精品解析：福建省仙游第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年下学期福建省仙游第一中学高二期中考试 数学试卷 2025.04 （考试时间120分钟 考试满分150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 展开式中的常数项为（ ） A. 10 B. C. 80 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出二项式的通项，再令的指数为，求出，代入通项即可得出结果. 【详解】展开式的通项为，. 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故选：D. 2. 函数，是的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，得到，则图象关于原点对称，排除B、D项；在时确定，排除C项，即可得到答案. 【详解】由函数，可得， 则， 所以函数为上的奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项； 当时，，则； 当时，，则， 因此当时，，可排除C项， 所以的大致图象为选项A. 故选:A. 3. 某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论. 【详解】满足条件的报名方法可分为两类： 第一类：甲单独参加某项比赛， 先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种， 再将余下人，安排到与下的三个项目， 由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名， 故满足条件的报名方法有, 所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种， 第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛， 先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法， 再安排余下三人，有种方法， 所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种， 所以满足条件的不同的报名方法共有种方法. 故选：C. 4. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得. 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 5. 三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率结合计数原理求解. 【详解】从三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，共有  种不同排法， 女生甲不在两端，同时有且只有两个女生相邻分两类 女生甲单独站，则有  ； 女生甲和另一个女生站一起，则有 , 所以，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是  ． 故选：D. 6. 已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式进行变形，构造函数，根据其单调性得到，转化为恒成立问题，通过求函数在上的最大值来确定的取值范围. 【详解】设，则. ∵时，，，∴，故在上单调递增. ∵对恒成立，∴当时，，则有， 当时，可等价变形为. ∵在上单调递增，且，（）， ∴由可得，可得，即对恒成立. 设，则. 当时，， ，，故. ∴在上单调递减， ∴当时， . ∵对恒成立，∴，即实数的取值范围是. 故选：C. 7. 2024年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：千元）有如下统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到线性回归方程为，则（ ） A. 与的样本相关系数 B. C. 表中维修费用的第60百分位数为6.5 D. 该型跑步机已投入使用的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 【答案】B 【解析】 【分析】利用线性回归方程计算判断ABD；求出第60百分位数判断C. 【详解】对于A，由，得与成正相关，样本相关系数，A错误； 对于B，，，则，B正确； 对于C，，因此第60百分位数为，C错误； 对于D，由选项B知，，当时，， 则当年所需要支出的维修费用约为12.38千元，D错误. 故选：B 8. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用连续型随机变量服从正态分布，结合正态密度曲线的性质计算可判断每个选项的正误. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布， 可得，可得，所以正态密度曲线关于对称， 即， 由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢， 所以无对称轴，故AB错误； ， 所以关于点成中心对称，故C正确，D错误. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数 B. 若事件A，B相互独立，且，，则事件A，B不互斥 C. 若随机变量，，则 D. 若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用中位数的定义判断出A错误；B选项，计算出，故，B正确；C选项，利用正态分布的对称性进行判断；D选项，利用得到，D正确. 【详解】A选项，从小到大排序，去掉其中的最大数和最小数后， 剩下10个数大小顺序不变，故剩下10个数的中位数和原来的中位数一样，A错误； B选项，事件A，B相互独立，且，， ， 所以，故事件A，B不互斥，B正确； C选项，随机变量，，设，， 则， ， 根据原则，可知，C正确； D选项，随机变量的方差，期望， 其中，故，， 故随机变量的期望，D正确. 故选：BCD 10. 已知抛物线：的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 以为直径的圆与准线相切 C. 设，则 D. 过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC 【解析】 【分析】已知抛物线的方程，利用抛物线的性质，焦点弦的性质，数形结合判断各选项． 【详解】取的中点，在上的投影为，在的投影为，如图所示： 对于选项A，因为，所以，故A正确； 对于选项B， 根据抛物线的性质，，为梯形的中位线，故，以为直径的圆与准线相切，故B选项正确； 对于选项C，因为，所以，故C正确； 对于选项D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过的直线方程为，联立可得，令，解得，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误. 故选：ABC 11. 在直三棱柱中，，，点，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为45° B. C. 若点是的中点，则平面截直三棱柱所得截面的周长为 D. 点是底面三角形内一动点（含边界），若二面角的余弦值为，则动点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用交线法找出截面，利用平行关系找出异面直线与所成的角，即可判断A,利用直线和平面垂直的性质定理证明平面，即可判断B, 延长，交和的延长线于点，，连接交于点，连接，，则四边形为平面截直三棱柱所得的截面,可判断C, 过作的垂线，连接，过作的平行线交于点，则，所以截面为直三棱柱的截面，即可判断D； 【详解】选项A，过点作的平行线，则为异面直线与所成的角， 因为平面，且，所以平面，所以， 所以，因为异面直线所成的角， 所以，故异面直线与所成的角为60°，故选项A不正确； 选项B，由已知得为等腰直角三角形，是的中点，则， 为直三棱柱，平面，平面， ， ，平面，，平面，， 设与交于点，其中，， ，，， ，， ，平面，，平面，故，选项B正确； 选项C，延长，交和的延长线于点，，连接交于点，连接，，则四边形为平面截直三棱柱所得的截面， 由已知得， 由，则，即， 由，则，即， 由余弦定理可知，解得， 其周长为，故选项C正确； 选项D，若上存在一点使二面角的余弦值为，连接和， 因为平面，，， 二面角的平面角为，即， 设，则，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得， ，解得， 过作的垂线，连接，过作的平行线交于点，则， 所以截面为直三棱柱的截面， 所以符合题意的的轨迹长度为线段的长，所以，故选项D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题第4小问的解决关键是利用二面角的定义求得，从而推得，进而得到的轨迹长度为的长，从而得解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】转化为是的两个根，由韦达定理和等差数列性质得到. 【详解】由题意得是的两个根， 由韦达定理得， 因为是等差数列，所以. 故答案为：2 13. 新高考数学试卷共有3道多项选择题，每题有个选项，每题正确选项有2个或3个．得分规则如下：每道题满分为6分，全部选对得满分，有错选或者不选得0分，答案选项为2个的，只选一个正确选项得3分，答案选项为3个的，每选一个正确选项得2分．现甲，乙，丙，丁四位同学的作答和总得分情况如下表，则丁同学的总得分情况为______． 甲 乙 丙 丁 9题 10题 11题 得分 10 9 10 【答案】0或12 【解析】 【分析】根据甲、乙、丙的得分判断各题的正确答案，再求丁的得分. 【详解】根据乙的得分，可知：第9题正确答案有两个选项，包含A. 第10或11，乙有一个题选对，另一题有错选. 假设第10题的答案是ACD，则第11题的答案应该不含C或D. 此时：甲和丙在第10题各得4分. 若第9题的答案为AB，第11题答案为BC，则甲、乙、丙的得分满足条件，此时丁第9、11两题正确，第10题有错误选项，共得12分； 若第9题答案为AC，第11题答案为AB，则甲、乙、丙的得分满足条件，此时丁3个题都有错误选项，得0分； 假设第11题正确答案为CD，则甲、并第11题均不得分，此时甲、并的得分不可能都是10分.故不满足题意. 综上可得：丁的得分为0或12. 故答案为：0或12 14. 已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的零点可得，再结合指、对数性质分析可知方程有根，方程无根，结合图象即可得结果. 【详解】当时，可得； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 即函数有且仅有1个零点1， 若函数有零点，则， 显然，可得， 假设方程有根，可知方程有两个不相等根， 设为，且， 则，可得，即， 假设方程有根，可知方程有且仅有1个根，设为， 结合题意可知：方程有根，方程无根， 即与无交点，与有2个交点， 结合图象可知：或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为. （1）求； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，进而可得，结合等差数列求和公式运算求解； （2）整理可得，利用裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为，可知（满足除以3余数为1），当时，为3的倍数， 进行操作，即删除，剩余， 则，可得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 则， 所以数列的前项和. 16. “你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （i）求比赛结束后甲获胜的概率； （ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】(1) 先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； (2) （i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可； （ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【小问1详解】 由题意有：零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，， 所以据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； 【小问2详解】 （i）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， 所以，， 比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30， 所以，， 所以比赛结束后甲获胜的概率， （ii）设事件“比赛结束后甲获胜”，事件“比赛结束时乙恰好答对一道题”， , 所以， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为． 17. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，F，T分别是椭圆：的左焦点，右顶点，过F的直线交椭圆C于A，B两点，当轴时，的面积为. （1）求； （2）若斜率为的直线交椭圆C于G，H两点，N为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在椭圆方程中，令，解得，得，再根据结合，求出答案； （2）设直线：与椭圆方程联立，由韦达定理求得的中点为，利用弦长公式求得，进而得到以为直径的圆的半径，由，三角换元利用三角函数性质求出最大值. 【小问1详解】 依题意有，当轴时，在椭圆方程中，令，解得，则， ，又．解得，． 【小问2详解】 设直线：，设，， 联立，得， 所以，所以. ，所以的中点为， 所以. 又的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以. 令，， 记， 又，所以，时，. 18. 某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球.模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中. （1）分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率； （2）在模型二的前提下： ①求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用表示）. ②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为，求的数学期望. 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分为取到“黑红”和“红红”两种情况，分别对两种模型第二次取到的球是红球的概率进行计算即可； （2）①先算出第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为， 则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和； ②利用数学期望的定义和①中的概率公式可得到的表达式，再利用错位相减法计算得出期望值. 【详解】（1）记在模型一下，第二次取到红球的概率为，则分为取到“黑红”和“红红”两种情况， 则； 记在模型二下，取到红球的概率为，同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况， 则； （2）①设第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为， 则， 则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和，即 ， 利用等比数列求和公式即可得 ； ②由题可知，的取值依次为， 当时，， 由数学期望的定义和①中的概率公式可知， ， 设， 由错位相减法可得， 所以. 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 【答案】（1），； （2），证明如下： 记， 因为，所以在上单调递增， 又，所以时有， 所以. （3）证明如下： 由（2）知，，即， 所以， 即. 令，则， 所以在上单调递减，所以，故， 所以， 则，即. 综上，时，. 【解析】 【分析】（1）求出，根据泰勒公式可得； （2）构造函数，利用导数判断单调性，结合可证； （3）利用（2）中结论令，结合裂项相消法可证，构造函数证明，令，利用裂项相消法可证. 【小问1详解】 因为， 所以 所以的泰勒公式为：， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第三问关键在于构造差函数证明，结合（2）中结论令，使用裂项相消法即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期福建省仙游第一中学高二期中考试 数学试卷 2025.04 （考试时间120分钟 考试满分150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 展开式中的常数项为（ ） A. 10 B. C. 80 D. 2. 函数，是的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 3. 某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是（    ） A. B. C. D. 6. 已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 2024年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：千元）有如下统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到线性回归方程为，则（ ） A. 与的样本相关系数 B. C. 表中维修费用的第60百分位数为6.5 D. 该型跑步机已投入使用的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 8. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数 B. 若事件A，B相互独立，且，，则事件A，B不互斥 C. 若随机变量，，则 D. 若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望 10. 已知抛物线：的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 以为直径的圆与准线相切 C. 设，则 D. 过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 11. 在直三棱柱中，，，点，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为45° B. C. 若点是的中点，则平面截直三棱柱所得截面的周长为 D. 点是底面三角形内一动点（含边界），若二面角的余弦值为，则动点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则__________. 13. 新高考数学试卷共有3道多项选择题，每题有个选项，每题正确选项有2个或3个．得分规则如下：每道题满分为6分，全部选对得满分，有错选或者不选得0分，答案选项为2个的，只选一个正确选项得3分，答案选项为3个的，每选一个正确选项得2分．现甲，乙，丙，丁四位同学的作答和总得分情况如下表，则丁同学的总得分情况为______． 甲 乙 丙 丁 9题 10题 11题 得分 10 9 10 14. 已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为. （1）求； （2）设数列满足，求数列的前项和. 16. “你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （i）求比赛结束后甲获胜的概率； （ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，F，T分别是椭圆：的左焦点，右顶点，过F的直线交椭圆C于A，B两点，当轴时，的面积为. （1）求； （2）若斜率为的直线交椭圆C于G，H两点，N为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 18. 某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球.模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中. （1）分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率； （2）在模型二的前提下： ①求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用表示）. ②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为，求的数学期望. 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $