2025年上海市中考预测模拟数学试题-提高版

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2025年上海市中考预测模拟数学试题 提高版 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.比小的数是(    ) A. B. C. D. 2.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 3.如图，有一块三角形铁皮余料，，，若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在(    ) A. 边上 B. 边上 C. 边上 D. 内 4.将一元二次方程化成为常数的形式，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形图，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图是等宽的勒洛三角形和圆． 下列说法中错误的是(    ) A. 勒洛三角形是轴对称图形 B. 图中，点到上任意一点的距离都相等 C. 图中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等 D. 图中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 6.已知：线段，点是直线上一点，直线上共有条线段：，和若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“巧分点”，线段的“巧分点”的个数是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.某企业正在抓紧研制厚度为的芯片．用科学记数法表示是          ． 8.若，则，，的大小关系是          ． 9.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，分别是边，的中点，若点，的纵坐标分别是，，则点的坐标是          ． 10.如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，若，，则的长为          ． 11.若二次函数有最大值为，则的最小值为          ． 12.如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为           13.如图，在中，，，连接，过点作垂直于，垂足为，交于点，则           ． 14.关于，的方程组的解满足方程，则的值为______． 15.使成立的条件是          ． 16.如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是          ． 17.如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为          ． 18.从，，，，这个数中，随机抽取一个数记为，则使关于的不等式组有解，且使关于的一元一次方程的解为负数的概率为          ． 三、计算题：本大题共2小题，共20分。 19.解方程组． 20.计算：． 四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多平方米．建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元．用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． 求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ 该社区拟建，两类摊位共个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的倍．求建造这个摊位的最大费用． 22.本小题分甲和乙人去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下： 甲次射击成绩统计表乙次射击成绩分布图 命中环数 命中次数 环 环 环 环 环 完成下列表格： 平均数单位：环 中位数单位：环 方差单位：环 甲 _________ 乙 _________ 甲和乙很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由． 23.本小题分综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，写出图中一个的角：______． 迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图，当点在上时，______，______； 改变点在上的位置点不与点，重合，如图，判断与的数量关系，并说明理由． 拓展应用 在的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 24.本小题分已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴为直线． 求二次函数的表达式； 若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； 当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 25.本小题分 【知识技能】 如图，在中，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到当点的对应点与点重合时，求证：． 【数学理解】如图，在中，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线求证：． 【拓展探索】如图，在中，，点在上，过点作，垂足为，，在四边形内是否存在点，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 第2页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2025年上海市中考预测模拟数学试题 提高版 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.比小的数是(    ) A. B. C. D. 2.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 3.如图，有一块三角形铁皮余料，，，若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在(    ) A. 边上 B. 边上 C. 边上 D. 内 4.将一元二次方程化成为常数的形式，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形图，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图是等宽的勒洛三角形和圆． 下列说法中错误的是(    ) A. 勒洛三角形是轴对称图形 B. 图中，点到上任意一点的距离都相等 C. 图中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等 D. 图中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 6.已知：线段，点是直线上一点，直线上共有条线段：，和若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“巧分点”，线段的“巧分点”的个数是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.某企业正在抓紧研制厚度为的芯片．用科学记数法表示是          ． 8.若，则，，的大小关系是          ． 9.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，分别是边，的中点，若点，的纵坐标分别是，，则点的坐标是          ． 10.如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，若，，则的长为          ． 11.若二次函数有最大值为，则的最小值为          ． 12.如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为           13.如图，在中，，，连接，过点作垂直于，垂足为，交于点，则           ． 14.关于，的方程组的解满足方程，则的值为______． 15.使成立的条件是          ． 16.如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是          ． 17.如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为          ． 18.从，，，，这个数中，随机抽取一个数记为，则使关于的不等式组有解，且使关于的一元一次方程的解为负数的概率为          ． 三、计算题：本大题共2小题，共20分。 19.解方程组． 20.计算：． 四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多平方米．建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元．用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． 求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ 该社区拟建，两类摊位共个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的倍．求建造这个摊位的最大费用． 22.本小题分甲和乙人去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下： 甲次射击成绩统计表乙次射击成绩分布图 命中环数 命中次数 环 环 环 环 环 完成下列表格： 平均数单位：环 中位数单位：环 方差单位：环 甲 _________ 乙 _________ 甲和乙很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由． 23.本小题分综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，写出图中一个的角：______． 迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图，当点在上时，______，______； 改变点在上的位置点不与点，重合，如图，判断与的数量关系，并说明理由． 拓展应用 在的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 24.本小题分已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴为直线． 求二次函数的表达式； 若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； 当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 25.本小题分 【知识技能】 如图，在中，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到当点的对应点与点重合时，求证：． 【数学理解】如图，在中，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线求证：． 【拓展探索】如图，在中，，点在上，过点作，垂足为，，在四边形内是否存在点，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 第4页，共8页 第3页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2025年上海市中考预测模拟数学试题 提高版 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.比小的数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查了有理数的大小比较，正数负数，负数的绝对值越大反而小． 根据有理数的大小比较法则进行比较即可得出答案． 【详解】解：，，，， ， 比小的数是． 故选：． 2.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查幂的乘方和积的乘方．熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则法则是解题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算即可解答． 【详解】解： 故选： 3.如图，有一块三角形铁皮余料，，，若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在(    ) A. 边上 B. 边上 C. 边上 D. 内 【答案】A  【解析】本题主要考查了切线的性质，求三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 当圆心在三角形的边上，与另外两边相切时，半圆最大，再依次分析面积的值，即可求解． 【详解】解：当圆心在三角形的边上，与另外两边相切时，半圆最大， 圆心在上时，设切点为、，连接，， ，且，， 设半径是， 则， 同理设半径为，， 则， ， ， ， 面积最大的半圆的圆心在边上， 故选：． 4.将一元二次方程化成为常数的形式，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解答】 解：， ， 则，即， ，， 故选A． 5.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形图，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图是等宽的勒洛三角形和圆． 下列说法中错误的是(    ) A. 勒洛三角形是轴对称图形 B. 图中，点到上任意一点的距离都相等 C. 图中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等 D. 图中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 【答案】C  【解析】解：、勒洛三角形是轴对称图形，正确； B、图中，点到上任意一点的距离都相等，正确； C、图中，连接，连接并延长交于， 设等边三角形的边长为， 则， ， ， 勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离不相等，故错误； D、设等边三角形的边长为， 勒洛三角形的周长，圆的周长， 勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故正确． 故选：． 根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质判断即可． 本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，正确的理解题意是解题的关键． 6.已知：线段，点是直线上一点，直线上共有条线段：，和若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“巧分点”，线段的“巧分点”的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了线段的定义和新定义，正确理解题意是解答本题的关键． 根据“巧分点”的定义即可求解． 【解答】 解：线段上有个点是线段的“巧分点”，分别是个三等分点和个中点． 在线段延长线有个“巧分点”． ， 同理在的反向延长线也个“巧分点”． 所以线段的“巧分点”的个数是个． 故选：． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.某企业正在抓紧研制厚度为的芯片．用科学记数法表示是          ． 【答案】  【解析】本题主要考查科学记数法；根据科学记数法的表示形式为整数，即可求出结果． 【详解】解：， 故答案为：． 8.若，则，，的大小关系是          ． 【答案】    【解析】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握实数大小的比较方法． 根据实数大小的比较方法进行比较即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，的大小关系是． 故答案为：． 9.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，分别是边，的中点，若点，的纵坐标分别是，，则点的坐标是          ． 【答案】  【解析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，延长交轴于点，首先根据菱形的性质可知轴，根据点是的中点，且点的纵坐标为，点的纵坐标为，根据点是的中点，且点的纵坐标为，点的纵坐标为，从而可知点的纵坐标为，利用勾股定理求出的长度即为点的横坐标． 【详解】解：如下图所示，延长交轴于点， 四边形是菱形， ， 轴， 点是的中点，且点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， 又点是的中点，且点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 点的坐标是 故答案为：． 10.如图，在中，以为直径的半圆分别与，交于点，若，，则的长为          ． 【答案】  【解析】本题考查了弧长公式，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 找出半圆圆心，连接，根据三角形的内角和定理得，又，，则，，求出，则，最后通过弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，找出半圆圆心，连接， ，， ， ，， ，， ， ， 的长为：， 故答案为：． 11.若二次函数有最大值为，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：二次函数有最大值， 设二次函数的顶点坐标为， 向左平移个单位得到， 的顶点坐标为， 与关于轴对称， 的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为； 故答案为：． 12.如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为           【答案】  【解析】连接、、、由正六边形的性质可知，，，，，从而可求出，，，进而可求出再由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，即得出． 【详解】如图，连接、、、． 由正六边形的性质可知，，，， 为等边三角形，， ． 由正五边形的性质可知，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 13.如图，在中，，，连接，过点作垂直于，垂足为，交于点，则           ． 【答案】  【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，由四边形是平行四边形，得，，，，从而可证明四边形是平行四边形，然后由直角三角形的性质和勾股定理求出由勾股定理得，，再证明，通过相似三角形的性质求出，最后由线段和差即可求解． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ，四边形是平行四边形， ，， ， ， 由勾股定理得， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14.关于，的方程组的解满足方程，则的值为______． 【答案】  【解析】解：， 得：， ， 解得：， 故答案为：． 先把两个方程相加，再利用整体代入求解． 本题考查了二元一次方程组的解的概念，应用整体代入法是解题的关键． 15.使成立的条件是          ． 【答案】  【解析】【分析】 根据二次根式有意义的条件，，即可得出答案． 本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，掌握，是解题的关键． 【解答】 解：根据题意得：， ，， ． 故答案为：． 16.如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直角梯形，平移的性质，根据图形判断出阴影部分的面积等于梯形的面积是解题的关键．根据平移的变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得梯形的面积等于梯形的面积，，从而得到阴影部分的面积等于梯形的面积，再求出的长，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】 解：由平移的性质，梯形的面积梯形的面积，， 阴影部分的面积梯形的面积， ， ， 阴影部分的面积， 答：阴影部分面积是． 故答案为：． 17.如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 过作轴于，过作轴于，于是得到，根据反比例函数的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 【解答】 解：过作轴于，过作轴于， 则， 顶点，分别在反比例函数与的图象上， ，， ， ， ， ∽， ， ， ， 故答案为：． 18.从，，，，这个数中，随机抽取一个数记为，则使关于的不等式组有解，且使关于的一元一次方程的解为负数的概率为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了概率公式、一元一次方程的解及解一元一次不等式组的知识，解题的关键是首先确定满足条件的的值．本题考查了概率公式、一元一次方程的解及解一元一次不等式组的知识，解题的关键是首先确定满足条件的的值，难度不大． 【解答】 解：使关于的不等式组有解的满足的条件是， 使关于的一元一次方程的解为负数的的， 使关于的不等式组有解，且使关于的一元一次方程的解为负数的的值为，，，三个数， 使关于的不等式组有解，且使关于的一元一次方程的解为负数的概率为， 故答案为  三、计算题：本大题共2小题，共20分。 19.解方程组． 【答案】解：， ， 解得： ．  20.计算：． 【答案】解：原式，，．  四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多平方米．建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元．用平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． 求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ 该社区拟建，两类摊位共个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的倍．求建造这个摊位的最大费用． 【答案】解：设每个类摊位的占地面积为平方米， 则每个类摊位占地面积为平方米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 所以， 答：每个类摊位占地面积为平方米，每个类摊位的占地面积为平方米； 设建摊位个，则建摊位个， 由题意得：， 解得， 建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元， 要想使建造这个摊位有最大费用， 所以要多建造类摊位，即取最大值时，费用最大， 此时最大费用为：元， 答：建造这个摊位的最大费用是元．  22.本小题分甲和乙人去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下： 甲次射击成绩统计表乙次射击成绩分布图 命中环数 命中次数 环 环 环 环 环 完成下列表格： 平均数单位：环 中位数单位：环 方差单位：环 甲 _________ 乙 _________ 甲和乙很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由． 【答案】(1)解：∵甲的平均数为7， ∴甲10次射击成绩的方差为， 从统计图可得： 把乙的10次成绩按从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，8，8，8，9，9，10， ∴乙的10次成绩的中位数是第5个数和第6个数的平均数（环）， 故答案为：①；②8．   (2)解：从方差来看：， ∴甲成绩更稳定． 从中位数来看： ∵甲的中位数是7环，乙的中位数是8环， ∴乙的成绩整体水平比甲高． 23.本小题分综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，写出图中一个的角：______． 迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图，当点在上时，______，______； 改变点在上的位置点不与点，重合，如图，判断与的数量关系，并说明理由． 拓展应用 在的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】或或或注：任意写出一个即可 ；  ． 理由如下： 四边形是正方形，，． 由轴对称的性质，得，． ，． 是公共边， ． ． 或． 【解答】 解： 根据题意可得：，， ， 在中，， ， 由折叠的性质可得：， ， 故答案为：或或或注：任意写出一个即可 由可知 ，，， ≌， ． 故答案为：；  见答案． 由可得设． 当点在线段上时，如图，，，，，，在中，由勾股定理得，即，解得． 当点在线段上时，如图，同理可得，，． 在中，由勾股定理得，即，解得． 故的长为或． 故答案为：或． 24.本小题分 已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴为直线． 求二次函数的表达式； 若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； 当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1)解：二次函数为， ∴抛物线的对称轴直线为， ∴， ∴抛物线为，又图象经过点， ∴， ∴， ∴抛物线为．   (2)解：∵点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度， ∴平移后的点为， 又在， ， 或（舍去）， ∴．   (3)解：当时，最大值与最小值的差为， ∴，不符合题意，舍去． 当时，最大值与最小值的差为，符合题意， 当时，最大值与最小值的差为， 解得或，不符合题意， 综上所述，的取值范围为． 25.本小题分 【知识技能】 如图，在中，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到当点的对应点与点重合时，求证：． 【数学理解】如图，在中，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线求证：． 【拓展探索】如图，在中，，点在上，过点作，垂足为，，在四边形内是否存在点，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是的中位线， 且． 又绕点D按逆时针方向旋转得到 ．   (2)由题意可知：，，． 作，则且， 又， ． 根据外角定理 ， ， ． 又，是的中位线， ， ， ， ， ， ．   (3)存在点使得． ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点M， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的垂直平分线， 过点D作，交于点P，连接，， ∴， ∴根据三线合一得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过点P作于点N，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点N是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴当点G与点P重合时，满足． 第4页，共20页 第3页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$