精品解析：广东省广州市广州大学附属中学2024-2025学年 七年级数学下学期期中考试卷

广大附中2024-2025学年下学期初一期中考试 数学（问卷） （满分120分，考试时间100分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 过点P作线段AB的垂线段的画法正确的是( ) A. B. C. D. 2. 实数：，，0，其中无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列图形和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，能利用判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 两个无理数的和一定是无理数 B. 两个无理数的积一定是无理数 C. 有理数与无理数的和一定是无理数 D. 有理数与无理数的积一定是无理数 6. 若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A. 1 B. 任何数 C. 2 D. 1或2 7. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格，用二元一次方程组解答该问题，若已经列出一个方程7x+4=y，则符合题意的另一个方程是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 9. 如图，在平面直角坐标系中，一个点P从出发，运动到，运动到，运动到，运动到，运动到，......，按照上述规律运动下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 18 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知，则______（填“>”、“<”或“=”号）． 12. 已知，，那么______. 13. 一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置_______． 14. 为保证神舟十九号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，适宜采用_______调查．（选填“全面”或“抽样”） 15. 如图，已知，，则的度数为______度． 16. 在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示，则小长方形的长为______． 三、解答题（共8道题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，已知直线，，相交于点O，，，求和的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，的坐标分别是，，，若经过一次平移后得到，点，，的对应点分别为点，，，已知点的坐标为．根据以上条件，请解决下列问题： （1）请画出平移后的； （2）______（填“”或“”或“”）； （3）在平移过程中，边扫过的面积为______ 20. 为了营造书香校园，更好地进行读书月活动的开展，某校进行了问卷调查，对本校学生3月（共31天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学3月份阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次被抽查到的学生总人数为____________人，扇形统计图中m的值为____________，圆心角的度数为____________； （2）补全条形统计图； （3）若该校有2000名学生，估计3月份阅读的总时间小于24小时的学生约有多少人？ 21. 某旅游团计划在某电商平台购买杭州亚运会立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章，若购买1套立体吉祥物摆件和2套吉祥物徽章共350元，且每套亚运会吉祥物徽章的单价是每套立体吉祥物摆件的单价的3倍． （1）求每套立体吉祥物摆件和每套亚运会吉祥物徽章单价各是多少元？ （2）若至少需要购买48套亚运会吉祥物徽章，如果购买立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案． 22. 对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． （1）求，的值； （2）求关于，的方程的正整数解． 23. 小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么w的取值范围是什么？ （1）小明的做法：由得，则，由，得关于x的一元一次不等式组 ， 解该不等式组得到x的取值范围为 ， 则w的取值范围是 ．（直接填写答案，不用写过程） （2）已知（n是大于0的常数），且，求的最大值．（用含n的代数式表示）； （3）若，且，设，且m为整数，求m所有可能的值的和． 24. 已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，当时，直接写出的度数； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广大附中2024-2025学年下学期初一期中考试 数学（问卷） （满分120分，考试时间100分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 过点P作线段AB的垂线段的画法正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：点到直线的距离是指：过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，垂线段必须要出现直角，故本题选D． 2. 实数：，，0，其中无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，求一个数的立方根，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：， 在实数，，0中，无理数有，，共3个， 故选：C． 3. 下列图形和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键．根据各选项中的图形，依据对顶角的定义逐一进行判断即可． 【详解】解： A．和符合对顶角的定义，是对顶角，故A符合题意； B． 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故B不符合题意； C．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故C不符合题意； D．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故D不符合题意；． 故选：A． 4. 下列图形中，能利用判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理一一判定以及可得出答案． 【详解】解：．由无法判断，故该选项不符合题意； ．∵，∴，无法判断故该选项不符合题意； ．由无法判断，故该选项不符合题意； ．∵，∴ ，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 下列说法正确的是（　　） A. 两个无理数的和一定是无理数 B. 两个无理数的积一定是无理数 C. 有理数与无理数的和一定是无理数 D. 有理数与无理数的积一定是无理数 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用有理数以及无理数的性质分别判断得出答案． 【详解】解：A、两个无理数的和一定是无理数，错误，例如：﹣+＝0； B、两个无理数的积一定是无理数，错误，例如：﹣×＝﹣2； C、有理数与无理数的和一定是无理数，正确； D、有理数与无理数的积一定是无理数，错误，例如：0×＝0． 故选C． 【点睛】熟练掌握有理数和无理数的概念是本题的解题关键. 6. 若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A. 1 B. 任何数 C. 2 D. 1或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键：、定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程．如：方程，，等都是二元一次方程；、注意：①在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数；②“含未知数的项的次数是”是指含有未知数的项（单项式）的次数是，如的次数是，所以方程不是二元一次方程；③二元一次方程的左边和右边都必须是整式，例如方程的左边不是整式，所以它不是二元一次方程． 根据二元一次方程的定义可得且，解方程或不等式即可求出m的值． 【详解】解：由题意得： 且， 且， 解得：， 故选：． 7. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格，用二元一次方程组解答该问题，若已经列出一个方程7x+4=y，则符合题意的另一个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已经列出方程，可得出x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格，结合“每人出8元，多3元”，即可列出另一方程，此题得解． 【详解】解：∵每人出7元，少4元，且已经列出一个方程7x+4=y， ∴x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格． 又∵每人出8元，多3元， ∴8x-3=y． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 8. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题、命题真假的判定、不等式的性质、绝对值等知识点，分别写出逆命题，然后根据相关知识判断命题的真假即可． 【详解】解：A．逆命题为：如果，那么，是假命题，不符合题意； B．逆命题为：如果，那么，是真命题，符合题意； C．逆命题为：如果，那么，是假命题，不符合题意； D．逆命题为：如果,那么，是假命题，不符合题意． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一个点P从出发，运动到，运动到，运动到，运动到，运动到，......，按照上述规律运动下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得P点坐标位置按4次一循环的规律排列．通过计算可得此题结果． 此题考查了解决点的坐标规律问题的能力，关键是能通过观察、归纳出该问题循环出现的规律． 【详解】解：由题意可得P点坐标位置按4次一循环的规律排列． 且， ∴点的坐标为， 故选：C． 10. 关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解．先根据所给方程的解为非负整数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【详解】解：由方程得：， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， 解得， 解不等式组得：， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∴， ∵关于的方程的解是非负整数，， ∴符合条件的所有整数的和是：， 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知，则______（填“>”、“<”或“=”号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．利用不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. 已知，，那么______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．被开方数是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位． 【详解】解∶ ∵，， ∴， 故答案为∶． 13. 一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置_______． 【答案】南偏西， 【解析】 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，遇险船相对于救生船的位置为南偏西，， 故答案为：南偏西，． 14. 为保证神舟十九号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，适宜采用_______调查．（选填“全面”或“抽样”） 【答案】全面 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．据此解答即可． 【详解】解：为保证载人飞船成功发射，对各零部件进行检查，适宜采用全面调查． 故答案为：全面． 15. 如图，已知，，则的度数为______度． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：52． 16. 在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示，则小长方形的长为______． 【答案】##10厘米 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长、宽分别为，，根据长方形的长等于一个小长方形的长与三个小长方形的宽之和、两个小长方形的宽加上等于一个小长方形的长与一个小长方形的宽之和建立方程组，求解即可得． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 由题意可列方程组为， 解得， 则小长方形的长为， 故答案为：． 三、解答题（共8道题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和运用开平方法解方程，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键． （1）原式先化简算术平方根、立方根和绝对值，然后再进行加减运算即可即可； （2）直接运用平方根的性质解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 开方得， ∴或． 18. 如图，已知直线，，相交于点O，，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是垂直的定义，对顶角的性质，角的和差运算，利用对顶角的性质求解，由垂直的定义可得，再结合角的和差运算可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，的坐标分别是，，，若经过一次平移后得到，点，，的对应点分别为点，，，已知点的坐标为．根据以上条件，请解决下列问题： （1）请画出平移后的； （2）______（填“”或“”或“”）； （3）在平移过程中，边扫过的面积为______ 【答案】（1） 如图，，即为所求； （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）根据点和点的坐标，确定平移规则，进而画出平移后的即可； （2）勾股定理进行求解，比较后即可得出结论； （3）利用矩形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵点平移后的对应点的坐标为， ∴图形的平移规则为：先向右平移2个单位，再向下平移2个单位， 【小问2详解】 由图可知：， ∴， 故答案为： 【小问3详解】 解：扫过的面积为四边形的面积， 由图可知：，四边形为矩形， ∴四边形面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与平移，坐标与图形，矩形的判定和性质．解题的关键是根据对应点，确定平移规则． 20. 为了营造书香校园，更好地进行读书月活动的开展，某校进行了问卷调查，对本校学生3月（共31天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学3月份阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次被抽查到的学生总人数为____________人，扇形统计图中m的值为____________，圆心角的度数为____________； （2）补全条形统计图； （3）若该校有2000名学生，估计3月份阅读的总时间小于24小时的学生约有多少人？ 【答案】（1），，； （2） 补全图形如下， （3）该校有2000名学生，估计3月份阅读的总时间小于24小时的学生约有人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计中相关概念及计算，掌握由样本估算总体数量的方法，某项百分比的计算，圆心角度数的计算是解题的关键． （1）根据A组的人数及百分比得到抽样人数，由此得到B组的人数，根据百分比的计算方法，圆心角的计算方法即可求解； （2）根据B组的人数，即可补全统计图； （3）根据样本百分比估算总体数量的方法计算即可． 【小问1详解】 解：A组的人数是30人，百分比是， ∴（人） ∴本次被抽查到的学生总人数为150人， ∴B组的人数为：（人）， ∴B组的百分比为，则， ∴C组圆心角的度数为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：B组人数为45人； 【小问3详解】 解：A组和B组的人数和为人， ∴（人）， ∴该校有2000名学生，估计3月份阅读的总时间小于24小时的学生约有人． 21. 某旅游团计划在某电商平台购买杭州亚运会立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章，若购买1套立体吉祥物摆件和2套吉祥物徽章共350元，且每套亚运会吉祥物徽章的单价是每套立体吉祥物摆件的单价的3倍． （1）求每套立体吉祥物摆件和每套亚运会吉祥物徽章单价各是多少元？ （2）若至少需要购买48套亚运会吉祥物徽章，如果购买立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案． 【答案】（1）每套立体吉祥物摆件的单价是50元，每套亚运会吉祥物徽章的单价是150元 （2）共有三种购买方案：方案一：购买亚运会吉祥物徽章48个、立体吉祥物摆件52个；方案二：购买亚运会吉祥物徽章49个、立体吉祥物摆件51个；方案三：购买亚运会吉祥物徽章50个、立体吉祥物摆件50个； 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用． （1）设每套立体吉祥物摆件的单价是元，则每套亚运会吉祥物徽章的单价是元，根据“每套立体吉祥物摆件的单价购买立体吉祥物摆件的数量每套亚运会吉祥物徽章的单价购买亚运会吉祥物徽章的数量购买需要资金”列关于的一元一次方程并求解即可； （2）设购买亚运会吉祥物徽章个，则购买立体吉祥物摆件个，根据“购买亚运会吉祥物徽章的数量”和“每套立体吉祥物摆件的单价购买立体吉祥物摆件的数量每套亚运会吉祥物徽章的单价购买亚运会吉祥物徽章的数量”列关于的一元一次不等式组并求解，根据的取值范围写出所有购买方案． 【小问1详解】 解：设每套立体吉祥物摆件的单价是元，则每套亚运会吉祥物徽章的单价是元． 根据题意，得， 解得， （元， 答：每套立体吉祥物摆件的单价是50元，每套亚运会吉祥物徽章的单价是150元． 【小问2详解】 解：设购买亚运会吉祥物徽章个，则购买立体吉祥物摆件个． 根据题意，得， 解得， 为正整数， ，49，50． 当时，（个； 当时，（个； 当时，（个； 共有三种购买方案： 方案一：购买亚运会吉祥物徽章48个、立体吉祥物摆件52个； 方案二：购买亚运会吉祥物徽章49个、立体吉祥物摆件51个； 方案三：购买亚运会吉祥物徽章50个、立体吉祥物摆件50个． 22. 对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． （1）求，的值； （2）求关于，的方程的正整数解． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了新运算、二元一次方程组的解法、二元一次方程的正整数解，解决本题的关键是把规定的新运算转化为一般的方程组，通过解方程组求出字母的值． 把和分别代入，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可； 由可知，可得：、，根据，可得关于、的方程组，整理可得，再根据、为正整数，分情况讨论确定于、的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， ， 可得方程组:， 得：， 解得， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为：， 的值为，的值为； 【小问2详解】 解：把，代入， 可得：， ， ， 原方程可化为， 整理得：， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，为负数，不符合题意，舍去； 方程的正整数解为． 23. 小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么w的取值范围是什么？ （1）小明的做法：由得，则，由，得关于x的一元一次不等式组 ， 解该不等式组得到x的取值范围为 ， 则w的取值范围是 ．（直接填写答案，不用写过程） （2）已知（n是大于0的常数），且，求的最大值．（用含n的代数式表示）； （3）若，且，设，且m为整数，求m所有可能的值的和． 【答案】（1），， （2）的最大值为 （3）m所有可能的值的和为6． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，理解阅读材料，并能灵活应用阅读材料的方法解题是关键． （1）根据所给材料的过程进行解题即可； （2）由题意可得关于a的一元一次不等式组 ，解得，设，求出，即可求t的最大值； （3）由题意分别求出，，则关于y的不等式组为，解得，可得，求出，可知，2，3，则m所有可能的值的和为6． 【小问1详解】 解：由题意可得 ， 解不等式组可得：， ∵， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解:∵， ∴， ∵，， ∴关于a的一元一次不等式组 ， 解得， 设， ∴， ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴关于y的一元一次不等式为 ， 解得， ∵， ∴， ∵m为正数， ∴，2，3， ∴m所有可能的值的和为6． 24. 已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，当时，直接写出的度数； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______． 【答案】（1） （2） ，理由如下：如图，延长 交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， 在 和 中， ，，， ， 即：， ； （3）或3或6或12或15 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的综合题，正确理解旋转的性质、平行线的性质是本题解题的关键． （1）延长交于，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）参考（1）的解答，根据角平分线性质、平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先计算出的取值范围，用表示出的大小，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义，用表示出三边与的夹角，当夹角相等时，两直线平行，据此解答． 【小问1详解】 解：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， 即：， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ，是的平分线， ， ， 转动过程中，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 在转动过程中，， 设所在直线与射线的夹角为， ， 在转动过程中，， ①当时， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：， ②当时， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：，舍去， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， ③当时， 当时，， 即，， 解得：， 当时，， 即，， 解得：， 综上所述，或3或6或12或15． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $