专题02 复数（人教A版2019必修第二册）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题02 复数 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数的四则运算 题型03复数的三角表示 ( 题型01 )复数的概念 1．（23-24高一下·云南怒江·期末）给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 【答案】（4） 【知识点】复数的基本概念、已知复数的类型求参数、根据相等条件求参数 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】对于（1）和（2），在，的限制条件，结论才是正确的，故（1）和（2）都错误； 对于（3），当是纯虚数时，有所以，故（3）错误； 对于（4），由，可得即有，故（4）正确. 故答案为：（4）. 2．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知复数z满足，则复数z的共轭复数为 . 【答案】/ 【知识点】共轭复数的概念及计算 【分析】利用共轭复数的定义计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一下·重庆·期末）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据虚部定义即可求解. 【详解】由于，故虚部为. 故选：A 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则 . 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模 【分析】先利用待定系数法、纯虚数的概念求出，然后根据模的计算公式求解即可. 【详解】由题意设， 则是纯虚数当且仅当， 解得，所以. 故答案为：. 5．（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 【答案】(1)； (2)和 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、求复数的模、已知复数的类型求参数 【分析】（1）由为纯虚数，求出的值，从而得到复数，求解模长即可； （2）在复平面内对应的点位于第二象限，求出的取值范围，进而得到整数的值即可. 【详解】（1）由于复数为纯虚数， 所以，解得，此时， （2）若在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 故整数的值有. 6．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求复数的模、求复数的实部与虚部、二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）直接由模的计算公式以及二倍角公式即可求解； （2）由题意求得，，，进一步由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）； （2）由题意，， 且由在复平面上对应的点在第一象限可知，， 不妨设是锐角，解得， 因为也是锐角，所以， 所以， 所以. 7．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，4＋4i．－2＋4i． (1)求向量对应的复数； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)12 【知识点】坐标计算向量的模、复数的向量表示 【分析】（1）由复数的几何意义求解即可； （2）计算向量的模长，判断出为等腰三角形，求解其面积即可. 【详解】（1）对应的复数为． 对应的复数为． 对应的复数为； （2）因为，，，所以， 所以为等腰三角形． 所以． 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】利用复数的几何意义，作出复数对应的点的轨迹，理解所求即轨迹上的点到点的距离，结合图形易求距离的最大、最小值,即得范围. 【详解】    由可知，复数对应的点在以点为圆心，半径为的圆上， 而可理解为圆上的点到点的距离， 作直线,交圆于点,如图所示. 显然,当点与点重合时，, 当点与点重合时，. 即的取值范围是. 故答案为：. 9．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）设是虚数单位， ，且，则＝ . 【答案】 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】由得，然后按复数模计算即可. 【详解】由题意，， 所以. 所以. 故答案为：. 10．（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案； （2）由条件可得可得答案. 【详解】（1）由复数是纯虚数，得，解得； （2）由复数的实部和虚部互为相反数，得， 化简得，解出或， 当时，不符合题意，（舍去），而满足， 所以实数的值为． ( 题型02 ) 复数的四则运算 11．（24-25高一上·河南周口·期末）对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】列举法表示集合、复数的乘方、复数的除法运算、集合新定义 【分析】（1）求解方程得，，再由有理指数幂及的运算性质可得，同理求得，则可求； （2）由，可知存在，使得，则对任意，有，结合是正奇数，得，即． 【详解】（1）由，得， ，， 当时，，， ， 当时，，， ． 综上，. （2）， 存在，使得． 于是对任意，， 由于是正奇数，， . 12．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】计算出，利用复数除法法则计算出. 【详解】，故， . 故选：B 13．（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数 . 【答案】1 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数的乘方 【分析】设，由得，由可得计算并检验求得，即得 【详解】设，由可得， 由可得，即， 则解得或， 显然不满足，应舍去，故 故答案为：1. 14．（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出，进而求出其实部. 【详解】依题意，， 所以的实部为. 故选：A 15．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 【答案】C 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据虚数运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；根据复数模的计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，不是纯虚数，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 因为， 所以不是方程的一个复根，所以B不正确； 对于C中，设复数，可得， 所以， 又由，所以，所以C正确； 对于D中，设，由，可得， 所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环， 其中小圆的半径为，大圆的半径为，其面积为，所以D错误. 故选：C. 16．（23-24高一下·青海·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】． 故选：B 17．（23-24高一下·青海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．的虚部是 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABC 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先化简，再结合复数的概念，共轭复数，复数的模，复数在复平面内对应的点分别判断各个选项即可. 【详解】因为， 则，，的虚部是， 在复平面内对应的点为，位于第三象限 故ABC正确，D错误． 故选：ABC. 18．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（   ） A．2 B． C． D．5 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】借助复数运算法则计算后结合模长定义即可得. 【详解】，故. 故选：B. 19．（23-24高一下·重庆巫山·期末）的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】根据复数除法法则计算，然后根据虚部的概念求虚部. 【详解】，所以虚部为. 故选：B. 20．（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则 . 【答案】 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法运算和复数相等的概念求解. 【详解】因为的一个根为， . 故答案为： ( 题型03 ) 复数的三角表示 21．（23-24高一下·重庆·期末）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 【答案】(1)，， (2)（ⅰ）存在，，（ⅱ）的范围为. 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、求复数的模 【分析】（1）由已知可得，结合复数乘法的几何意义求，，由此可得结论； （2）设，， （ⅰ）先求，再求，由条件列方程求，由此可得结论； （ⅱ）求，化简关系可得，由此可求范围. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又， 所以，即， 因为， 所以， ， 所以，， （2）设，， 则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为， ， 设对应的复数为， 所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以， （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以， 所以，又， 所以， 所以的范围为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 22．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】复数的除法运算、复数的三角表示 【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 23．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、判断复数对应的点所在的象限、复数的三角表示 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 24．（23-24高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】复数代数形式的乘法运算、根据除法运算结果求参数、复数的三角表示 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解. 【详解】（1）设， ，，， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， （3），设， 则， ，， . 25．（23-24高一下·四川成都·期末）欧拉公式：（i是虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，可求出的最大值为 ． 【答案】2 【知识点】求复数的模、复数的三角表示 【分析】由复数模的计算公式结合三角函数性质即可求解. 【详解】，等号成立当且仅当， 所以的最大值为2. 故答案为：2. 26．（23-24高一下·山东青岛·期末）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； (2)设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 【答案】(1)， (2)506个 【知识点】求复数的模、复数的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】（1）利用复数的模公式求解，利用辐角公式求解； （2）利用复数相等，结合求解. 【详解】（1）解：由， 得， ， ， ． （2）由， ， ， ，解得， ，∴，∴， ∴符合条件的k有506个， ∴这样的n有506个． 27．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)的最大值是3，最小值是0. 【知识点】求复数的模、复数的三角形式、复数乘、除运算的三角表示、三角表示下复数的几何意义 【分析】（1）运用复数的三角形式得到； （2）数形结合，运用余弦定理求出，进而求出，结合定义求解即可. （3）设，，依题意，可得，从而可求得的最大值和最小值. 【详解】（1）运用复数的三角形式得到. （2）如图，设复数对应向量为，设复数对应向量为， 则在，运用余弦定理，， 又， （3），设，， 则， ，，， ，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是转化，从而得到三角函数问题，进而得解. 28．（23-24高一下·福建泉州·期末）一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，叫做复数的三角表示式，简称三角形式． (1)写出复数的三角形式； (2)阅读材料： 数学家布鲁克·泰勒提出利用多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线的泰勒公式，在近似计算、函数拟合和计算机科学上有着举足轻重的作用．如下列常见函数的阶泰勒展开式为： ， ， ，其中，读作的阶乘． 数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起创造了欧拉公式：，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥． 数学家棣莫弗发现，则．特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理，该定理为概率论的发展做出重要的贡献． ①利用泰勒展开式求的近似值（精确到0.001）； ②设，求集合的元素个数． 【答案】(1) (2)①；②168 【知识点】二倍角的余弦公式、复数的三角表示 【分析】（1）利用给定定义求解即可. （2）①利用给定定义计算求解即可；②利用给定定义结合三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）由， 知，故， 对于复数， 则，且，故可取， 所以的三角形式为； （2）①的近似值为 ； ②解法一： ， 依题可知， 所以， 即，又因为， 所以，即， 故的值中有168个实数， 即集合的元素个数为168． 解法二： （注：）    所以，即， 因为， 且当时，，当时，， 所以， 故的值中有168个实数， 即集合的元素个数为168； 解法三： （注：）    所以，即， 因为， 且当时，，当时，， 所以， 故的值中有168个实数， 即集合的元素个数为168． 【点睛】关键点点睛：本题考查复数新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后利用定义结合三角恒等变换，得到所要求的集合内的元素个数即可． 29．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求复数的模、复数的除法运算 【分析】首先求得，然后结合复数模的公式以及三角函数性质即可得解. 【详解】由题意， ， 因为的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围为. 故选：B. 30．（23-24高一下·福建泉州·期末）已知为复数，则下列命题正础的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】AD 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、复数乘、除运算的三角表示 【分析】对于A：根据共轭复数结合复数乘法运算求解；对于BC：举反例说明即可；对于D：解法一：根据复数的乘法运算结合模长公式分析判断；解法二：根据复数的三角形式分析判断. 【详解】设复数， 对于选项A：若，则，所以， 所以，故A正确； 对于选项B：例如，则，故B错误； 对于选项C：例如，此时满足，但，故C错误； 对于选项D：解法一： ； 解法二：设， 则， 可得 ， 则，即，故D正确； 故选：AD． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 复数 题型概览 题型01复数的概念 题型02复数的四则运算 题型03复数的三角表示 ( 题型01 )复数的概念 1．（23-24高一下·云南怒江·期末）给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 2．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知复数z满足，则复数z的共轭复数为 . 3．（23-24高一下·重庆·期末）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则 . 5．（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 6．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 7．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，4＋4i．－2＋4i． (1)求向量对应的复数； (2)求的面积． 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 9．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）设是虚数单位， ，且，则＝ . 10．（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． ( 题型02 ) 复数的四则运算 11．（24-25高一上·河南周口·期末）对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 12．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数 . 14．（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 16．（23-24高一下·青海·期末）（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·青海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．的虚部是 D．在复平面内对应的点位于第四象限 18．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（   ） A．2 B． C． D．5 19．（23-24高一下·重庆巫山·期末）的虚部是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则 . ( 题型03 ) 复数的三角表示 21．（23-24高一下·重庆·期末）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，． (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形． （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求的范围． 22．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 23．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 24．（23-24高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 25．（23-24高一下·四川成都·期末）欧拉公式：（i是虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，可求出的最大值为 ． 26．（23-24高一下·山东青岛·期末）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； (2)设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 27．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 28．（23-24高一下·福建泉州·期末）一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，叫做复数的三角表示式，简称三角形式． (1)写出复数的三角形式； (2)阅读材料： 数学家布鲁克·泰勒提出利用多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线的泰勒公式，在近似计算、函数拟合和计算机科学上有着举足轻重的作用．如下列常见函数的阶泰勒展开式为： ， ， ，其中，读作的阶乘． 数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起创造了欧拉公式：，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥． 数学家棣莫弗发现，则．特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理，该定理为概率论的发展做出重要的贡献． ①利用泰勒展开式求的近似值（精确到0.001）； ②设，求集合的元素个数． 29．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·福建泉州·期末）已知为复数，则下列命题正础的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$