专题22 方程组与不等式组（竞赛培优测试）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题22 方程组与不等式组专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．某超市购进50千克散装糖果，决定包装后出售，方式一：1.5千克/盒，包装盒成本1.2元/个；方式二：1千克/盒，包装盒成本1元/个．根据需要1千克装的糖果数量不能少于1.5千克装的一半，且糖果全部包装完，那么包装盒的总成本最低是（   ） A．43.4元 B．43.1元 C．42.8元 D．42.5元 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．先利用“需要1千克装的糖果数量不能少于1.5千克装的一半”列不等式求得最大整数值，再根据题意求解即可． 【详解】解：设1.5千克装的盒，则1千克装的盒， 由题意得，即， 当时，1千克装的有（盒）， ∵盒数必须是正整数， ∴最大取， ∴当时，1千克装的有（盒）， 成本为：， ∴当时，成本最小为（元）， 故选：C． 2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（    ） A．9种 B．10种 C．11种 D．12种 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为，，，根据题意得： ， 整理得：， 于是有11种可能的取值（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）． 对于每一个值，对应地可求出唯一的和， ∴不同的购书方案共有11种． 故选：C． 3．小华到学校超市买铅笔支，作业本5个，笔芯2支，共花元；小刚在这家超市买同样的铅笔支，同样的作业本4个，同样的笔芯1支，共花元钱．若买这样的铅笔1支，作业本1个，笔芯1支共需（    ）． A．3元 B．元 C．2元 D．无法求出 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程的应用，设铅笔、作业本、笔芯的单价分别为x，y，z，则，进行计算即可得；根据题中的等量关系列出方程即可得． 【详解】解：设铅笔、作业本、笔芯的单价分别为x，y，z， 则， 得， 故选：B． 4．已知开口向上的抛物线经过点，且，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式的变形进行计算，由抛物线过点得出，结合以及抛物线开口向上得出，由题意得出、是一元二次方程的两根，由一元二次方程根与系数的关系得出，再由，计算即可得出答案． 【详解】解：抛物线经过点， ， ， 由得， 抛物线开口向上， ， ， 解得， 抛物线经过点， 、是一元二次方程的两根， ， ， ， 故选：C． 5．某中学生运动会男、女运动员比例为，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男、女运动员比例变为；后来又决定再增加男子象棋项目，于是这个比例又变为．已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多30人，那么运动员最后的总人数为（    ）． A．6280人 B．6370人 C．6450人 D．6615人 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理清题意、确定等量关系列出方程组是解题的关键． 设原来男、女运动员的人数分别为人、人，女子艺术体操运动员人，男子象棋运动员人；再根据运动员男女比例变化列方程组求得男、女人数，最后求和即可． 【详解】设原来男、女运动员的人数分别为人、人，女子艺术体操运动员人，男子象棋运动员人， 则，解得：． 最后运动员的总人数为：（人）． 故选B． 6．已知正整数a，b，c，d满足：abcd，abcd2022，，则这样的4元数组(a，b，c，d)共有（    ） A．251组 B．252组 C．502组 D．504组 【答案】D 【分析】根据题意得出，继而得出，再由已知条件构造，即可解答． 【详解】因为，，，为正整数，且， 所以． 所以． 因此，，即，． 所以，因此． 又，所以，因此． 所以符合条件的4元数组为，其中． 所以符合条件的4元数组有504组． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的应用，解题的关键是根据题目已知等式构造不等式，属于竞赛题． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．如果对任意的n个不大于1的非负实数总有成立，则正整数n的最大值为 ． 【答案】7 【分析】取特殊值法进行判断即可． 【详解】当时，取，， 则． 当时，取，，时，， 则 ． 所以． 当时，由， 得，，，，，，中至少有一个数为非负数．不妨设，则． 所以 ． 于是符合要求． 所以正整数的最大值为7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查不等式的应用，运用特殊值法是解答本题的关键． 8．已知角为锐角，角为钝角，其数值已给出，在计算的值时，全班得到和这样三个不同的结果，其中确定有正确的结果，则正确的结果是 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查了角的分类，不等式的传递性，根据题意得出，则，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 只有满足． 故答案为：． 9．七年级（）班在数学知识竞赛中获一等奖的人数占全班人数的，获二等奖的人数占全班人数的，获三等奖的人数占全班人数的，还有不足人未获奖，则七年级（）班共有学生 名． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式，设全班共有人，则，再根据必须是、和的公倍数即可求解，解题的关键是根据题意，列出不等式． 【详解】解：设全班共有人， 根据题意有， 解得， 因为必须是、和的公倍数，而、和的公倍数中小于的只有， 故答案为：． 10．现有一个9×13的方格表，从左上角开始，第一行依次为1，2，…，13；第二行依次为14，15，…，26；…，一直写到最后一行．将此方格表里的数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1，2，…，9；第二列从上到下依次为10，11，…，18；…，一直写到最后一列．在两种写法里，有的小方格里的数是相同的，这样的小方格共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了数的不同表示方法，列出等式，转化为二元一次方程的整数解问题解答即可． 【详解】根据题意，得在第一种写法中，第m行n列的数是； 在第二种写法中，第m行n列的数是， 则， 即，又， 故，3，5，7，9共5个， 故答案为：5． 11．在2013年“新希望杯”数学夏令营中有多个代表队赴黄冈中学，不同的代表队所戴帽子的颜色各不相同，国才代表队都是戴蓝色的帽子，博士代表队都是戴红色的帽子，理想代表队都是戴橙色的帽子．活动期间这三个代表队的一些同学围坐在一起相互交流和学习，戴蓝色帽子的同学看到蓝色帽子与橙色帽子的数量之和比红色帽子数量的两倍少1个，戴红色帽子的同学看到蓝色帽子与红色帽子的数量之和比橙色帽子数量的三倍少1个，戴橙色帽子的同学看到蓝色帽子的数量比红色帽子与橙色帽子的数量之和少3个，那么在这群同学中，国才代表队、博士代表队和理想代表队的同学共有 人． 【答案】24 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．设国才代表队有x人，博士代表队有y人，理想代表队有z人，根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设国才代表队有x人，博士代表队有y人，理想代表队有z人， 由题意得： ， 解得 ， 人． 故答案为：24 12．某班学生参加智力竞赛，共10道题，答题情况统计如下： 答对题数 0 1 2 3 … 8 9 10 人数 0 2 5 7 … 8 4 1 （1）对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题； （2）对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题． 该班学生共有 人参加智力竞赛． 【答案】55 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设答对4～7题的有x人，共答对y题，根据“对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题”可得方程，根据“对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题”可得方程，联立组成方程组，求解即可得到对4～7题的人数，进而可求出学生总数． 【详解】解：设答对4～7题的有x人，共答对y题，则 ， 解得：， ∴参加竞赛的学生人数为（人）． 故答案为：55． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题12分）聪聪是数学爱好者，多次参加“希望之星竞赛”活动．有一天聪聪和妈妈去商场购物，购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元，聪聪想了想，说：“我能算出购A，B，C三样商品各1件共多少钱．”请你用所学的知识算一算，相信你一定能算出来 【答案】购A，B，C三样商品各一件共150元． 【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，找出等量关系，设出未知数，根据题意准确列出方程组，是解此题的关键； 设A，B，C三样商品的单价分别是x，y，z元，则根据“购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元”和“购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元”，列出方程组，然后求出即可． 【详解】解：设A，B，C三样商品的单价分别是x，y，z元，则 ， 得， 购A，B，C三样商品各一件共150元． 14．（本题12分）某个体户计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，有两种销售方案可行，方案1：月初出售，可获利，并可用本利再投资其他商品，到月末又可获利；方案2：月末出售，可获利，但需付900元存储费． (1)若该个体户投资2.5万元，选择哪种销售方案获利较多？ (2)若该个体户投入a万元，当a为何值时，两种销售方案的利润一样多？ (3)若该个体户投入a万元，试根据a的值比较两种销售方案的利润． 【答案】(1)方案1 (2)3 (3)当时，方案1利润较多；当时，两种方案利润一样多；当时，方案2利润较多 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系． （1）根据题意计算出两种方案的利润再进行比较即可； （2）根据题意列出代数式及方程，并求解即可； （3）根据题意列出不等并求解即可． 【详解】（1）方案1利润为（万元）， 方案2利润为（万元）； ， ∴选择方案1获利较多； （2）方案1利润为（万元）， 方案2利润为（万元）； 此时选择方案1获利较多． 依题意有，解得． 即时，两种销售方案的利润一样多． （3）令，解得， 当时，方案1利润较多； 当时，两种方案利润一样多； 当时，方案2利润较多． 15．（本题12分）小王经营着一家手机店，代理销售一款A型号的手机，这款手机今年的售价与去年的售价相比，每部手机降价了500元．已知这款手机今年的销量与去年的销量相同，去年这款手机的销售额为8万元，今年这款手机的销售额为6万元． (1)每部A型号手机今年的售价是多少元？ (2)为了提高利润，小王计划明年同时购进B型号的手机进行销售．预计明年A型号手机的进价为每部1000元，B型号手机的进价为每部800元，小王打算购进这两款手机共20部，总进价不多于18400元，但也不少于17600元，那么小王有多少种进货方案？ (3)小王明年的销售策略是：A型号手机继续按今年的售价销售，而B型号手机的售价定为每部1400元，且B型号手机每售出一部，则返还顾客现金元．假设所购进的手机能够全部销售完，且使得（2）中的所有进货方案的获利相同，则的值为多少？ 【答案】(1)每部A型号手机今年的售价是1500元 (2)共有5种方案，方案1：购进A型号手机8台，B型号手机12台；方案2：购进A型号手机9台，B型号手机11台；方案3：购进A型号手机10台，B型号手机10台；方案4：购进A型号手机11台，B型号手机9台；方案5：购进A型号手机12台，B型号手机8台 (3)当时，（2）中所有方案获利相同 【分析】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意列出分式方程，不等式组以及一次函数是解题关键． （1）先设去年A型号手机每部售价为x元，根据题意列出方程，解出x的值，再进行检验即可得出答案； （2）先设购进A型号手机m台，根据题意列出不等式组，求出m的取值范围，即可得出进货方案 （3）根据总利润wA型号利润B型号利润，列出一次函数关系式，再求利润相同时a的取值． 【详解】（1）解：设去年A型号手机每部售价为x元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， （元）， 答：每部A型号手机今年的售价是1500元； （2）设购进A型号手机m台， 由题意得：， 解得：， 只能取整数， 取8、9、10、11、12，共有5种方案， 方案1：购进A型号手机8台，B型号手机12台； 方案2：购进A型号手机9台，B型号手机11台； 方案3：购进A型号手机10台，B型号手机10台； 方案4：购进A型号手机11台，B型号手机9台； 方案5：购进A型号手机12台，B型号手机8台； （3）设总获利w元，购进A型号手机p台， ， 则， 当时，（2）中所有方案获利相同． 16．（本题12分）如图，点P为中任一点，交于点D，交于点E，交于点F，求证：、、中必有一个值大于或等于2，必有一个值小于或等于2． 【答案】见解析 【分析】根据两个三角形高相等时面积之比等于底之比，以及比例的性质可得，，，再结合不等式的性质即可求证． 【详解】证明：∵点P为中任一点， ∴， ∴， ∵，， ∴ 根据比例的性质得：，即， 同理可证：，， ∴ ∴、、中至少有一个的值小于或等于，必有一个的值大于或等于， 假设，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， 综上所述：、、中必有一个值大于或等于2，必有一个值小于或等于2． 【点睛】本题考查了三角形的面积，比例的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 17．（本题12分）下表是2015-2016赛季英超联赛积分表的一部分（ 截至2月16日上午8点）． 排名 球队 场次 胜 平 负 进球 失球 净胜球 积分 1 莱斯特城 26 15 8 3 48 29 19 53 2 托特纳姆热刺 26 14 9 3 47 20 27 51 3 阿森纳 26 15 6 5 41 23 18 51 4 曼城 26 14 5 7 28 20 47 5 曼联 26 11 8 7 33 24 9 41 6 南安普敦 26 11 7 8 34 24 10 40 备注 积分=胜场积分+平场积分+负场积分  净胜球=进球-失球 (1)表格中曼城进球数的值为_______，本次比赛胜一场积_______分，平一场积_______分，负一场一场积_______分． (2)已知利物浦队比赛26场积38分，且平场和负场次数相同，求利物浦队胜场次数． 【答案】(1)48，3，1，0 (2)利物浦队胜了10场 【分析】本题考查了有理数加法的应用，三元一次方程组的应用，一元一次方程的应用， （1）直接根据净胜球=进球-失球列式计算即可求得m；设本次比赛胜一场积x分，平一场积y分，负一场一场积z分，根据积分列三元一次方程组，求解即可； （2）设利物浦队胜m场，根据积分列一元一次方程，求解即可； 准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， 设本次比赛胜一场积x分，平一场积y分，负一场一场积z分，由题意得 ， 解得， ∴本次比赛胜一场积3分，平一场积1分，负一场一场积0分， 故答案为：48，3，1，0； （2）设利物浦队胜m场，由题意得 解得， 所以，利物浦队胜了10场． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题22 方程组与不等式组专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．某超市购进50千克散装糖果，决定包装后出售，方式一：1.5千克/盒，包装盒成本1.2元/个；方式二：1千克/盒，包装盒成本1元/个．根据需要1千克装的糖果数量不能少于1.5千克装的一半，且糖果全部包装完，那么包装盒的总成本最低是（   ） A．43.4元 B．43.1元 C．42.8元 D．42.5元 2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（    ） A．9种 B．10种 C．11种 D．12种 3．小华到学校超市买铅笔支，作业本5个，笔芯2支，共花元；小刚在这家超市买同样的铅笔支，同样的作业本4个，同样的笔芯1支，共花元钱．若买这样的铅笔1支，作业本1个，笔芯1支共需（    ）． A．3元 B．元 C．2元 D．无法求出 4．已知开口向上的抛物线经过点，且，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．某中学生运动会男、女运动员比例为，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男、女运动员比例变为；后来又决定再增加男子象棋项目，于是这个比例又变为．已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多30人，那么运动员最后的总人数为（    ）． A．6280人 B．6370人 C．6450人 D．6615人 6．已知正整数a，b，c，d满足：abcd，abcd2022，，则这样的4元数组(a，b，c，d)共有（    ） A．251组 B．252组 C．502组 D．504组 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．如果对任意的n个不大于1的非负实数总有成立，则正整数n的最大值为 ． 8．已知角为锐角，角为钝角，其数值已给出，在计算的值时，全班得到和这样三个不同的结果，其中确定有正确的结果，则正确的结果是 ． 9．七年级（）班在数学知识竞赛中获一等奖的人数占全班人数的，获二等奖的人数占全班人数的，获三等奖的人数占全班人数的，还有不足人未获奖，则七年级（）班共有学生 名． 10．现有一个9×13的方格表，从左上角开始，第一行依次为1，2，…，13；第二行依次为14，15，…，26；…，一直写到最后一行．将此方格表里的数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1，2，…，9；第二列从上到下依次为10，11，…，18；…，一直写到最后一列．在两种写法里，有的小方格里的数是相同的，这样的小方格共有 个． 11．在2013年“新希望杯”数学夏令营中有多个代表队赴黄冈中学，不同的代表队所戴帽子的颜色各不相同，国才代表队都是戴蓝色的帽子，博士代表队都是戴红色的帽子，理想代表队都是戴橙色的帽子．活动期间这三个代表队的一些同学围坐在一起相互交流和学习，戴蓝色帽子的同学看到蓝色帽子与橙色帽子的数量之和比红色帽子数量的两倍少1个，戴红色帽子的同学看到蓝色帽子与红色帽子的数量之和比橙色帽子数量的三倍少1个，戴橙色帽子的同学看到蓝色帽子的数量比红色帽子与橙色帽子的数量之和少3个，那么在这群同学中，国才代表队、博士代表队和理想代表队的同学共有 人． 12．某班学生参加智力竞赛，共10道题，答题情况统计如下： 答对题数 0 1 2 3 … 8 9 10 人数 0 2 5 7 … 8 4 1 （1）对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题； （2）对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题． 该班学生共有 人参加智力竞赛． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题12分）聪聪是数学爱好者，多次参加“希望之星竞赛”活动．有一天聪聪和妈妈去商场购物，购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元，聪聪想了想，说：“我能算出购A，B，C三样商品各1件共多少钱．”请你用所学的知识算一算，相信你一定能算出来 14．（本题12分）某个体户计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，有两种销售方案可行，方案1：月初出售，可获利，并可用本利再投资其他商品，到月末又可获利；方案2：月末出售，可获利，但需付900元存储费． (1)若该个体户投资2.5万元，选择哪种销售方案获利较多？ (2)若该个体户投入a万元，当a为何值时，两种销售方案的利润一样多？ (3)若该个体户投入a万元，试根据a的值比较两种销售方案的利润． 15．（本题12分）小王经营着一家手机店，代理销售一款A型号的手机，这款手机今年的售价与去年的售价相比，每部手机降价了500元．已知这款手机今年的销量与去年的销量相同，去年这款手机的销售额为8万元，今年这款手机的销售额为6万元． (1)每部A型号手机今年的售价是多少元？ (2)为了提高利润，小王计划明年同时购进B型号的手机进行销售．预计明年A型号手机的进价为每部1000元，B型号手机的进价为每部800元，小王打算购进这两款手机共20部，总进价不多于18400元，但也不少于17600元，那么小王有多少种进货方案？ (3)小王明年的销售策略是：A型号手机继续按今年的售价销售，而B型号手机的售价定为每部1400元，且B型号手机每售出一部，则返还顾客现金元．假设所购进的手机能够全部销售完，且使得（2）中的所有进货方案的获利相同，则的值为多少？ 16．（本题12分）如图，点P为中任一点，交于点D，交于点E，交于点F，求证：、、中必有一个值大于或等于2，必有一个值小于或等于2． 17．（本题12分）下表是2015-2016赛季英超联赛积分表的一部分（ 截至2月16日上午8点）． 排名 球队 场次 胜 平 负 进球 失球 净胜球 积分 1 莱斯特城 26 15 8 3 48 29 19 53 2 托特纳姆热刺 26 14 9 3 47 20 27 51 3 阿森纳 26 15 6 5 41 23 18 51 4 曼城 26 14 5 7 28 20 47 5 曼联 26 11 8 7 33 24 9 41 6 南安普敦 26 11 7 8 34 24 10 40 备注 积分=胜场积分+平场积分+负场积分  净胜球=进球-失球 (1)表格中曼城进球数的值为_______，本次比赛胜一场积_______分，平一场积_______分，负一场一场积_______分． (2)已知利物浦队比赛26场积38分，且平场和负场次数相同，求利物浦队胜场次数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$