1 课时精练(一) 向量-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(一)　向　量 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(多选)对于向量a与b，下列说法不正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a与b是相等向量 B．若|a|<|b|，则a<b C．若a与b方向相反，则a与b是相反向量 D．若a＝b，则|a|＝|b| ABC　[两个向量的模相等，它们的方向可以是任意的，故A错误；向量不能比较大小，故B错误；两个向量大小相等，方向相反才是相反向量，故C错误．故选ABC．] 2．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 C　[在四边形ABCD中， ∵＝， ∴BA∥CD，且BA＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又||＝||， ∴平行四边形ABCD是菱形．] 3．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　) A．与相等 B．与是相反向量 C．与相等 D．与是相反向量 D　[如图所示，因为D是AB的中点，所以与大小相等，方向相反．] 4．设O是△ABC的外心，则，，是(　　) A．相等向量 B．模相等的向量 C．相反向量 D．起点相同的向量 B　[因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以，，是模相等的向量．] 5．如图，在四边形ABCD中，＝，则相等的向量是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 D　[由＝知四边形ABCD是平行四边形．由平行四边形的性质知，||＝||，且方向相同．] 6．给出以下说法： ①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量； ②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量； ③∠AOB的两条边都是向量． 其中正确说法的序号是________． 解析：　对于①，由于温度没有方向，故温度不是向量，故①不正确；对于②，作用力和反作用力大小相等，方向相反，力既有大小又有方向，属于向量，故②正确；对于③，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量，故③不正确． 答案：　② 7．如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南________方向行走了________ km． 解析：　由题图知，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南60°的方向行走了2 km． 答案：　60°　2 8．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中．若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个． 解析：　如图，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个．所以共有11个． 答案：　11 9．如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A，B，C，D，E，F为端点的有向线段表示的向量中，请分别写出： (1)与向量相反的向量； (2)与向量的模相等的向量； (3)与向量相等的向量． 解析：　∵在△ABC中，AD是BC边上的中线， ∴D为BC边的中点， 又∵EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，EF＝BC． 同理：ED∥AC，ED＝AC；DF∥AB，DF＝AB． 故：(1)与向量相反的向量有，，． (2)与向量模相等的向量有，，，，． (3)与向量相等的向量有，． 10．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助．试求： (1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程； (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移．(参考数据：sin 53°≈0．8) 解析：　(1)画出如图所示的示意图，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即AB＋BC＝70(n mile)． (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，即有大小又有方向，其大小为||＝＝50(n mile)，由于sin ∠BAC＝，故方向约为北偏东53°． [能力提升] 11．已知在平面内点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是(　　) A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．不能确定 C　[由于||＝2，所以A点构成一个以O为圆心，半径为2的圆．故选C．] 12．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 解析：　(1)根据题意，可在题目给出的坐标系中作图，向量，，，如图所示： (2)由题意得＝，所以AD与BC平行且相等，所以四边形ABCD为平行四边形，所以＝，则B地相对于A地的位移为“北偏东60°，6千米”． 学科网（北京）股份有限公司 $$