专题04 随机变量及其分布（人教A版2019选择性必修）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与全概率公式 题型02离散型随机变量及其分布列 题型03离散型随机变量的数字特征 题型04二项分布与超几何分布 题型05正态分布 ( 题型01 )条件概率与全概率公式 1．（23-24高二下·天津滨海新·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】由条件概率公式、古典概型概率公式求解即可. 【详解】由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为. 故选：B. 2．（23-24高二下·河北承德·期末）投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】求出、，由条件概率公式计算可得答案. 【详解】因为每枚骰子朝上的点数有奇数1，3，5三个，偶数有2，4，6三个， 所以3枚骰子朝上的点数之和为奇数的情况有奇数+奇数+奇数，偶数+偶数+奇数， 共两种情况，可得， 恰有1枚骰子朝上的点数为奇数的情况有偶数+偶数+奇数， 可得， 则. 故选：B. 3．（23-24高二下·陕西西安·期末）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】根据古典概率、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题得，C选项正确. 根据条件概率得：，A选项正确. ，B选项错误. 对于D，，故D正确. 故选：ACD 4．（23-24高二下·山西朔州·期末）甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（    ） A．A，B是对立事件 B．事件B，D相互独立 C． D． 【答案】ABD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算条件概率、独立事件的判断、利用全概率公式求概率 【分析】由互斥事件及独立事件的概念可判断A，B项，由条件概率公式及全概率公式可判断C，D项． 【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误； 对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABD 5．（23-24高二下·四川德阳·期末）甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（    ） A．该零件出自于甲加工的概率为0.25 B．该零件是次品的概率为0.0525 C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 【答案】ABD 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据题意，结合全概率公式和条件概率的计算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，因为甲加工的零件数占总数的，所以该零件出自于甲加工的概率为，所以A正确； 对于B中，该零件时次品的概率为，所以B正确； 对于C中，若零件是次品，则出自于乙加工的概率为，所以C不正确； 对于D中，若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为， 出自于丙加工的概率为，所以甲乙丙的罚款额之比为，所以D正确. 故选：ABD. 6．（23-24高二下·北京海淀·期末）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为 . 【答案】/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由全概率公式求解可得. 【详解】记事件“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是甲班的”， 事件“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是乙班的”， “居民所遇到的一位进行民意调查的同学是女生”， 则，且互斥，， 由题意可知，，， 且，， 由全概率公式可知 ， 即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为. 故答案为：. 7．（23-24高二下·天津滨海新·期末）天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为 ． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】直接由全概率公式即可求解. 【详解】由全概率公式可知，所求概率为. 故答案为：. 8．（23-24高二下·福建泉州·期末）在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为 . 【答案】// 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】由题意，分别求出此人来自A，B，C三个地区的概率，再利用条件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率. 【详解】设事件D为“从这三个地区中任意选取一人，此人是患流感者”，事件，，分别表示此人来自A，B，C三个地区， 由题意得，，， ，，， 由全概率公式得 . 故答案为：. 9．（20-21高二·全国·课后作业）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】由全概率公式即可处理. 【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应） 则,且两两互斥. 由题意可得：, . 故选：A. 10．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是 . 【答案】/ 【知识点】计算条件概率 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式列式计算即得. 【详解】令“第一个路口遇到红灯”，“第二个路口遇到红灯” 则，于是， 所以所求概率为. 故答案为： ( 题型02 )离散型随机变量及其分布列 11．（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据概率和为1列式求解即可. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为，， 则有，解可得. 故选：A. 12．（23-24高二下·甘肃白银·期末）甲､乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关者得-1分；若两人都过关或都未过关，则两人均得0分.甲､乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为. (1)求的分布列. (2)为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“当甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，令.证明：点的中点的横坐标为. (3)在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)0.12，答案见解析 【知识点】由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由题意得：分别求出相应的概率，由此能求出的分布列； （2）由题意得，计算出的值，推导出，根据中点公式能证明点的中点横坐标为； （3）由及，求出，由此推导出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的. 【详解】（1），，， 的分布列为 -1 0 1 （2）由题意得 ， ， . 于是有，整理可得， 根据中点公式有， 故的中点的横坐标为. （3）由（2）可知，于是， 又，所以， 表示最终认为甲获胜的概率， 由计算结果可以看出，当甲过关的概率为0.5，乙过关的概率为0.6时， 当甲的累计得分为分时，认为甲获胜的概率为， 此时得出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的. 13．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用两点分别的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以 ∴，∴. 故答案为： 14．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列，则 ． 【答案】/ 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质概率之和为可求. 【详解】已知（）， 则由分布列的性质可得 ， 解得， 故答案为：. 15．（23-24高二下·云南红河·期末）为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为. (1)记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数. 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)证明见解析，； (3)10，5. 【知识点】独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、互斥事件的概率加法公式、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）求出第二天选择水果的概率，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求出递推公式，再构造并证明求出. （3）由（2）得，由此求出求出分发水果和牛奶的人数. 【详解】（1）依题意，第二天选择水果的概率为， 第二天选择牛奶的概率为， 第二天选择水果的人数X的可能值为， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 期望为. （2）依题意，， 由，而， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，， 数列的通项公式为. （3）由（2）知，，当时，非常小，趋近于0，， ，即30天后学校每天选择水果的人数约为总人数的， 所以15位学生负责为全体同学分发营养餐，分发水果和牛奶的人数分别为. 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： ①根据题中条件确定随机变量的可能取值； ②求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； ③根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）. 16．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设离散型随机变量X的分布列如表所示，则（    ） X 1 2 P A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由分布列的性质可得，求解即可. 【详解】由分布列的性质可得,即， 解得. 又，解得，故. 故选:B. 17．（23-24高二下·山东菏泽·期末）若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 【答案】B 【知识点】两点分布 【分析】利用两点分布的性质可得答案. 【详解】依题意可得， ， 所以 故选：B. 18．（23-24高二下·福建莆田·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下 则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据条件，利用分步列的性质建立方程，即可求出结果. 【详解】由题知，，解得或，又，所以， 故选：C. 19．（23-24高二下·贵州遵义·期末）某一射手射击所得环数的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21 则（    ）． A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列中的概率和为1可得的方程，求得的值，进而结合对立事件概率公式可求得结果. 【详解】由题意可得，解得， . 故选：B. 20．（23-24高二下·江西吉安·期末）将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． (1)求该排球筐内有球的概率； (2)求的分布列． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A，则，根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列． 【详解】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A， 则 （2）由题意，的可能取值为0，1，2，3，4， ， , , , ， ∴的分布列为： 0 1 2 3 4 ( 题型03 )离散型随机变量的数字特征 21．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，则下列说法正确的是（    ） A．存在 B．对任意 C．存在 D．对任意 【答案】D 【知识点】求二次函数的值域或最值、作差法比较代数式的大小、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】对于A、B：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对于C：先求，利用作差法比较大小；对于D：换元令，结合二次函数求的取值范围. 【详解】由题意可得：，且，即， 对A、B：由题意可得：， ∵开口向下，对称轴，， 则，故，即， 不存在，，A错误； 例如，则，即存在，，，B错误； 对C：， 则， 故对任意，，则，C错误； 对D：令， 则图象开口向下，对称轴，且， 故，即， 对任意，，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据题意得到，， 22．（23-24高二下·青海·期末）已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为，随机变量X的分布列为 2 m 14 0.3 0.6 0.1 （   ） A．5 B．6 C．9.8 D．10.8 【答案】D 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、总体百分位数的估计 【分析】先求的值，再求的期望与方差. 【详解】∵，∴， ∴， ∴ 故选：D 23．（24-25高二下·全国·课后作业）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为，则 ． 【答案】/ 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】的可能取值为，分别求出相应的概率，再求. 【详解】依题意的可能取值为， 当时，甲、乙、丙三位同学选择同一个社团，有3种选法； 当时，甲、乙、丙三位同学仅选择两个社团，有种选法； 当时，甲、乙、丙三位同学选择不同的社团，有种选法； 则， ， ， 所以． 故答案为： 24．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 【答案】(1)分别抽取人，人和人 (2)分布列见解析；期望为 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意，利用分层抽样的方法，即可求解； （2）根据题意，得到变量的可能取值为，分别求得相应的概率，列出分布列，结合期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：某单位甲乙丙三个部门的员工人数分别为， 现采用分层抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查， 则从甲部门的员工中抽取人， 从乙部门的员工中抽取人， 从丙部门的员工中抽取人. （2）解：若抽取的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足， 现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查，用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，则的可能取值为， 则， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 4 则数学期望为 25．（23-24高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【知识点】计算条件概率、超几何分布的均值、二项分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）先将题设的数据整理为表格，根据表中数据结合条件概率的计算公式可求概率； （2）结合超几何分布可求的分布列和数学期望； （3）先求出李华在一轮测试中“优秀”的概率，再结合二项分布的期望公式可求至少要进行多少轮测试. 【详解】（1）由题设可得如下数据： 自由 单板 设为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”， 为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则， 而，故. 故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人， 该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为. （2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，，， 所以的分布列如下表： 0 1 2 所以. （3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件，则， 由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布， 由题意列式，得， 因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试. 26．（23-24高二下·天津滨海新·期末）随机变量的概率分布列如下表： 2 3 4 P a b a 根据随机变量的分布列，计算出 ，若，则b的数值应是 ． 【答案】 3 /0.5 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据随机变量分布列的性质得，利用数学期望的定义求出；再由方差计算公式列出方程求出值，即可得到的值. 【详解】依题意，， 解得，，代入得，. 故答案为：3； 27．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列如下: 0 1 设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】均值的性质、求离散型随机变量的均值 【分析】先根据期望公式求出，再根据期望的性质即可得到正确答案. 【详解】， 所以. 故选：B. 28．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立． (1)求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率； (2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算即可； （2）的取值可能是，分别求出概率，即可写出分布列，根据数学期望的公式计算即可． 【详解】（1）由题可知，A同学连胜2场或连败2场，则其概率． （2）由题可知，的取值可能是， 由（1）知，， 当时，前2场打平，后两场连胜或连败， 则， ， 所以分布列为： 2 4 6 所以数学期望． 29．（23-24高二下·新疆·期末）点球大战是指在足球比赛中，双方球队在经过90分钟常规赛和30分钟加时赛后仍然无法分出胜负的条件下，采取以互罚点球决胜负的方法.在点球大战中，双方球队确定各自罚球队员的顺序，通过抽签的方式决定哪一方先罚，双方球队各出1人进行1次罚球作为1轮罚球，点球大战期间队员不可重复罚球，除非一方球队的全部球员已依次全部罚球.点球大战主要分为两个阶段：第一阶段，以双方球员交替各踢5次点球作为5轮罚球，前5轮罚球以累计进球数多的一队获胜，当双方未交替踢满5轮，就已能分出胜负时，裁判会宣布进球多的一队获胜，当双方交替踢满5轮，双方进球数还是相等时，则进入第二阶段：第二阶段，双方球队继续罚球，直到出现某1轮结束时，一方罚进而另一方未罚进的局面，则由罚进的方取得胜利.现有甲､乙两队（每支队伍各11名球员）已经进入了点球大战，甲队先罚球，各队已经确定好罚球队员的顺序，甲队的球员第1轮上场，球员在点球时罚进球的概率为，其余的21名球员在点球时罚进球的概率均为. (1)求第3轮罚球结束时甲队获胜的概率； (2)已知甲､乙两队的点球大战已经进入第二阶段，在第二阶段的第4轮罚球结束时甲队获胜的条件下，甲､乙两队第二阶段的进球数之和为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、计算条件概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据第一阶段的规则，当甲队前3轮进3球时，无论后两轮甲队是否进球均可确定甲队累计进球数多，则甲队胜； （2）首先求出第二阶段每一轮的所有结果的概率，包括：甲队进球且乙队未进球、甲乙两队均进球、甲乙两队均未进球，根据题意知第二阶段的前3轮罚球甲､乙两队的进球数相等，第4轮罚球为甲队进球､乙队未进球，则可分析出X的可能取值，然后求解其条件概率，进而求得分布列及数学期望. 【详解】（1）第3轮罚球结束时甲队获胜，则甲队前3轮进3球，乙队前3轮未进球， 所以第3轮罚球结束时甲队获胜的概率为. （2）甲､乙两队的点球大战已经进入第二阶段，每一轮罚球甲队进球､乙队未进球的概率为，甲､乙两队均进球的概率为，甲､乙两队均未进球的概率为. 设事件为“第二阶段的第4轮罚球结束时甲队获胜”，则第二阶段的前3轮罚球甲､乙两队的进球数相等，第4轮罚球为甲队进球､乙队未进球， 所以. 由题意得的可能取值为， ， ， ， ， 的分布列为 1 3 5 7 所以. 30．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）全期望公式是条件数学期望的一个非常重要的性质。全期望公式具有广泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到1点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止.设为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得，解得，其中表示小明投一次1点后，再投骰子停止后次数期望仍为，加上之前投的一次总次数为.参考以上方法完成下列问题：一只小白鼠陷入一个有三扇门的迷宫中，它每次都是等可能得选择其中一扇门，如选择第一扇门，小白鼠2分钟后到达安全区；如选择第二扇门，小白鼠3分钟后回到迷宫起点；如选择第三扇门，小白鼠5分钟后回到迷宫起点.设小白鼠达到安全区所需的时间为，则 分钟. 【答案】10 【知识点】均值的性质、求离散型随机变量的均值 【分析】根据全期望公式及离散型随机变量的期望的性质即可求解. 【详解】由全期望公式可知，，解得分钟. 故答案为：. ( 题型04 )二项分布与超几何分布 31．（23-24高二下·贵州黔南·期末）转盘游戏的规则如下：将转盘进行十等分，从1到10依次进行标注，参与者转动转盘，转盘停止时，指针指到的数字记为分数，转盘游戏可进行多轮，每轮转动两次转盘，进行两次分别计分，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 8 5 9 7 10 7 7 6 8 9 第二次分数 8 9 8 7 7 9 8 7 9 10 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于8分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． (1)若从以上选手甲的十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设选手甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否“稳定发挥”以频率估计概率．记X为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、二项分布的均值 【分析】（1）由表格数的数据，可得选手甲在第一、三、九、十轮“稳定发挥”，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到甲在每轮游戏中"稳定发挥"的概率为，且，得出变量可能的取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，结合表格数的数据，可得选手甲在第一、三、九、十轮“稳定发挥”． 设从以上选手甲十轮游戏中任选两轮，这两轮均"稳定发挥"为事件， 则． （2）解：甲在每轮游戏中"稳定发挥"的概率为，且， 其中随机变量可能的取值为， 则， 所以变量的分布列为 X 0 1 2 3 则变量X的数学期望为． 32．（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量，则 . 【答案】3 【知识点】二项分布的方差 【分析】根据已知条件，结合二项分布的方差公式，即可求解. 【详解】随机变量， 则. 故答案为：3. 33．（23-24高二下·四川德阳·期末）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 . 【答案】/ 【知识点】求离散型随机变量的均值、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】由题意知X的可能取值，计算所求的概率值，写出X的概率分布，求出数学期望值. 【详解】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2； 则， ， ， 随机变量X的概率分布为； X 0 1 2 P 所以数学期望. 故答案为：. 34．（23-24高二下·天津滨海新·期末）某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； (2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、二项分布的均值 【分析】（1）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值； （2）将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件，“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且，分别计算出、的值，利用互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】（1）由题可得，的可能取值为、、、， 所以，， ，， 所以，的分布列为： 所以. （2）将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且， 则， ， 所以. 因此，在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率为. 35．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，坐标原点处有一个质点，每次向右或者向上移动一个单位，向上移动的概率为，向右移动的概率为次移动后质点的坐标为. (1)求质点移动到点处的概率； (2)5次移动后质点的横坐标为，求的期望； (3)求质点在经过20次移动以后，最有可能的位置坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】二项分布的均值、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案. （2）根据二项分布的知识求得的期望 （3）根据独立重复试验概率计算公式列不等式，由此求得最有可能的位置坐标. 【详解】（1） （2）依题意可知，所以. （3）设质点在经过次移动以后，最有可能的位置坐标为， 则， 即， 解得， 故所求位置坐标为或. 36．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量满足，且，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】根据题意，利用二项分布的期望与方差的公式，以及期望与方差的运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由随机变量满足，且，可得，解得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，因为，即，可得，所以B错误； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D正确. 故选：AD. 37．（23-24高二下·河北石家庄·期末）端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 【答案】B 【知识点】两点分布的均值、超几何分布的均值、两点分布的方差 【分析】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲礼盒里随机取一粽子，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即. 故A，C错误. 其中，其中，且，. 故从甲礼盒取粽子，相当于从含有个肉粽的个粽子中取1粽子，取到肉粽个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以， 随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故B正确，D错误. 故选：B. 【点睛】知识点点睛：本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 38．（23-24高二下·四川绵阳·期末）2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹虏舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X. (1)求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种? (2)求X的分布列及均值. 【答案】(1)31 (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）分高二年级有2名，3名，4名同学入学校队可求总的方法数； （2）随机变量X的取值为0，1，2，3，利用超几何分布的概率公式可求分布列与数学期望. 【详解】（1）高二年级至少2名同学入选校队包括以下情况： 高二年级仅2名同学入选校队有种； 高二年级仅3名同学入选校队有种； 高二年级4名同学入选校队有种； 高二年级至少2名同学入选校队共有18+12+1=31种选法． （2）由题意可知，随机变量X的取值为0，1，2，3， 校队由0个女生4个男生组成时，， 校队由1个女生3个男生组成时，， 校队由2个女生2个男生组成时，， 校队由3个女生1个男生组成时，， 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的均值为：． 39．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为（不考虑平局），则甲以3比1获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题 【分析】根据题意分析前4局甲的胜负情况，再根据二项分布计算即可. 【详解】若甲以3比1获胜，则甲、乙两人共比赛4局，其中前3局中甲胜2局，第4局甲必胜， 故所求概率为. 故选：. 40．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）一批产品的二等品率为0.3，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取4次，表示抽到的二等品件数，则 ． 【答案】/ 【知识点】二项分布的方差 【分析】利用二项分布的方差公式计算即得． 【详解】依题意，， 所以． 故答案为：． ( 题型05 )正态分布 41．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 【答案】 【知识点】指定区间的概率 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：. 42．（22-23高二下·山东临沂·期中）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少? (2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【答案】(1)分； (2)5； (3)分布列详见解析； 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值、正态分布的实际应用 【分析】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩； （2）利用二项分布即可求得随机变量的期望； （3）先求得随机变量X的各个可能取值对应的概率，进而得到随机变量X的分布列，再利用数学期望的定义即可求得随机变量X的数学期望. 【详解】（1）由， 又的近似值为76.5，的近似值为5.5， 所以该校预期的平均成绩大约是（分） （2）由，可得， 即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人， 该学生笔试成绩高于76.5的概率为 所以随机变量服从二项分布，故 （3）X的可能取值为， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以 43．（23-24高二下·青海·期末）已知某地生产的白砂糖是按袋装销售的，每袋白砂糖的质量（单位：）服从正态分布，且. (1)求，； (2)若甲从该地生产的白砂糖中随机购买袋，如果每袋质量都小于，那么甲得积分，如果有袋质量小于，那么甲得积分，如果至少有袋质量不小于，那么甲扣积分，记甲获得积分，求的数学期望. 【答案】(1)， (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】（1）根据正态分布曲线的性质可直接求解. （2）先求的分布列，再求的数学期望. 【详解】（1）因为服从正态分布，且，， 所以， 所以. （2）甲从该地生产的白砂糖中随机购买袋，设质量小于的袋数为， 依题意可得， 的可能取值为，，， ， ， ， 所以. 44．（23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性知，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 45．（23-24高二下·天津滨海新·期末）若随机变量，且，则 ． 【答案】 【知识点】指定区间的概率 【分析】直接利用正态分布的对称性得到答案． 【详解】因为，所以正态曲线的对称轴为， 因为，所以， 故答案为：0.26． 46．（23-24高二下·陕西西安·期末）某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为，则该同学的考试成绩可能为（    ）（参考数据：） A．120 B．90 C．80 D．60 【答案】B 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、正态分布的实际应用 【分析】根据题意分析可知，结合正态分布的对称性分析求解即可. 【详解】数学测试成绩服从正态分布，则，， 由于等级的概率之和为， 所以， 又因为， 即， 故为A等级，为等级，为等级，为等级， 结合选项可知：该同学的考试成绩可能为90. 故选：B. 47．（23-24高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（    ） 参考数据：若，则，，． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为. 故选：A. 48．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量.若，设事件“”，事件“”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】公式法解绝对值不等式、指定区间的概率、计算条件概率 【分析】，即或，根据正态分布的性质可求及的概率，再结合条件概率公式即可求解. 【详解】因为随机变量，且， ， ， ，即或， ， . 故选：. 49．（23-24高二下·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．随机变量，且，则 B．随机变量Y服从两点分布，且，则 C．对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D．在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32 【答案】ABD 【知识点】相关系数的意义及辨析、二项式的系数和、两点分布、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的概率分布曲线的对称性即可计算判断A；运用两点分布的数学期望、方差的定义与性质即可判断B；利用两变量相关系数的意义即可判断C；利用二项展开式的二项式系数特点即可判断D． 【详解】对于A，由题意得，，， 则，故A正确； 对于B，因为两点分布的， 所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，且， 所以a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故C错误； 对于D，由的展开式知，取，得， 取，得， 两式相减可得，，所以， 所以的展开式中偶数项的二项式系数和为32，故D正确. 故选：ABD． 50．（23-24高二下·安徽安庆·期末）某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（ ）（） A．50天 B．61天 C．86天 D．88天 【答案】B 【知识点】特殊区间的概率 【分析】根据正态分布的特殊区间的概率公式进行求解即可. 【详解】由， 因为， 所以， 即， 所以第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为： ， 故选：B 51．（23-24高二下·湖南·期末）北京地铁四号线被誉为“学霸地铁”，因为它贯穿了几所国内特别有名的高校，某校5名高中生利用暑假假期去北京游学，他们在动物园站开始乘坐4号线，以下几个站：国家图书馆，魏公村，人民大学，中关村，北京大学为他们的可能参观点，由于时间安排和个人喜好不同，他们各自行动，每人选一个自己最喜欢的景点，每个人在北京大学站下车的概率为，在其他站下车的概率均为，且不走回头路，在圆明园站汇合，每个人在各个车站下车互不影响.    (1)求在魏公村下车的人数的分布列及期望； (2)已知贾同学比李同学先下车，求贾同学在魏公村下车且李同学在北京大学站下车的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意可知每个人在魏公村下车的概率均为，的可能取值为，，求出分布列和数学期望； （2）设事件：贾同学比李同学先下车；事件：贾同学在魏公村下车，且李同学在北京大学站下车，求出,进而得到. 【详解】（1）的可能取值为， 由题意知每个人在魏公村下车的概率均为，且相互不影响，所以，， 0 1 2 3 4 5 . （2）设事件：贾同学比李同学先下车；事件：贾同学在魏公村下车，且李同学在北京大学站下车， 则，， 所以. 52．（23-24高二下·山东威海·期末）某校开设了科学、人文、艺体三类校本选修课程，每类课程开设的课程门数与学分设定如下表： 科学类 人文类 艺体类 课程门数 3 3 4 每门课程学分 3 2 1 学校要求学生从这门课程中选修门，假设学生选修每门课程的机会均等. (1)记事件为“学生甲选修的门课程中有且仅有门是科学类课程”，事件为“学生甲选修的门课程的总学分为分”，试判断与是否独立； (2)设学生甲选修的门课程的总学分为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)与不独立 (2)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由古典概型概率计算公式计算出，从而由独立乘法公式验算即可； （2）的取值范围是，算出对应的概率即可得分布列，进而得数学期望. 【详解】（1）由题意知，， ， ， 因为，所以与不独立. （2）的取值范围是， ，， ，，， 从而的分布列为 . 53．（23-24高二下·云南曲靖·期末）某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”． (1)小王从6个灯谜中任取3个作答，设选中编号为的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望； (2)若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】求离散型随机变量的均值、计算条件概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由题意得X可取，求出相应的概率，然后可求得X的分布列及数学期望； （2）设“小王猜对号灯谜为”为事件A，“小王获得中奖”为事件B，根据题意求出，然后利用条件概率公式可求得结果. 【详解】（1）由题意得X可取， ， ， 所求分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望 （2）设“小王猜对号灯谜为”为事件A，“小王获得中奖”为事件B， 则， 故， 即小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率为． 54．（23-24高二下·安徽亳州·期末）某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持．银行制定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查了部分企业，得到以下两个图表数据．    评估得分 评定类型 不合格 合格 良好 优秀 贷款金额（万元） 0 200 400 800 (1)任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率（将频率近似看做概率）； (2)对照上表给出的标准，这些企业进行了整改．整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值． 【答案】(1)0.45 (2) 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）由频率分布直方图可得, 抽到不合格、合格、良好、优秀的概率,则可得抽到的等级是优秀或良好的概率； （2）设整改后，抽到不合格、合格、良好的概率分别为，则也成等差数列，即，又，可得，列出分布列，可求得，又数学期望不低于410，列出不等式，即可解得不合格企业占企业总数百分比的最大值． 【详解】（1）设任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好、优秀的概率分别是， 则根据频率分布直方图可知， ． 故任抽一家企业，等级是优秀或良好的概率约为． （2）设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好的概率分别为， 因为不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列，所以也成等差数列， 即，又因为，所以， 设整改后一家企业获得的低息贷款为随机变量，则其分布列是 0 200 400 800 0.25 0.25 于是 ， 因为，所以，解得， 故整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是． 55．（23-24高二下·江西萍乡·期末）设集合为的非空子集，随机变量分别表示取到中的最小元素和最大元素的数值. (1)若，求事件“且”的概率； (2)若的概率为，求； (3)求随机变量的均值. 【答案】(1)； (2)7； (3). 【知识点】并集的概念及运算、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据子集个数的结论，结合古典概型求解即可； （2）求出，然后运用对立事件求概率，列方程求出即可； （3）运用子集，并集概念结论计算出，，进而证明，再求出即可. 【详解】（1），其非空子集的个数为， 依题意得，集合中的元素个数最少时，，元素个数最多时，， 所以集合的可能情况有种， 故； （2）由题意得，， 当时，其非空子集的个数为， 则 故，解得； （3）若和都是离散型随机变量，且它们的取值相互独立，则， 证明如下：设随机变量的可能取值为，且，则；随机变量的可能取值为 ，且，则，则 由题知，随机变量的可能取值为， 满足的子集可视为的子集与集合的并集，共有个； 同理，的子集共有个，的子集共有个，的子集共有个，则， 同理，随机变量的可能取值为，满足的子集可视为的子集与集合的并集，共有个，的子集共有个，的子集共有个，的子集有个，则， 所以 . 即随机变量的均值. 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，同时用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 56．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试（即共9项测试，随机选取3项）考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，其它选项小李均可一次性通过． (1)求小李第一次考试即通过的概率P1； (2)求小李参加考核的次数ξ的分布列及均值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）分求出小李没有抽到“移库”和抽到“移库”一项且通过的概率，相加即可； （2）根据题意可能为1，2，3，4，分别求其概率，即可得其分布列，再根据期望公式求期望即可. 【详解】（1）根据题意小李第一次考试即通过包括， ①小李没有抽到“移库”一项； ②抽到“移库”一项且通过， 所以； （2）根据题意小李参加考核的次数可能为1，2，3，4， 则， ， ， ， 分布列为 1 2 3 4 . 57．（23-24高二下·浙江舟山·期末）某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12次，其中球队获胜6次；中锋位置出场24次，其中球队获胜16次；后卫位置出场24次，其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率，则： (1)甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率； (2)为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10场热身赛，比赛没有平局，获胜得1分，失败得0分.已知Ⅰ队在每场比赛中获胜的概率是p（），若比赛最有可能的比分是7∶3，求p的取值范围； (3)现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3场的条件下，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、服从二项分布的随机变量概率最大问题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）由二项分布的概率公式，根据概率最大，即可列式求解p的取值范围； （3）先分别求出Ⅰ队获胜场的概率，再由条件概率求得X的分布列，进而得到X的数学期望. 【详解】（1）设“甲担任前锋”；“甲担任中锋”；“甲担任后卫”； “某场比赛中该球队获胜”. 则：，，， ，，， 由全概率公式可得： ， 所以甲参加比赛时，Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率是. （2）设这10场比赛，Ⅰ队获胜的场数是k，则P（Ⅰ队获胜k场）， 由题意，时，P（Ⅰ队获胜k场）最大， 所以有，解得， 所以p的取值范围为. （3）由题意，Ⅰ队一共需要打5场比赛， 设“5场比赛中Ⅰ队获胜i场”（，4，5），“5场比赛中Ⅰ队至少获胜3场”， ；； ，则， ， 同理可得， ， 则X的分布列为： X 3 4 5 P . 58．（23-24高二下·福建福州·期末）某企业研发一种新产品，要用A与B两套设备同时生产，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产的新产品合格率为0.9，设备B生产新产品合格率为0.6，且设备A与B生产的新产品是否合格相互独立． (1)从该公司生产的新产品随机抽取一件，求所抽产品为合格品的概率； (2)从某批新产品中随机抽取4件，设X表示合格品的件数，求X的分布列、期望和方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析；； 【知识点】利用全概率公式求概率、二项分布的均值、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）利用全概率公式可求出结果； （2）由题意，根据二项分布的概率公式及方差公式计算可得. 【详解】（1）设事件表示“随机抽取一件新产品，来自设备生产”， 事件表示“随机抽取一件新产品，来设备生产”， 事件表示“随机抽取一件新产品为合格品”， 因为设备的生产效率是设备的2倍，所以，， ，， 所以由全概率公式得 ， 所以所抽产品为合格品的概率为. （2）表示抽取合格品的件数，的可能取值为，则由题意， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以，. 59．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年3月14日，某班级为纪念“国际圆周率日”，特举办数学题答题比赛．已知赛题共6道（各不相同），其中3道为高考题，另3道为竞赛题，参赛者依次不放回地从6道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错或者6道题都答完即停止并记录答对题数． (1)举办方进行模拟抽题，设第X次为首次抽到竞赛题，求X的分布列； (2)A同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为，竞赛题答对的概率为． ①求A同学停止答题时答对题数为1的概率； ②已知A同学停止答题时答对题数为2，求这两题抽到竞赛题题数Y的均值． 【答案】(1)分布列见解析 (2)①，②. 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）写出可能取值，并分别求出对应的概率，列出分布列即可； （2）①设出事件，分析可能的情况，并求出概率即可； ②写出可能的取值，并计算出各个取值的概率，列出分布列并计算出数学期望. 【详解】（1）由题意知：可能取 ，. ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 （2）①设“A同学停止答题时答对题数为1”为事件 “A同学第一次抽中高考题，第二次抽中竞赛题并答错”为事件， “A同学第一次抽中竞赛题并答对，第二次还抽中竞赛题并答错”为事件， 则，， 所以. ②由A同学停止答题时答对题数为2， 设事件“第次选中竞赛题没答对”，“第次选中竞赛题并答对”，“第次选中选中高考题”， 答题结束时答对 2 题的概率为： ， 易知可能取， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以 【点睛】本题解决的关键是，熟练掌握全概率公式与贝叶斯公式求得的分布列，从而得解. 60．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某学校工会组织趣味投篮比赛.每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种. 方式一：选手投篮次，每次投中可得分.未投中不得分，累计得分； 方式二：选手最多投次.如第1次投中可进行第次投篮，如第次投中可进行第次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中次可得分，未投中不得分，累计得分； 已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为.且每次投篮相互独立. (1)求甲得分不低于分的概率； (2)求乙得分的分布列及期望： (3)甲、乙谁胜出的可能性更大？说明理由. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望； (3)甲获胜的可能性更大，理由见解析. 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）计算出及的概率，求和即可得； （2）写出的可能取值后计算对应的概率即可得分布列，借助分布列即可得期望； （3）分别计算出甲获胜的概率与乙获胜的概率，比较大小即可得解. 【详解】（1）设甲选择方式一参加比赛的得分为， ， ， 设甲得分不低于分为事件， 则； （2）设乙选择方式二参加比赛得分为，的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以； （3）甲胜出的可能性更大，理由如下： 甲获胜的情况有： ①甲分、乙分，②甲分、乙分，③甲分、乙分，④甲分、乙分， 所以甲获胜的概率为： ， 乙获胜的情况有： ①甲分、乙分，②甲分、乙分，③乙分，④乙分， 所以乙获胜的概率为， 因为， 所以甲获胜的可能性更大. 33 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与全概率公式 题型02离散型随机变量及其分布列 题型03离散型随机变量的数字特征 题型04二项分布与超几何分布 题型05正态分布 ( 题型01 )条件概率与全概率公式 1．（23-24高二下·天津滨海新·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北承德·期末）投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·陕西西安·期末）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山西朔州·期末）甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（    ） A．A，B是对立事件 B．事件B，D相互独立 C． D． 5．（23-24高二下·四川德阳·期末）甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（    ） A．该零件出自于甲加工的概率为0.25 B．该零件是次品的概率为0.0525 C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 6．（23-24高二下·北京海淀·期末）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为 . 7．（23-24高二下·天津滨海新·期末）天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为 ． 8．（23-24高二下·福建泉州·期末）在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为 . 9．（20-21高二·全国·课后作业）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是 . ( 题型02 )离散型随机变量及其分布列 11．（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 12．（23-24高二下·甘肃白银·期末）甲､乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关者得-1分；若两人都过关或都未过关，则两人均得0分.甲､乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为. (1)求的分布列. (2)为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“当甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，令.证明：点的中点的横坐标为. (3)在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性. 13．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 14．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列，则 ． 15．（23-24高二下·云南红河·期末）为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为. (1)记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数. 16．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设离散型随机变量X的分布列如表所示，则（    ） X 1 2 P A． B． C． D． 17．（23-24高二下·山东菏泽·期末）若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 18．（23-24高二下·福建莆田·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下 则（    ） A． B． C． D．或 19．（23-24高二下·贵州遵义·期末）某一射手射击所得环数的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21 则（    ）． A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21 20．（23-24高二下·江西吉安·期末）将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． (1)求该排球筐内有球的概率； (2)求的分布列． ( 题型0 3 )离散型随机变量的数字特征 21．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，则下列说法正确的是（    ） A．存在 B．对任意 C．存在 D．对任意 22．（23-24高二下·青海·期末）已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为，随机变量X的分布列为 2 m 14 0.3 0.6 0.1 （   ） A．5 B．6 C．9.8 D．10.8 23．（24-25高二下·全国·课后作业）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为，则 ． 24．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 25．（23-24高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 26．（23-24高二下·天津滨海新·期末）随机变量的概率分布列如下表： 2 3 4 P a b a 根据随机变量的分布列，计算出 ，若，则b的数值应是 ． 27．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列如下: 0 1 设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立． (1)求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率； (2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望． 29．（23-24高二下·新疆·期末）点球大战是指在足球比赛中，双方球队在经过90分钟常规赛和30分钟加时赛后仍然无法分出胜负的条件下，采取以互罚点球决胜负的方法.在点球大战中，双方球队确定各自罚球队员的顺序，通过抽签的方式决定哪一方先罚，双方球队各出1人进行1次罚球作为1轮罚球，点球大战期间队员不可重复罚球，除非一方球队的全部球员已依次全部罚球.点球大战主要分为两个阶段：第一阶段，以双方球员交替各踢5次点球作为5轮罚球，前5轮罚球以累计进球数多的一队获胜，当双方未交替踢满5轮，就已能分出胜负时，裁判会宣布进球多的一队获胜，当双方交替踢满5轮，双方进球数还是相等时，则进入第二阶段：第二阶段，双方球队继续罚球，直到出现某1轮结束时，一方罚进而另一方未罚进的局面，则由罚进的方取得胜利.现有甲､乙两队（每支队伍各11名球员）已经进入了点球大战，甲队先罚球，各队已经确定好罚球队员的顺序，甲队的球员第1轮上场，球员在点球时罚进球的概率为，其余的21名球员在点球时罚进球的概率均为. (1)求第3轮罚球结束时甲队获胜的概率； (2)已知甲､乙两队的点球大战已经进入第二阶段，在第二阶段的第4轮罚球结束时甲队获胜的条件下，甲､乙两队第二阶段的进球数之和为，求的分布列及数学期望. 30．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）全期望公式是条件数学期望的一个非常重要的性质。全期望公式具有广泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到1点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止.设为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得，解得，其中表示小明投一次1点后，再投骰子停止后次数期望仍为，加上之前投的一次总次数为.参考以上方法完成下列问题：一只小白鼠陷入一个有三扇门的迷宫中，它每次都是等可能得选择其中一扇门，如选择第一扇门，小白鼠2分钟后到达安全区；如选择第二扇门，小白鼠3分钟后回到迷宫起点；如选择第三扇门，小白鼠5分钟后回到迷宫起点.设小白鼠达到安全区所需的时间为，则 分钟. ( 题型0 4 )二项分布与超几何分布 31．（23-24高二下·贵州黔南·期末）转盘游戏的规则如下：将转盘进行十等分，从1到10依次进行标注，参与者转动转盘，转盘停止时，指针指到的数字记为分数，转盘游戏可进行多轮，每轮转动两次转盘，进行两次分别计分，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 8 5 9 7 10 7 7 6 8 9 第二次分数 8 9 8 7 7 9 8 7 9 10 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于8分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． (1)若从以上选手甲的十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设选手甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否“稳定发挥”以频率估计概率．记X为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望． 32．（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量，则 . 33．（23-24高二下·四川德阳·期末）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 . 34．（23-24高二下·天津滨海新·期末）某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； (2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 35．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，坐标原点处有一个质点，每次向右或者向上移动一个单位，向上移动的概率为，向右移动的概率为次移动后质点的坐标为. (1)求质点移动到点处的概率； (2)5次移动后质点的横坐标为，求的期望； (3)求质点在经过20次移动以后，最有可能的位置坐标. 36．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量满足，且，且，则（   ） A． B． C． D． 37．（23-24高二下·河北石家庄·期末）端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 38．（23-24高二下·四川绵阳·期末）2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹虏舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X. (1)求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种? (2)求X的分布列及均值. 39．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为（不考虑平局），则甲以3比1获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 40．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）一批产品的二等品率为0.3，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取4次，表示抽到的二等品件数，则 ． ( 题型0 5 )正态分布 41．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 42．（22-23高二下·山东临沂·期中）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少? (2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 43．（23-24高二下·青海·期末）已知某地生产的白砂糖是按袋装销售的，每袋白砂糖的质量（单位：）服从正态分布，且. (1)求，； (2)若甲从该地生产的白砂糖中随机购买袋，如果每袋质量都小于，那么甲得积分，如果有袋质量小于，那么甲得积分，如果至少有袋质量不小于，那么甲扣积分，记甲获得积分，求的数学期望. 44．（23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 45．（23-24高二下·天津滨海新·期末）若随机变量，且，则 ． 46．（23-24高二下·陕西西安·期末）某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为，则该同学的考试成绩可能为（    ）（参考数据：） A．120 B．90 C．80 D．60 47．（23-24高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（    ） 参考数据：若，则，，． A． B． C． D． 48．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量.若，设事件“”，事件“”，则（ ） A． B． C． D． 49．（23-24高二下·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．随机变量，且，则 B．随机变量Y服从两点分布，且，则 C．对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D．在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32 50．（23-24高二下·安徽安庆·期末）某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（ ）（） A．50天 B．61天 C．86天 D．88天 51．（23-24高二下·湖南·期末）北京地铁四号线被誉为“学霸地铁”，因为它贯穿了几所国内特别有名的高校，某校5名高中生利用暑假假期去北京游学，他们在动物园站开始乘坐4号线，以下几个站：国家图书馆，魏公村，人民大学，中关村，北京大学为他们的可能参观点，由于时间安排和个人喜好不同，他们各自行动，每人选一个自己最喜欢的景点，每个人在北京大学站下车的概率为，在其他站下车的概率均为，且不走回头路，在圆明园站汇合，每个人在各个车站下车互不影响.    (1)求在魏公村下车的人数的分布列及期望； (2)已知贾同学比李同学先下车，求贾同学在魏公村下车且李同学在北京大学站下车的概率. 52．（23-24高二下·山东威海·期末）某校开设了科学、人文、艺体三类校本选修课程，每类课程开设的课程门数与学分设定如下表： 科学类 人文类 艺体类 课程门数 3 3 4 每门课程学分 3 2 1 学校要求学生从这门课程中选修门，假设学生选修每门课程的机会均等. (1)记事件为“学生甲选修的门课程中有且仅有门是科学类课程”，事件为“学生甲选修的门课程的总学分为分”，试判断与是否独立； (2)设学生甲选修的门课程的总学分为，求的分布列和数学期望. 53．（23-24高二下·云南曲靖·期末）某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”． (1)小王从6个灯谜中任取3个作答，设选中编号为的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望； (2)若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率． 54．（23-24高二下·安徽亳州·期末）某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持．银行制定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查了部分企业，得到以下两个图表数据．    评估得分 评定类型 不合格 合格 良好 优秀 贷款金额（万元） 0 200 400 800 (1)任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率（将频率近似看做概率）； (2)对照上表给出的标准，这些企业进行了整改．整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值． 55．（23-24高二下·江西萍乡·期末）设集合为的非空子集，随机变量分别表示取到中的最小元素和最大元素的数值. (1)若，求事件“且”的概率； (2)若的概率为，求； (3)求随机变量的均值. 56．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试（即共9项测试，随机选取3项）考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，其它选项小李均可一次性通过． (1)求小李第一次考试即通过的概率P1； (2)求小李参加考核的次数ξ的分布列及均值． 57．（23-24高二下·浙江舟山·期末）某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12次，其中球队获胜6次；中锋位置出场24次，其中球队获胜16次；后卫位置出场24次，其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率，则： (1)甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率； (2)为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10场热身赛，比赛没有平局，获胜得1分，失败得0分.已知Ⅰ队在每场比赛中获胜的概率是p（），若比赛最有可能的比分是7∶3，求p的取值范围； (3)现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3场的条件下，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望. 58．（23-24高二下·福建福州·期末）某企业研发一种新产品，要用A与B两套设备同时生产，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产的新产品合格率为0.9，设备B生产新产品合格率为0.6，且设备A与B生产的新产品是否合格相互独立． (1)从该公司生产的新产品随机抽取一件，求所抽产品为合格品的概率； (2)从某批新产品中随机抽取4件，设X表示合格品的件数，求X的分布列、期望和方差． 59．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年3月14日，某班级为纪念“国际圆周率日”，特举办数学题答题比赛．已知赛题共6道（各不相同），其中3道为高考题，另3道为竞赛题，参赛者依次不放回地从6道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错或者6道题都答完即停止并记录答对题数． (1)举办方进行模拟抽题，设第X次为首次抽到竞赛题，求X的分布列； (2)A同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为，竞赛题答对的概率为． ①求A同学停止答题时答对题数为1的概率； ②已知A同学停止答题时答对题数为2，求这两题抽到竞赛题题数Y的均值． 60．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某学校工会组织趣味投篮比赛.每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种. 方式一：选手投篮次，每次投中可得分.未投中不得分，累计得分； 方式二：选手最多投次.如第1次投中可进行第次投篮，如第次投中可进行第次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中次可得分，未投中不得分，累计得分； 已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为.且每次投篮相互独立. (1)求甲得分不低于分的概率； (2)求乙得分的分布列及期望： (3)甲、乙谁胜出的可能性更大？说明理由. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$