专题03 计数原理（人教A版2019选择性必修）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题03 计数原理 题型概览 题型01分类加法计数原理与分类乘法计数原理 题型02排列与组合 题型03二项式定理 ( 题型01 )分类加法计数原理与分类乘法计数原理 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 2．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·四川德阳·期末）2160的不同正因数个数为（    ） A．42 B．40 C．36 D．30 4．（23-24高二下·天津滨海新·期末）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（    ） A．10种 B．60种 C．125种 D．243种 5．（23-24高二下·贵州安顺·期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 6．（23-24高二下·广东广州·期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 7．（23-24高二下·天津西青·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江西萍乡·期末）用0与1两个数字随机填入如图所示的4个格子里，每个格子填一个数字.若从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为 . 9．（23-24高二下·河北张家口·期末）求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如，12的正整数因数只需分别从，中各选一个元素相乘即可，则2025的正整数因数的个数为（    ） A．8 B．10 C．15 D．16 10．（23-24高二下·广东广州·期末）一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有 种不同的去法．（用数字作答） ( 题型02 )排列与组合 11．（23-24高二下·北京丰台·期末）2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 12．（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 13．（23-24高二下·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 15．（23-24高二下·浙江温州·期末）现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为 . 16．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 . 19．（23-24高二下·陕西西安·期末）在如图的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法. 8 1 6 3 5 7 4 9 2 20．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 3 )二项式定理 21．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知. (1)求n的值； (2)求的值； (3)求的值（结果用数字表示）. 22．（23-24高二下·浙江台州·期末）的展开式中的系数是 ．（用数字作答） 23．（23-24高二下·甘肃白银·期末）二项式的展开式中，x的系数为 . 24．（23-24高二下·青海·期末）在的展开式中，的系数为 . 25．（23-24高二下·广东中山·期末）已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为． (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 26．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知的展开式中的系数为48，则实数＝（    ） A．2 B．1 C． D． 27．（23-24高二下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 28．（23-24高二下·新疆·期末）在的展开式中，的系数为 ． 29．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 30．（23-24高二下·陕西西安·期末）的展开式中项的系数为（    ） A． B．5 C． D．10 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 计数原理 题型概览 题型01分类加法计数原理与分类乘法计数原理 题型02排列与组合 题型03二项式定理 ( 题型01 )分类加法计数原理与分类乘法计数原理 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据分类加法计数原理进行求解, 【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为. 故选：B. 2．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题 【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解. 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，. 故选：B. 3．（23-24高二下·四川德阳·期末）2160的不同正因数个数为（    ） A．42 B．40 C．36 D．30 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据转化为因式乘积分类计算正因数个数即可. 【详解】， 所以2160的不同正因数个数为： . 共40个. 故选：B. 4．（23-24高二下·天津滨海新·期末）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（    ） A．10种 B．60种 C．125种 D．243种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法计数原理计算即可． 【详解】五人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种， 故选：D． 5．（23-24高二下·贵州安顺·期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用插空法，结合分步乘法计数原理求解． 【详解】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择， 当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择， 所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）. 故选：D 6．（23-24高二下·广东广州·期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】先让同学甲从种菜中选种，有种选法； 再让同学乙从种菜中选种，有种选法； 最后让同学丙从种菜中选种，有种选法； 根据分步乘法计数原理，共有种选法. 故选：D. 7．（23-24高二下·天津西青·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分类加法计数原理 【分析】由分类计数原理求解． 【详解】由分类计数原理得，不同的选法种数为：， 故选：A 8．（23-24高二下·江西萍乡·期末）用0与1两个数字随机填入如图所示的4个格子里，每个格子填一个数字.若从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为 . 【答案】/0.375 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率 【分析】利用列举法可得答案. 【详解】用0与1两个数字随机填入4个格子里，共有种填法， 从左到右数1的个数不少于0的个数为 1111，1110，1101，1011，1100，1010，共有6种填法， 则1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为. 故答案为：. 9．（23-24高二下·河北张家口·期末）求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如，12的正整数因数只需分别从，中各选一个元素相乘即可，则2025的正整数因数的个数为（    ） A．8 B．10 C．15 D．16 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、代数中的计数问题 【分析】首先分解质因数，再根据分步乘法计数原理计算可得. 【详解】因为， 所以的正整数因数只需分别从，中各选一个元素相乘即可， 有种取法，即有个正整数因数． 故选：C． 10．（23-24高二下·广东广州·期末）一个课外活动小组的7名同学被邀请参加一个社团活动．如果必须有人去，去几个人自行决定，有 种不同的去法．（用数字作答） 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步乘法计数原理求得所有不同去法，减去没有人去的情况即可． 【详解】7名同学被邀请参加一个社团活动，有种去法， 没人去的有种， 故必须有人去的去法有种． 故答案为：． ( 题型02 )排列与组合 11．（23-24高二下·北京丰台·期末）2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)24 (2)16 (3)144 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、全排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）根据题意直接全排列即可； （2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案； （3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影即可. 【详解】（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种； （2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片的不同方法有种； （3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法有种. 12．（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 【答案】C 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可. 【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：C 13．（23-24高二下·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率、相邻问题的排列问题 【分析】用捆绑法求出甲、乙、丙3人站在一起的方法数，除以10的全排列数可得． 【详解】由捆绑法可得，甲、乙、丙站在一起的概率为. 故选：B． 14．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】利用捆绑法可求得结果. 【详解】将本语文书捆绑、本数学书捆绑， 则相同科目的书相邻的排法种数为种. 故选：C. 15．（23-24高二下·浙江温州·期末）现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为 . 【答案】 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】利用捆绑法和间接法的原则，先求满足条件的方法种数，再根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】先将甲、乙两人捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排， 再减去丙排在周三的排法即可求得所求事件的不同排法. 所以不同排法的种数为， 又5位教师从周一到周五的常规值班一共有种方法， 所以教师不站两端，且甲、乙相邻的概率. 故答案为： 16．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列的意义理解 【分析】根据题意，先把3个县捆绑在一起，看成一个整体，再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，先把罗甸县、长顺县、惠水县这3个县捆绑在一起，看成一个整体，有种排法； 再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列共种， 根据分步相乘计数原理，共有种排法． 故选：C． 17．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、全排列问题 【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法， 然后我们把他们捆绑为一个整体， 再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法， 所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确. 故选：D 18．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 . 【答案】130 【知识点】其他组合计数模型 【分析】从条件入手，由于只能取0或1，因此5个数值的有2个0，3个0，或4个0，讨论这三种情况，即可求解. 【详解】因为，，集合中元素满足条件， 由于只能取0或1，因此5个数值中有2个0，3个0或4个0的三种情况， ①中有2个取值为0，另外3个从中取，共有方法数：， ②中有3个取值为0，另外2个从中取，共有方法数：， ③中有4个取值为0，另外1个从中取，共有方法数：， 所以总共方法数为， 即集合中满足条件的元素个数有个. 故答案为：130 19．（23-24高二下·陕西西安·期末）在如图的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法. 8 1 6 3 5 7 4 9 2 【答案】36 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、代数中的组合计数问题 【分析】根据排列组合，即可结合分步乘法计数原理求解. 【详解】方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中， 则共有种. 故答案为：36. 20．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】排列数的计算、组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】根据排列数、组合数的计算公式及性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，故B正确； 对于C，因为，， 又，所以，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：ABD. ( 题型03 )二项式定理 21．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知. (1)求n的值； (2)求的值； (3)求的值（结果用数字表示）. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】组合数的性质及应用、多项式的展开式、求指定项的系数 【分析】（1）根据题目条件，令，化简可得的值. （2）根据题目条件，令，化简可得结果. （3）结合二项式展开式通项公式可得，结合组合数性质求值可得结果. 【详解】（1）在中， 令，得，所以. （2）在中， 令，得， 所以. （3）∵的展开式的通项公式为， ∴. 22．（23-24高二下·浙江台州·期末）的展开式中的系数是 ．（用数字作答） 【答案】40 【知识点】求指定项的系数 【分析】求出展开式的通项公式，利用的幂指数确定项即可得解. 【详解】二项式展开式的通项， 因此含的项为第3项，即， 所以的系数是. 故答案为：40 23．（23-24高二下·甘肃白银·期末）二项式的展开式中，x的系数为 . 【答案】20 【知识点】求指定项的系数 【分析】先求出展开式通项公式，再由通项公式中的系数为1即可求出的系数为1的项，进而得的系数. 【详解】的展开式的通项公式为: ， 由得， 则展开式中的系数为. 故答案为：20. 24．（23-24高二下·青海·期末）在的展开式中，的系数为 . 【答案】60 【知识点】求指定项的系数 【分析】求出给定二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数. 【详解】的展开式通项为， 由，得，所以的系数为. 故答案为：60 25．（23-24高二下·广东中山·期末）已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为． (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求有理项或其系数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）求得展开式的通项为，根据题意，列出方程求得，进而求得展开式的常数项； （2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，结合，求得的值，代入即可求解. 【详解】（1）解：由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第项与第项的二项式系数之比为，可得，即，解得（负值舍）， 所以，令，得，所以展开式的常数项为. （2）解：设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为 26．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知的展开式中的系数为48，则实数＝（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】由项的系数确定参数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】先求出二项式的通项公式，将分为两项，由的系数求解参数即可. 【详解】二项式的通项公式为． 的展开式中， 的系数为，解得． 故选：B． 27．（23-24高二下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 【答案】128 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】赋值令，代入求出结果即可； 【详解】令，得． 故答案为：128. 28．（23-24高二下·新疆·期末）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】35 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】合理对原式进行变形，再利用二项式定理求解即可. 【详解】由题意得， 而由二项式定理得的通项为， 令，解得，令，解得， 则含有的项为， 即的系数为35． 故答案为：35. 29．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数、三项展开式的系数问题 【分析】（1）当时,,由展开式中含项的系数与含的系数,可求得,进而可求得展开式中的常数项; （2）当时,,其通项,设第项的系数最大,列不等式求解即可. 【详解】（1）当时,, 其二项展开式的通项为, 展开式中含项的系数与含的系数相等, 又 , 展开式中的常数项为. （2）当时，, 其通项. 设第项的系数最大， 则， 整理得, 解得, 或. 经检验,. 展开式中系数最大项的系数为：或. 30．（23-24高二下·陕西西安·期末）的展开式中项的系数为（    ） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【知识点】求指定项的系数 【分析】先写出通项公式，令，得到的系数. 【详解】由通项公式， 时，，所以展开式中项的系数为. 故选：D. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$