黑龙江省哈尔滨市第六中学校2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试卷

高三四模 数学试题 第 页 共 4 页1 哈尔滨市第六中学校 2022级高三第四次模拟考试 数学试题 （时间 120分钟，满分 150分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1. 已知集合    1 0 1 2 , |A B x x A   ，，， ，则 A B  （ ） A．{ 1} B．{1} C．{ 1,1} D．{ 1,0,1} 2. 设复数 z满足 8 4z z i   ，那么 z （ ） A．3 4i B．3 4i C． 3 4i  D． 3 4i  3. 对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（ ） A．图 1、图 2 两组数据都具有线性相关关系 B．图 1 数据正相关，图 2 数据负相关 C．图 1 相关系数 1r小于图 2 相关系数 2r D．图 1 相关系数和图 2 相关系数之和小于 0 4. 已知    cosf x x   ，则“     0f f    ”是“  f x 是奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 函数      1 1x xf x a a x a     的零点的个数为（ ） A．1 B． 2 C．3 D．无法确定，与 a的取值有关 6. 已知圆柱的底面半径为 r，圆台的上、下底面半径分别为 1r， 2r ，若圆柱和圆台的高和体积都相 等，则（ ） A. 1 22r r r  B． 1 22r r r  C． 2 1 2r r r D． 2 1 2r r r 7. 设 F 为抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点，C的准线与 x轴交于一点 A，过 F 的直线与C 交于M 、 N两点．若 ANF 的面积是 AMF 的面积的 3 倍，且 2NF  ，则 AF （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8. 设等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ，已知 3 34 4 7 7( 1) 3 2, ( 1) 3 4a a a a      ，则下列选项正确的 是（ ） A. 10 4 720, S a a  B. 10 4 710, S a a  C. 10 4 720, S a a  D. 10 4 710,S a a  二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求,全部选对的得 6分，部分选对的得部分分． 9. 已知向量 a  与b  满足 | | 2,a   | | 1b   且 | | 7a b    ，则下列说法正确的是（ ） A．向量 a  与b  的夹角为150 B． | | 3a b    C．向量 a  +3b  与向量 a  垂直 D．若向量 2a kb   与向量 2a b   共线，则 4k   10. 已知O为坐标原点，双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的左顶点为 A，右焦点为 F ，以 AF 为直 径的圆与 y轴正半轴交于点D，过D且垂直于 y轴的直线与C的某条渐近线交于点 B，且 AB与 x 轴垂直，双曲线的离心率为 e，渐近线的斜率为 k，则下列结论正确的是（ ） A． 2| | 1AB OA OF   B． 2 2 | | | | DFe OD  C． 2 2 | | | | ODe AO  D． 2k e 高三四模 数学试题 第 页 共 4 页2 11. 关于函数   e cosxf x a x  ，  π, πx  下列说法正确的是（ ） A．当 1a  时，  f x 在 0x  处的切线方程为 y x B．当 1a  时，  f x 在  π, π 上恰有 2 个零点 C．对任意 0a  ，   0f x  恒成立 D．若函数  f x 在  π, π 上恰有一个极值点，则 0a  三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12. 若圆C经过坐标原点，且圆心在直线 2 5y x   上运动，当半径最小时，圆的方程为 ． 13. 在 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 2 2 2a b c ab   ，且 2cos cos 2 A B  ， 则  cos A B 的值为 . 14. 若 1 2 3 4, , ,a a a a 为1,2,3,4的任意排列，设     1 2 3 4min max , , max ,X a a a a ，     1 32 4max min , , min ,Y a a a a ，则满足 1 2a a 的排列有 个；X Y 的概率为 . （已知  1 2min , , , na a a 表示 1 2, , , na a a 中最小的数，  1 2max , , , na a a 表示 1 2, , , na a a 中最大的数） 三、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答时要求写出必要的文字说明或证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分 13 分） 已知数列{ }na 是正项等比数列，满足 2 4 1 564, 34, 1a a a a q   且 ， （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）在 na 与 1na  之间插入 n个数，使这 2n  个数组成一个公差为 nd 的等差数列，记数列 1 nd       的 前 n项和为 nT ，求证： 3nT  . 高三四模 数学试题 第 页 共 4 页3 16.（本小题满分 15 分） 近年来，直播带货成为电商销售的新模式，某质检部门为了评估某知名主播直播间所售商品的 质量，随机抽取了该直播间近 3 个月销售的 600 件产品，统计了它们的用户评分（1~5 分）和退货 率，见下表： 评分 1 分 2 分 3 分 4 分 5 分 评分分布 5% 10% 20% 45% 20% 退货率 80% 50% 20% 5% 2% （1）从 600 件商品中随机抽取 1 件，求该商品评分不低于 4 分且未被退货的概率； （2）假设该直播间每售出 1 件商品，若未退货则盈利 50 元，若退货则亏损 30 元（含运费和售后 成本）。设单件商品的盈利为随机变量 X，求 X的分布列和期望 E(X），并据此判断该直播间的销售 模式是否可持续； （3）质检部门规定，若直播间的商品评分的中位数低于 4 分，则需要整改。计算该直播间评分的 中位数，根据结果判断是否需要整改，若将评分标准改为“众数低于 4 分”， 结论是否改变？解释 这种修改对商家可能产生的影响. 17.（本小题满分 15 分） 已知函数 21( ) ln ( ) 2 f x x ax x a R    （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若对于 0x  ，不等式 2 3( ) 2 xf x e x  恒成立，求实数 a的取值范围. 高三四模 数学试题 第 页 共 4 页4 18.（本小题满分 17 分） 正方形 ABCD的边长为 2， ,E F分别为边 ,AD BC的中点，M 是线段 EF的中点，如图，把正 方形沿 EF折起，设  0 πAED      ． （1）求证：无论 取何值，CM 与 BD不可能垂直； （2）当 4   时，求四棱锥D ABME 的体积； （3）设二面角D BM C  的大小为 ，当 tan 15  时，求 sin 的值． 19.（本小题满分 17 分） 椭圆 2 2 1 2 xC y ： 的左，右焦点分别为 1 2,F F ，过 2F 的直线 l交C于 ,P Q两点（点 P位于 x轴上 方），O为坐标原点． （1）若 13OP OQ OF     ，求 的值； （2）已知二次曲线  2 2 0Ax By C ABC   在点  0 0,H x y 处的切线方程为 0 0Ax x By y C  ，现过 ,P Q两点作C的两条切线相交于点T ，求 TPQ 面积的最小值． 哈六中高三四模数学试题参考答案 1、 二、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B C C A B A D BD ACD ABD 三、填空题： 12. ； 13. 0； 14. 第一空：12； 第二空： 四、解答题： 15. 【详解】（1）， ，又，， 则，，故. （2）因为，所以，则， ， ， 所以， 所以. 16. 【详解】 （1）设 则 （2） X的取值为50，-30 X 50 -30 P 0.129 0.871 分布列为 , （3） 评分为1分、2分、3分、4分的累计频数分别为30，90，210，480 ，故中位数为， 不低于4分，不需要整改 众数也为4，所以改成众数后结论不变，也不需要整改 众数并未告诉它比别的数值多的程度，这种修改会使商家更关注获得最多评分的质量水平。 17. 【详解】（1）， ①当时，，，则 ②当时，， 解得， 当，当， ，减区间为 综上，当时，； 当时，，减区间为 （2）要使，需，， 令， 当时，， 当时，， 故，，所以a的取值范围是 18.【详解】（1）证明：假设，又因为正方形的边长为， 且是线段的中点，所以,所以,又因为, 有，所以， 因为，,所以 因为所以, 又因为所以，这与矛盾，所以假设不成立， 所以无论取何值，与不可能垂直。 （2）过D作 因为,所以 ,又, , （3）由题可得，分别以EA，EF为轴，过点E垂直平面ABFE向上为z轴，建立空间直角坐标系， 所以, ， 所以， 设平面BCM的一个法向量为， 所以即，取，可得， 设平面BDM的一个法向量为， 所以，即，取，可得 又，所以 所以解得. 19.【详解】（1）注意到三点共线， 从而，即，所以，解得； （2） 由题意知直线斜率不为0，设直线的方程为， 联立直线的方程与椭圆的方程，得，整理得， ， 设，联立直线的方程与直线的方程， 解得， 设为点到直线的距离，从而， ， 从而， 设，则 求导得 从而函数在上单调递增，故面积的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$