精品解析：福建省福州第一中学2024-2025学年下学期七年级期中考数学试卷

福州一中2024～2025学年度第二学期期中考试 初一数学试卷 出卷人：徐起 林张云 审卷人：初一数学集备组 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上．） 1. 在实数0，，，中，无理数是（ ）． A. 0 B. C. D. 2. 下列是二元一次方程的解的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，直线，相交于点O，平分，若，则（ ）． A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 同位角相等 C. ，则，都是正数 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 5. 如图，将一个边长为1的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧，交数轴于点A，则点A对应的数为（ ）． A. 1 B. C. D. 6. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，，，若点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ）． A. B. 或 C. D. 或 8. 《九章算术》是我国古代的数学著作，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价，一马、二牛价不满一万，如半牛之价，问牛、马价各几何？”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加二头牛的价钱则不到一万，不足的部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马值x钱，一头牛值y钱，则可列方程组为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．若，则（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，……，依图中所示规律，点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上．） 11. 已知方程，用含的代数式表示，则________． 12. 实数的整数部分是________． 13. 如图，测量同学的跳远成绩所蕴含的数学原理是__________． 14. 在平面直角坐标系中，若点到x轴的距离是5，则m的值是__________． 15. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为__________． 16. 如图，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），对于下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 其中正确的有__________．（请填写序号） 三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程及方程组： （1）； （2）． 19. 已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根． 20. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．若先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）在图中画出，并写出点的坐标； （2）若内有一点经过上述平移后的对应点为，请写出点的坐标； （3）求的面积． 21. 如图，在中，，，．请证明：． 22. 已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）请求出这个相同的解； （2）求a，b的值； （3）请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 23. 学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： （1）如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； （2）甲、乙两队各有多少位学生？ （3）现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． （1）点C的坐标为__________； （2）P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ （3）如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 25. 已知，点E在直线上，点G在直线上，点H为一动点． （1）如图1，当点H在与之间时，点F在上，连接、、，若，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点M时，若，求的值． （3）如图3，当H在上方，交于点F，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点M，的角平分线和的角平分线相交于点，以此类推．请直接写出与之间的数量关系__________，用含n的式子表示与之间的数量关系__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2024～2025学年度第二学期期中考试 初一数学试卷 出卷人：徐起 林张云 审卷人：初一数学集备组 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上．） 1. 在实数0，，，中，无理数是（ ）． A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数叫做无理数进行判断即可． 【详解】解：是无理数，其它的都是有理数． 故选：C 2. 下列是二元一次方程的解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，将各个选项中的x、y的值代入验证结果是否为4即可． 【详解】解：A．把代入得，，因此选项A不符合题意； B．把代入得，，因此选项B不符合题意； C．把代入得，，因此选项C不符合题意； D．把代入得，，因此选项D符合题意； 故选：D． 3. 如图，直线，相交于点O，平分，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：， ， 平分，， ， 和是对顶角， ． 故选：D． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 同位角相等 C. ，则，都是正数 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，两直线平行同位角相等，有理数的加法，平行公理及推论等知识点，解题的关键是熟悉上述知识，并能熟练运用． 根据绝对值的性质，两直线平行同位角相等，有理数的加法，平行公理及推论，分别对四个选项逐一分析，作出判断． 【详解】解：当，时，，但，故A是假命题； 两直线平行，同位角相等，故B是假命题； 当，时，，但不是正数，故C是假命题； 平行于同一条直线的两条直线平行，故D是真命题．  故选：D ． 5. 如图，将一个边长为1的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧，交数轴于点A，则点A对应的数为（ ）． A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，实数与数轴，根据勾股定理求出的长，根据实数与数轴的知识解答． 【详解】解：， ∴， 则点A对应的数是， 故选：B． 6. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与被开方数的关系，关键在于知道它们之间有何关系． 根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动2个位数，则它的算术平方根就向左或向右移动1个位数”可知答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，，，若点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ）． A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质的知识，根据题意得出与轴平行，，因此点P的横坐标为1，，进而得出P的坐标，即可解答． 【详解】解：∵， ∴与轴平行，， ∴点P的横坐标为1， ∵， ∴ ∴当点P在点B的上方时，点P的坐标为； 当点P在点B的下方时，点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 故选：B 8. 《九章算术》是我国古代的数学著作，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价，一马、二牛价不满一万，如半牛之价，问牛、马价各几何？”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加二头牛的价钱则不到一万，不足的部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马值x钱，一头牛值y钱，则可列方程组为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设一匹马值x钱，一头牛值y钱，根据“两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加二头牛的价钱则不到一万，不足的部分正好是半头牛的价钱”可列出方程组． 【详解】解：由题意可列方程组． 故选：C． 9. 如图，将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．由折叠得到，进而求得，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：由折叠得到， ∴， ∵在长方形纸条中，， ∴． 故选：A 10. 如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，……，依图中所示规律，点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，由题意可得的坐标为（n为奇数），据此即可求解． 【详解】解：由图可知：每一个图形都是等腰直角三角形， ，，，，，，……， ∴的坐标为（n为奇数）， ∵， ∴点的坐标为即， 故选：D． 二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上．） 11. 已知方程，用含的代数式表示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代入消元法．将x看成已知数，变形即可． 【详解】解：移项，整理得： ， 故答案为：． 12. 实数的整数部分是________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小． 因为，由此可以得到实数的整数部分． 【详解】解： 即， 实数的整数部分是． 故答案为：． 13. 如图，测量同学的跳远成绩所蕴含的数学原理是__________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：体育课上，老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 14. 在平面直角坐标系中，若点到x轴的距离是5，则m的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，根据点到x轴的距离等纵坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：∵点到x轴的距离是5， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质以及长方形的面积计算；本题根据平移的性质求出空白部分的长和宽，进而根据长方形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知，空白部分是长方形， 长为，宽为， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 16. 如图，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），对于下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 其中正确的有__________．（请填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形内角和定理，平行线的判定与性质，垂线的定义，正确理解题意是解题的关键．先证明，然后求出当时，，由此按照图①求解即可判断①；当时， 求得，，则，即可判断②；当时，先求出，则，，即可判断③；根据题意当时，只有如图⑥一种情况，据此判断④． 【详解】解：当三角板旋转角度小于度时，如题干图②，设直线与直线交于F， ∴， ∴， 当时，即，如图①所示， ∴， ∴； 当三角板旋转角度大于时，如图②所示， ∴， ∴当时，即， ∴， ∴此时在图中的位置， ∴，故①正确； 当三角板旋转角度小于度时，如图所示， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当三角板旋转角的大于时，如图④所示， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； 如图⑤所示，当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； 由于顺时针旋转到B、C、E共线时停止， ∴当时，只有如下图⑥一种情况， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①③④． 三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算． （1）首先化简带根号的部分，然后进行有理数的加减法运算即可； （2）首先去绝对值符号，然后进行实数的加减法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程及方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义和解二元一次方程组． （1）根据平方根的定义，得到关于x的一元一次方程，解方程即可； （2）把两个方程相加消去y，求出x，再把x的值代入其中一个方程求出y即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得：或； 【小问2详解】 解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得 ∴方程组的解为． 19. 已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查立方根和平方根的定义，需注意平方根的结果有正负但平方后均为非负数．解题关键在于正确建立方程并代入求解，最后通过算术平方根的定义得出结果．首先根据立方根的定义解出x的值，再利用平方根的定义建立方程解出y的值．最后代入求出的算术平方根． 【详解】解：实数的立方根是，根据立方根定义可得： ，解得：， 又的平方根是，根据平方根定义可得： ，将代入上式： ，化简得：， 解得：， 将和代入表达式： ， 的算术平方根为． 20. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．若先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）在图中画出，并写出点的坐标； （2）若内有一点经过上述平移后的对应点为，请写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，为所求． 点的坐标为． （2） （3）7 【解析】 【分析】本题考查平移作图，点的平移的坐标变换，求三角形的面积． （1）根据平移得到点，，，依次连接即可得到，根据坐标系直接写出点的坐标； （2）根据点的平移的坐标变换规律即可解答． （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点， ∴． 【小问3详解】 解：． 21. 如图，在中，，，．请证明：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，则可证明得到，进而可证明，据此可证明结论． 【详解】略． 22. 已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）请求出这个相同的解； （2）求a，b的值； （3）请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 【答案】（1） （2）， （3） 正确，理由如下： 将代入中，得： ， ∴无论m取何值，都是方程的解． 【解析】 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组． （1）联立，利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入含有a，b的方程得到方程组再求解即可； （3）将代入原方程，可得恒等式，进而与m无关，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解得， 这个相同的解是； 【小问2详解】 解：将代入含有a，b的方程得： ， 解得：， ∴a，b的值分别为6，4； 【小问3详解】 解：略． 23. 学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： （1）如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； （2）甲、乙两队各有多少位学生？ （3）现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 【答案】（1） （2）甲队有40人，乙队有35人 （3）一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组求解是解题的关键． （1）计算出甲、乙两队联合起来购买演出服的费用即可得到答案； （2）设甲队有x人，则乙队有人，先根据甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队列出不等式组求出x的取值范围，再讨论x的取值范围并根据价格表建立方程讨论求解即可； （3）设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人，由题意得，，求出此方程的正整数解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，甲、乙两队联合起来购买演出服的费用为元， ∵元， ∴如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省元； 【小问2详解】 解：设甲队有x人，则乙队有人， ∵甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队， ∴， ∴且x为正整数， 当时，则， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，则 ∴， 解得， ∴， 综上所述，甲队有40人，则乙队有35人， 答：甲队有40人，乙队有35人； 【小问3详解】 解：设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人， 由题意得，， ∴， ∵m、n为正整数， ∴是正整数，即是正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． （1）点C的坐标为__________； （2）P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ （3）如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 【答案】（1）； （2）或或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系点的坐标和线段长度间的关系，算术平方根的意义等知识，解决问题的关键是转化面积相等的条件． （1）根据平面直角坐标系的坐标特征，进而求得点坐标； （2）由三角形面积公式，求得的长，分为当点到O点之前和到O点之后进行分类讨论，进一步求得结果； （3）先由一次函数和求出M点坐标，由得出，进而求得点坐标． 【小问1详解】 解：，，且轴，轴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 当点P 在线段BO上运动时， 由得， ， ， 当P、Q都未到达O点时 ∴ ∴或， 当P到达O点，Q点未达到O点时， 此时 综上所述：或或； 【小问3详解】 设点， ，，， 直线的解析式是：， ， ，且M在线段AB上 ∴ ∴ 解得∴ ， ， ， ∴， ． 25. 已知，点E在直线上，点G在直线上，点H为一动点． （1）如图1，当点H在与之间时，点F在上，连接、、，若，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点M时，若，求的值． （3）如图3，当H在上方，交于点F，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点M，的角平分线和的角平分线相交于点，以此类推．请直接写出与之间的数量关系__________，用含n的式子表示与之间的数量关系__________． 【答案】（1） 证明：过作交于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①；② （3）， 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，平行线拐点模型，角平分线的定义； （1）过作交于，则，得到，结合得到，即可证明； （2）①当，时，设，则，由角平分线得到，，，根据列方程求出，再根据求解即可； ②由，设，则，根据角平分线和平行得到，，根据，得到，再根据得到，即可得到； （3）根据拐点模型得到，，即可得到；由角平分线得到，，则，同理可得，得到，代入计算即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：①当，时，， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴，解得， ∴； 【小问3详解】 解：过作，过作， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点M， ∴，， ∴，， ∴； ∵的角平分线和的角平分线相交于点， ∴，， ∴， 同理可得， ∴ ∵， 故答案为：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $