2025年重庆市中考数学模拟预测试卷

2025年重庆中考模拟预测试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）﹣2025的绝对值是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D． 2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）文化和旅游部5月3日公布2023年“五一”假期文化和旅游市场情况，全国国内旅游出游合计2.74亿人次，同比增长70.83%．数据2.74亿用科学记数法表示为（　　） A．2.74×109 B．2.74×108 C．27.4×107 D．0.274×109 4．（4分）若两个相似三角形的相似比为1：9，则这两个三角形的周长之比为（　　） A．1：3 B．1：9 C．1：27 D．1：81 5．（4分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．60° B．70° C．55° D．40° 6．（4分）估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 7．（4分）2024年以来，在一系列房地产利好政策的带动下，各地楼盘销售量持续攀升，现已知某地房屋销售成交量在8月份323套基础上，9月，10月连续增长达到363套，设月平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（　　） A．323（1+x）＝363 B．323（1+x）2＝363 C．323（1+2x）＝363 D．323（1﹣x）2＝363 8．（4分）用心形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1颗心，第②个图案中有3颗心，第③个图案中有6颗心，第④个图案中有9颗心，…，按此规律，则第⑦个图案中，心形的颗数是（　　） A．15 B．18 C．21 D．28 9．（4分）如图，在正方形ABCD中，F为DC上一点，E在CB的延长线上，连接AE，AF，EF，点G为EF的中点，连接DG．若AE＝AF，EBBC，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）已知两个整式M＝x2+xy，N＝y2﹣x，将整式M与整式N求和后得到整式P1，称为第一次操作；将第一次操作得到的整式P1加上2N得到整式P2，称为第二次操作；将第二次操作得到的整式P2加上3M得到整式P3，称为第三次操作；将第三次操作得到的整式P3加上4N得到整式P4，称为第四次操作；将第四次操作得到的整式P4加上5M得到整式P5，称为第五次操作，…，以此类推，下列说法中正确的个数有（　　） ①整式P4的一次项系数为﹣7； ②当满足x＝y，P4＝15时，则； ③若x，y，z为△ABC的边长，其中x，y满足P1+P3＝13xy﹣4，且z是方程|z﹣3|＝1的解，则△ABC为等边三角形； ④多项式P20+111x﹣86y的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 11．（5分）在二次根式中，x的取值范围 　 　 ． 12．（5分）酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是NaOH溶液、Ca（OH）2溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为 　 　 ． 13．（5分）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝8，AC＝5，则DE的长度为　 　 ． 14．（5分）若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 　 　 ． 15．（5分）如图，BC是⊙O的直径，点A，E均在⊙O上，AE＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，连接CE交AD于点F，交AB于点G，延长CE与过点B的切线交于点H，若AD＝2，tan∠ABC，则BC＝　 　 ，HG＝　 　 ． 16．（5分）一个四位自然数，若满足百位数字与个位数字的差比千位数字与十位数字的差少1，则称这样的四位数为“少点数”，如：4625，∵6﹣5＝4﹣2﹣1，∴4625是“少点数”；又如：6973，∵9﹣3≠6﹣7﹣1，∴6973不是“少点数”．已知“少点数”M（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，记F（M）.已知F（M）能被9整除且G（M）为完全平方数，则a﹣c＝ 　 　 ，满足条件的“少点数”M中，最大值与最小值的差是 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分） 17．（10分）计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 18．（10分）米小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O．用尺规在CD右侧作∠DCE＝∠BDC，在CE上截取CF＝OB，并连接DF．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形OCFD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，①　 　 ． ∴∠DOC＝90°． ∵CF＝OB， ∴②　 　 ． ∵∠DCE＝∠BDC， ∴③　 　 ． ∴四边形OCFD是平行四边形． ∵④　 　 ． ∴四边形OCFD是矩形． 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形ABCD改为矩形ABCD，其余作图过程均不变，则四边形OCFD的形状是⑤　 　 ． 19．（10分）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组： A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数： 67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是： 82，83，86 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ． （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 20．（10分）洪崖洞是重庆的网红打卡地，在该景点有一旅游纪念品专卖店，最近一款印有洪崖洞3D图案的书签销售火爆，该专卖店第一次用800元购进这款书签，很快售完，又花1400元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了0.5元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． （1）求该商店两次购进这款书签各多少个？ （2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于季节的影响，游客量减少，专卖店决定将剩下的书签打八折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于2472元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 21．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E是DC上定点，连接BE、AE，AB＝9，AD＝3，DE＝4，动点M从点D出发沿折线D﹣E﹣A方向运动，动点N从点B同时出发沿B﹣A方向运动，动点M，N的运动速度均为每秒1个单位长度，当点M、N其中一点到达点A时，两点同时停止运动，连接AM，EN．设运动的时间为x秒（0＜x＜9），记△AEB的面积与△BEN的面积之比为y1，△ADM的面积为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 22．（10分）小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点E位于景点A的东南方向400米处，景点D位于景点A的北偏东60°方向1500米处，景点C位于景点B的北偏东30°方向，若景点A，B与景点C，D都位于东西方向，且景点C，B，E在同一直线上． （1）求景点A与景点B之间的距离．（结果保留根号） （2）小明从景点A出发，从A到D到C，小红从景点E出发，从E到B到C，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点C．（参考数据：1.73） 23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴分别交于点A（﹣1，0）、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． （1）求抛物线解析式； （2）点P为直线BC下方抛物线上一点，连接PB，PC，点M为抛物线对称轴上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，连接MP，NB，当△PBC面积最大时，求此时点P的坐标及PM+MN+NB的最小值； （3）将抛物线沿射线BC方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使∠BAQ与∠OCA互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，将点A绕点D顺时针旋转90°得点E，连接AE，DE． （1）如图1，点D在△ABC的内部，连接CD，点E恰好在CD上．若AE＝CE，求∠DAB的度数； （2）如图2，点D在点A的右上方，连接BE，CE，点D恰好在CE上，延长DA交BE于点F，点G是AC的中点，连接FG，求证：； （3）如图3，连接EC，∠AEC＝90°，将线段AD沿AC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到线段AM，点M为点D的对应点，连接BM，当BM取得最大值时，请直接写出此时的值． 2025年重庆中考模拟预测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B B C B B C C 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）﹣2025的绝对值是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D． 【解答】解：由题知， ﹣2025的绝对值是2025． 故选：B． 2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 3．（4分）文化和旅游部5月3日公布2023年“五一”假期文化和旅游市场情况，全国国内旅游出游合计2.74亿人次，同比增长70.83%．数据2.74亿用科学记数法表示为（　　） A．2.74×109 B．2.74×108 C．27.4×107 D．0.274×109 【解答】解：2.74亿＝274000000＝2.74×108． 故选：B． 4．（4分）若两个相似三角形的相似比为1：9，则这两个三角形的周长之比为（　　） A．1：3 B．1：9 C．1：27 D．1：81 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：9， ∴这两个三角形的周长之比为1：9， 故选：B． 5．（4分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．60° B．70° C．55° D．40° 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1+∠BEF＝180°， ∵∠1＝40°， ∴∠BEF＝140°， ∵EG平分∠BEF， ∴∠BEG∠BEF＝70°， ∴∠2＝∠BEG＝70°． 故选：B． 6．（4分）估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【解答】解：， ∴， ∴， ∴的值应在6和7之间． 故选：C． 7．（4分）2024年以来，在一系列房地产利好政策的带动下，各地楼盘销售量持续攀升，现已知某地房屋销售成交量在8月份323套基础上，9月，10月连续增长达到363套，设月平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（　　） A．323（1+x）＝363 B．323（1+x）2＝363 C．323（1+2x）＝363 D．323（1﹣x）2＝363 【解答】解：由题意可知：323（1+x）2＝363， 故选：B． 8．（4分）用心形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1颗心，第②个图案中有3颗心，第③个图案中有6颗心，第④个图案中有9颗心，…，按此规律，则第⑦个图案中，心形的颗数是（　　） A．15 B．18 C．21 D．28 【解答】解：∵第①个图案中有1颗心， 第②个图案中有3×1＝3颗心， 第③个图案中有3×2＝6颗心， 第④个图案中有3×3＝9颗心， …… 发现：当n＝1时，有1颗心；当n＞1时，第n个图案中有3（n﹣1）颗心， ∴第⑦个图案中有3×6＝18颗心． 故选：B． 9．（4分）如图，在正方形ABCD中，F为DC上一点，E在CB的延长线上，连接AE，AF，EF，点G为EF的中点，连接DG．若AE＝AF，EBBC，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点G作GH∥BC交CD于点H，如图所示： ∵EBBC， ∴设EB＝a，BC＝4a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝4a，∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°， ∴△ABE和△ADF均为直角三角形，EC＝EB+BC＝5a， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， AE＝AF，AB＝AD， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴EB＝FD＝a， ∴CF＝CD﹣DF＝3a， ∵点G为EF的中点，GH∥BC， ∴GH是△ECF的中位线，∠DHG＝∠C＝90°， ∴GHEC，FH＝CHCF， ∴DH＝FD+FH， 在Rt△DGH中，由勾股定理得：DG， ∴． 故选：C． 10．（4分）已知两个整式M＝x2+xy，N＝y2﹣x，将整式M与整式N求和后得到整式P1，称为第一次操作；将第一次操作得到的整式P1加上2N得到整式P2，称为第二次操作；将第二次操作得到的整式P2加上3M得到整式P3，称为第三次操作；将第三次操作得到的整式P3加上4N得到整式P4，称为第四次操作；将第四次操作得到的整式P4加上5M得到整式P5，称为第五次操作，…，以此类推，下列说法中正确的个数有（　　） ①整式P4的一次项系数为﹣7； ②当满足x＝y，P4＝15时，则； ③若x，y，z为△ABC的边长，其中x，y满足P1+P3＝13xy﹣4，且z是方程|z﹣3|＝1的解，则△ABC为等边三角形； ④多项式P20+111x﹣86y的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵整式M＝x2+xy，N＝y2﹣x， ∴P1＝M+N； P2＝P1+2N＝（M+N）+2N＝M+3N； P3＝P2+3M＝（M+3N）+3M＝4M+3N； P4＝P3+4N＝（4M+3N）+4N＝4M+7N； P5＝P4+5M＝（4M+7N）+5M＝9M+7N； …， ∴；； ∴， 则整式P4的一次项系数为﹣7，故①正确； 当x＝y，P4＝15时，， 则15x2﹣15＝7x，即， ∴，即， ∴，则，故②错误； 若x，y，z为△ABC的边长，其中x，y满足P1+P3＝13xy﹣4， 则（x2+xy+y2﹣x）+（4x2+4xy+3y2﹣3x）＝5x2+5xy+4y2﹣4x＝13xy﹣4， ∴5x2﹣8xy+4y2﹣4x+4＝0， 即4x2﹣8xy+4y2+x2﹣4x+4＝0，则4（x﹣y）2+（x﹣2）2＝0， ∴x＝y＝2， 若x，y，z为△ABC的边长，其中z是方程|z﹣3|＝1的解，则z＝4或z＝2， 当x＝y＝2，z＝4时，x+y＝z，x，y，z不能构成三角形，即与x，y，z为△ABC的边长矛盾； 当x＝y＝2，z＝2时，△ABC为等边三角形，故③正确； 由规律可知，， 则P20＝102M+（10×11+1）N＝100（x2+xy）+111（y2﹣x）＝100x2+100xy+111y2﹣111x， ∴P20+111x﹣86y＝100x2+100xy+111y2﹣111x+111x﹣86y ＝100x2+100xy+111y2﹣86y ＝100x2+100xy+（25y2+86y2）﹣86y ＝（100x2+100xy+25y2）+（86y2﹣86y） ， ∵，， ∴，即多项式P20+111x﹣86y的最小值为，故④正确； 综上所述，正确的说法有①③④，共3个， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 11．（5分）在二次根式中，x的取值范围 　x　 ． 【解答】解：由题意得：2x+1≥0， 解得：x， 故答案为：x． 12．（5分）酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是NaOH溶液、Ca（OH）2溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为 　　 ． 【解答】解：将NaOH溶液、Ca（OH）2溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作A、B、C、D，列表如下： A B C D A （B、A） （C、A） （D、A） B （A、B） （C、B） （D、B） C （A、C） （B、C） （D、C） D （A、D） （B、D） （C、D） 由表可知，共有12种等可能结果，其中滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的有8种结果， ∴P； 故答案为：． 13．（5分）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝8，AC＝5，则DE的长度为　　 ． 【解答】解：延长AC，BE，相交于点F， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠AEF＝90°， 又AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE（ASA）， ∴BE＝EF，AB＝AF， ∵AB＝8，AC＝5， ∴CF＝AF﹣AC＝AB﹣AC＝3， ∵D是BC的中点，BE＝EF， ∴DE是△BCF的中位线， ∴DECF． 故答案为：． 14．（5分）若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 　9　 ． 【解答】解：解第一个不等式得：x＞﹣4， 解第二个不等式得：x， ∵原不等式组有解且仅有两个奇数解， ∴这两个奇数解为﹣3，﹣1， ∴﹣11， 解得：﹣2＜a≤8， 原分式方程去分母得：a﹣10﹣3y+9＝﹣y， 解得：y， ∵原分式方程的解为非负整数，且a为整数， ∴为非负整数，3，且a为整数， ∴a＝1或3或5， 则1+3+5＝9， 故答案为：9． 15．（5分）如图，BC是⊙O的直径，点A，E均在⊙O上，AE＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，连接CE交AD于点F，交AB于点G，延长CE与过点B的切线交于点H，若AD＝2，tan∠ABC，则BC＝　5　 ，HG＝　　 ． 【解答】解：∵AD⊥BC于点D，BC是⊙O的直径，AD＝2， ∴∠ADC＝∠BDA＝∠BAC＝90°， ∴∠DAC＝∠ABC＝90°﹣∠ACB， ∴tan∠DAC＝tan∠ABC， ∴CDAD＝1，BD＝2AD＝4， ∴BC＝CD+BD＝5，AC， ∵AE＝AC， ∴∠ACE＝∠AEC＝∠ABC＝∠DAC， ∴cos∠ACE＝cos∠DAC， ∴CG， ∵BH与⊙O相切于点B， ∴BH⊥BC， ∴∠CBH＝90°， ∴∠HGB＝∠AGC＝90°﹣∠ACE＝90°﹣∠ABC＝∠HBG， ∴HB＝HG， ∵HB2+BC2＝HC2，且HC＝HG， ∴HG2+52＝（HG）2， 解得HG， 故答案为：5，． 16．（5分）一个四位自然数，若满足百位数字与个位数字的差比千位数字与十位数字的差少1，则称这样的四位数为“少点数”，如：4625，∵6﹣5＝4﹣2﹣1，∴4625是“少点数”；又如：6973，∵9﹣3≠6﹣7﹣1，∴6973不是“少点数”．已知“少点数”M（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，记F（M）.已知F（M）能被9整除且G（M）为完全平方数，则a﹣c＝ 　5　 ，满足条件的“少点数”M中，最大值与最小值的差是 　2727　 ． 【解答】解：根据题意可知0≤a﹣c≤8，a﹣c＝b﹣d+1， M＝1000a+100b+10c+d，N＝1000c+100d+10a+b， ∴b﹣d＝a﹣c﹣1， ∴F（M） ＝10（a﹣c）+b﹣d ＝10（a﹣c）+a﹣c﹣1 ＝11（a﹣c）﹣1， ∵F（M）能被9整除， ∴a﹣c＝5， ∵a﹣c＝b﹣d+1， ∴d＝b﹣4， ∵c≥1， ∴a≥6， 当a＝6时，c＝1， ∴G（M） ， ∵G（M）为完全平方数， ∴b＝2， ∴d＝2﹣4＝﹣2（舍去）， ∴b＝8， ∴d＝8﹣4＝4， ∵M＝6814； 同理，当a＝7时，c＝2，M不存在； 当a＝8时，c＝3，M不存在； 当a＝9时，c＝4，M＝9541； ∴满足条件的“少点数”M中，最大值与最小值的差＝9541﹣6814＝2727， 故答案为：5；2727． 三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分） 17．（10分）计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【解答】解：（1）原式＝6+3y﹣2y﹣y2+4y﹣6 ＝5y﹣y2； （2）原式＝[（x﹣2）]• • • • ； 当x1时， 原式． 18．（10分）米小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O．用尺规在CD右侧作∠DCE＝∠BDC，在CE上截取CF＝OB，并连接DF．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形OCFD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，①　BO＝DO　 ． ∴∠DOC＝90°． ∵CF＝OB， ∴②　CF＝OD　 ． ∵∠DCE＝∠BDC， ∴③　CF∥OD　 ． ∴四边形OCFD是平行四边形． ∵④　∠DOC＝90°　 ． ∴四边形OCFD是矩形． 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形ABCD改为矩形ABCD，其余作图过程均不变，则四边形OCFD的形状是⑤　菱形　 ． 【解答】（1）解：如图； （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO＝DO， ∴∠DOC＝90°， ∵CF＝OB， ∴CF＝OD， ∵∠DCE＝∠BDC， ∴CF∥OD， ∴四边形OCFD是平行四边形， ∵∠DOC＝90°， ∴四边形OCFD是矩形； 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形ABCD改为矩形ABCD，其余作图过程均不变，则四边形OCFD的形状是菱形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，BO＝DO． ∴OD＝OC ∵CF＝OB， ∴CF＝OD． ∵∠DCE＝∠BDC， ∴CF∥OD． ∴四边形OCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵OD＝OC， ∴四边形OCFD是菱形． 19．（10分）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组： A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数： 67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是： 82，83，86 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　98　 ，b＝　93　 ，m＝　10　 ． （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 【解答】解：（1）10名女生对《哪吒2》的评分分数中98分最多，有3个，所以众数a＝98， 根据统计表可得男生满分的有10×50%＝5人， 则中位数为第5和第6个数据，10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86， 则按从小到大排列，第5个数据为86，第6个数据为100， 则b93， ∵评分分数为A和B的人数和为10﹣10×50%﹣3＝2，且A，B的人数都不为0， ∴评分分数为A和B的人数都是1人， ∴m%100%＝10%， 则m＝10； 故答案为：98，93，10； （2）男生更喜欢《哪吒2》， 理由如下：根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此男生更喜欢《哪吒2》； （3）500600×50%＝250+300＝550（人）， 答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有550人． 20．（10分）洪崖洞是重庆的网红打卡地，在该景点有一旅游纪念品专卖店，最近一款印有洪崖洞3D图案的书签销售火爆，该专卖店第一次用800元购进这款书签，很快售完，又花1400元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了0.5元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． （1）求该商店两次购进这款书签各多少个？ （2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于季节的影响，游客量减少，专卖店决定将剩下的书签打八折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于2472元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 【解答】解：（1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签2x个， 由题意得：0.5， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意， ∴2x＝400， 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个； （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元， 由题意得：200m+400m+400×（1）m×0.8≥2472+800+1400， 解得：m≥8， 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元． 21．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E是DC上定点，连接BE、AE，AB＝9，AD＝3，DE＝4，动点M从点D出发沿折线D﹣E﹣A方向运动，动点N从点B同时出发沿B﹣A方向运动，动点M，N的运动速度均为每秒1个单位长度，当点M、N其中一点到达点A时，两点同时停止运动，连接AM，EN．设运动的时间为x秒（0＜x＜9），记△AEB的面积与△BEN的面积之比为y1，△ADM的面积为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【解答】解：（1）由题易得S△AEB，S△BENBN•BCx， ∴y1； 在△Rt△ADE中，AD＝3，DE＝4， ∴AE5， 当点M在DE上，即0＜x≤4时， y2DM•ADx， 当点M在EA上，即4＜x＜9时，如图， 过M作MK⊥AD于点K，则MK∥DE， ∴， ∴MK， ∴y2AD•MKx， 综上，y1，y2； （2）函数y1，y2的图象如图所示， y2性质：当0＜x≤4时，y随x增大而增大； 当4＜x＜9时，y随x增大而减小； （3）由图象可得，当y1＜y2时，2.4＜x＜8.1． 22．（10分）小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点E位于景点A的东南方向400米处，景点D位于景点A的北偏东60°方向1500米处，景点C位于景点B的北偏东30°方向，若景点A，B与景点C，D都位于东西方向，且景点C，B，E在同一直线上． （1）求景点A与景点B之间的距离．（结果保留根号） （2）小明从景点A出发，从A到D到C，小红从景点E出发，从E到B到C，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点C．（参考数据：1.73） 【解答】解：（1）如图，过点E作EH⊥AB于点H， 在Rt△AHE中，∠EAH＝45°，AE＝400米， 则AH＝EHAE＝400（米）， 由题意可知：∠EBH＝60°， ∵tan∠EBH， ∴BH400（米）， ∴AB＝AH+BH＝（400400）米； （2）如图，过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，过点B作BG⊥CF于点G， 则四边形ADGB为矩形， ∴BG＝AF，GF＝AB＝（400400）米， 在Rt△AFD中，∠FAD＝60°，AD＝1500米， 则AF＝AD•cos60°＝1500750（米），FD＝AD•sin60°＝750（米）， ∴GD＝FD﹣FG＝750（400400）＝（350400）米， 在Rt△BGC中，BG＝AF＝750米，∠GBC＝30°， ∴CG＝BG•tan∠GBC＝750250（米），BC500（米）， ∴CD＝GC﹣GD＝250（350400）＝（400﹣100）米， ∴AD+DC＝1500+（400﹣100）＝1900﹣1001727（米）， 在Rt△BHE中，EH＝400米，∠EBH＝60°， 则EB800（米）， ∴EC＝EB+BC＝800+5001665（米）， ∵1727＞1665， ∴小红先到达景点C． 23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴分别交于点A（﹣1，0）、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． （1）求抛物线解析式； （2）点P为直线BC下方抛物线上一点，连接PB，PC，点M为抛物线对称轴上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，连接MP，NB，当△PBC面积最大时，求此时点P的坐标及PM+MN+NB的最小值； （3）将抛物线沿射线BC方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使∠BAQ与∠OCA互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）点A（﹣1，0）、对称轴为直线，则点B（4，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， 则﹣4a＝﹣2，则a， 则抛物线的表达式为：yx2x﹣2； （2）过点P作y轴的平行线交BC于点H， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx﹣2， 设点P（x，x2x﹣2），则点H（x，x﹣2）， 则PHx2+2x， 则△PBC面积PH×OB＝2（x2+2x）， 当x＝2时，△PBC面积最大，此时点P（2，﹣3）， 抛物线的对称轴为直线x＝1.5，则NM＝1.5， 作点B关于y轴的对称点R（﹣4，0），则BN＝RN，将点R向右平移1.5个单位（MN＝1.5）得到点T（﹣2.5，0）， 连接PT交抛物线的对称轴于点M，作MN⊥y轴，连接RT， 则RT＝1.5＝MN且RT∥MN，则四边形NMTR为平行四边形，则RN＝TM＝BN， 而PT， 故PM+MN+NB＝PM+MN+TM＝PT+22为最小； （3）存在，理由： 设将抛物线沿射线BC方向平移，向左平移2m个单位，则向下平移m个单位， 则新抛物线的表达式为：y（x+2m）2（x+2m）﹣2﹣m， 将（0，﹣2）代入上式得：﹣2（0+2m）2（0+2m）﹣2﹣m， 解得：m＝0（舍去）或2， 则新抛物线的表达式为：yx2x﹣2． 当点Q在x轴上方时，如图， ∵∠BAQ与∠OCA互补，则点Q在直线AC上， 由点A、C的坐标得，直线AC（CQ）的表达式为：y＝﹣2x﹣2， 当点Q在x轴下方时， 根据函数的对称性直线CQ（Q′）的表达式为：y＝2x﹣2， 分别联立CQ的表达式和新抛物线的表达式得：﹣2x﹣2x2x﹣2或2x﹣1x2x﹣2， 解得：x＝0（舍去）或1（舍去）或﹣7， 即点Q（﹣7，12）． 24．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，将点A绕点D顺时针旋转90°得点E，连接AE，DE． （1）如图1，点D在△ABC的内部，连接CD，点E恰好在CD上．若AE＝CE，求∠DAB的度数； （2）如图2，点D在点A的右上方，连接BE，CE，点D恰好在CE上，延长DA交BE于点F，点G是AC的中点，连接FG，求证：； （3）如图3，连接EC，∠AEC＝90°，将线段AD沿AC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到线段AM，点M为点D的对应点，连接BM，当BM取得最大值时，请直接写出此时的值． 【解答】解：（1）根据题意可知△ABC和△ADE是等腰直角三角形． ∴∠DAE＝∠DEA＝45°． ∵AE＝CE， ∴∠ECA＝∠EAC22.5°， ∵∠DAB＝∠BAC﹣∠DAE﹣∠EAC＝90°﹣45°﹣22.5°＝22.5°． （2）证明：延长DF至点H，使DH＝CD，连接BH，CH，则△DCH是等腰直角三角形． ∴∠DCH＝∠DHC＝∠ACB＝45°， ∴∠ACD＝∠BCH＝45°﹣∠ACH． 又∵． ∴△ACD∽△BCH． ∴BHAD＝AE，∠BHC＝∠ADC＝90°， ∵∠EAH＝180°﹣∠EAD＝135°，∠AHB＝∠BHC+∠DHC＝135°， ∴∠EAH＝∠AHB， 又∵∠AFE＝∠HFB， ∴△BFH≌△EFA（AAS）， ∴AF＝FH， ∵AG＝GC， ∴FGCHCD． ∴CDFG． （3）如图，点F、G分别为AC、AB的中点，过点F作BC的垂线交BA延长线于点H，交BC于点I． 易得△BHI为等腰直角三角形． ∵FG为△ABC的中位线， ∴FG∥BC，FGBCAB． 根据题意，∠AEC＝90°，由定弦定角辅助圆模型可知主动点E的运动轨迹是以AC为直径的⊙F上，因此从动点D的运动轨迹在以GF为直径的⊙P上． 而根据轴对称的性质，点D关于AC的对称点M的运动轨迹在以FH为直径的⊙Q上， ∴FG＝FH，AG＝AH． ∴AQ为△GFH的中位线． ∴AQ∥FG， 由平行线分线段成比例可得F、Q两点分别是线段HI的三等分点，则QI＝FH＝FG． 在Rt△BQI中，BI＝HIFHAB，QI＝FGAB，则BQAB． ∴BM＝BQ+MQABAB． ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$