专题30 三角形专题测试卷（竞赛培优测试）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题30 三角形专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．如图，把的各边延长2倍至，，，那么的面积是的面积的（   ） A．4倍 B．7倍 C．19倍 D．20倍 【答案】C 【分析】本题考查了等底同高三角形面积的关系，熟练掌握等底同高三角形面积的关系是解题的关键． 连接，，，根据等底同高三角形面积之比等于底边之比求解即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，，， ∵的各边延长2倍至，，， ∴，，，，，， ∴ ， 故选：C． 2．如图，在中，，则的值为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，证明两个三角形相似是关键． 由等腰三角形的性质及已知，设，易得，由相似三角形的性质求出x的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ， 设，则， ∴， 整理得：， 解得（舍），， ． 故选：C． 3．如图，正方形的边长为，把分别绕点按顺时针方向旋转得到，的延长线交于点，现有下列结论：①四边形为菱形；②四边形的面积为正方形面积的一半；③．其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的性质．①根据旋转角是以及正方形的四个角都是直角可得，然后证明，据此即可证明四边形是菱形；②先求得点到的距离，然后根据正方形的面积公式以及菱形的面积即可证明；③先求出的长度，再根据菱形的对边相等，减去正方形的边长即可． 【详解】解：①根据题意，， 四边形是正方形， ， ， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形， （正方形的边长相等）， 四边形是菱形，故①正确； ②，， 点到的距离是：， ， ， ，故②正确； ③点是的中点， ， ，故③正确． 故选：A． 4．如图所示，在中，，M，N分别是的中点，D，E为上的点，连接，若，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，中位线的性质，关键是利用中位线的性质，求得阴影部分三角形的高，再利用三角形的面积公式计算． 根据题意，易得是中位线，从而证得，进一步求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接，作于F．与交于点H ∵， ∴， 在中，， ∵M、N分别是的中点， ∴是中位线，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴，O也是的中点， ∴阴影三角形的高是， ∴． 故选：B． 5．如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，作于点，作于点，证明四边形是正方形得，证明得，再证明得，设，则，，由可得，即、，再证可得D，据此得出． 【详解】解：如图，延长FE交AB于点，作于点，作于点， 、， ， ， 四边形是矩形， 平分、平分， ，， 四边形是正方形， ∴． 在和中， ， ， ， 同理， ， 设，则，， ， ， 解得：， ，， ， ， ，即， 解得， 则． 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，进而即可求出结果，熟练掌握其性质并能灵活运用一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及三角形的内角和为是解决此题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．如图，在直角中，两直角边分别为，将绕点按逆时针方向旋转后得到，点的对应点恰在的延长线上，为点旋转到点的轨迹，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质、扇形面积公式、解直角三角形等知识，先求出直角三角形的面积和，再求出扇形面积，利用直角三角形面积减去扇形扇形面积即可得到答案． 【详解】在直角中，两直角边分别为， ∴，， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∴扇形的面积为 ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 8．如图，正方形的边长为2，点为的中点，点分别为上的动点，且，当与以点为顶点的三角形相似时， ． 【答案】或 【分析】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是注意分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．由正方形的边长是2，E为的中点，即可求得的值，分别从若与若，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 若， 则， 即：， 解得：； 若， 则， 即：， 解得：； ∴当或时，与以点为顶点的三角形相似． 故答案为：或． 9．如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为 ． 【答案】4 【分析】延长到，使，连接．通过内心和圆周角可得，进而得到，根据勾股定理求出，证明是的中位线即可解决问题． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的内心， ，， ，，， ， ， ， ∴， ∵， ， ∵，， ， ， ，即点为的中点， ， 是的中位线， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 10．，点P是边上的动点，以为边，在上方构造等边三角形，连接．则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】如图，延长到E，使，连，过Q作交于点F，证出得出，然后利用勾股定理得出，用含的式子表示出面积，最后利用二次函数的性质即可得解． 【详解】如图，延长到E，使，连，过Q作交于点F， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 【点晴】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 11．如图，正方形的边长为，点，分别为边，上一动点，且 连接，相交于点，点，分别是，的中点，连接，点为的中点点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积为 ． 【答案】/ 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，可证明，得，再证明，则，以点为圆心，以长为半径作，则点、点都在上，可证明在上运动，则线段扫过的面积为所对的“弓形”的面积，求所对的“弓形”的面积即可． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接，，则， 四边形是边长为的正方形， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， 连接并延长交于点，连接， 、分别为、的中点， ，， 点在上，，， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 经过的中点，即在上运动， 以点为圆心，以长为半径作， ， 点、点都在上， 当点与点重合时，则点与点重合，点与点重合， 线段扫过的面积为所对的“弓形”的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、扇形面积的计算、点的运动轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的对角线交于点，顶点A在x轴正半轴运动，顶点D在y轴正半轴运动，顶点B、C都在第一象限，则x的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线性质、最短路径问题，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作轴交于点，作轴于点，连接，分析可知当、重合时，点到轴的距离最小，此时的值为最小值；当、不重合时，取的中点，连接、，利用正方形的性质和全等三角形的判定可得，进而得到四边形是正方形，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，结合两点之间线段最短性质可得，则有，解不等式即可得出x的取值范围． 【详解】解：过点作轴交于点，作轴于点，连接， 当、重合时，点到轴的距离最小，此时；    当、不重合时，取的中点，连接、，   正方形， ，， 轴，轴， ， 又， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 是等腰直角三角形， ， 的中点为，， ，， 由两点之间线段最短性质得，，即， ， 解得：； 综上所述，x的取值范围为． 故答案为：． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．如图，在中，为直径，弦于点，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求弦与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理； （1）根据垂径定理，勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）根据已知条件与圆周角定理可得，进而得出，设交于点，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设的直径为， ， 又， ， 解得， 的直径为． （2）解： ， ， ， ， 设交于点， 即弦与的夹角为．    14．在中，点为边的中点，过点的动直线可绕点旋转，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点． (1)当直线经过点时，如图1，写出线段与的之间的数量关系，并给出证明； (2)当直线旋转到如图2、图3的位置时，线段之间分别有怎样的数量关系，写出你的结论，并给出证明． 【答案】(1)，见解析 (2)图2的结论：；图3的结论：．见解析 【分析】（1）根据垂线性质得到，结合点为边的中点，得到为的中位线，从而得到结论； （2）连接并延长，交的延长线于点，根据垂线性质得到，证明，为的中位线，从而得到结论； （3）连接并延长，交线段于点，根据垂线性质得到，证明，为的中位线，从而得到结论． 【详解】（1）． 证明：， 点为边的中点， 为的中位线， ． （2）图2的结论：． 证明如下：如图，连接并延长，交的延长线于点， ， ，即， ， 又点为边的中点，即， ， ， 为的中位线， ，即． 图3的结论：． 证明如下：如图，连接并延长，交线段于点， ， ， ， 又点为边的中点，即， ， ， 为的中位线， ，即． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，垂线性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 15．如图1，已知四边形和都为正方形，且边在边上，连接，． (1)猜想与有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (2)将正方形绕点按逆时针方向旋转，使得顶点落在边的延长线上，如图2，连接，，那么（1）中的结论是否仍然成立？说明理由． 【答案】(1)，且，证明见解析 (2)仍然成立．证明见解析 【分析】（1）延长交于点，证明，即可解决问题； （2）延长交于点，证明，即可解决问题． 【详解】（1）解： ，且．证明如下： 延长交于点， ， ， 而， ， ∴ ，即． 综上得，且． （2）解∶ 仍然成立．证明如下： 如图，延长交于点， ，， ， ， 而， ， ∴， ，即． 综上得，且 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 16．如图，在直角梯形中，，，，过点C作交的平分线于点E，连接． (1)求证：； (2)将绕点B按顺时针方向旋转得到，连接，求证：被垂直平分； (3)延长交于点G，求证：点G为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）延长交于点由平行线的性质可得，再由三角形函数可得，最后可得结论； （2）由线段垂直平分线的判定证明即可； （3）连接，由线段垂直平分线性质可得，由等腰三角形性质得出，再证最后由全等的性质可得结果． 【详解】（1）证明：延长交于点如图， ， ， ， ， 即． （2）证明：平分， ， 又 垂直平分． （3）证明：如图，连接， 垂直平分 ， 而， ， ， 由（1）知 ， ， ， ， 即点G为的中点． 17．如图，已知，是半径为4的中互相垂直的弦，垂足为，过作于，延长交劣弧于． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)若，求的度数． 【答案】(1)64 (2) (3) 【分析】（1）过点O作于H，连接，可证四边形是矩形，推导出，则； （2）连接，由勾股定理可得，从而求得，再分别求出，，根据相似三角形的判定与性质可得，求得，再用勾股定理求，即可求； （3）过点E作交于H点，在上取点G使，连接，可证明，则，再由，即可求． 【详解】（1）解：如图1，过点O作于H，连接， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 如图，连接， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴（，不符合题意，舍去） ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图，过点E作交于H点，在上取点G使，连接 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆的综合应用，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题30 三角形专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．如图，把的各边延长2倍至，，，那么的面积是的面积的（   ） A．4倍 B．7倍 C．19倍 D．20倍 2．如图，在中，，则的值为（    ）． A．1 B． C． D． 3．如图，正方形的边长为，把分别绕点按顺时针方向旋转得到，的延长线交于点，现有下列结论：①四边形为菱形；②四边形的面积为正方形面积的一半；③．其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．如图所示，在中，，M，N分别是的中点，D，E为上的点，连接，若，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．如图，在直角中，两直角边分别为，将绕点按逆时针方向旋转后得到，点的对应点恰在的延长线上，为点旋转到点的轨迹，则图中阴影部分的面积为 ．    8．如图，正方形的边长为2，点为的中点，点分别为上的动点，且，当与以点为顶点的三角形相似时， ． 9．如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为 ． 10．，点P是边上的动点，以为边，在上方构造等边三角形，连接．则面积的最大值是 ． 11．如图，正方形的边长为，点，分别为边，上一动点，且 连接，相交于点，点，分别是，的中点，连接，点为的中点点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的对角线交于点，顶点A在x轴正半轴运动，顶点D在y轴正半轴运动，顶点B、C都在第一象限，则x的取值范围为 ．    三．解答题（共5小题，满分60分） 13．如图，在中，为直径，弦于点，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求弦与的夹角． 14．在中，点为边的中点，过点的动直线可绕点旋转，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点． (1)当直线经过点时，如图1，写出线段与的之间的数量关系，并给出证明； (2)当直线旋转到如图2、图3的位置时，线段之间分别有怎样的数量关系，写出你的结论，并给出证明． 15．如图1，已知四边形和都为正方形，且边在边上，连接，． (1)猜想与有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (2)将正方形绕点按逆时针方向旋转，使得顶点落在边的延长线上，如图2，连接，，那么（1）中的结论是否仍然成立？说明理由． 16．如图，在直角梯形中，，，，过点C作交的平分线于点E，连接． (1)求证：； (2)将绕点B按顺时针方向旋转得到，连接，求证：被垂直平分； (3)延长交于点G，求证：点G为的中点． 17．如图，已知，是半径为4的中互相垂直的弦，垂足为，过作于，延长交劣弧于． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$