专题05 概率（人教A版2019必修第二册）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题05 概率 题型概览 题型01随机事件与概率 题型02事件的相互独立性 题型03频率与概率 ( 题型01 ) 随机事件与概率 1．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 2．（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 3．（23-24高一下·江苏·期末）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5．（23-24高一下·江苏无锡·期末）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标? (3)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率. 6．（23-24高一下·江苏无锡·期末）某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 ． 7．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24高一下·宁夏固原·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，求x的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 10．（23-24高一下·天津西青·期末）今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务．为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团． ①求应从和学生中分别抽取的学生人数； ②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间Ω；（用恰当的符号表示） ③设事件“至少有1人测试成绩位于区间”，求在②的条件下事件A的概率． ( 题型02 )事件的相互独立性 11．（23-24高一下·广西崇左·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 12．（23-24高一下·江苏无锡·期末）省锡中高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分； 第二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲乙两位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，乙同学能回答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品. (1)求甲同学在第一轮得分为20分的概率. (2)甲乙两位同学谁获得奖品的概率更大? 请说明理由. 13．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 14．（23-24高一下·浙江杭州·期末）下列命题正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则成立. B．若事件两两独立，则成立. C．若事件相互独立，则与也相互独立. D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 15．（23-24高一下·宁夏固原·期末）体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为 . 16．（23-24高一下·宁夏固原·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”. (1)求事件A，B的概率. (2)求事件、的概率. 17．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励2分、奖励0分、罚2分、罚4分．假设评定为等级为A，B，C的概率分别是，，． (1)若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率； (2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为0分的概率． 18．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知A，B两个事件相互独立，且，，则 ． 19．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲站、乙站预报都错误的概率为 ． 20．（23-24高一下·江苏南京·期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. ( 题型0 3 )频率与概率 21．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 22．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 23．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 24．（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 25．（23-24高一下·安徽亳州·期末）某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 26．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 27．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412  451  312  533  224  344  151  254  424  142 435  414  335  132  123  233  314  232  353  442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（    ） A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 28．（23-24高一下·云南楚雄·期末）某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工 (1)若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式 (2)该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表． 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 （ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数； （ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率． 29．（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 30．（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概率 题型概览 题型01随机事件与概率 题型02事件的相互独立性 题型03频率与概率 ( 题型01 ) 随机事件与概率 1．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 【答案】(1)78分 (2)平均数90，方差 (3) 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、计算频率分布直方图中的方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】（1）利用百分位数的定义求解； （2）利用平均数和方差的定义求解； （3）利用古典概型的概率公式求解． 【详解】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列， 所以， 解得， 又， 解得， 所以，， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为， 则， 解得， 所以晋级分数线划为78分合理； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：； （3）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取2人和4人．分别记为，和，，，， 则所有的抽样有：，共15个样本点， “抽到的两位同学来自于同一小组”， 则，共7个样本点， 所以． 2．（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【答案】A 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义得到答案. 【详解】①是必然事件；②是随机事件； ③时，，无解，故③是不可能事件． 故选：A． 3．（23-24高一下·江苏·期末）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得. 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是质数与合数的概念、数的整除性、概率公式，利用分类讨论的思想是解答此题的关键. 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】列举所有可能的结果，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】由题意，选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中，每种选法可标记为， 分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字， 则所有的可能结果为，，，，，， 共6种.其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有2种，故所求概率为. 故答案为： 5．（23-24高一下·江苏无锡·期末）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标? (3)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率. 【答案】(1) (2)该市区高中生阅读量达标 (3) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）求各组频率，结合频率和为1列式求解即可； （2）根据频率分布直方图求平均数和中位数，结合题意分析判断即可； （3）根据分层抽样求各组人数，利用列表法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得， 所以a的值为. （2）周平均阅读时间的平均数的估计值为 ， 且，， 可知周平均阅读时间的中位数的估计值， 则，解得， 因为，， 所以该市区高中生阅读量达标. （3）在抽取学生人数为，设为； 在三组中抽取学生人为，设为； 在三组中抽取学生人数为，设为； 设样本空间为，这两人周平均阅读时间均在内为事件M， 列表可得： 1 2 3 4 5 A B C D b 1 ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 2 ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 3 ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 4 ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 5 ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ A ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ √ √ ╳ B ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ √ ╳ C ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ ╳ D ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ b ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ 可知，, 所以. 6．（23-24高一下·江苏无锡·期末）某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 ． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】首先根据题意得到，再利用古典概型公式求解即可． 【详解】因为，所以这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即， 若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是，，，，，，， 其中两人的成绩都低于的情况有6种， 分别为， 所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为. 故答案为：． 7．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据韦恩图，进行分析，结合古典概型计算即可. 【详解】，则, 则. 故选：B 8．（23-24高一下·宁夏固原·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，由对立事件的性质求解即可. 【详解】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立， 所以甲获胜的概率为. 故选：. 9．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，求x的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】(1) (2)83.33 (3) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可； （2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数； （3）分布求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由图知：，可得. （2）由， 所以分位数在区间内，令其为， 则，解得. 所以满意度评分的分位数为83.33. （3）因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设为； 从这6人中随机抽取2人，则有： ， ，共有15个基本事件， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则有，共有8个基本事件， 所以. 10．（23-24高一下·天津西青·期末）今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务．为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团． ①求应从和学生中分别抽取的学生人数； ②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间Ω；（用恰当的符号表示） ③设事件“至少有1人测试成绩位于区间”，求在②的条件下事件A的概率． 【答案】(1)；74.5 (2)①5，2；②答案见解析；③ 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得a的值，根据平均数的计算方法即可求得答案； （2）①根据两组的频率之比，即可求得每组抽取人数；②依题意即可写出样本空间；③根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得； 估算这40名学生测试成绩的平均数为； （2）①由图可得和这两组的频率之比为， 故应从学生中抽取的学生人数为（人）， 应从学生中抽取的学生人数为（人）； ②设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2， 则这个试验的样本空间为， 共有21个基本事件； ③事件“至少有1人测试成绩位于区间”， 在②的条件下事件A的个数有11个，即， 故. ( 题型02 )事件的相互独立性 11．（23-24高一下·广西崇左·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 【答案】(1)和 (2). 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）借助对立事件的性质及相互独立事件乘法公式计算即可得； （2）借助相互独立事件乘法公式计算即可得. 【详解】（1）设甲､乙､丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件. 因为，所以. 又，所以，即. 又，所以， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和. （2）设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 12．（23-24高一下·江苏无锡·期末）省锡中高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分； 第二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲乙两位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，乙同学能回答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品. (1)求甲同学在第一轮得分为20分的概率. (2)甲乙两位同学谁获得奖品的概率更大? 请说明理由. 【答案】(1)0.48 (2)详解见解析 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】（1）直接由相互独立事件的概率公式求解； （2）分别求出甲乙两同学获奖的概率，比较大小得结论． 【详解】（1）因为甲同学回答出每个问题的概率均为0.4， 所以甲同学在第一轮得分为20分的概率为． （2）乙同学获得奖品的概率更大． 甲获奖总得分达到80分分两种情况： 甲第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：， 甲第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：， 甲同学获奖的概率为． 设乙同学能答出生物问题中的3道题分别为，，，不能答出的为，， 则乙同学从5个生物问题中任选两题作答，所有情况为： ，，，，，，，，，， 其中获20分的概率为，获50分的概率为． 乙获奖总得分达到80分分两种情况： 乙第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：， 乙第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：， 乙同学获奖的概率为：， ， 乙同学获得奖品的概率更大． 13．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 【答案】B 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可. 选项B：利用概率的加法公式，求解即可， 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立，利用独立事件的公式求解即可. 选项D:利用对立事件求解即可. 【详解】选项A：若B⊆A，则 选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确. 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立,故选项C错误. 选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误. 故选：B. 14．（23-24高一下·浙江杭州·期末）下列命题正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则成立. B．若事件两两独立，则成立. C．若事件相互独立，则与也相互独立. D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 【答案】ACD 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A；举反例判断选项B；利用事件相互独立的判定公式判断选项C，利用事件的独立性质和互斥判断选项D. 【详解】对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥， 所以，，因此A正确； 对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，因此B错误； 对于C，若事件相互独立，则， 又，， 则 ，因此C正确； 对于D，若，事件相互独立， 则， 若互斥，则，因此D正确. 故选：ACD. 15．（23-24高一下·宁夏固原·期末）体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为 . 【答案】/ 【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解. 【详解】记“甲投中”，“乙投中”， 则， 所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为 . 故答案为：0.38. 16．（23-24高一下·宁夏固原·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”. (1)求事件A，B的概率. (2)求事件、的概率. 【答案】(1)； (2)； 【知识点】事件的运算及其含义、计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）所有组成的三位数的个数是，由个位数是5的数的个数可求；由被3整除三位数的个数可求； （2）根据和事件的概率公式和积事件的性质即可得解. 【详解】（1）只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是， 要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可， 而这些数中个位数是5的数的个数为， 所以事件发生的概率. 由题意要使得组成的三位数能被3整除， 则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数， 即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个， 所以事件发生的概率. 故，. （2）因为表示，组成的三位数既能被3整除，又能被5整除， 555既能被3整除，又能被5整除， 所以. 因为表示，组成的三位数能被3整除或能被5整除， 所以. 故，. 17．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励2分、奖励0分、罚2分、罚4分．假设评定为等级为A，B，C的概率分别是，，． (1)若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率； (2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为0分的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）设事件分别表示“被评为等级A，B，C，D”.由题意，事件两两互斥，然后利用互斥事件的概率加法公求解即可； （2）设事件，且事件互斥，然后分别求出对应的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解即可. 【详解】（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”． 由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，所以． 又因为被罚分，所以． 因此其被罚分的概率为； （2）设事件，，，表示“第i次被评定为等级A，B，C，D”，，2． 则“两次射击得分之和为0分”为事件，且事件，，互斥， ， ， 所以两次射击得分之和为0分的概率 . 18．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知A，B两个事件相互独立，且，，则 ． 【答案】0.28 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的定义计算即可. 【详解】因为相互独立， 所以. 故答案为：. 19．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲站、乙站预报都错误的概率为 ． 【答案】/ 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件的乘法公式即可得到答案. 【详解】根据对立事件的概率求法和独立事件的乘法公式得甲站、乙站预报都错误的概率为： . 故答案为：. 20．（23-24高一下·江苏南京·期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . ( 题型03 )频率与概率 21．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、互斥事件与对立事件关系的辨析、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据概率的性质判判断A，根据对立事件的概率性质判断B，根据概率加法公式判断C，根据概率的性质判判断D. 【详解】对于A，对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故A中说法错误； 对于B，在条件下，事件与事件不一定互斥，故事件A与B不一定是对立事件，故B中说法错误； 对于C，根据概率的性质可知，当，不互斥时，，故C中说法正确； 对于D，某事件发生的概率只与该事件本身有关，与实验次数无关，故D中说法错误. 故选：C. 22．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 【答案】 0.21/ 0.18/ 【知识点】计算频率、用频率估计概率 【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新司机人数和赔付金额为4500元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率. 【详解】赔付金额大于投保金额的频率为， 估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21， 在样本车辆中，车主是新司机的占15%， 故投保的新司机人数为， 在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即人， 估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为. 故答案为：0.21，0.18 23．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【知识点】抽奖、彩票的概率解释 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 24．（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【答案】C 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断. 【详解】频率与概率不是同一个概念，故A错误； 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误； 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确； 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误． 故选：C． 25．（23-24高一下·安徽亳州·期末）某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 【答案】(1) (2)B车间,理由见解析 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、用频率估计概率 【分析】（1）根据题意算出频率，以频率作为概率即可求解； （2）根据平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）从数据可知，在随机抽取6件产品中， A车间生产该批次产品的合格量为，频率为，B车间生产该批次产品的合格量为，频率为， 以频率作为概率，A，B两车间生产该批次产品的合格率均为； （2）A车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， B车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， 因为，所以A车间生产的产品质量比B车间生产的产品质量更稳定，故选A车间生产的产品更好. 26．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 【答案】(1)样本空间见解析，不是古典概型，理由见解析 (2)事件A的概率的估计值为0.9，存在差异，理由见解析 【知识点】辨析概率与频率的关系、古典概型的特征、利用计算器（机）产生整数值随机数、独立事件的乘法公式 【分析】（1）直接写出样本空间即可，根据样本点和的概率即可结合古典概型定义进行判断. （2）20组随机数中事件A发生了18次，则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9，再求出事件A的概率的精确值结合试验的特点以及频率与概率的特征和关系即可比较判断和说明. 【详解】（1）该试验的样本空间为 ， 共有8个样本点， 样本点的概率为，样本点的概率为，这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概型. （2）产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次， 则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9. 设事件“甲第次投进”，，则 因为. 又因为每次投篮结果互不影响，所以与相互独立，与相互独立，与相互独立，与相互独立且两两互斥， 所以 所以事件A的概率的估计值和有差异.原因如下： ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异； ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大. 27．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412  451  312  533  224  344  151  254  424  142 435  414  335  132  123  233  314  232  353  442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（    ） A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、整数值随机模拟问题 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有： 533  224  344  254  424  435   335   233  232  353  442共11组， 因此，所求概率为. 故选：C. 28．（23-24高一下·云南楚雄·期末）某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工 (1)若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式 (2)该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表． 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 （ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数； （ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）789元；（ⅱ）0.85 【知识点】分段函数模型的应用、用频率估计概率 【分析】（1）由题意可知需要对进行分类讨论，很容易得到函数解析式； （2）（ⅰ）根据分层计算出不同日需求量的利润即可求解；（ⅱ）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率即可求解. 【详解】（1）当时，； 当时，． 故关于的函数解析式为 （2）（i）这100天有5天的日利润为元， 10天的日利润为元， 20天的日利润为元， 65天的日利润为800元， 所以这100天出售青菜的日利润的平均数为元． （ⅱ）若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤 故当天的利润不少于780元的概率为． 29．（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．2% B．3% C．6% D．8% 【答案】C 【知识点】用频率估计概率 【分析】由概率得出这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”，结合题设条件，估计第二个问题有人回答了“是”，从而得出所占比例. 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中， 随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年12个月中，奇数的占一半， 所以对第一个问题回答“是”的概率为 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为． 故选：C 30．（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 【答案】D 【知识点】辨析概率与频率的关系、天气预报中的概率解释 【分析】根据概率的定义及性质判断即可. 【详解】对于A，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，是指每场比赛，甲胜的可能性为， 则比赛场，甲可能胜场、3场、2场、1场、0场，故A错误； 对于B，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故B错误； 对于C：事件，满足，则，故C错误； 对于D，天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是，故D正确. 故选：D 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$