，最小， 当落在轴上时，由等边三角形的对称性可得：此时重合， ∴在直线上， 过作于，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，而 ∵， ∴， ∴， ∴， 过作轴于， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25. 在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，则_______，_______； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】（1） 补全图形如下： ①；； ②，证明如下： 过点A作于点G，如下图，则， ∵， ∴， 由①可知， ， ∵， ∴ ∴， ∴ 在中，， ∴， 即． （2） 【解析】 【分析】（1）根据根据题意补全图形可补全图形，①由轴对称的性质可得出，由正方形的性质可得出，以及的度数，由三角形内角和定理和等边对等角即可得出的度数；②过点A作于点G，则，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由①可知，，，即可求出，进一步可得出，由勾股定理可得出，由线段的和差关系可得出，变形即可得证． （2）由对称得，，结合等腰三角形的性质得点E为的中点，过点A作，且，则四边形为平行四边形，那么的最小值就等于，当点G，M，E三点共线时，取最小值，由题意得，过点G作交于点Q，作交延长线于点H，则四边形为矩形，有，，求得，对应有，，利用勾股定理求得，即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：①∵点P与点B关于直线对称， ∴垂直平分，，且， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴； ②略 【小问2详解】 解：由对称性得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴E为的中点， ∵， ∴， 过点A作，且，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴的最小值就等于的最小值， ∴当点G，M，E三点共线时，取最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， 过点G作交于点Q，作交延长线于点H，则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则的最小值为． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟悉正方形和等腰三角形的性质，作出辅助线和利用动态的思想找到对应的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市大同中学2024-2025学年（下）期中考试初二数学试卷 注意事项：1、全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2、答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一次函数的图象沿y轴向下平移4个单位，得到的图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，对角线交于点O，且，则的周长（ ） A. 28 B. 24 C. 18 D. 14 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小岛A在港口B北偏东方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（ ） A. B. C. 30 D. 6. 在中，对角线相交于点，若要使为矩形，可以添加下列哪个条件？（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别相交于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为，以，为邻边构造平行四边形，则直线和直线的距离是（ ） A. 10 B. 8 C. D. 8. 已知直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为千克，若在甲园采摘需总费用元，在乙园采摘需总费用元．、与之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克 B. 甲园的门票费用是60元 C. 乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠 D. 顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多 10. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 12. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点．若△ADE的周长为5，则△ABC的周长为________． 13. 计算：①_______，②_______，③_______，④_______． 14. 如图，一次函数的图象为直线l，则关于x的方程的解为_______． 15. 如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为，的两个正方形所拼成的．若直角三角形的斜边长为，则的值为__________． 16. 如图，两个全等的矩形叠放在一起，已知，点G为与的交点，三角形的面积等于1，则矩形面积等于_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 19. 如图，有一四边形空地，，，，，，求四边形的面积． 20. 已知一次函数． （1）为何值时，函数图象经过点？ （2）若一次函数 的函数值随的增大而减小，求的取值范围． 21. 已知图1和图2都是的方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． （1）在图1的方格纸中画出一个三边均为无理数的，使它的顶点在格点上； （2）在图2的方格纸中画出一个面积为10的正方形，使它的顶点在格点上． 22. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF. (1)求证:四边形ABEF是矩形； (2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度. 23. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 （1）【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． （2）【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出） 24. 如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求的面积． （2）如图1，点P为线段上一个动点，经过点P的直线交x轴于点C，交直线于点D．当P为线段的中点时，求k的值． （3）如图2，以为边在的下方作等边三角形，连接．当取最小值时，求点P的坐标． 25. 在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，则_______，_______； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $