专题03 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题03 立体几何初步 题型概览 题型01基本立体图形 题型02立体图形的直观图 题型03简单几何题的表面积与体积 题型04空间点、直线、平面之间的位置关系 题型05空间直线、平面的平行 题型06空间直线、平面的垂直 ( 题型01 ) 基本立体图形 1．（23-24高一下·云南迪庆·期末）已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·青海·期末）已知某棱锥有12个面，则该棱锥的棱的条数是（    ） A．12 B．18 C．22 D．36 3．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）已知A，B，C三点均在球O的表面上，，且球O的内接正方体的棱长为，则球心O到平面ABC的距离为（    ） A． B．1 C．2 D． 4．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知圆锥的顶点为，母线长为1，其侧面展开图扇形的圆心角为，设该圆锥外接球半径为，内切球半径为，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·吉林通化·期末）在正四棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）    A． B．3 C． D． 7．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（    ） A．棱台的高为 B．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 C．棱台的表面积为 D．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 8．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 ． 9．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·陕西·期末）佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为 ． ( 题型02 )立体图形的直观图 11．（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为 ． 13．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）已知是边长为的正三角形，那么平面直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·广西河池·期末）矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 15．（23-24高一下·湖南长沙·期末）边长为的正三角形的直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·广东广州·期末）已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·吉林·期末）如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为的正方形，则原四边形的面积是 ．    18．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）用斜二测画法画三角形的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B． C．2 D．4 19．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，则原四边形OABC的面积为（    ）    A． B．3 C． D． 20．（23-24高一下·福建三明·期末）如图，是水平放置的 在斜二测画法下的直观图. 若 ，，则 的面积为（    ） A．2 B． C． D． ( 题型03 ) 简单几何题的表面积与体积 21．（23-24高一下·江苏·期末）若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·江西宜春·期末）底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ． 23．（23-24高一下·辽宁·期末）若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·河北承德·期末）在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是6米，下底面圆的直径是12米，母线长为5米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是 立方米． 25．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 26．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·浙江杭州·期末）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为.设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为，则以下关系正确的是（    ）    A． B． C． D．的最大值为 28．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如下图，正方体中，，上底面中心为. 现将正方形绕点在原平面内逆时针旋转角，，连接，得到如下图所示的十面体： 则这个十面体的外接球的表面积是 ；这个十面体体积的最大值是 . 29．（23-24高一下·四川成都·期末）若某球体的半径与某圆锥的底面半径相等，且该球体的表面积为，体积为，该圆锥的侧面积为，体积为，若，则该球体半径与该圆锥母线的比值为 ． 30．（23-24高一下·贵州黔西·期末）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ． ( 题型04 ) 空间点、直线、平面之间的位置关系 31．（23-24高一下·湖南株洲·期末）设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若不垂直于，则必不垂直于 C．若,，则 D．若是异面直线，，则 32．（23-24高一下·江苏无锡·期末）若为空间中两条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 33．（23-24高一下·宁夏固原·期末）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 34．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 35．（23-24高一下·新疆·期末）在中，，，平面，边，在平面上的射影长分别为6，8，则（    ） A．边在上的射影长为 B．边在上的射影长为 C．B，C两点在平面的同一侧 D．B，C两点在平面的两侧 36．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）已知直线平面 ， 直线平面，有下面四个命题：① ；②；③； ④.其中正确的两个命题是（    ） A．①与② B．①与③ C．②与④ D．③与④ 37．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与平面所成角相等，则 B．若平面上有三个不同点到平面的距离相等，则 C．若上有两个不同点到平面的距离相等，则 D．若，且直线异面，则 38．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·北京大兴·期末）已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 40．（23-24高一下·河南商丘·期末）设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ( 题型05 )空间直线、平面的平行 41．（23-24高一下·内蒙古·期末）正八面体是一种正多面体，也是一种正轴体，由8个正三角形面组成，每个面均为正三角形.如图，正八面体的棱长为10，M为棱FC上一点，且，则（    ） A．平面平面 B．该正八面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值为 D．异面直线与所成角的余弦值为 42．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，若到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 44．（23-24高一下·四川凉山·期末）如图1，正六边形边长为2，为边的中点，将四边形沿 折成如图2所示的五面体，使为正三角形. (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 45．（23-24高一下·四川凉山·期末）在棱长为的正方体中，均为所在棱的中点，则下列论述正确的有（    ） A．经过直线与点的平面与正方体的截面是一个正六边形 B．与直线、、都相交的直线有三条 C．在侧面内（包含边界），若//面，则点轨迹的长度为 D．过的平面截正方体内切球的截面面积的最大值为 46．（23-24高一下·陕西西安·期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 47．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 48．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则（    ）    A． B．平面平面OMN C． D．四棱锥的体积为 49．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知平面，和直线，，且，，，则与的位置关系是（    ） A．平行或异面 B．平行 C．异面 D．相交 50．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则（   ） A．与平面所成的角为 B．若点为正四棱锥外接球的球心，则四棱锥的体积为4 C．若点在底面内（包含边界）运动，为中点，则当平面时，点的轨迹长度为 D．若以点为球心，为半径的球的球面与正四棱锥的棱，，，分别交于点，，，，则多面体的体积为 ( 题型06 )空间直线、平面的垂直 51．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 52．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 53．（23-24高一下·江苏·期末）在正方体中，直线和直线所成的角为 . 54．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在正三棱柱中，，与平面所成的角为，则该正三棱柱的体积为 ． 55．（23-24高一下·青海·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 56．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．平面 C．异面直线与所成角为 D．平面截正方体所得截面的面积为18 57．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 58．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在棱长为1的正方体.中，P为线段上的动点(不包含端点)，则（    ） A．存在点P，使得直线与AC所成角为 B．不存在点P，使得平面APD平面 C．三棱锥的体积 D．存在点 P，使得直线垂直于平面 59．（23-24高一下·天津红桥·期末）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则， B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 60．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（    ）. A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 61．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）如图，正方体的棱长为2.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 62．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，直三棱柱的侧面积为，底面为等腰直角三角形，，，M，N分别是和的中点． (1)求证：平面； (2)取的中点E，连接与交于点O，求异面直线与所成角的余弦值． 63．（23-24高一下·安徽安庆·期末）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且. (1)求证:平面MCD; (2)，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 64．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）如图，直三棱柱 中，，为的中点. (1)求证：平面 ； (2)求 到平面 的距离. 65．（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.求证： (1)四点共面； (2)平面平面. 66．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 67．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 68．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图，正三棱柱中，是的中点，．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 69．（23-24高一下·青海·期末）如图，在三棱柱中，平面ABC，且D，E分别是棱的中点． (1)证明：平面． (2)若是等边三角形，，求三棱柱的体积． 70．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在三棱锥中，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立体几何初步 题型概览 题型01基本立体图形 题型02立体图形的直观图 题型03简单几何题的表面积与体积 题型04空间点、直线、平面之间的位置关系 题型05空间直线、平面的平行 题型06空间直线、平面的垂直 基本立体图形题型01 1．（23-24高一下·云南迪庆·期末）已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】根据圆锥中平行底面截面的性质求解. 【详解】设截面与底面的距离为，则，解得. 故选：C 2．（23-24高一下·青海·期末）已知某棱锥有12个面，则该棱锥的棱的条数是（    ） A．12 B．18 C．22 D．36 【答案】C 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】由棱锥的结构特点即可判断。 【详解】因为棱锥有12个面， 所以该棱锥为十一棱锥，则该棱锥的棱的条数是22． 故选:C. 3．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）已知A，B，C三点均在球O的表面上，，且球O的内接正方体的棱长为，则球心O到平面ABC的距离为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】设球心O到平面ABC的距离为，的外接圆的半径为，球的半径为，则，计算即可. 【详解】设球心O到平面ABC的距离为，的外接圆的半径为，球的半径为， 球O的内接正方体的棱长为，所以， 因为，所以，所以， 由球的性质可知，，即，所以. 故选：B. 4．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知圆锥的顶点为，母线长为1，其侧面展开图扇形的圆心角为，设该圆锥外接球半径为，内切球半径为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】弧长的有关计算、圆锥中截面的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径，利用圆锥轴截面等腰三角形外接圆、内切圆与圆锥外接球、内切球大圆的关系求出即可得解. 【详解】依题意，圆锥底面圆半径，则，解得，于是圆锥的高， 圆锥轴截面等腰三角形的外接圆即为圆锥外接球截面大圆，内切圆即为圆锥内切球截面大圆， 令圆锥轴截面等腰三角形底角为，则，因此，即， 圆锥轴截面等腰三角形面积，解得， 所以. 故选：A 5．（23-24高一下·吉林通化·期末）在正四棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、正棱锥及其有关计算 【分析】先根据几何图形特征求出,再应用余弦定理求解即可. 【详解】 在中， 在中，因为 由余弦定理得. 在中，因为, 由余弦定理得. 过B作 在中，由余弦定理得 因为所以. 故选：D. 6．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、余弦定理解三角形、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可. 【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，    一只蚂蚁从点P出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点P的最短距离为， 设，圆锥底面周长为，所以圆弧的长为， 所以， 在中，由，得， 故选：D. 7．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（    ） A．棱台的高为 B．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 C．棱台的表面积为 D．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 【答案】BC 【知识点】棱台的结构特征和分类、正棱台及其有关计算、求线面角、求二面角 【分析】根据正三棱台的特征上下底面都是等边三角形，侧面都是等腰梯形，作出三棱台的高，从而根据表面积公式可计算表面积，由线面角、二面角的定义先找出所成的角，然后借助直角三角形代入数据计算即可. 【详解】由题可知，在正三棱台中，, 在平面中，由点向作垂线垂足为D，取线段BC的中点E，连接AE， 如图，在平面中，由点向AE作垂线，垂足为F，连接DF， 在等腰梯形中，，,，则，， 所以棱台的表面积为：，故C正确； 又三棱台为正三棱台，所以为正三棱台的高，所以且都在面内， 所以平面，面，故， 在中，， 在中，， 所以棱台的高为，故A错误； 棱台的侧棱与底面所成角为故D错误； 棱台的侧面与底面所成的二面角为，故B正确 故选：BC 8．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 ． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算、组合体的切接问题 【分析】由条件可求4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径，结合球的截面性质可求球心到截面圆的距离，进一步加上垂直折起的4个小直角三角形的高以及鸡蛋（球）的半径即可得解. 【详解】由已知蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为1， 且蛋巢的高度为，又球的半径为1，所以球心到截面的距离为, 故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查球的截面性质的实际应用，属于较难题. 解题的思路在于充分理解题意，弄清鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离包括三部分，①垂直折起的4个小直角三角形的高；②球心到截面圆的距离；③球心到鸡蛋最高点之间的半径.而蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径即蛋巢底面正方形的边长,利用球的截面圆性质即可求得球心到截面距离. 9．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】利用勾股定理得到圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长. 【详解】因为圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，由勾股定理的圆锥的母线长为， 圆锥底面圆的周长为，所以圆锥的侧面积为； 故选：C 10．（23-24高一下·陕西·期末）佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为 ． 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】首先利用转换关系，把平面图形转换为直观图．由两个同底且棱长都为1的正三棱锥构成的几何体求解. 【详解】解：如图所示： 易知该几何体是侧棱长为1，以边长为1的等边三角形为底的两个正三棱锥组成， O为的中心，即内切球的球心，M为FB的中点，连接HM， 作，则ON为内切球的半径， 因为，，， 所以， 所以内切球的半径为. 故答案为：. 立体图形的直观图题型02 11．（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据平面图与直观图的联系，分别判断三角形在两坐标系中的边、角关系，计算即得. 【详解】 根据题意，轴，轴，故， 又，则，， 在平面图直角坐标系中，有， 于是，，，， 所以的周长为. 故选：C. 12．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】将直观图复原为原图，求出相关线段的长，即可求得答案. 【详解】由题意知在直观图等腰梯形，，， 则； 将直观图复原为原图，如图示： 则， 作于，则， 故四边形的周长为． 故答案为：. 13．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）已知是边长为的正三角形，那么平面直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据题意作出的直观图进行求解. 【详解】如图，平面直观图， 由题意可知，则， 过作于，则， 所以的面积为. 故选：D 14．（23-24高一下·广西河池·期末）矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 【答案】D 【知识点】斜二测画法辨析、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据直观图定义以及矩形的结构特征即可得解. 【详解】由直观图定义可知直观图不改变原图形的平行关系，也不改变平行于x轴的线段的长度， 直观图会改变原图形的夹角以及平行于y轴的线段的长度， 故矩形的直观图是平行四边形． 故选：D. 15．（23-24高一下·湖南长沙·期末）边长为的正三角形的直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据正三角形的面积公式求出原图形的面积，再由直观图和原图的面积比为即可得解. 【详解】因为正三角形的边长为， 所以原图形的面积为：， 因为直观图和原图的面积比为， 所以直观图的面积为：. 故选：A. 16．（23-24高一下·广东广州·期末）已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图是菱形可得答案. 【详解】如图，是矩形的直观图，则，，， 所以的高为， 则直观图的面积为. 故选：A. 17．（23-24高一下·吉林·期末）如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为的正方形，则原四边形的面积是 ．    【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据原图形的面积是直观图的面积的倍即可求解. 【详解】由斜二测画法可知, 原图形的面积是直观图的面积的倍， 则，且， 所以. 故答案为：.    18．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）用斜二测画法画三角形的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用锐角三角函数定义结合直观图的性质求解即可. 【详解】在中，由直观图性质得， 由锐角三角函数定义得，解得， 由直观图性质得，故B正确. 故选：B 19．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，则原四边形OABC的面积为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】先利用梯形的面积公式求得直观图的面积，再利用直观图与原图面积的比值即可得解. 【详解】根据题意，直观图直角梯形中，， 则直观图的面积， 故原图的面积. 故选：A. 20．（23-24高一下·福建三明·期末）如图，是水平放置的 在斜二测画法下的直观图. 若 ，，则 的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二测画法作图规则，将直观图还原为，即可求解. 【详解】由题意，在斜二测画法下的直观图中, 则在平面直角坐标系下，, 所以的面积为. 故选：B. 简单几何题的表面积与体积题型03 21．（23-24高一下·江苏·期末）若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】利用圆锥表面积以及球的表面积公式构造方程即可. 【详解】易知圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即， 解得（负舍）. 故选：B. 22．（23-24高一下·江西宜春·期末）底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、圆锥中截面的有关计算 【分析】由轴截面是等边三角形求出圆锥底面半径与母线长，再由圆锥表面积公式计算． 【详解】因为圆锥的底面直径为2，它的轴截面是等边三角形， 则圆锥的母线长，底面半径， 所以圆锥表面积为． 故答案为：． 23．（23-24高一下·辽宁·期末）若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算、斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，再轴旋转一周得到的圆柱和圆锥的组合几何体的体积. 【详解】由题意，，，，， ， 所以原图形中，，，，， ， 所以梯形以边为轴旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个同底圆锥的组合体， ． 故选：D． 24．（23-24高一下·河北承德·期末）在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是6米，下底面圆的直径是12米，母线长为5米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是 立方米． 【答案】 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据圆台的体积公式计算． 【详解】由已知圆台的上底半径为米，下底半径为米，母线长为米，所以高为（米）， 体积为（立方米）． 故答案为：． 25．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 【答案】D 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】结合圆锥体积公式，利用液体的体积相等可求答案. 【详解】因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为， 当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的， 所以液面的半径为1，此时液体的体积为， 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥， 设圆锥的底面半径为，高为，则有，即， .此时液体的体积为， 由，得，所以. 故选：D. 26．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则有，利用三角形面积公式可得，又由点在上且满足，可得到平面的距离，结合三棱锥体积公式计算可得答案． 【详解】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为， 则有， 而，， 又由，，平分，则， 则； 故，而， 则有， 又由点在上且满足，故到平面的距离为， 则有， 故． 故选：B． 27．（23-24高一下·浙江杭州·期末）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为.设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为，则以下关系正确的是（    ）    A． B． C． D．的最大值为 【答案】AD 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】对于A，由已知结合球和圆柱的体积公式、表面积公式即可依次求出、、、，从而得解；对于B，设圆台上下底面的半径和母线长分别为，由三角形全等得，求证得，进而由台体体积公式计算得，由台体表面积公式得，从而 得和即可得解；对于C，设圆锥的底面半径、高和母线长为、和，由得①，由和，得②，进而得和，再由锥体体积公式和表面积公式即可求出和，从而得；对于D，由C结合基本不等式即为的最大值. 【详解】对于A，由题得，，，， 所以，所以，故A正确； 对于B，设圆台上下底面的半径和母线长分别为，圆台容球的轴截面如图所示，    因为， 所以， 所以，且， 所以， 又，所以，所以， 所以， ， 所以， 所以，故B错误； 对于C，设圆锥的底面半径、高和母线长为、和，圆锥容球的轴截面如图所示，    则由得， 整理得即①， 因为, 所以，故， 所以，所以即②， 由①②得即，整理得， 所以由①得， 所以，， 所以， 所以，故C错误； 对于D，由题意可知，所以由C得， 当且仅当即时等号成立，故的最大值为，故D正确. 故选：AD. 【点睛】思路点睛：对于圆台的体积和表面积，先由三角形全等得，接着由得，进而由台体体积公式和表面积公式计算求出和即可得和；对于圆锥的体积和表面积，先由得①，接着由和得②，从而由①②得和，再由锥体体积公式和表面积公式即可求出和，进而得. 28．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如下图，正方体中，，上底面中心为. 现将正方形绕点在原平面内逆时针旋转角，，连接，得到如下图所示的十面体： 则这个十面体的外接球的表面积是 ；这个十面体体积的最大值是 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】该十面体的外接球球心显然是上下底面中心连线的中点，该点到该十面体每个顶点的距离均为. 所以这个十面体的外接球的半径是，从而其表面积是. 如图，设有一平行于底面的平面，并设该十面体被平面截得的截面为八边形. 并设平面和下底面之间的距离为，则 ，，，，，，，. 将所有的点都投影到一个平行于底面的平面上，得到两个外接圆相同的正方形和一个八边形，如下图所示. 设在投影后的图中，的面积为，则. 根据相似三角形性质有，， 所以. 由于，，故每个截面的面积最大值都在时取到. 这个时候，，此时原组合体的体积取到最大值. 在该条件下，我们计算原几何体的体积，此时有，. 记下底面和上底面的中心分别为和，则直线垂直于两底面，并设的中点为. 在线段上分别取点，使得，则由于，且，故四边形为平行四边形. 而平面，且直线在平面内，故，所以四边形为矩形. 所以，而由可知，且和在平面内交于点，故平面. 同理，平面. 现在，由于，，故点到的距离. 根据对称性，点到平面的距离也为，同时，直线和的距离等于的长度，即. 同理，点到平面的距离和点到平面的距离均为，与，和与的距离都是. 所以. 同理. 而， 同理. 又有. 所以在该条件下，该几何体的体积为 . 综上，此十面体体积的最大值为. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用恰当的分割方式计算组合体的体积. 29．（23-24高一下·四川成都·期末）若某球体的半径与某圆锥的底面半径相等，且该球体的表面积为，体积为，该圆锥的侧面积为，体积为，若，则该球体半径与该圆锥母线的比值为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】假设球体的半径，求出表面积和体积，假设圆锥的高，求出母线长和体积，根据所给条件进行化简，得到的关系,进而求解. 【详解】设球体的半径为，则表面积，体积 设圆锥高为，则母线长为，则侧面积为,体积为, ， ， ， 比值为. 故答案为：. 30．（23-24高一下·贵州黔西·期末）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ． 【答案】7 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果. 【详解】由题意可知：正四棱台的体积为， 根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7. 故答案为：7. 空间点、直线、平面之间的位置关系题型04 31．（23-24高一下·湖南株洲·期末）设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若不垂直于，则必不垂直于 C．若,，则 D．若是异面直线，，则 【答案】D 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】A中，可能平行、相交或异面；B中有可能垂直于；C中或；D中结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可得. 【详解】对于A，若，，，则，可能平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故B错误； 对于C，若且，则或，故C错误； 对于D，若、是异面直线，，，，， 则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，设， 又，则，，，所以， 又，，，，所以，故D正确. 故选：D. 32．（23-24高一下·江苏无锡·期末）若为空间中两条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中线线、线面和面面之间的关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则，故B正确； C：若，，则，故C正确； D：若，则或与异面或与相交，故D错误. 故选：D 33．（23-24高一下·宁夏固原·期末）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据线面平行考虑所有可能情况判断A，由两平面平行的判定判断B，根据线面平行的性质判断C，根据线线平行、线面平行的判定定理判断D. 【详解】对A，，，则可能，相交、异面，故A错误； 对B，若，，则可能平行，可能相交，不一定垂直，故B错误； 对C，若，，根据线面垂直的性质可得，故C正确； 对D，若，，则或，故D错误. 故选：C 34．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、线面角的概念及辨析 【分析】根据直线所处不同位置可以分析充分性，再根据两直线平行，可判断与面所成角相等即可判断必要性. 【详解】由题意，当直线与平面所成的角相等时，两条直线可能平行、相交或异面， 则充分性不成立， 当两条直线平行时，此时与平面所成的角相等的，必要性成立， 所以两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的必要不充分条件. 故选：B 35．（23-24高一下·新疆·期末）在中，，，平面，边，在平面上的射影长分别为6，8，则（    ） A．边在上的射影长为 B．边在上的射影长为 C．B，C两点在平面的同一侧 D．B，C两点在平面的两侧 【答案】BD 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据射影概念，分情况讨论当在的同侧，异侧，进行求解即可. 【详解】如图： 设B，C在平面上的射影分别为，， 因为，，且边，在平面上的射影长分别为6，8，所以，. 当B，C在的同一侧时，在上的射影， 此时，A，C错误； 当B，C在的两侧时，在上的射影，满足，B，D正确. 故选：BD 36．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）已知直线平面 ， 直线平面，有下面四个命题：① ；②；③； ④.其中正确的两个命题是（    ） A．①与② B．①与③ C．②与④ D．③与④ 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由线面、面面垂直的判定与性质判断即可. 【详解】对于①，因为直线平面，平面平面， 所以直线平面， 因为直线平面， 所以直线直线，故①正确； 对于②，如图所示，正方体中， 平面平面，直线平面， 直线平面，但直线直线，故②错误； 对于③，因为，， 所以， 又因为， 所以，故③正确； 对于D，如图所示，正方体中， 平面，，平面， 但平面与平面相交，故④错误. 故选：B. 37．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与平面所成角相等，则 B．若平面上有三个不同点到平面的距离相等，则 C．若上有两个不同点到平面的距离相等，则 D．若，且直线异面，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系逐一判断即可． 【详解】 对于A,比如在正方体中，直线与平面所成角均为， 但相交，A错误； 对于B，直线上的点到平面的距离相等， 故平面上有三个不同点到平面的距离相等， 但平面与平面相交，B错误； 对于C，点到平面的距离相等，但直线与平面相交，故C错误； 对于D，若，，故过可作一平面，使得，则， 由于，异面，，所以，相交，否则，进而可得， 这与，异面矛盾，所以，相交，结合，，，， 所以则，D正确． 故选：D． 38．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面的概念及其表示、线面关系有关命题的判断 【分析】根据点线、线面的位置关系，应用数学符号表示它们的关系即可，注意点属于或不属于线、面，线包含于或不包含于面. 【详解】由点在直线上，即； 由直线在平面内，即. 所以. 故选：D. 39．（23-24高一下·北京大兴·期末）已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系结合充分必要条件判断即可. 【详解】若，，则与位置关系有：平行，相交，异面，则不一定垂直； 若，，则与不一定垂直，也可以平行，故“”是“”的既不充分也不必要条件； 故选：D 40．（23-24高一下·河南商丘·期末）设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】根据线面位置关系分别判断充分必要条件即可. 【详解】若，则A，B两点到平面的距离相等， 但反之不成立，因为当，分别在平面a的两侧， 且满足，到平面的距离相等时，直线l与平面相交． 故选：B． 空间直线、平面的平行题型05 41．（23-24高一下·内蒙古·期末）正八面体是一种正多面体，也是一种正轴体，由8个正三角形面组成，每个面均为正三角形.如图，正八面体的棱长为10，M为棱FC上一点，且，则（    ） A．平面平面 B．该正八面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值为 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ACD 【知识点】求二面角、证明面面平行、求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题 【分析】应用线面平行结合面面平行判定定理判断A,再根据正八面体的性质结合外接球表面积公式计算判断B,应用二面角定义找到即二面角的平面角再结合余弦定理求解判断C,根据线线平行得出异面直线所成角为再余弦定理计算即可判断D. 【详解】由正八面体的性质可得平面,不在平面内，所以平面， 又因为，平面,不在平面内，所以平面， 又,平面,所以平面平面，A正确. 连接，.设与交于点O，则即该正八面体外接球的半径. 因为，所以该正八面体外接球的表面积为，B错误. 取AD的中点N，连接易得,则即二面角的平面角. 因为正八面体的棱长为10，所以,,， 所以，C正确. 因为，所以即异面直线AE与BM所成的角. 因为，所以.因为， 所以，则，D正确. 故选：ACD. 42．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，若到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、判断面面平行 【分析】补形成正方体，求出正方体棱长，然后可得外接球半径，然后可解. 【详解】将正四面体补形成正方体，如图， 因为，，所以， 又是平面内的相交直线，所以平面平面， 因为到平面的距离分别是3和9，所以正方体棱长为， 结合正方体对称性可知，球心到平面的距离为3， 记正四面体的外接球的半径为，则，解得， 则外接球被平面截得的截面半径， 所以，截面面积为. 故选：A 43．（23-24高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、求异面直线所成的角、由异面直线所成的角求其他量 【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角， 所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或     故选：C    44．（23-24高一下·四川凉山·期末）如图1，正六边形边长为2，为边的中点，将四边形沿 折成如图2所示的五面体，使为正三角形. (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】（1）由题意可得，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）取中点，连接，利用平行四边形的性质和中位线定理可得或其补角为直线与所成的角，求出的各边长结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：在正六边形中，， 所以在五面体中，， 平面，平面， 平面. （2）取中点，连接， 由题意得，且， 四边形为平行四边形， ， 又分别为的中点， ， ， 或其补角为直线与所成的角， 在中，，，， ， ， 同理， 又， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 45．（23-24高一下·四川凉山·期末）在棱长为的正方体中，均为所在棱的中点，则下列论述正确的有（    ） A．经过直线与点的平面与正方体的截面是一个正六边形 B．与直线、、都相交的直线有三条 C．在侧面内（包含边界），若//面，则点轨迹的长度为 D．过的平面截正方体内切球的截面面积的最大值为 【答案】AC 【知识点】判断正方体的截面形状、球的截面的性质及计算、异面直线的概念及辨析、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】对于A，设分别为的中点，根据空间中的平行关系可得六点共面，再计算可得各边相等且各角相等，故可判断A的正误，对于B，利用构造法可得与直线、、都相交的直线有无数条，故可判断B的正误，对于C，根据面面平行可判断的轨迹，计算其长度后可判断C的正误，对于D，求出内切球的半径后可判断D的正误. 【详解】 对于A，设分别为的中点，连接， 由正方体的性质可得，因此，故四点共面， 同理四点共面， 故五点共面， 而也四点共面，故六点共面， 设正方体的棱长为，则， 而，为正三角形，故所成的角即为， 故为或，但为钝角，故， 同理， 故六边形为正六边形，故A正确. 对于B，由正方体的性质可得为异面直线， 故过且与平行的平面有且只有一个即为平面， 若在存在相异点，在直线上存在一点， 满足，，则，当，矛盾； 若在存在相异点，在直线上存在相异点， 满足，，则，故共面， 故，共面，矛盾. 故，上至多各存在一点，过它们的直线与平行， 现在上任意取一点（若存在，则异于），则不在平面中， 因为直线与确定一个平面，这个平面与有且仅有个交点， 此时与必定相交，当取不同的位置就确定不同的平面， 从而与有不同的交点，故有无数条直线与都相交，故B错误. 对于C，取的中点为，为的四等分点且，为的中点， 连接，则，，故四边形为平行四边形， 故，而，故， 而平面，平面，故平面， 由正方形的性质可得，而，故，同理可得平面， 而，平面，故平面平面， 而平面，故平面，故的轨迹为， 而，故C正确. 对于D，过的平面截正方体内切球的截面面积的面积取最大值时该截面过球心， 而内切球的半径为1，故截面面积的最大值为，故D错误. 故选：AC. 【点睛】思维点睛：空间几何体的截面问题，可利用基本性质构建截面，也可以利用空间点线面位置关系的性质来处理，而空间中的动点的轨迹问题，往往转化为不同几何对象的交来处理. 46．（23-24高一下·陕西西安·期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、面面平行证明线面平行 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，，，则且， 反之，当且时，若，则或与相交， 所以“”是“且”的充分不必要条件. 故选：A 47．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平行公理、面面平行证明线线平行 【分析】利用面面平行的性质定理可得，再逐项分析求解即可. 【详解】正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，所以， 正方体中，且，四边形为平行四边形， 则有，所以，C选项正确； 都与相交，则与都不平行，ABD选项都错误. 故选：C. 48．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则（    ）    A． B．平面平面OMN C． D．四棱锥的体积为 【答案】ABC 【知识点】柱体体积的有关计算、证明线面平行、判断面面平行 【分析】根据中位线可判断A，根据线线平行求证线面平行，即可求解B，根据三角形的边长关系，即可求解C，根据锥体的体积公式即可求解D. 【详解】对于A，由于分别为侧棱的中点,所以,又，故，A正确， 对于B, 连接,由于分别为侧棱的中点,所以，平面,平面,所以平面,同理，平面,平面,故平面,，平面，所以平面平面，故B正确． 对于C，由于,所以，故，又，故，C正确， 对于D，由于，故D错； 故选：ABC    49．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知平面，和直线，，且，，，则与的位置关系是（    ） A．平行或异面 B．平行 C．异面 D．相交 【答案】A 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】结合两平面平行的位置关系，判断两直线没有公共点即得. 【详解】因，，，则与没有公共点，即与平行或异面. 故选：A. 50．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则（   ） A．与平面所成的角为 B．若点为正四棱锥外接球的球心，则四棱锥的体积为4 C．若点在底面内（包含边界）运动，为中点，则当平面时，点的轨迹长度为 D．若以点为球心，为半径的球的球面与正四棱锥的棱，，，分别交于点，，，，则多面体的体积为 【答案】ACD 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意，与平面所成角为，代入相关长度计算即可判断；易知正四棱锥外接球的球心在上，根据勾股定理求得外接球半径，再计算体积即可判断；根据面面平行可得点的轨迹为可判断；判断出四边形为正方形，由余弦定理求出边长即可判断D. 【详解】如图所示，，连接，交于点，则，. 对于，，故与平面所成角为，正确； 对于，连接，则平面，，点在上， 因为平面，所以， 设正四棱锥外接球的半径为， 在中，，即，解得， 所以，则，故错误； 对于，取，的中点，，连接，，，则， 因为四边形为正方形，所以，， 又，的中点为，，所以， 所以四边形为平行四边形，则，， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，平面，且， 所以平面平面， 因为平面，且平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以，即点的轨迹为，所以点的轨迹长度为，故正确； 对于，以点为球心，为半径的球的球面与正四棱锥的棱，，，分别交于点，，，，则， 所以，，，，则四边形为正方形， 在中，， 在中，，得， 所以，且多面体是一个正四棱台且正四棱台的高，上底面面积，下底面面积， 且正四棱台的体积，故正确. 故选：. 空间直线、平面的垂直题型06 51．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】直三棱柱的外接球球心为上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，求出半径，再算面积即可. 【详解】因为，，则为直角三角形， 和的外心分别为斜边的中点， 连接，取的中点， 则为三棱柱外接球的球心， 其外接圆半径为， 则半径， 则外接球的表面积为. 故选：C 52．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 【答案】 【知识点】求点面距离 【分析】利用等体积计算即可. 【详解】因平面，则为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，则， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为，则, 设点C到平面的距离为，则， 得 故答案为：. 53．（23-24高一下·江苏·期末）在正方体中，直线和直线所成的角为 . 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】利用异面直线所成角的定义可知即为所求的角. 【详解】如下图所示： 由正方体性质可得， 所以直线和直线所成的角等于， 又易知为等边三角形，所以. 故答案为： 54．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在正三棱柱中，，与平面所成的角为，则该正三棱柱的体积为 ． 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、由线面角的大小求长度 【分析】取的中点为D，证明平面，即可得，求出相关线段长，根据三棱柱的体积公式计算即可得解. 【详解】取的中点为D，连接，由为正三角形，故， 又平面，平面，则， 又，平面，故平面， 连接，则即为与平面所成的角，即， 由平面，故； 由于，故，故， 在中，， 故. 故答案为：. 55．（23-24高一下·青海·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直 【分析】结合空间线面的位置关系及平行与垂直的判定与性质定理对各个选项分别进行判断即可. 【详解】由，得或，则A错误． 由，得或相交，则B错误． 由，得或，则C错误． 由，得，则D正确． 故选：D 56．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．平面 C．异面直线与所成角为 D．平面截正方体所得截面的面积为18 【答案】ACD 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】根据线面平行的判断定理，即可判断A；根据线面垂直的定义，结合垂直关系，即可判断B；根据异面直线所成角的定义，以及平行关系的转化，即可判断C，首先作出平面截正方体所得截面，再计算截面的面积. 【详解】对于A，如图，由条件可知，，平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，取的中点，连结， 因为，，，所以, 则 ，不满足勾股定理， 所以不垂直于，则不垂直于平面， 所以不垂直于平面，故B错误； 对于C，连结，是等边三角形，所以直线与所成角为， 所以异面直线与所成角为，故C正确； D.连结，所以四点共面， 四边形是平面截正方体所得截面， 如图，四边形是等腰梯形，， ， 作于，则， 所以四边形的面积，故D正确. 故选：ACD. 57．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中直线、平面的位置关系进行逐项判断即可. 【详解】因为，，则或相交或异面，故A错误； 由，，则与的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误. 故选：C. 58．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在棱长为1的正方体.中，P为线段上的动点(不包含端点)，则（    ） A．存在点P，使得直线与AC所成角为 B．不存在点P，使得平面APD平面 C．三棱锥的体积 D．存在点 P，使得直线垂直于平面 【答案】ACD 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、证明面面平行、证明线面垂直 【分析】当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断A，当点为中点时，证明面面平行，即可判断B；结合等体积转化，即可判断C；当点为中点时，证明线面垂直，即可判断D. 【详解】当点为线段上靠近的四等分点时，如图，连接，， 过点作，交于， 则，又正方体中，，所以， 则直线与AC所成角为， 又， ， 所以为等边三角形，所以，故A正确； 当点为的中点时，有，平面，平面， 所以平面，同理，平面， 且，平面， 所以平面，故B错误； 三棱锥的体积， 故C正确； 当点为的中点时，有，又， 所以平面即平面 ， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，故D正确； 故选：ACD 59．（23-24高一下·天津红桥·期末）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则， B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据线面位置关系，结合线面平行、垂直的判定性质逐项讨论即可得答案． 【详解】对于A，若，可以在或内，当时，， A错误； 对于B，若，则或相交，B错误； 对于C，若，，则或异面，C错误； 对于D，由，得，当时，，D正确． 故选：D. 60．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（    ）. A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.缺少条件，故A错误； B. 若，，，则，故B正确； C. 若，，，则与平行，相交，或异面，垂直都有可能，故C错误； D. 若，，，则与相交，平行，垂直都有可能，故D错误. 故选：B 61．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）如图，正方体的棱长为2.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求二面角 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得证； （2）设，首先证明即为二面角的平面角，再由解三角形的知识求解即可得答案. 【详解】（1）在正方体，且， ∴为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）∵在正方形ABCD中，设，连接， ∴，， ∵中，，∴为等腰三角形，∴， ∴即为二面角的平面角， ∵在中，， ∴，即二面角的正弦值为.    62．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，直三棱柱的侧面积为，底面为等腰直角三角形，，，M，N分别是和的中点． (1)求证：平面； (2)取的中点E，连接与交于点O，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】（1）连接．先证明四边形是矩形．再借助中位线证明，运用线面平行定理证明即可. （2）连接并延长与交于的中点，记为点F，过O作，交于点H．则为的三等分点（靠近点），连接，则或其补角为异面直线与所成角，设，根据直三棱柱的侧面积为，解得，再分别求出，，，，在中用余弦定理求出即可. 【详解】（1）证明：连接． 在直三棱柱中，，且， 四边形是矩形． 是的中点， 过点N且平分． 在中，M是的中点， 是的中位线， ，又平面，平面， 平面． （2）点E，M分别是和的中点， 与的交点O为的重心． 连接并延长与交于的中点，记为点F． 过O作，交于点H． 为的三等分点（靠近点）． 连接，则或其补角为异面直线与所成角． 设，则直三棱柱的侧面积为，解得． 直三棱柱的底面为直角三角形，， ，． 且都在面内， 平面，面， ． 又， ． 又，． 在中，， 异面直线与所成角的余弦值为． 63．（23-24高一下·安徽安庆·期末）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且. (1)求证:平面MCD; (2)，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】余弦定理解三角形、锥体体积的有关计算、证明线面平行、求线面角 【分析】（1）取PA的中点S，结合中位线性质可得S，M，C，D四点共面，再利用结合线面平行的判定定理即可得证； （2）利用所给条件，结合线面垂直的判定定理与性质定理与余弦定理计算可得的余弦值，再利用等体积法可求出点到平面的距离，结合的长度即可得解. 【详解】（1）取PA的中点S，连接SM，SD，SC，因为为PB的中点， 所以，又，所以，故S，M，C，D四点共面， 由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故， 又平面平面MCD，因此平面MCD； （2）连接AC，BD交于点，则为平行四边形ABCD的中心， 又， 则等腰中，根据三线合一，有， 又，平面， 故平面， 设， 则， ， ， 相加并整理得，① 在Rt，Rt中，有， 即，（2），，③ 解方程组①②③得，， 故， 于是， 在中，是PC中点， 故， 于是， 设点A到平面PBC的距离为，由，得， 故， 故所求线面角的正弦值. 64．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）如图，直三棱柱 中，，为的中点. (1)求证：平面 ； (2)求 到平面 的距离. 【答案】(1)证明见解析. (2). 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、求点面距离 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线定理证明，由线面平行的判定定理证明即可； （2）设点到平面的距离为，利用等体积法，结合锥体的体积公式求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则点为的中点， 又因为为的中点， 所以， 又平面，平面， 故平面. （2）设点到平面的距离为， 在直三棱柱中，平面， 则为三棱锥的高， 所以, 又因为， 所以, , 所以，即. 所以， 即， 由解得. 所以点到平面的距离为. 65．（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.求证： (1)四点共面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题、证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）连接BH，由中位线可得，即可证明F，G，H，B四点共面； （2）由面面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）连接， 分别是的中点, 为的中位线， ， 四点共面； （2）由（1）知， 平面面， 平面； 又分别是的中点 ， 平面平面， 平面； 面面， 平面平面. 66．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 67．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求二面角 【分析】（1）连接，通过四边形是正方形，得到，进而可求证； （2）作，垂足为，连接.先证明平面，得到是二面角的平面角，在判断四棱锥为正四棱锥，求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． （2）解： 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 68．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图，正三棱柱中，是的中点，．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）连接，设，证明，即可证明平面； （2）先证明平面，再利用等积变换，结合锥体体积公式可求三棱锥的体积． 【详解】（1）连接，设，连接， 是正三棱柱，且， ∴四边形是正方形，是的中点， 又是的中点，， 平面平面平面．    （2）∵正三棱柱中，是的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 平面，   ． 69．（23-24高一下·青海·期末）如图，在三棱柱中，平面ABC，且D，E分别是棱的中点． (1)证明：平面． (2)若是等边三角形，，求三棱柱的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面平行证明线面平行、证明线面平行、柱体体积的有关计算 【分析】（1）取棱BC的中点，利用线面平行的判定、面面平行的判定及性质推理得证. （2）结合（1）中信息，利用线面垂直的性质，结合勾股定理求出三棱柱的高，进而求出体积. 【详解】（1）如图，取棱BC的中点，连接DF，EF，由D是棱AB的中点，得， 而平面平面，则平面， 在三棱柱中，， 由E，F分别是棱的中点，得， 则四边形是平行四边形，有，又平面平面， 则平面，而平面DEF，且， 因此平面平面，又平面DEF， 所以平面. （2）由D，F分别是棱AB，BC的中点，得， 设，则，又，则， 由（1）知，又平面ABC，则平面ABC， 而平面ABC，于是，则， 又，则，解得，即， 等边三角形的面积， 所以三棱柱的体积. 70．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在三棱锥中，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点面距离、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由条件可得平面，利用锥体的体积可求体积； （2）利用等体积法可求点点到平面的距离. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，又，平面， 所以平面，又， 所以三棱锥的体积； （2）在中，由，， 所以边上的高为， 所以， 设点到平面的距离为， 所以，由（1）可得，解得. 所以点到平面的距离. 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $$