精品解析：四川省南充市阆中中学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

阆中中学校2025年春初2023级期中学习质量检测 数学试题 （满分：150分 时间：90分钟） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D． 【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意； B、原计算错误，该选项不符合题意； C、正确，该选项符合题意； D、原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键． 2. 下列二次根式化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，能与合并，符合题意； B、，不能与合并，不符合题意； C、，不能与合并，不符合题意； D、，不能与合并，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质、同类二次根式的概念是解题的关键． 3. 下列条件能判定为直角三角形的是(        ) A. B. C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形内角和，勾股定理进行判断即可． 【详解】解：、∵，， ∴ ，为直角三角形，故正确； 、设，，， ∴，解得 ，则， ∴不是直角三角形，故错误； 、由于，∴不是直角三角形，故错误； 、，∴不是直角三角形，故错误． 故选． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 4. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. 2026 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的计算，根据题意可得，两边平方后，可得的值，再整体代入即可，灵活运用整体代入的方法是解决问题的关键． 【详解】解：根据，可得， 两边平方后，即， ， 故选：C． 5. 如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（ ） A. 点D在∠BAC的平分线上 B. C. D. 点D为BC的中点 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质定理已经菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接AD ∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F， ∴四边形DEAF是平行四边形，∠FAD=∠EDA， 当点D在∠BAC的平分线上时， ∴∠FAD=∠EAD， ∴∠EAD=∠EDA， ∴AE=DE， ∴四边形DECF是菱形，故选项A符合题意； 当AB=AC时，不能说明四边形DECF是菱形，故选项B不符合题意； 当∠A =90°时，只能说明四边形DECF是矩形，故选项C不符合题意； 当点D为BC的中点时，不能说明四边形DECF是菱形，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B. 有一个角为直角的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定逐项判断． 【详解】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形是真命题，故A不符合题意； 有一个角为直角的平行四边形是矩形是真命题，故B不符合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，C符合题意； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形是真命题，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握矩形，菱形，正方形的判定定理． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=CD． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10． 又∵CD为中线， ∴CD＝AB＝5． ∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点， ∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线． 8. 如图，在中，，平分交于点E，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 由四边形是平行四边形，可得，，，得，又由平分，可得，根据等角对等边，可得，所以求得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，已知四边形为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且点D的坐标为，点P是上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握正方形的性质，确定P点位置，是解题的关键． 连接，点A关于的对称点为点C，则，当三点共线时，的最小为的长度，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为正方形，边长为6， ∴点A关于的对称点为点C，， 连接，则， ∴当三点共线时，的最小为的长度， ∵点D的坐标为， ∴， ∴，即：的最小值为：． 故选D． 10. 如图，正方形的边长为1，是对角线，将绕着点顺时针旋转得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②的面积是；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】依据四边形为平行四边形，以及，即可得到平行四边形是菱形；依据，即可得到的面积；依据四边形是菱形，可得；根据四边形是菱形，可得，进而得到． 【详解】解：正方形的边长为1， ，，，． 由旋转的性质可知：，，，， ，，， 和均为直角边为的等腰直角三角形， ． 在和中， ， ， ，， ， ． ，，， 且， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故①正确； ，， ， 的面积，故②正确； 四边形是菱形， ，故③不正确； 四边形是菱形， ， ，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ，且， ∴且， 故答案为：且． 12. 若与最简二次根式能合并，则m的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，合并同类二次根式； 先把化成最简二次根式，再根据合并同类二次根式的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，与最简二次根式能合并， ∴， ∴， 故答案为：4． 13. 如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得，在中，， ， 设原点为， ， 表示的实数为． 故答案为：． 14. 如图，一艘轮船以每小时15海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于西北方向（北偏西方向），2小时后轮沿到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东方向，则此时船与小岛P的距离的长为________海里．（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】过P作PH⊥AB于H，设PH＝x海里，由已知分别求PB、BH、AH，然后根据BH＋AH＝AB求出x值即可求解． 【详解】解：如图，过点P作PH⊥AB于H， 由题意得：AB＝15×2＝30（海里），∠PBH＝90°﹣60°＝30°，∠PAH＝90°﹣45°＝45°， 则△PHA是等腰直角三角形， ∴AH＝PH， ∴在Rt△PHA中，设AH＝PH＝x海里， ∵在Rt△PBH中，∠PBH＝30°， ∴PB＝2PH＝2x海里， ∴BH＝＝ ∵BH＋AH＝AB， ∴＋x＝30， 解得：， ∴PB＝2x＝（海里）， 答：此时船与小岛P的距离为()海里， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，含30°的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识是解答本题的关键． 15. 如图所示的网格是正方形网格，则_______（点A，B，C，D，E是网格线交点）． 【答案】 【解析】 【分析】连接AD，计算证明△ADC是等腰直角三角形，证明∠BAC+∠CDE=∠ACD，即可求解． 【详解】连接AD，如图： ∵，，， 即， ∴△ADC是等腰直角三角形，且∠ADC， ∴∠ACD， ∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF， ∴∠BAC+∠CDE=∠ACF +∠DCF=∠ACD， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 16. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t=______秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形． 【答案】3或6 【解析】 【分析】根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的对边相等列出方程即可求出结论． 【详解】解：当P运动在线段AD上运动时， AP=3t，CQ=t， ∴DP=AD-AP=12-3t， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD=CQ， ∴12-3t=t， ∴t=3秒； 当P运动到AD线段以外时，AP=3t，CQ=t， ∴DP=3t-12， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD=CQ， ∴3t-12=t， ∴t=6秒， 故答案为：3或6 【点睛】此题考查的是平行四边形与动点问题，掌握平行四边形的对应边相等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）10 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算以及二次根式的性质，掌握二次根式混合运算法则是关键． （1）先化简各个二次根式，再利用二次根式的乘法法则，最后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式计算即可； （3）先算二次根式的乘除法，再算加减法即可； （4）先算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再化简二次根式，最后算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． （1）求矩形空地的周长； （2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1）矩形空地的周长为 （2）购买地砖需要花费780元 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以20即可求解． 【小问1详解】 解：． 答：矩形空地的周长为； 【小问2详解】 解： ． （元）． 答：购买地砖需要花费780元． 19. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1． （1）求AC的长； （2）求∠DAB的度数． 【答案】（1）2 （2）135° 【解析】 【分析】（1）由于∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC； （2）由于∠B＝90°，AB＝BC＝2可求∠BAC＝45°，而CD＝3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD＝90°，从而易求∠DAB． 【小问1详解】 解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC＝； 【小问2详解】 解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴∠BAC＝45°， 又∵CD＝3，AD＝1， ∴AC2+AD2＝8+1＝9，CD2＝9， ∴AC2+DA2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴∠DAB＝45°+90°＝135°． ∠DAB的度数为135°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形． 20. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）36． 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 21. 在中，，是中点，过点作，使． （1）求证：四边形是矩形； （2）取中点，作，交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ，是中点， ， ， 四边形是矩形； （2）3 【解析】 【分析】（1）先由已知条件证得四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质证得，即可得到四边形是矩形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 是的中点，， ， 四边形是矩形，，， ，， 设，则， 四边形是矩形， ， 在中， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造出是解决问题的关键． 22. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点．连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】 （1）证明： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，． ∵MN垂直平分BD， ∴ ． 在和中， ， ∴()， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用矩形的性质和垂直平分线证明，则有，则可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据即可证明结论； （2）根据菱形的性质有，然后设长为，则，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】(1)略 (2)解：∵四边形是菱形， ∴． 设长为，则， 在中， 即， 解得： 所以长为． 【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 23. 已知如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边OA上，点D在边OC上，且AE＝DE，已知点B(8，6)，点D(0，4)． （1）求点E的坐标； （2）若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设PQE的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S； （3）在（2）的条件下，点M是射线CB上的一点，点N为平面内一点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是正方形时，请求出此时的t值与对应的点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）结合点，点，四边形为矩形，可得，，；设，则，在中，由勾股定理可得，代入求解可知，即可求得点的坐标； （2）分两种情况讨论：当点在点右侧和点在点左侧时，利用三角形面积公式即可获得答案； （3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵点，点，四边形为矩形， ∴，，，， 设，则， ∴在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 ①如下图，当点在点右侧时，    根据题意，，， ∴， ∴； ②如下图，当点在点左侧时，    根据题意，，， ∴， ∴． 综上所述，； 【小问3详解】 若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形， 可分情况讨论： ①如下图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如下图，过点作于点，    ∴四边形、均为矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， 解得； ③如下图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，若满足四边形是正方形，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阆中中学校2025年春初2023级期中学习质量检测 数学试题 （满分：150分 时间：90分钟） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件能判定为直角三角形的是(        ) A. B. C. ，， D. ，， 4. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. 2026 D. 2025 5. 如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（ ） A. 点D在∠BAC的平分线上 B. C. D. 点D为BC的中点 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B. 有一个角为直角的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 8. 如图，在中，，平分交于点E，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，已知四边形为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且点D的坐标为，点P是上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 10. 如图，正方形的边长为1，是对角线，将绕着点顺时针旋转得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②的面积是；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 若与最简二次根式能合并，则m的值为______． 13. 如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为__________． 14. 如图，一艘轮船以每小时15海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于西北方向（北偏西方向），2小时后轮沿到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东方向，则此时船与小岛P的距离的长为________海里．（结果保留根号）． 15. 如图所示的网格是正方形网格，则_______（点A，B，C，D，E是网格线交点）． 16. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t=______秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． （1）求矩形空地的周长； （2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 19. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1． （1）求AC的长； （2）求∠DAB的度数． 20. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 21. 在中，，是中点，过点作，使． （1）求证：四边形是矩形； （2）取中点，作，交于点，若，，求的长． 22. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点．连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 23. 已知如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边OA上，点D在边OC上，且AE＝DE，已知点B(8，6)，点D(0，4)． （1）求点E的坐标； （2）若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设PQE的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S； （3）在（2）的条件下，点M是射线CB上的一点，点N为平面内一点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是正方形时，请求出此时的t值与对应的点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $