第十章 概率（知识清单+6大易错训练）高一数学人教A版必修第二册

该高中数学概率单元知识清单系统梳理了第十章核心内容，涵盖随机试验、样本空间、事件关系、古典概型等概念及概率性质、相互独立事件等应用，构建从基础概念到性质运算再到实际应用的递进式学习支架。 清单以"清单+易错点+典例"形式呈现知识体系，通过表格对比事件关系（如互斥与对立）、易错点分类解析（如古典概型等可能判断），融入针对训练，培养数学思维与模型观念，助力学生自主复习，辅助教师高效备课。

第十章 概率 清单01 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 清单02 样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间. 清单03 随机事件、必然事件与不可能事件 1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. 2.作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件. 3.空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件. 清单04 事件的关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) (或) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 清单05 交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) (或) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) (或AB) 清单06 互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 清单07 古典概型 1、随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 2、古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 3、古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω 包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率. 清单08 概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么. 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么. 性质5　如果A⊆B，那么. 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有. 清单09 相互独立事件 1、对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 2、如果事件A与B相互独立，那么与，与，与也都相互独立. 清单10 频率的稳定性 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 清单11 随机模拟 用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 【易错01：事件的关系判断】 1、事件与集合 定义 符号 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊆A且A⊆B A＝B 并事件 (或和事件) 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 (或积事件) 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥 事件 如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件(A∩B＝)，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝ 对立 事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝，那么称事件A与事件B互为对立 P(A)＋P(B)＝1 2、加法公式和乘法公式： （1）如果事件与事件互斥，那么 （2）如果事件与事件互为对立事件，那么， 【典例】 1．从分别写有的张卡片中随机一次取出张，设事件为“写有的卡片被取出”，为“写有的卡片被取出”，为“取出的卡片上的数都大于”，为“取出的卡片上的数之和小于”，则（   ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 【针对训练】 1．（多选题）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【易错02：古典概型】 1、古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 【典例】 1．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）小明打算在周末约自己的crush一起出去玩.他精心准备了三种不同的约会方案：方案A（去游乐园）、方案B（看新上映的电影）、方案C（去郊外野餐）.为了增加约到同学的成功率，小明决定每天随机选择一种方案去邀请同学，且选择每种方案的可能性均等.已知小明计划连续邀请同学3天（每天独立选择方案），那么在这3天中，恰好有2天选择同一种约会方案（这2天方案相同，另1天方案不同）的概率是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高一下·云南玉溪·期末）某三胎家庭，若每次生男孩还是生女孩是随机的，则3个孩子都是男孩的概率为（    ） A． B． C． D． 2．在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（   ） A． B． C． D． 【易错03：概率的基本性质与运算】 性质1：对任意事件，都有. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3：如果事件与事件互斥，那么. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么,. 性质5：如果，那么. 性质6： 设，是一个随机试验中的两个事件，有. 【典例】 1．现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________． 【针对训练】 1．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有的会员喜爱书画，有的会员同时喜爱书画、戏曲．现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为______． 【易错04：相互独立事件的判断与运算性质】 1、判断技巧 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．对立事件一定是互斥事件 ③若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅； ④若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω. 注：(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的． (2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析． 2、相互独立事件的概率计算公式 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 P(A)P(B) A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 【典例】 1．（多选题）（24-25高一下·山西吕梁·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 2．（多选题）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 【针对训练】 1．（多选题）（24-25高一下·广东广州·期末）一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为．记事件“接触面上的数字是偶数”，事件“接触面上的数字是素数”，事件“接触面上的数字小于5”，则下列结论正确的是（    ）． A．事件A与B互斥 B．事件A与C相互独立 C． D． 2．（多选题）（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有字母的卡片代表小林参加场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（     ） A．“小林参加场活动”与“小林参加场活动”互斥 B．“小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C．“小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D．“小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 【易错05：独立事件的乘法公式推广】 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，···，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An). 【典例】 1．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 2．某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为0.75，假设各模型每次回答相互独立. (1)当时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； (2)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求的最小值. 【针对训练】 1．全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 【易错06：概率与统计的结合考查】 【典例】 1．某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 【针对训练】 1．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）少年强则国强，少年智则国智，中小学一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生的身体素质，比如：学校食堂计划提供营养餐试吃活动，需从学校学生中抽取一些学生去试吃.通过对学生的营养健康监测，在学校的3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示： (1)根据图表，请估计出样本的众数、平均数 (2)已知体重在的学生中有6名男同学，其余为女同学，现从此体重区间的男同学和女同学中各选取一名同学去参加试吃活动，求男同学甲被选中且女同学乙没被选中的概率. (3)现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从体重在区间和的学生中，共抽取5人，从这5人中，再抽取3人，求这3人中至少有1人体重在内的概率. 1．（25-26高一下·天津·期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 2．袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（    ）． A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子” 3．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 4．甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 5．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是互斥事件，且是对立事件 B．一定是必然事件 C． D．的概率一定等于0.5 6．（多选题）（24-25高一下·安徽亳州·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1次，记试验的样本空间是，事件，，则（    ） A．M与N是互斥事件 B．M与N是相互独立事件 C． D． 7．（多选题）（25-26高一下·山东潍坊·期末）已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 8．（多选题）已知事件的概率均不为，则的充要条件是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一下·浙江杭州·阶段检测）有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（   ） A．必然发生 B．发生的概率为 C．可能发生 D．发生的概率大于0 10．事件，，且，则______． 11．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则乙队以获胜的概率是______． 12．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）某中学高一年级举行了逻辑推理素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段．为了解初赛情况，现从随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成五组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照比例分层随机抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． (3)已知甲、乙两人进入了决赛，决赛规则如下：决赛分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两科笔试成绩均为，则不需要进行第二轮面试就直接通过决赛，若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也可通过决赛，其他情况均不能通过决赛．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为、、、、，乙在每科笔试中取得，，，，概率分别为、、、、，甲、乙在面试中通过的概率分别为、．已知甲、乙两人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时通过决赛的概率． 13．（25-26高一下·安徽·期末）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 14．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率 清单01 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 清单02 样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间. 清单03 随机事件、必然事件与不可能事件 1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. 2.作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件. 3.空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件. 清单04 事件的关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) (或) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 清单05 交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) (或) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) (或AB) 清单06 互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 清单07 古典概型 1、随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 2、古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 3、古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω 包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率. 清单08 概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么. 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么. 性质5　如果A⊆B，那么. 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有. 清单09 相互独立事件 1、对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 2、如果事件A与B相互独立，那么与，与，与也都相互独立. 清单10 频率的稳定性 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 清单11 随机模拟 用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 【易错01：事件的关系判断】 1、事件与集合 定义 符号 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊆A且A⊆B A＝B 并事件 (或和事件) 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 (或积事件) 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥 事件 如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件(A∩B＝)，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝ 对立 事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝，那么称事件A与事件B互为对立 P(A)＋P(B)＝1 2、加法公式和乘法公式： （1）如果事件与事件互斥，那么 （2）如果事件与事件互为对立事件，那么， 【典例】 1．从分别写有的张卡片中随机一次取出张，设事件为“写有的卡片被取出”，为“写有的卡片被取出”，为“取出的卡片上的数都大于”，为“取出的卡片上的数之和小于”，则（   ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 【答案】D 【分析】对于A，给出即可作为反例；对于B，给出即可作为反例；对于C，给出即可作为反例；对于D，论证发生等价于发生即可. 【详解】对于A，由于当同时取出时，与同时发生，所以它们不是互斥事件，故A错误； 对于B，由于当同时取出时，与都不发生，所以它们不是对立事件，故B错误； 对于C，由于当同时取出时，发生，不发生，所以它们不相等，故C错误； 对于D，由于发生当且仅当取出的卡片至少有一张是非正数，即至少有一个发生，故，故D正确. 故选：D. 【针对训练】 1．（多选题）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【答案】ABC 【分析】根据事件的关系逐一判断. 【详解】由题知与不可能同时发生，所以与互斥，A正确； 事件包含基本事件，事件包含基本事件， 因此，，B正确； 事件包含基本事件，故，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，不互为对立事件，D错误． 故选：ABC 【易错02：古典概型】 1、古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 【典例】 1．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球， 前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择， 因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下， （1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法; （2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法; （3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法; （4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法; 两个红球被连续取出的方法共有种； 所求概率为. 2．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）小明打算在周末约自己的crush一起出去玩.他精心准备了三种不同的约会方案：方案A（去游乐园）、方案B（看新上映的电影）、方案C（去郊外野餐）.为了增加约到同学的成功率，小明决定每天随机选择一种方案去邀请同学，且选择每种方案的可能性均等.已知小明计划连续邀请同学3天（每天独立选择方案），那么在这3天中，恰好有2天选择同一种约会方案（这2天方案相同，另1天方案不同）的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出样本空间，再根据古典概型公式计算即可. 【详解】依题意可得样本空间包含， ， ，共27种情况， 其中满足“恰好有2天选择同一种方案”的情况有 ，， ，共18种； 因此所求概率为. 故选：A 【针对训练】 1．（24-25高一下·云南玉溪·期末）某三胎家庭，若每次生男孩还是生女孩是随机的，则3个孩子都是男孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】设孩子是男孩记为，孩子为女孩记为，则样本点为，，，，，，，，其中都是男孩为，故3个孩子都是男孩的概率， 故选：A． 2．在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按甲只在第一天，只在第二天，只在第三天值班分类，数清楚样本点个数，再用古典概型即可得到答案. 【详解】计算总可能值班的样本点个数： 每天值班人选从4人中选1人，且相邻两天值班人不同. 第一天：有4种选择（任何一人均可）； 第二天：不能与第一天相同，因此有3种选择（排除第一天的人）； 第三天：不能与第二天相同，因此有3种选择（排除第二天的人）. 总的样本点个数：. 计算甲恰有一天值班的样本点个数： 甲只在第一天值班有种， 甲只在第二天值班有种， 甲只在第三天值班有种. 所以有古典概型知：. 故选：C. 【易错03：概率的基本性质与运算】 性质1：对任意事件，都有. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3：如果事件与事件互斥，那么. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么,. 性质5：如果，那么. 性质6： 设，是一个随机试验中的两个事件，有. 【典例】 1．现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A写出事件包含的基本事件；B根据古典概型的概率公式求出；C事件是不可能事件；D利用概率的加法公式. 【详解】假设运动鞋的左脚为，右脚为，凉鞋的左脚为，右脚为， 则选出两只鞋包含了6种， 其中事件包含了4种， 事件包含了2种，事件包含了2种， 故，则A错误； ，，，，故BC错误； ，故D正确. 故选：D 2．小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________． 【答案】 【分析】先求，再根据即可求解. 【详解】设小王参加甲款游戏闯关成功为事件，参加乙款游戏闯关成功为事件， 则， 所以， 又， 所以. 【针对训练】 1．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【详解】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. 2．已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有的会员喜爱书画，有的会员同时喜爱书画、戏曲．现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为______． 【答案】/0.75 【分析】应用概率的性质列方程求会员喜爱戏曲的概率即可. 【详解】记事件“该会员喜爱书画”，事件“该会员喜爱戏曲”， 由题意，知，，， 由概率的基本性质，知， 则，解得， 即从该协会中随机抽取一人，该会员喜爱戏曲的概率为． 故答案为： 【易错04：相互独立事件的判断与运算性质】 1、判断技巧 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．对立事件一定是互斥事件 ③若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅； ④若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω. 注：(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的． (2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析． 2、相互独立事件的概率计算公式 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 P(A)P(B) A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 【典例】 1．（多选题）（24-25高一下·山西吕梁·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】AD 【分析】由古典概型概率公式计算可判断A、B，C；根据独立事件的定义计算可判断D. 【详解】对于A、C选项，，故A正确，C错误； 对于B选项，因为，， 所以，故B错误； 对于D选项，由，得A与B相互独立，故D正确. 故选：AD. 2．（多选题）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【详解】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， 所以， 因为，A正确； ，又， 所以，又， 所以，即与相互独立，B正确； 因为与互斥，所以， 又因为与相互独立， 所以，C错误； 因为与相互独立，所以， 又因为与相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD. 【针对训练】 1．（多选题）（24-25高一下·广东广州·期末）一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为．记事件“接触面上的数字是偶数”，事件“接触面上的数字是素数”，事件“接触面上的数字小于5”，则下列结论正确的是（    ）． A．事件A与B互斥 B．事件A与C相互独立 C． D． 【答案】BCD 【分析】确定事件包含的样本点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项判断. 【详解】事件，事件，事件，， 对于A，事件有相同的样本点2，事件A与B不互斥，A错误； 对于B，，事件A与C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 2．（多选题）（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有字母的卡片代表小林参加场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（     ） A．“小林参加场活动”与“小林参加场活动”互斥 B．“小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C．“小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D．“小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 【答案】BC 【分析】由互斥事件的定义即可判断A，由相互独立的定义若，则事件 相互独立即可判断BCD. 【详解】若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，故A错误. “小林参加A场活动”的概率为，“小林参加B场活动”的概率为， “小林同时参加A场和B场活动”的概率为，因为， 所以“小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立，故B正确. “小林不参加A场活动”的概率为，“小林不参加B场活动”的概率为， “小林同时不参加A场与B场活动”的概率为，因为， 所以“小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立，C正确. “小林参加场或场活动”的概率为，“小林不参加场活动，参加场或场活动”的概率为， 因为，所以“小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”不相互独立， 故D错误. 故选：BC. 【易错05：独立事件的乘法公式推广】 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，···，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An). 【典例】 1．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 2．某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为0.75，假设各模型每次回答相互独立. (1)当时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； (2)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率的计算公式求值即可. （2）先求系统最终输出的答案正确的概率，根据概率不低于列式，解二次不等式，可求的最小值. 【详解】（1）不妨设事件“模型甲回答正确”，事件“模型乙回答正确”，则“模型甲回答错误”，“模型乙回答错误”， 由于与相互独立，与，与，与都相互独立， 由题意可得，，，，， 分析可得，“在第一次提问中两个模型答案不同”的概率为，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得 ， 故在第一次提问中两个模型答案不同的概率为0.325. （2）系统最终输出正确答案包含两种互斥的情况：一是第一次提问时两模型答案一致且正确；二是第一次提问时两模型答案不一致，且第二次向模型甲提问时其回答正确. 系统第一次输出正确答案的概率为：， 由（1）可知，在第一次提问中两个模型答案不同的概率为： ， 系统第二次输出正确答案的概率为：， 设系统最终输出正确答案的概率为，则， 于是，解得，又由，于是， 则的最小值为. 【针对训练】 1．全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 【答案】(1)乙获得执业医师证书的可能性最大，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即可得解. （2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可得解. 【详解】（1）记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”依次为事件，在医学综合笔试中“合格”依次为事件. 因为所有考试是否合格互不影响，所以与，与，与相互独立. 因此甲获得执业医师证书的概率； 乙获得执业医师证书的概率； 丙获得执业医师证书的概率， 所以. 故乙获得执业医师证书的可能性最大. （2）记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件，则，，. 由于事件相互独立，则恰有两人获得执业医师证书的概率 . 故有两人获得执业医师证书的概率为. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 【答案】(1)， (2)出现恰有一人合格的概率最大． 【分析】（1）先设事件并明确已知概率，由事件独立性计算三人都合格和三人都不合格的概率； （2）分别计算恰有一人和恰有两人合格的概率，比较概率大小确定最大概率的情况. 【详解】（1）设甲、乙、丙三人100m跑合格分别为事件，显然相互独立， 表示三人都合格，表示三人都不合格， 则，，， ，，， 设恰有人合格的概率为． 三人都合格的概率为， 三人都不合格的概率为， 所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率均为． （2），，两两互斥， ∴恰有两人合格的概率为 ， 恰有一人合格的概率为：， 结合（1）可知中最大，所以出现恰有一人合格的概率最大. 【易错06：概率与统计的结合考查】 【典例】 1．某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）先根据矩形面积之和为计算，再利用频率分布直方图均值公式计算； （2）先根据比例得出两个区间内各抽取人数，再列出样本空间以及事件“这人成绩都在内”所包含的样本点，最后按照古典概型计算其概率即可； （3）先计算甲、乙在两轮比赛中答对题，题的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式计算. 【详解】（1）由题知，解得， 估计本次竞赛的平均成绩为 ． （2）因成绩在、内的学生人数之比为， 则从成绩在内的学生中抽取人，设为， 从成绩在内的学生中抽取人，设为， 设事件“从这人中随机抽取人，这人成绩都在内”， 则样本空间， 则， 事件包含的基本事件有，有， 则， 故从这人中随机抽取人，这人成绩都在内的概率为. （3）设，分别表示事件甲在两轮答题中答对题，题，，分别表示事件乙在两轮答题中答对题，题， 则，， ，， 设“两轮活动甲、乙共答对题”，则， 又与互斥，与，与分别相互独立， 则， 因此，甲、乙在两轮答题比赛中共答对题的概率为． 【针对训练】 1．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）少年强则国强，少年智则国智，中小学一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生的身体素质，比如：学校食堂计划提供营养餐试吃活动，需从学校学生中抽取一些学生去试吃.通过对学生的营养健康监测，在学校的3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示： (1)根据图表，请估计出样本的众数、平均数 (2)已知体重在的学生中有6名男同学，其余为女同学，现从此体重区间的男同学和女同学中各选取一名同学去参加试吃活动，求男同学甲被选中且女同学乙没被选中的概率. (3)现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从体重在区间和的学生中，共抽取5人，从这5人中，再抽取3人，求这3人中至少有1人体重在内的概率. 【答案】(1)众数67.5，平均数66.75 (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图可得众数，根据平均数的求解方法可求得平均数； （2）根据独立事件的乘法公式，即可求得答案； （3）利用列举法，列举出总的事件空间的样本点以及“这3人中至少有1人体重在内”的样本点，根据古典概型公式，即可求得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图可知众数为67.5， 平均数为； （2）体重在的学生有人，男同学6人，女同学4人. 设“男同学甲被选中”为事件，“女同学乙没被选中”为事件， ， 男同学甲被选中且女同学乙没被选中的概率是 （3）由题意可知体重在和的频率之比为， 在内抽取3人，设为，，， 在内抽取2人，设为， 设“这3人中至少有1人体重在内”为事件. 则总的事件空间的样本点为： ，，，，，，，，，，共10个 事件的样本点为：，，，，，，，，，共9个 故. 1．（25-26高一下·天津·期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，在组随机数中，恰好第三次结束时就停止有、、、、，共有组， 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 则恰好第三次结束时就停止的概率，故C正确. 2．袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（    ）． A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子” 【答案】C 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义判断即可． 【详解】记随机取出两枚棋子，均为黑色棋子为事件，一枚黑色棋子、一枚白色棋子为事件，均为白色棋子为事件. 对于A：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“至多有一枚黑色棋子” 包含事件、事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.A不满足. 对于B：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.B不满足. 对于C：“恰好有一枚白色棋子”为事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集不是全集（缺少事件），是互斥而不对立事件.C满足. 对于D：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是白色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集是全集，是对立事件.D不满足. 3．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 【答案】A 【分析】先确定回答“是”的130人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为， 回答A问题“是”的学生人数为， 所以回答B问题“是”的学生人数为， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 故选：A 4．甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 【答案】C 【详解】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局. 2局结束，即甲连赢2局，概率为； 3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为， 所以甲赢得比赛的总概率为. 同理可求得乙赢得比赛的总概率为. 所以甲分得奖金为元. 5．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是互斥事件，且是对立事件 B．一定是必然事件 C． D．的概率一定等于0.5 【答案】C 【分析】结合概率运算公式和互斥事件、对立事件、必然事件的概念，求解即可. 【详解】选项A：若与是互斥事件，则，若是对立事件，则（样本空间）， 题干中未说明事件，，之间的关系，无法确定与是否互斥、对立，故A错误. 选项B：若事件，，互斥，则， 若事件，，存在包含关系，则概率会小于1，因此不一定是必然事件，故B错误. 选项C：. 又，所以． 该结果满足，故C正确. 选项D：. 只有当事件，互斥时，，此时， 因此的概率不一定等于0.5，故D错误. 6．（多选题）（24-25高一下·安徽亳州·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1次，记试验的样本空间是，事件，，则（    ） A．M与N是互斥事件 B．M与N是相互独立事件 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据互斥事件与独立事件定义可判断A，B选项，由独立事件的乘法公式可验证C，利用对立事件计算和事件的概率可判断D. 【详解】M与N可能同时发生（出现4），所以M与N不是互斥事件，A错. 因为，，，所以，M与N是相互独立事件，B对. 因为，， 所以，C对. 因为，D对， 故选：BCD. 7．（多选题）（25-26高一下·山东潍坊·期末）已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件概率的计算公式，依次计算、判断互斥性、计算、验证独立性，逐一判定选项正误. 【详解】每次取红球概率为，取白球概率为. 第二次取球与第一次无关，每次摸到白球的概率均为，因此，A正确. 第一次摸到红球且第二次摸到红球，和可以同时发生，不互斥，B错误. 因为. ，，=， 所以，C正确. ，，满足，因此与相互独立，D正确. 故选：. 8．（多选题）已知事件的概率均不为，则的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】通过恰当的举例可找到A、D选项的反例，然后利用和事件的概率公式证明B、C选项即可得. 【详解】对A、D：抛掷一枚质地均匀的骰子，设表示事件“点数是1点”， 表示事件“点数是3点或5点”，表示事件“点数是偶数点”， 则， 此时满足，但，故A错误； 又，但，故D错误； 对B：若，则，故； 若，则，故； 故是的充要条件，故B正确； 对C：，， 若，则，即； 若，由，， 则；故是的充要条件，故C正确. 故选：BC. 9．（多选题）（25-26高一下·浙江杭州·阶段检测）有一个掷骰子的游戏，骰子六个面上分别标有1~6六个数字，第一个人将一颗骰子抛掷一次，第二个人将一颗骰子抛掷2次，第三个人将一颗骰子抛掷3次……第n个人将一颗骰子抛掷n次，记表示“第n个人n次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于.现有下列结论正确的有（   ） A．必然发生 B．发生的概率为 C．可能发生 D．发生的概率大于0 【答案】ABC 【分析】可根据随机事件、必然事件等的定义进行判断A，C，D；根据概率乘法公式及对立事件概率公式计算判断B. 【详解】对于A：∵抛掷1次出现的点数最小为1， 第1个人1次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和一定大于，所以为必然事件； 对于B：∵抛掷2次出现的点数和最小为2， 表示第2个人2次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 除了最小值其他值都符合题意，所以发生的概率为正确； 对于C：∵表示第4个人4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而4次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为24，所以可能发生； 对于D：∵表示第5个人5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和大于， 而5次抛掷骰子时朝上的面上的点数之和最大为30， 所以不可能发生，即发生的概率为0，错误； 10．事件，，且，则______． 【答案】/ 【分析】由事件的包含关系可得，根据对立事件的关系计算可得. 【详解】因为事件，， 所以， 因为， 所以，. 故答案为： 11．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则乙队以获胜的概率是______． 【答案】 【分析】乙队以获胜的概率，则甲队可能在第一场到第四场中任意胜一场，再根据各场比赛结果相互独立计算出乙队获胜的概率，再相加可求出乙队以获胜的概率. 【详解】由题可知乙在甲主场取胜概率为，乙在甲客场取胜概率为， 前五场主客安排为：（甲）主主客客主 则甲胜第一场（主）：， 则甲胜第二场（主）：， 则甲胜第三场（客）：， 则甲胜第四场（客）：， 乙队以获胜的概率. 故答案为： 12．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）某中学高一年级举行了逻辑推理素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段．为了解初赛情况，现从随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成五组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照比例分层随机抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． (3)已知甲、乙两人进入了决赛，决赛规则如下：决赛分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两科笔试成绩均为，则不需要进行第二轮面试就直接通过决赛，若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也可通过决赛，其他情况均不能通过决赛．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为、、、、，乙在每科笔试中取得，，，，概率分别为、、、、，甲、乙在面试中通过的概率分别为、．已知甲、乙两人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时通过决赛的概率． 【答案】(1)，77.5分； (2) (3) 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，并利用平均数的定义进行计算，估计高一年级初赛的平均成绩； （2）求出和两组的频率之比，进而得到从内抽取了2名学生，设为，内抽取了3名学生，设为，列举法进行求解； （3）分别计算出甲，乙通过决赛的概率，相乘得到答案. 【详解】（1）由题意得，解得， ， 估计高一年级初赛的平均成绩为77.5分； （2）和两组的频率之比为， 故从内抽取了2名学生，设为，内抽取了3名学生，设为， 已抽取的5名学生中随机抽取2名， 分别为， 共有10种情况， 其中至少有1名学生的成绩在内的情况为 ，共有7种情况， 故至少有1名学生的成绩在内的概率为； （3）甲通过决赛的概率为， 乙通过决赛的概率为， 故甲、乙能同时通过决赛的概率为. 13．（25-26高一下·安徽·期末）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意直接计算即可； （2）先由题意求出即可由独立事件概率乘法公式计算求解； （3）先依次分析计算求出甲、乙通过面试的概率，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式计算即可求解. 【详解】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）； （2）由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为. 14．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【详解】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件A含有： 共12个样本点，故； （2）记事件为第i局甲胜，，由题意知，记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立， 则， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $