第七章 复数（举一反三单元自测·培优卷）高一数学人教A版必修第二册

第七章 复数（举一反三单元自测·培优卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（5分）（24-25高一下·福建莆田·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．（5分）（24-25高一下·广东惠州·期中）复数（是虚数单位）的虚部为（    ） A． B．6 C． D． 4．（5分）（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数，，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 5．（5分）（24-25高一下·北京丰台·月考）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（5分）（24-25高一下·湖南·期中）已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（5分）（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第四象限 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 10．（6分）（24-25高一下·广东清远·期中）已知复数，，则（    ） A．的共轭复数的虚部为 B． C．为纯虚数 D．在复平面内，复数所对应的点位于第一象限 11．（6分）（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）下列有关复数的结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是关于的方程的一个根 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·云南昆明·月考）已知复数为纯虚数，则实数的值为 ． 13．（5分）（24-25高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 14．（5分）（24-25高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，其中， ，为虚数单位．求实数，的值． 16．（15分）（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？ (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)在复平面内对应的点位于第四象限. 17．（15分）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 18．（17分）（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 19．（17分）（24-25高一下·福建泉州·期中）已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位. (1)求实数的取值范围 (2)当时，求复数的三角表示 (3)若复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解题思路】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【解答过程】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：D. 2．（5分）（24-25高一下·福建莆田·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】利用复数模的公式计算得解. 【解答过程】复数，所以. 故选：C. 3．（5分）（24-25高一下·广东惠州·期中）复数（是虚数单位）的虚部为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合复数的概念，即可求解. 【解答过程】根据复数的概念得，复数的虚部为. 故选：C. 4．（5分）（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数，，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【解题思路】根据复数代数形式的乘法运算和复数相等的概念即可求解. 【解答过程】因为，所以，解得，则. 故选：B. 5．（5分）（24-25高一下·北京丰台·月考）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义直接判断. 【解答过程】由 又，则，， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故选：A. 6．（5分）（24-25高一下·湖南·期中）已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将代入已知方程中，利用复数的四则运算化简，根据复数相等的条件列式求解，即可求解. 【解答过程】将代入方程可得， 即，故，解得，故. 故选：B. 7．（5分）（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】根据欧拉公式写出复数的代数形式，进而确定对应点，即可得答案. 【解答过程】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B. 8．（5分）（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【解题思路】由复数的除法运算化简复数，根据虚部的概念判断A，根据共轭复数的概念判断B，求复数的模判断C，根据复数的几何意义判断D. 【解答过程】由得，则虚部为， 则，，对应的点为，位于第四象限， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【答案】ABD 【解题思路】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断. 【解答过程】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误； 故选：ABD. 10．（6分）（24-25高一下·广东清远·期中）已知复数，，则（    ） A．的共轭复数的虚部为 B． C．为纯虚数 D．在复平面内，复数所对应的点位于第一象限 【答案】ABC 【解题思路】利用复数的相关概念、模长公式、几何意义、运算法则一一分析选项即可. 【解答过程】易知， 对于A，易知，其虚部为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，为纯虚数，故C正确； 对于D，，对应的点为位于第四象限， 故D错误. 故选：ABC. 11．（6分）（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）下列有关复数的结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是关于的方程的一个根 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】BCD 【解题思路】根据复数的基本性质，对各选项进行逐一判断：选项A中表示复数对应的点在单位圆上，但单位圆上的点对应的复数不只有；选项B涉及复数的平方，若，则必须是正实数，进一步判断选项正误；选项C涉及复数方程，代入方程后验证结果是否为0即可；选项D涉及复数的几何意义，模长的范围对应圆环的面积. 【解答过程】选项A：若，则是单位圆上的点对应的任意复数， 如，满足，但，故A错； 选项B：设（），则. 若，则必为正实数，需满足：， 若，由，此时，矛盾. 故，即，故B对； 选项C：把代入方程， 则 即等式成立，故是方程的根，故C对. 选项D：复数满足， 其几何意义对应平面直角坐标系中以原点为圆心，内半径为1，外半径为的圆环内的点（包含边界）. 圆环面积为外圆面积减去内圆面积，即，故D对. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·云南昆明·月考）已知复数为纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】 【解题思路】根据纯虚数的定义列式计算即可. 【解答过程】由题可得． 故答案为：． 13．（5分）（24-25高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 【答案】 【解题思路】由复数的除法与乘方运算求解即可. 【解答过程】. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则 . 【答案】1 【解题思路】根据复数模求出复数，再由根与系数的关系求解即可. 【解答过程】设， 则，解得， 所以或， 由题意可知，. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，其中， ，为虚数单位．求实数，的值． 【答案】，． 【解题思路】由复数相等的充要条件，得，求解即可． 【解答过程】根据复数相等的充要条件， 由， 得，解得， 即，． 16．（15分）（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？ (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)在复平面内对应的点位于第四象限. 【答案】(1)或 (2) (3) 【解题思路】（1）根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解； （2）根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解； （3）根据条件，利用复数的几何意义，得，即可求解. 【解答过程】（1）因为为实数，则，解得或. （2）因为为纯虚数，则，解得. （3）因为复数在复平面内对应的点为， 所以，由，得到或， 由，得到，所以. 17．（15分）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【答案】(1)， (2)2 【解题思路】（1）结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可； （2）将z代入二次方程即可求出m的值． 【解答过程】（1）复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； （2） 是关于的方程的一个虚根， ，整理得：， 则，且， 解得：． 18．（17分）（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件，利用复数的几何意义得，再利用复数的运算，得到，即可求解； （2）利用复数的运算，结合条件有，即可求解. 【解答过程】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则， 又，则， 由题有，解得，所以的值为. （2）因为， 由题有，解得，所以的取值范围为. 19．（17分）（24-25高一下·福建泉州·期中）已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位. (1)求实数的取值范围 (2)当时，求复数的三角表示 (3)若复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意得，再求解集即可； （2）根据题意得，再分别求出，，即可求解； （3）设，根据题意得，再分析求解即可. 【解答过程】（1）因为复数已在复平面内对应的点在第一象限， 所以，解得，所以实数的取值范围为： （2）当时，，所以，， 所以，所以 （3）根据题意得，设其旋转后对应向量， 所以，解得或， 又因为绕点顺时针方向旋转得到，所以对应的点在第四象限， 所以，所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $