数学（江苏常州专用）-2025年中考终极押题猜想

2025年中考数学终极押题猜想（江苏常州专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 数学依据辨析 1 押题猜想二 分解因式 3 押题猜想三 根据圆的性质求解 4 押题猜想四 解方程组和不等式组 6 押题猜想五 先化简，再求值 7 押题猜想六 概率 8 押题猜想七 全等三角形 10 押题猜想八 一次函数与反比例函数的综合 13 押题猜想九 几何图形的综合 15 押题猜想十 二次函数 18 押题猜想一 数学依据辨析 限时：3min （改编）1．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（ ） A． B． C． D． 押题解读 常州中考注重基础知识的理解与应用，常通过选择题或填空题考查学生对数学概念、定理、法则的辨析能力。例如，在几何证明、代数运算中，要求学生清晰阐述每一步的依据，检验其对基础知识的掌握程度和逻辑思维能力。此类题目难度中等，但需要学生对数学原理有深入理解。 1．如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 2．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育老师测量小明同学的体育成绩时，通常应测量线段（   ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 4．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列有关实例（如图）所应用的最主要的几何知识，说法不正确的是（   ） A．图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性” B．图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点之间，线段最短” C．图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度” D．图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等” 5．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同位角相等 押题猜想二 分解因式 限时：3min 分解因式： ． 押题解读 分解因式是常州中考的必考内容，常以解答题形式出现，考查提取公因式法、公式法（如平方差、完全平方公式）等基本方法。题目可能结合多项式的特点，要求学生灵活运用多种方法进行分解，难度适中，但需要熟练掌握运算技巧和对多项式结构的理解。 1．分解因式： 2．分解因式： ． 3．分解因式： ． 4．分解因式： ． 5．因式分解： ． 押题猜想三 根据圆的性质求解 限时：5min （改编）如图，是的直径，是的弦．若∠BAD=25O，则的大小为 ． 押题解读 圆的性质是常州中考几何部分的重点，常与三角形、四边形等知识综合考查。题目多为解答题，难度较难，需要学生利用圆周角定理、垂径定理等性质，结合构造辅助线的方法求解线段长度或角度大小。此类题目注重逻辑推理和几何思维能力。 1．如图，是的切线，且为的直径．若，则的半径为 ． 2．如图，为的半径，为垂直于的一条弦，垂足为点，的切线交延长线于点连接，若，，则的长为 ． 3．如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为 ．（结果保留） 4．如图，是圆的直径，弦于点，是上任意一点，连接，，．若，则的值是 ． 5．如图，点A，，均在上，，则与的度数和是 ． 押题猜想四 解方程组和不等式组 限时：8min 解方程组和不等式组： （1）解方程组 （2）解不等式组： 押题解读 方程组和不等式组的解法是常州中考的常规题型，常以解答题形式出现。题目可能设置实际背景（如行程问题、分配问题），要求学生运用代入消元法、加减消元法或确定不等式组的解集。难度中等，注重运算准确性和应用能力。 1．解方程组或不等式组： (1) (2) 2．（1）解方程：； （2）解不等式组：． 3．（1）解方程组； （2）解不等式组：． 4．解方程组和不等式组． (1) (2) 押题猜想五 先化简，再求值 限时：5min （改编）先化简，再求值：，其中，． 押题解读 此类题目是常州中考代数部分的常见题型，通常以解答题形式出现。题目给出复杂代数式，要求先化简（如合并同类项、分式化简），再代入数值计算。难度中等，侧重运算步骤的规范性和对代数式结构的理解。 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中 ． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值：，其中，． 5．先化简，再求值：，其中． 押题猜想六 概率 限时：8min 花钿是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，在唐代比较流行．王欣和张敏都是汉服妆造爱好者，两人买了四种不同的花钿（如图所示），由于每个花钿都很漂亮，一时不知道该选哪个来装扮，因此用抽卡片的方式来决定，将这四种花钿分别画在四张背面完全相同的不透明卡片上（卡片大小、形状、质地均相同），将背面朝上洗匀，王欣先从这四张卡片中随机选择一张不放回． (1)王欣选中的花钿恰好是的概率是______； (2)张敏将剩下的三张卡片洗匀后，再从这三张卡片中随机选择一张，请用列表或画树状图的方法求两人选择的花钿恰好是和的概率．（不分先后顺序） 押题解读 概率是常州中考的必考内容，题型包括选择题、填空题和解答题。题目多结合生活实例（如抽奖、摸球），考查古典概型或几何概型的计算。难度中等，注重概率概念的理解和实际应用能力。 1．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． (1)从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是________； (2)从中随机一次性抽取2张，用列表法或树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率． 2．为传承红色文化，增强爱国主义情感，某班打算举办“讲好红色故事，传承红色基因”主题班会，准备了四张完全相同的不透明卡片．卡片正面分别写有四本红色读物名称：——《青春之歌》，——《钢铁是怎样炼成的》，——《长征》，——《永不褪色的精神丰碑》．班长将随机抽取的卡片对应的红色读物作为宣讲材料． (1)班长从四张卡片中随机抽取一张，抽到——《长征》的概率是__________； (2)班长先从四张卡片中随机抽取一张，再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他两次都没有抽到——《青春之歌》的概率． 3．2024年以来，环金鸡湖的10座独具匠心、颜值颇高的驿站陆续开放运营，迅速成为热门打卡地．小明和小亮计划利用五一假期，分别从以下4座驿站中随机选择一个驿站打卡． (1)小明选择打卡“金鸡驿06”的概率是_________； (2)求小明和小亮同时选择同一个驿站打卡的概率，（用画树状图或列表等方法说明） 4．国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套，其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚，分别为“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满欣喜，如图，小组利用邮票图案设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D共四张卡片．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． (1)从中随机抽取一张卡片，抽到卡片C“欧拉公式”的概率是______； (2)小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求小文抽到的两张卡片的图案恰好是卡片A“圆周率”和卡片D“莫比乌斯带”的概率． 5．成语是中国传统文化的一大特色，有固定的结构形式和固定的说法，每个成语都表示一定的意义，在语句中可承担主语、宾语、定语等成分．语文课上，老师组织“成语故事我会讲”活动，在黑板上写出了四个成语（如图所示），并将分别写有字母、、、的四个小球（除字母外其他均相同）放入一个不透明的布袋中，参加活动的同学在布袋中随机摸出一个小球，然后将小球放回布袋搅匀，再讲出小球上对应字母的成语故事． ．刻舟求剑    ．掩耳盗铃 ．愚公移山    ．画蛇添足 (1)参加活动的小丽同学所讲的成语故事是“．刻舟求剑”是________事件；（填“随机”“不可能”或“必然”） (2)用列表或画树状图的方法，求参加活动的甲、乙两名同学所讲的成语故事中有“C．愚公移山"的概率． 押题猜想七 全等三角形 限时：10min （改编）如图，以的三边为边在的同侧分别作三个等边三角形：，，．连接，． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请加以证明； 押题解读 全等三角形是常州中考几何证明的核心内容，常以解答题形式出现。题目要求学生运用全等三角形的判定定理（如SSS、SAS、ASA）进行证明，并结合性质解决线段或角度问题。难度中等，注重逻辑推理和几何证明能力。 1.已知如图，在中，，． (1)作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，求证：． 2．【问题情境】 如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线．作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点． 【探究发现】 （1）当时，的度数为___________度； 【猜想论证】 （2）在（1）的条件下，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【拓展应用】 （3）若，直接写出的长． 3．如图，在中，，，于，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作的垂线交于点，交射线于点，连接． (1)依题意补全图形，并求的大小（用含的式子表示）； (2)在上取点，使，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 4．如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 5．如图，在中，，为延长线上一点，过点作射线为射线上一点（不与点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，作，交射线于点．连接交于点，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 押题猜想八 一次函数与反比例函数的综合 限时：12min （改编）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标； 押题解读 函数综合题是常州中考的高频考点，常以解答题形式出现。题目可能要求求交点坐标、解析式，或结合函数图像解决实际问题（如行程问题、销售问题）。难度较难，需要学生具备较强的分析能力和数学建模能力。 1．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，过点作轴，垂足为， (1)求和的值 (2)求反比例函数和一次函数的解析式； (3)求的面积． 2．如图，在直角坐标平面内，线段与反比例函数的图象交于点，线段的表达式为，点的坐标为，线段与反比例函数的图象交于点，且轴． (1)求的值及反比例函数的关系式； (2)当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过两点，与反比例函数的图像在第一象限内交于点M，若的面积是2． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点P是x轴上一点，且满足是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 4．如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，直尺过原点且与反比例函数图象交于点和点，并且与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)求直线的函数解析式及点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象经过点和点． (1)求反比例函数的表达式和a的值； (2)若点C是线段上一点，过点C作轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段的长． 押题猜想九 几何图形的综合 限时：12min （改编）如图1，，点，分别为，上的点，且，连接，将沿直线折叠，得到．设． (1)的值为_____时，为直角三角形； (2)如图，当时． 利用尺规作图找出的外心；（保留作图痕迹，不写过程） 连接，，，求的长及四边形的面积． (3) 试说明：无论如何改变的值，点始终在的平分线上； 押题解读 几何综合题是常州中考的压轴题型，常结合三角形、四边形、圆等多种几何图形，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力。题目需要添加辅助线、运用几何定理进行证明或计算，难度高，注重综合运用知识的能力。 1．【模型建立】如图，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），是延长线上一点，，连接，， （1）①求证：； ②判断的形状，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图，连接与交于点，连接，试判断与的关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，求的长． 2．综合与实践 【主题】什么形状的车轮让车辆行驶更平稳 【素材】三种形状的车轮，圆形车轮、正方形车轮、等边三角形车轮 【实践操作】分别将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动，车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． (1)如图1，若圆形车轮直径为，其车轮轴心O到地面的距离始终为______； (2)如图2，正方形车轮在滚动过程中轴心（对角线交点）到地面的距离不断变化，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为_____； (3)如图3，等边三角形车轮在滚动过程中轴心（三边垂直平分线的交点）到地面的距离不断变化，若等边三角形边长为，该车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 3．【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”． (1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________； (2)钝角三角形的“矩形框”有___________个； (3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长； 4．【题目背景】 某公园计划在人工湖区域建造一座观景台，设计师需根据灯光效果和几何原理确定最佳位置． 【问题提出】 （1）如图1，已知线段和直线外一点，请描述出所有满足的点的轨迹的形状， 【问题探究】 （2）如图2，在边长为6的正方形内部有一点，当满足时，点到边的最大距离为___________，此时的面积为___________； 【问题解决】 （3）如图3，某露天剧场有三个灯光塔，已知．灯光塔的灯光可能转且速度相同，若三束灯光同时汇聚于一点，且满足，请你找出点的位置，并说明理由． 5．“相似”是初中几何学习过程中研究的一种重要图形关系．如图是我们研究三角形相似时常见的一类图形． 如图1， 在中， D为上一点， ， 又因为是 和的公共角， 可得． 【初步应用】： 如图2， 在中， ， ， 垂足为D．若， ， 则的长为_____． 【变式练习】： 如图3， 在中， ， ， 点D在上， 点E在上， 且，， 求的长． 【操作思考】： 如图4，已知直线l，点D在线段B上．请利用无刻度直尺和圆规，在l上作一点C，使得(要求∶ 不写作法， 保留作图痕迹)． 押题猜想十 二次函数 限时：15min （改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．点在这条抛物线上，且不与点重合，过点作轴的垂线与射线交于点，以为边作，使，点在点的下方，且．设点的横坐标为（且）．    (1)求这条抛物线的解析式． (2)若线段的长度为，求与之间的函数解析式． (3)当时，的值为___________． 押题解读 二次函数是常州中考的重点和难点，常以解答题形式出现。题目考查二次函数的图像、顶点坐标、对称轴等性质，可能结合方程、不等式求最值或解析式，甚至涉及实际生活中的最优化问题。难度较难，需要学生熟练掌握二次函数的知识并能灵活运用。 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求出抛物线的解析式． (2)已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到轴的距离相等，求的值； (3)如图，作与抛物线关于轴对称的抛物线，当抛物线与抛物线围成的封闭区域内（不包括边界）共有个横、纵坐标均为整数的点时，求出的取值范围． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点在第四象限的抛物线上运动，过点作于点，过点作轴交于点，点的横坐标为． ①用含的代数式表示的长； ②求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若，请直接写出的取值范围． 3．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数，其“倍值点”为． (1)函数是“倍值函数”吗？为什么？ (2)求函数的图象上的“倍值点”； (3)若关于x的函数的图象上有唯一的“倍值点”A，点在该函数的图象上． ①求点A的坐标； ②该函数图象在点A与点B之间的部分记为图象G（G包含A，B两点），图象G上点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，求t的值． 4．如图1，抛物线与x轴交于点A和B（其中点A在B左侧），顶点为P，点C是x轴上一个动点，其横坐标为，连接，．已知抛物线y与x的变化规律如下表所示： … 0 1 3 4 5 … … 0 3 4 3 0 …         (1)直接写出_____，_____，_____； (2)记点到的距离为，点到的距离为，若，求证：d为定值； (3)如图2，过点作的平行线交于点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学终极押题猜想（江苏常州专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 数学依据辨析 1 押题猜想二 分解因式 5 押题猜想三 根据圆的性质求解 7 押题猜想四 解方程组和不等式组 12 押题猜想五 先化简，再求值 17 押题猜想六 概率 19 押题猜想七 全等三角形 26 押题猜想八 一次函数与反比例函数的综合 37 押题猜想九 几何图形的综合 48 押题猜想十 二次函数 64 押题猜想一 数学依据辨析 限时：3min （改编）1．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂两点之间，线段最短”来解释，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，故选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，与“两点之间，线段最短”无关，故选项不符合； C、弯河道改直，依据的是“两点之间，线段最短”，故选项符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，故选项不符合． 故选：C． 押题解读 常州中考注重基础知识的理解与应用，常通过选择题或填空题考查学生对数学概念、定理、法则的辨析能力。例如，在几何证明、代数运算中，要求学生清晰阐述每一步的依据，检验其对基础知识的掌握程度和逻辑思维能力。此类题目难度中等，但需要学生对数学原理有深入理解。 1．如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的． 根据直线的性质，两点确定一条直线，即可得到答案． 【详解】解：用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是两点确定一条直线， 故选C． 2．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴要在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式中，线段最短，理由是垂线段最短． 故选：C． 3．如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育老师测量小明同学的体育成绩时，通常应测量线段（   ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，掌握理解垂线段最短和跳远比赛的规则是解题关键．根据垂线段最短、跳远比赛的规则即可得． 【详解】在跳远比赛规则的前提下，测量小明同学的体育成绩时，应该选取线段的长度，其依据是垂线段最短， 故选：B． 4．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列有关实例（如图）所应用的最主要的几何知识，说法不正确的是（   ） A．图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性” B．图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点之间，线段最短” C．图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度” D．图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等” 【答案】B 【分析】本题考查了生活常识与课本内容的联系，在深刻理解课本内容的基础上正确联系实际问题是解题的关键． 根据生活常识及课本相关知识逐项辨析即可． 【详解】解：A、图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性”，正确，故该选项不符合题意； B、图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点确定一条直线”，错误，故该选项符合题意； C、图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度”，正确，故该选项不符合题意； D、图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等”，正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 5．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：由题意知，木工用图中的角尺画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：A． 押题猜想二 分解因式 限时：3min 分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是综合提公因式和公式法分解因式，解题关键是熟练掌握因式分解的方法． 直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 押题解读 分解因式是常州中考的必考内容，常以解答题形式出现，考查提取公因式法、公式法（如平方差、完全平方公式）等基本方法。题目可能结合多项式的特点，要求学生灵活运用多种方法进行分解，难度适中，但需要熟练掌握运算技巧和对多项式结构的理解。 1．分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．首先确定公因式，然后提取即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握提取公因式，公式法是关键． 运用提取公因式，公式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 4．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练运用提公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键．先提出公因式，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式解答即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 押题猜想三 根据圆的性质求解 限时：5min （改编）如图，是的直径，是的弦．若∠BAD=25O，则的大小为 ． 【答案】65O/65度 【分析】本题主要考查了了圆周角定理，三角形的内角和，解题的关键是掌握相关知识．根据直角所对的圆周角是直角得到，进而求出，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ∠BAD=25O， ∠ABD=180O-∠ADB-∠BAD=68O， ， ∠ACD=∠ABD=65O， 故答案为：65O． 押题解读 圆的性质是常州中考几何部分的重点，常与三角形、四边形等知识综合考查。题目多为解答题，难度较难，需要学生利用圆周角定理、垂径定理等性质，结合构造辅助线的方法求解线段长度或角度大小。此类题目注重逻辑推理和几何思维能力。 1．如图，是的切线，且为的直径．若，则的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角函数，解题的根据是熟练掌握以上性质；根据切线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角函数即可得解． 【详解】解：是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 2．如图，为的半径，为垂直于的一条弦，垂足为点，的切线交延长线于点连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆的切线的性质，解直角三角形，掌握相关性质是解题关键．设，由可得，垂径定理可知，再勾股定理可得，求出，，由圆的切线可知，再利用列方程求解即可． 【详解】解：连接，设， ∵，， ∴， ∴， 是的半径，是的弦，， ， 在中，， ∴， 解得：，（不合题意舍去） ∴，， ∴， ∵的切线PB交OA延长线于点P， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得，再结合弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 则的长， 故答案为：． 4．如图，是圆的直径，弦于点，是上任意一点，连接，，．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数定义和垂径定理等知识，连接，则，得，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，，可得，从而可求出的值． 【详解】解：连接，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，点A，，均在上，，则与的度数和是 ． 【答案】/60度 【分析】连接，根据圆周角定理可得，进而可得，再根据和两个三角形的内角和等于，即可求出与的度数和．本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】如图，连接， ∵中,，， ， ， ， ， ． 押题猜想四 解方程组和不等式组 限时：8min 解方程组和不等式组： （1）解方程组 （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握各自求解基本步骤是解题的关键． （1）根据加减消元法进行求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ①②，得， 解得， 把代入①，得， 原方程的解为． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组无解． 押题解读 方程组和不等式组的解法是常州中考的常规题型，常以解答题形式出现。题目可能设置实际背景（如行程问题、分配问题），要求学生运用代入消元法、加减消元法或确定不等式组的解集。难度中等，注重运算准确性和应用能力。 1．解方程组或不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组与一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则及加减消元法解方程组是解答此题的关键． （1）利用加减消元法求解可得； （2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ②①得：， 把代入②得：， 方程组的解为； （2）解：化解可得 解①得：， 解②得：， 所以不等式组的解集为 2．（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）    （2） 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据代入消元法求解即可； （2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 由得：， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， 所以原方程组的解为； （2）， 解不等式得：， 解不等式得：， 所以原不等式组的解集为． 3．（1）解方程组； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） 将①代入②得， 解得 将代入①得，， ∴方程组的解为：； （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 4．解方程组和不等式组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为：． 押题猜想五 先化简，再求值 限时：5min （改编）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的四则混合运算等知识，熟练掌握分式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 利用乘法公式展开括号内的部分，再计算除法即可得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 押题解读 此类题目是常州中考代数部分的常见题型，通常以解答题形式出现。题目给出复杂代数式，要求先化简（如合并同类项、分式化简），再代入数值计算。难度中等，侧重运算步骤的规范性和对代数式结构的理解。 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】此题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，单项式乘多项式． 运用完全平方公式，单项式乘多项式展开，合并同类项，最后把m的值代入进行计算即可． 【详解】原式． 当时，原式． 2．先化简，再求值：，其中 ． 【答案】，19 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握运算法则． 先由完全平方公式和平方差公式进行化简，再进行整式的加减计算，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键；因此此题可先根据整式的混合运算进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，则原式． 4．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，11 【分析】本题考查整式的混合运算及二次根式的乘法．先根据混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入求解即可． 【详解】解： ， 因为，， 所以原式． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 押题猜想六 概率 限时：8min 花钿是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，在唐代比较流行．王欣和张敏都是汉服妆造爱好者，两人买了四种不同的花钿（如图所示），由于每个花钿都很漂亮，一时不知道该选哪个来装扮，因此用抽卡片的方式来决定，将这四种花钿分别画在四张背面完全相同的不透明卡片上（卡片大小、形状、质地均相同），将背面朝上洗匀，王欣先从这四张卡片中随机选择一张不放回． (1)王欣选中的花钿恰好是的概率是______； (2)张敏将剩下的三张卡片洗匀后，再从这三张卡片中随机选择一张，请用列表或画树状图的方法求两人选择的花钿恰好是和的概率．（不分先后顺序） 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可； （）画出树状图，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵一共有、、、四种花钿， ∴选中的花钿恰好是的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种， ∴两人选择的花钿恰好是和的概率． 押题解读 概率是常州中考的必考内容，题型包括选择题、填空题和解答题。题目多结合生活实例（如抽奖、摸球），考查古典概型或几何概型的计算。难度中等，注重概率概念的理解和实际应用能力。 1．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． (1)从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是________； (2)从中随机一次性抽取2张，用列表法或树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“孟子”书签的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“孟子”书签的结果有1种， ∴抽到“孟子”书签的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果有：，，共2种， ∴随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率为． 2．为传承红色文化，增强爱国主义情感，某班打算举办“讲好红色故事，传承红色基因”主题班会，准备了四张完全相同的不透明卡片．卡片正面分别写有四本红色读物名称：——《青春之歌》，——《钢铁是怎样炼成的》，——《长征》，——《永不褪色的精神丰碑》．班长将随机抽取的卡片对应的红色读物作为宣讲材料． (1)班长从四张卡片中随机抽取一张，抽到——《长征》的概率是__________； (2)班长先从四张卡片中随机抽取一张，再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他两次都没有抽到——《青春之歌》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率计算，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用概率公式计算即可； （2）先用列表法或树状图法列举出所有可能的情况，再带入公式计算即可． 【详解】（1）解：班长从四张卡片中随机抽取一张，抽到——《长征》的概率是 ， 故答案为：； （2）解：列表如下： 第一次第二次 由表可知，共有12种等可能的结果，其中两次都没有抽到A的结果有6种， 他两次都没有抽到——《青春之歌》的概率为． 3．2024年以来，环金鸡湖的10座独具匠心、颜值颇高的驿站陆续开放运营，迅速成为热门打卡地．小明和小亮计划利用五一假期，分别从以下4座驿站中随机选择一个驿站打卡． (1)小明选择打卡“金鸡驿06”的概率是_________； (2)求小明和小亮同时选择同一个驿站打卡的概率，（用画树状图或列表等方法说明） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出选择同一个驿站的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：∵从4个驿站中选择， ∴小明选择“金鸡驿06”的概率为， 故答案为：； （2）解：设分别用A，B，C，D表示金鸡驿01，金鸡驿02，金鸡驿05，金鸡驿06，画树状图分析如下： 共有16种等可能的结果数，小明和小亮都选择同一个驿站打卡有4种等可能的结果数， 所以小明和小亮同时选择同一个驿站打卡的概率是． 4．国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套，其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚，分别为“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满欣喜，如图，小组利用邮票图案设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D共四张卡片．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． (1)从中随机抽取一张卡片，抽到卡片C“欧拉公式”的概率是______； (2)小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求小文抽到的两张卡片的图案恰好是卡片A“圆周率”和卡片D“莫比乌斯带”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到卡片C“欧拉公式”的结果有1种， ∴抽到卡片C“欧拉公式”的概率为； （2）解：利用表格列出所有可能的结果： A B C D A — B — C — D — 共有12种等可能的结果，其中恰好抽取卡片A和D的有2种， ∴所求的概率为． 5．成语是中国传统文化的一大特色，有固定的结构形式和固定的说法，每个成语都表示一定的意义，在语句中可承担主语、宾语、定语等成分．语文课上，老师组织“成语故事我会讲”活动，在黑板上写出了四个成语（如图所示），并将分别写有字母、、、的四个小球（除字母外其他均相同）放入一个不透明的布袋中，参加活动的同学在布袋中随机摸出一个小球，然后将小球放回布袋搅匀，再讲出小球上对应字母的成语故事． ．刻舟求剑    ．掩耳盗铃 ．愚公移山    ．画蛇添足 (1)参加活动的小丽同学所讲的成语故事是“．刻舟求剑”是________事件；（填“随机”“不可能”或“必然”） (2)用列表或画树状图的方法，求参加活动的甲、乙两名同学所讲的成语故事中有“C．愚公移山"的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题主要考查了事件的分类，树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据随机事件，不可能事件以及必然事件的定义判断即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：参加活动的小丽同学所讲的成语故事是“．刻舟求剑”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：画树状图如图： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中甲、乙两名同学所讲的成语故事中有“C．愚公移山”结果数有7种， ∴甲、乙两名同学所讲的成语故事中有“C．愚公移山”的概率是． 押题猜想七 全等三角形 限时：10min （改编）如图，以的三边为边在的同侧分别作三个等边三角形：，，．连接，． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请加以证明； 【答案】(1)证明见解析 (2) 当时，四边形是矩形； 【分析】（1）由“”可证； （2）根据全等三角形的性质可得，可得，同理可证，即可证四边形是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故添加即可证明； 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形． ，， ， ， 在和中 ， ． （2）解：当时，四边形是矩形 ∵． ， 又 ∵是等边三角形， ， ， 同理可证：， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 押题解读 全等三角形是常州中考几何证明的核心内容，常以解答题形式出现。题目要求学生运用全等三角形的判定定理（如SSS、SAS、ASA）进行证明，并结合性质解决线段或角度问题。难度中等，注重逻辑推理和几何证明能力。 1.已知如图，在中，，． (1)作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是作角平分线及线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质， （1）以B为圆心，任意长为半径画弧，交于F、N，再以F、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，交于D，射线就是的平分线；分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y画直线与交于点E，点E就是的中点； （2）首先根据角平分线的性质可得的度数，进而得到，根据等角对等边可得，再加上条件，即可利用证明． 【详解】（1）解：如下图，点D、E即为所求作； （2）证明：∵，平分， ， ， ∴， ∴， 在和中， ∴. 2．【问题情境】 如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线．作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点． 【探究发现】 （1）当时，的度数为___________度； 【猜想论证】 （2）在（1）的条件下，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【拓展应用】 （3）若，直接写出的长． 【答案】（1）； （2），证明见解析； （3）BF的长为或． 【分析】（1）连接，由对称的性质可得，，，结合正方形的性质，，可以得到是等腰三角形，，则，在中，利用三角形外角和定理即可得到答案； （2）线段、、之间的数量关系为，证明如下：过点作，交与点，由题意可知，得出，结合正方形性质得，证明，得到，，可得是等腰直角三角形，，由即可得到答案； （3）由题意可得，需要对两种情况分别讨论： ①当时，参照（2）中的结论即可求解； ②当时，连接，作过点作，交与点，由题意得，，得到，再根据直角关系得到，证明，得到，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 由对称的性质可得，，， ，， ， 是的一个外角， ， 故答案为：； （2），证明如下： 如图所示，过点作，交与点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3），，根据题意分为两种情况： ①当时，由（1）可知，， 由对称的性质可得：， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（2）得； ②当时，如图所示，连接，作过点作，交与点， 四边形是正方形， ，， ， ， 由对称的性质可得，，， ，， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， 由对称的性质可得，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 综上所述：BF的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握以上知识点，能够作出适当的辅助线并进行分类讨论是解题的关键． 3．如图，在中，，，于，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作的垂线交于点，交射线于点，连接． (1)依题意补全图形，并求的大小（用含的式子表示）； (2)在上取点，使，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据要求画出图形，证明，再证明，即可得到结论； （2）过点作于，连接DH，证明．则，，在以为圆心，BD为半径的圆上．得到．证明．得到．求出．即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示： 如图，∵射线绕点顺时针旋转得到射线， ∴ ． ，于． ∴． ∵于， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）线段和的数量关系为． 证明：过点作于，连接，如图所示． ∵于， ∴． ∵， ∴． ∵由（1），， ∴． ，，在以为圆心，为半径的圆上． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、解直角三角形、圆周角定理直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 4．如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)①②或①③，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形判定的条件是解题的关键． （1）选择合适的条件，证明即可； （2）连接交的交点即为所求作点P． 【详解】（1）解：选择①②，理由如下： ， 在和中，， ， ； 选择①③，理由如下： ， ， 在和中，， ， ； 故答案为：①②或①③； （2）解：如图，连接与的交点即为所求作点P， ， ，， ， ， ， ， 即点P是的中点． 5．如图，在中，，为延长线上一点，过点作射线为射线上一点（不与点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，作，交射线于点．连接交于点，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的性质求得，，证明，求得，再根据等腰三角形的性质即可证明； （2）先求得，作交于点，证明，，再证明是的中位线，据此即可得到． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，旋转的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 押题猜想八 一次函数与反比例函数的综合 限时：12min （改编）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标； 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）代入得，得,代入，求出a值即得； （2）可得点，得,取中点S，连接,则，,取点S关于点O的对称点，当时，求出解析式，联立得，解得（符合），得；取点Q关于点S的对称点，当时，求出解析式，联立得，解得，得；即得点的坐标为或或或； 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 取中点S，连接， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴点P到的距离是点O到距离的2倍， 取点S关于点O的对称点， 当时， 设解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立得， ∴（符合）， ∴； 取点Q关于点S的对称点N， ∵，， ∴， 当时，设解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立得， ∴（符合）， ∴； ∴点的坐标为或或或； 押题解读 函数综合题是常州中考的高频考点，常以解答题形式出现。题目可能要求求交点坐标、解析式，或结合函数图像解决实际问题（如行程问题、销售问题）。难度较难，需要学生具备较强的分析能力和数学建模能力。 1．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，过点作轴，垂足为， (1)求和的值 (2)求反比例函数和一次函数的解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出两个函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，在由可求出m的值，则可求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，即可得到n的值； （2）根据（1）所求可得反比例函数解析式，再把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （3）求出点C坐标得到的长，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 把代入中得，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为，点的坐标为，点的坐标为， 把点A和点B坐标代入一次函数解析式中得， 解得， ∴一次函数解析式为； （3）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在直角坐标平面内，线段与反比例函数的图象交于点，线段的表达式为，点的坐标为，线段与反比例函数的图象交于点，且轴． (1)求的值及反比例函数的关系式； (2)当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标． 【答案】(1)3， (2) 【分析】（1）把代入解析式中，得到，求得，继而确定点，设反比例函数解析式为，把点代入计算解答即可； （2）根据题意，得，，设，， 证明，建立等式，求得，解答即可． 【详解】（1）解：把代入解析式中， 得到， 解得， 故点， 设反比例函数解析式为， 把点代入，得， 解得， 故反比例函数的解析式为； （2）解：∵轴，， ∴点A的纵坐标为4，，， 设， ∴， ∵平分与轴正半轴的夹角， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故点． 【点睛】本题考查了函数值的计算，待定系数法求解析式，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握待定系数法，勾股定理，等腰三角形的判定是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过两点，与反比例函数的图像在第一象限内交于点M，若的面积是2． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点P是x轴上一点，且满足是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、反比例与几何的综合、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）先运用待定系数法可得，设，如图1：作轴于点D．再根据三角形的面积公式求得，然后代入即可求得反比例函数解析式； （2）分和两种情况，分别运用解直角三角形、坐标与图形即可解答． 【详解】（1）解：∵直线过两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为， ∴设，如图1：作轴于点D． ∵， ∴，即，解得：， ∴将代入得，解得：． ∵在双曲线上， ∴，解得：． ∴反比例函数的表达式为：． （2）解：①如图1：当时，过点作交x轴于点P， ∵， ∴． ∴， ∴在中，， ∴， ． ∴当，此时点P的坐标为． ②如图2，当时，过点作交x轴于点P， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴当，此时点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或． 4．如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，直尺过原点且与反比例函数图象交于点和点，并且与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)求直线的函数解析式及点的坐标． 【答案】(1) (2)直线的函数解析式为，点的坐标为 【分析】此题考查求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数交点问题： （1）直接利用待定系数法求函数解析式； （2）先求出直线的解析式，根据直线平移得到直线的解析式，即可求出交点B的坐标 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点，，解得：， 反比例函数的解析式为； （2）设直线的函数解析式为， 由条件可得，解得， 直线的函数解析式为， 由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线 直线的函数解析式为； 点是一次函数与反比例函数的交点， 解得或 点在第一象限，点的坐标为． 5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象经过点和点． (1)求反比例函数的表达式和a的值； (2)若点C是线段上一点，过点C作轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设的表达式为：，利用待定系数法确定的表达式为：，然后分别确定，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在的图像上， ∴代入得， ∴反比例函数关系式为， ∵点在的图像上， ∴代入得， 综上，反比例函数关系式为，； （2）设的表达式为：， 将，代入得：， 解得， ∴的表达式为：， ∵点的横坐标为4，把代入得． ∴， ∵轴， ∴，代入得， ∴， ∴． 押题猜想九 几何图形的综合 限时：12min （改编）如图1，，点，分别为，上的点，且，连接，将沿直线折叠，得到．设． (1)的值为_____时，为直角三角形； (2)如图，当时． 利用尺规作图找出的外心；（保留作图痕迹，不写过程） 连接，，，求的长及四边形的面积． (3)试说明：无论如何改变的值，点始终在的平分线上； 【答案】(1)或； (2)作图见解析； ，； (3)证明见解析； 【分析】因为且为直角三角形，所以可得或，当时，，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可以得到，再根据可以求出的长度；当时，，可得，因为，可以求出的长度； 根据三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，利用尺规作图作、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是三角形的外心； 当时，是等边三角形，点是的外心，所以可得是直角三角形，根据直角三角形的性质求出、的长度，利用四边形的周长公式求出四边形的周长即可； 过点作，，因为点是的外心，根据圆周角定理可以得到，根据四边形内角和是可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角平分线两边之间距离相等的点在角平分线可证结论成立； 【详解】（1）解：， 若为直角三角形， 则或， 当时，， 则有， 又， ， 解得：， 即的值为； 当时，， 则有， 又， ， 解得：， 即的值为； 综上所述，当的值为或时，为直角三角形， 故答案为：或； （2）解：当时， ， ， 又， 是等边三角形， 根据折叠的性质可知也是等边三角形， 如下图所示，分别作、的垂直平分线， 两条垂直平分线相交于点， 点即为的外心； 如下图所示， 点是的外心，是等边三角形， 、分别是和的平分线，， ， 是等边三角形， ， ， 又， 平分， ， ， ， 又， ， 在中，, ， 同理可得：， ； （3）证明：如下图所示，过点作，， 点是的外心， ， ， 在四边形中，， ，， ， 又， ， 在和中，， ， ， 是的平分线； 无论如何改变的值，点始终在的平分线上； 押题解读 几何综合题是常州中考的压轴题型，常结合三角形、四边形、圆等多种几何图形，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力。题目需要添加辅助线、运用几何定理进行证明或计算，难度高，注重综合运用知识的能力。 1．【模型建立】如图，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），是延长线上一点，，连接，， （1）①求证：； ②判断的形状，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图，连接与交于点，连接，试判断与的关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②为等腰直角三角形，理由见解析；（2）垂直平分，理由见解析；（3）． 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，，即可证明，根据全等三角形的对应边相等得证； ②由，得到，推出，从而得到为等腰直角三角形； （2）过点作的垂线交于点，由，得到，进而有，即可证明，得到，又，根据垂直平分线的判定即可得到垂直平分； （3）连接，根据，是等腰直角三角形，得到，从而，又，得到，即可证得． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形， ，， 又， ， ； ②解：为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ， 即， 又， 为等腰直角三角形； （2）解：垂直平分理由如下： 如图，过点作的垂线交于点， ∵是正方形的对角线， ， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ， ． ∵， ∴， ，， ， ， ， 垂直平分； （3）解：如图，连接， 为等腰直角三角形，垂直平分， ， 是等腰直角三角形． 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ， ， ， ∴ ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 2．综合与实践 【主题】什么形状的车轮让车辆行驶更平稳 【素材】三种形状的车轮，圆形车轮、正方形车轮、等边三角形车轮 【实践操作】分别将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动，车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． (1)如图1，若圆形车轮直径为，其车轮轴心O到地面的距离始终为______； (2)如图2，正方形车轮在滚动过程中轴心（对角线交点）到地面的距离不断变化，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为_____； (3)如图3，等边三角形车轮在滚动过程中轴心（三边垂直平分线的交点）到地面的距离不断变化，若等边三角形边长为，该车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆的有关性质解答即可得到答案； （2）利用正方形的性质，轴心的运动轨迹的特征解答即可得到答案； （3）由题意画出符合题意的图形，类比得到点的轨迹，再利用等边三角形性质、含直角三角形性质，解直角三角形求出相关线段长，再由圆的弧长公式解答即可得到答案． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，如图所示： 车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变， 中轴心到地面的距离为． 圆形车轮在滚动过程中，车轮轴心O到地面的距离始终不变等于圆的半径， 车轮轴心O到地面的距离始终为． 故答案为：； （2）解：过点作于点，以点为圆心，为半径画弧交正方形的边于点，如图所示： 为正方形的中心，， 圆心距离地面的最低距离为， 由题意知，在等腰中，， 点的移动轨迹为以点为圆心，为半径的弧， 点为车轮轴心距离地面的最高点， ， 车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为． 故答案为：； （3）解：连接、，过点作于点，如图所示： 为等边三角形的中心， ， 为等边三角形的中心， ． ， ， ， 由等边三角形边长为，可知， ， 的长， 车轮在地面上无滑动地滚动一周，点经过的路径长为． 【点睛】本题主要考查综合与实践，涉及圆的有关性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形性质、含直角三角形性质、解直角三角形及弧长公式，本题是探究型题目，熟练掌握上述几何图形的性质是解题的关键． 3．【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”． (1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________； (2)钝角三角形的“矩形框”有___________个； (3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长； 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】本题考查的勾股定理的应用，矩形的性质，清晰的分类是解本题的关键． （1）利用面积公式可直接得到答案； （2）由钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，从而可得答案； （2）当或与“矩形框”一边重合时， 利用矩形的性质直接可得答案；当与“矩形框”一边重合时，利用等面积法求解，从而可得答案； 【详解】（1）解：∵矩形为的“矩形框” ∴； 故答案为： （2）解：由“矩形框”的含义得：钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，所以钝角三角形的矩形框只有1个， 故答案为：1 （3）解：当或与“矩形框”一边重合时，周长为； 当与“矩形框”一边重合时，如图，作交AB于D． ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长为． 综上，的“矩形框”的周长为或． 4．【题目背景】 某公园计划在人工湖区域建造一座观景台，设计师需根据灯光效果和几何原理确定最佳位置． 【问题提出】 （1）如图1，已知线段和直线外一点，请描述出所有满足的点的轨迹的形状， 【问题探究】 （2）如图2，在边长为6的正方形内部有一点，当满足时，点到边的最大距离为___________，此时的面积为___________； 【问题解决】 （3）如图3，某露天剧场有三个灯光塔，已知．灯光塔的灯光可能转且速度相同，若三束灯光同时汇聚于一点，且满足，请你找出点的位置，并说明理由． 【答案】（1）点P的轨迹为线段的垂直平分线（与的交点除外）；（2）3，9；（3）见解析 【分析】（1）连接，则，根据线段垂直平分线的判定即可得到轨迹，注意描述轨迹时，与的交点除外； （2）过点M作于点，取中点，连接，则根据直角三角形斜边中线的性质得到，由于，则当点重合时，取得最大值为，即可求解此时的面积； （3）先由勾股定理逆定理证明，由得点一定在线段的垂直平分线上，再以线段为直径作与线段的垂直平分线的交点即为所求，以及以为直径作，与线段的垂直平分线的交点即为所求，根据圆周角定理即可说理． 【详解】解：（1）连接， ∵， ∴， ∴点P的轨迹为线段的垂直平分线（与的交点除外）； （2）过点M作于点，取中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴当点重合时，取得最大值为，如图： 此时，， 故答案为：3，9； （3）∵， ∴， ∴， ∵三束灯光同时汇聚于一点，且满足， 如图1，作线段的垂直平分线，由（1）可得点一定在直线上， 以为直径作，交线段的垂直平分线于点，此时即为满足条件的点，理由如下： 由（1）得， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理点也符合题意； 如图2，作线段的垂直平分线，由（1）可得点一定在直线上， 以为直径作，交线段的垂直平分线于点，此时即为满足条件的点，理由如下： 由（1）得， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点的位置即为所求． 【点睛】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等知识点，难度较大，解题的关键是理解题意，正确作图． 5．“相似”是初中几何学习过程中研究的一种重要图形关系．如图是我们研究三角形相似时常见的一类图形． 如图1， 在中， D为上一点， ， 又因为是 和的公共角， 可得． 【初步应用】： 如图2， 在中， ， ， 垂足为D．若， ， 则的长为_____． 【变式练习】： 如图3， 在中， ， ， 点D在上， 点E在上， 且，， 求的长． 【操作思考】： 如图4，已知直线l，点D在线段B上．请利用无刻度直尺和圆规，在l上作一点C，使得(要求∶ 不写作法， 保留作图痕迹)． 【答案】[初步应用]；[变式练习]的长为 ；[操作思考]图形见解析． 【分析】[初步应用]先证明，得到，可得，再在利用勾股定理即可求出的长； [变式练习]过点作交于点，先证明得到，设，表示出的长，再通过证明得到，解方程求出的值，结合题意即可求出的长； [操作思考]根据作图要求需作，则需要作出，利用尺规作垂线的方法作出交以为直径的圆于点，则有 ，由相似三角形的性质可得，最后利用圆规作出交直线于点，即可解答； 【详解】解：[初步应用]：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 即 ， ∴， 设， 则， 在中， ， ， 解得 (负值舍去) ， ∴的长为 ， 故答案为： ． [变式练习]：如图，过点E作 交于点F， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 即 ， 解得： ， 当 时，，不符合题意，舍去； 当 时，，符合题意； ∴的长为 [操作思考]：如图，点C即为所求． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、尺规作图、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．本题属于几何压轴题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 押题猜想十 二次函数 限时：15min （改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．点在这条抛物线上，且不与点重合，过点作轴的垂线与射线交于点，以为边作，使，点在点的下方，且．设点的横坐标为（且）．    (1)求这条抛物线的解析式． (2)若线段的长度为，求与之间的函数解析式． (3)当时，的值为___________． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）将点代入抛物线即可． （2）①分两种情形当时，如图1，当时，如图2，分别计算即可． （3）过点作轴，根据，可得四边形是平行四边形，可得，由此列出方程即可求解； 【详解】（1）解：将点代入抛物线 ． 得． 解得． ∴这条抛物线所对应的函数表达式为：． 即：． （2）当时，． ∴． 设直线的解析式是：． 将B、C代入，得：．解得． ∴直线的函数解析式是：． ①由题意知． ∵轴． ∴． 根据题意知：或． 当时，如图1，   ． 当时，如图，   ． （3）当时， ②如图3中，过点作轴，      由（2）可知：，． ∵，点在点的下方，且． ∴， ∴解得：，（不合题意舍去，） 故答案为：. 押题解读 二次函数是常州中考的重点和难点，常以解答题形式出现。题目考查二次函数的图像、顶点坐标、对称轴等性质，可能结合方程、不等式求最值或解析式，甚至涉及实际生活中的最优化问题。难度较难，需要学生熟练掌握二次函数的知识并能灵活运用。 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求出抛物线的解析式． (2)已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到轴的距离相等，求的值； (3)如图，作与抛物线关于轴对称的抛物线，当抛物线与抛物线围成的封闭区域内（不包括边界）共有个横、纵坐标均为整数的点时，求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，解不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据待定系数法即可求解； （）直线及抛物线与轴的交点都是，则可知另一交点坐标为，然后代入抛物线解析式即可求解； （）根据题意列出由题意得，然后不等式组即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线及抛物线与轴的交点都是， ∴直线与抛物线的两个交点到轴的距离都是，且其中一个交点坐标为， ∴另一个交点的纵坐标为， 当时，由，得， ∴另一交点坐标为， 把代入得， 解得； （3）解：由题意可知，抛物线与抛物线围成的封闭区域是以轴为对称轴的轴对称图形， ∴该区域内轴上有三个横、纵坐标均为整数的点，轴的下方和上方各有四个这样的点，且两两关于轴对称，如图所示： 对于抛物线，当时，， 当时，， 由题意得， 解得． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点在第四象限的抛物线上运动，过点作于点，过点作轴交于点，点的横坐标为． ①用含的代数式表示的长； ②求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①； ②，； (3) 【分析】（1）将，代入，解方程组即可求解； （2）①设直线为，代入点，用表示两点的坐标，再将纵坐标相减即可求解；②证明，得 ，进而得，可得，利用二次函数的性质即可求解； （3）结合图像，分两种情况：①当新的函数的图像的是高点是点B时，最低点是，②当新的函数的图像的是高点是点时，最低点是，分别求解即可得出取值范围． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①设直线为，代入， 得，， 解得，， ， 点的横坐标为，轴， ，， ； ②，， ，， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 时，， ， ； （3）解：当时，，当时，， 在间的部分记为图象，如图所示： 图象的最低点为顶点，是高点为， ， 将点沿直线向上翻折，对应点， ①当新的函数的图像的是高点是点B时，最低点是，如图所示： 这个函数的最大值为，最小值为， ， ， ， ②当新的函数的图像的是高点是点时，最低点是，如图所示： 这个函数的最大值为，最小值为， ， ， ， 综上所述，当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数解析式的求法，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 3．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数，其“倍值点”为． (1)函数是“倍值函数”吗？为什么？ (2)求函数的图象上的“倍值点”； (3)若关于x的函数的图象上有唯一的“倍值点”A，点在该函数的图象上． ①求点A的坐标； ②该函数图象在点A与点B之间的部分记为图象G（G包含A，B两点），图象G上点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，求t的值． 【答案】(1)函数不是“倍值函数”，理由见解析 (2)， (3)①；②3 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系． （1）根据“倍值函数”的定义可得关于x的方程，解方程即可得出结论； （2）根据“倍值函数”的定义可得关于x的方程，解方程即可得出答案； （3）①根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可求出m的值，再根据“倍值函数”的定义可得关于x的方程，解方程即可得出答案； ②先根据①可求出点B的坐标，再根据二次函数的性质可求出最大值和最小值，进而可得答案． 【详解】（1）解：函数不是“倍值函数”，理由如下： ∵， 令， ∴，此时方程无解， ∴不是“倍值函数”； （2）解：∵， 令， ∴， ∴或， ∴图象上的“倍值点”为，； （3）解：①∵关于x的函数的图象上有唯一的“倍值点”A， ∴有唯一的解， 即有唯一的解， ∴， 解得， ∴函数， 令， ∴， 解得， ∴， ∴点A的坐标为； ②∵点在函数的图象上，， ∴， 即， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，最小值，当点的横坐标距离对称轴越远，则纵坐标的值越大， ∵，，， ∴当时，有最大值， ∴． 4．如图1，抛物线与x轴交于点A和B（其中点A在B左侧），顶点为P，点C是x轴上一个动点，其横坐标为，连接，．已知抛物线y与x的变化规律如下表所示： … 0 1 3 4 5 … … 0 3 4 3 0 …         (1)直接写出_____，_____，_____； (2)记点到的距离为，点到的距离为，若，求证：d为定值； (3)如图2，过点作的平行线交于点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)面积的最大值2，此时点的坐标为 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据二次函数的对称性和表格数据求解即可得； （2）过点作轴于点，过点作于点，作于点，先求出和的值，再解直角三角形分别求出和，由此即可得证； （3）先证出，再证出，利用相似三角形的性质可得的长，然后根据的面积等于，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将二次函数化成顶点式为， ∴这个二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等；时的函数值与时的函数值相等， ∴，， 由表格可知，当时，， ∴， ∴， 故答案为：，，． （2）证明：由（1）可知，，， 当时，，解得或， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 如图，过点作轴于点，过点作于点，作于点， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，，即，解得， 在中，，即，解得， ∵， ∴， ∴为定值． （3）解：由（2）已得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为2， ∴此时，， 又∵， ∴， ∴，即点与点重合， ∴此时点的坐标为， 综上，面积的最大值2，此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$